01) A
Se cos α = 3/5, então , a representação em um triângulo retângulo será: 3 Pitágoras 3 4 5 5 tg α = c o c a . . = 43 02) E 4555 360 955 720 360 12 235 235° está no 3º quadrante. 4195 360 595 360 360 11 235
A primeira determinação positiva de 4555° e 4195° é 235°, logo, eles são côngruos.
03) E sec x = 1 cos x = – 53 ⇒ cos x = – 35 3 Pitágoras 3 4 5 5 x
Matemática B – Extensivo – v.2
Exercícios
Como o arco x tem extremidades no segundo quadrante, 0 seno é positivo e tangente é negativa, logo:
sen x = 4 5 tg x = − 4 3 5 sen2 x – 3 tg x = 5 4 5 3 4 3 2 . − − = 516 25 12 3 16 5 4 36 5 . + = + = 04) E B A O x y P K
No triângulo Δ OBP temos:
(BP)2 + (OB)2 = (OP)2, mas BP = OA
OA2 + OB2 = 12 (I)
Também temos que BÔP = 30°, logo: tg 30° = BP OB OA OB OA OB OA OB = ⇒ 3= ⇒ = 3 3 3 . (II)
Substituindo (II) em (I) temos: 3 3 1 3 9 1 2 2 2 . OB OB OB OB + = ⇒ + = ⇒ 12 9 1 2 2 OB = ⇒OB = 9 12 = 3 4⇒ OB = 3 2 OA= 3 OB= = = = 3 3 3 2 3 3 2 3 3 2 1 3 1 2 . . . OA . OB = 12 . 3 2 = 34
05) D
cos x = (cos x + senx . tgx) cos x =
cosx senx+ .senx cos x
cos x = 1cos x . 1cos x . 1cos x = sec
2 x 06) A cos2 x = m2 e tg2 x = 6 m2 ⇒ sen x x 2 2 cos = 6 m 4 ⇒ sen x m 2 2 = 6 m 2 ⇒ sen2 x = 6 m sen2 x + cos2 x = 1 6 m4 + m2 = 1 6 m4 + m2 – 1 = 0 → m2 = y 6 y2 + y – 1 = 0 y = − ±1 1 24+ 12 = − ± 1 5 12 y' = 1 3 → m 2 = 1 3 y" → m2 = − 1 2 07) A sen x x sen x sen x x sen x sen x x +
(
)
− −(
)
(
+)
= + + cos . cos . cos co 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ss . cos 2 2 2 2 1 2 1 x sen x sen x x − −(
)
(
+)
= 1 2 1 2 2 + sen x x− = x . cos cos 2 1 2 2 2 sen x x x x sen x x x . cos cos cos . cos cos + − = 08) E 20° 340° 160° 200° tg 20° = – tg 160° tg 20° = tg 200° tg 20° = – tg 340° tg tg tg 160 340 200 ° + ° ° = ( ) ( ) − + −a a =− a a a2 = –2 09) D tg2 x + sen2 x sec2 x –1 + sen2 x sec2 x –1 + sen2 x sec2 x – cos2 x 10) D 1 1 cos ( )x −tg x( ) cos ( )x tg x( ) + = 1 1 cos ( ) s ( ) cos ( ) cos ( ) s ( ) cos ( ) x en x x x en x x − + = 1− 1 s ( ) + cos ( ) s ( ) cos ( ) en x x en x x = 1 2 1 2 2 2 −s ( )= = cos ( ) cos ( ) cos ( ) en x x x x 11) C sen α = 12 13 pitágoras 13 12 13 12 5 cos α = −512) B
F(x) = (sen x + cos x)2 + (sen x – cos x)2 =
F(x) = (sen2 x + 2 sen x . cos x + cos2 x) + (sen2 x – 2 sen x . cos x + cos2 x)
F(x) = 2sen2 x + 2cos2 x
F(x) = 2(sen2 x + 2cos2 x) ⇒ F(x) = 2 . (1) ⇒ F(x) = 2
O gráfico é uma reta paralela ao eixo, que intercepta o eixo y no ponto 2. 13) B
2sen2 x + 2cos2 x – 5 ⇒ 2(sen2 x + cos2 x) – 5 ⇒ 2(1) – 5 = 3
14) D
y = sec x + cotg x cos x + tg x = 1 cos cos s cos cos s cos .cos cos .s cos .co x x en x x sen x x en x x x x en x x + + = + ss s cos x en x x + = (s cos ) . (cos ) cos .s .(cos s ) en x x x x en x x en x sen x +
(
)
+ = = 2 2 1 1 3 4 = 4 3 16) 0log [tg (π/5)] + log [3π/10)] = log[tg 36°] + log [tg 54°] = log (tg 36° . tg 54°) = = log sen36 sen
54 54 36 ° ° ° °
cos .cos mas, como 36° e 54° são complementares, sen 54° = cos 36° e cos 54° = sen 36o. Logo: log sen36 sen
36 54 54 ° ° ° °
cos .cos = log 1 = 0 15) B cos x = 2 1 m− ⇒ sec x = m−12 tg x = m− 2 tg2 x +1 = sec2 x ( m− 2)2 +1 = ( m−1 2 )2 ⇒ m – 2 + 1 = m2 2m 1 4 − + 4m – 4 = m2 – 2m + 1 m2 – 6m + 5 = 0 s = 6 p = 5 m1 = 1 m2 = 5
Como m = 1 não satisfaz as condições de existência, então m = 5. 17) A O y 1 2 1 2 P Q
18) a) A = 2sen 2θ; P = 4(senθ + cosθ) b) θ = π 4rad c) θ = π 4rad a) B D sen sen sen sen cos cos cos cos Aretâng. = b . h
Aretâng. = (2 cos θ) . (2 sen θ) Aretâng. = 4 sen θ . cos θ Aretâng. = 2 . (sen θ . cos θ) Aretâng. = 2 . sen 2θ 2P = 4sen θ + 4cos θ 2P = 4(sen θ + cos θ) b) A = 2 . sen2 θ
Área máxima: seno máximo ⇒ 2θ = π 2 θ = π
4
c) 2P = 4 . (sen θ + cos θ) ⇒ y = 4 . (sen θ + cos θ) y2 = 16 . (sen θ + cos θ)2
y2 = 16 . (sen2 θ + 2 . sen θ . cos θ + cos2 θ)
y2 = 16 . (1 + sen 2θ)
O valor que dá o y máximo é também o valor que dá y2
máximo. Para y2 ser máximo, sen 2θ deve ser máximo:
2 θ = π 2 ⇒ θ = π4 19) B sen α = 1 2 e α ∈ 2º quadrante. x y 1 2 30° 150° α = 150° y = sen( ).tg sec ( ) 90 150 150 180 150 °− ° ° ° + ° = sen tg ( ). sec ( ) − ° ° ° 60 150 330 y = − ° − ° ° sen( ).( tg ) sec ( ) 60 30 30 = sen tg 60 30 1 30 ° ° ° . cos y = 3 2 3 3 1 3 2 1 2 2 3 . ⇒ ⇒ y = 3 4 20) D
Como: cos x = cos (–x), então sec x = sec (–x) cos x + sec x = t
(cos x + sec x)2 = t2
cos2 x + 2 cos x . sec x + sec2 x = t2 cos2 x + 2 cos x . 1 cos x + sec 2 x = t2 cos2 x + 2 + sec2 x = t2 cos2 x + sec2 x = t2– 2 21) 1 2 1 + + cos cos x x = 1 21 + + cos cos x x . 1 = 1 21 1 1 + + − − cos cos . cos cos x x x x = 1 2 2 1 2 2 − + − −
cos cos cos cos x x x x = 1 2 1 2 2 + − − cos cos cos x x x
22) D 2 2 1 2 2 1 1 2 2 − − − = − − − − cos s cos cos ( cos ) cos x en x x x x
x = 2 1( cos ) (11coscos )(1 cos )
− − − + − x x x x = ( cos ) ( ( cos )) cos 1 2 1 1 − − + − x x x = 1 – cos x II. Falso. 21 4 8 4 2 16 4 nº de voltas 5 4 5 4 con = – cos = 2 2 4 sen = 2 2 (II) III. Verdadeiro. 840° 360° (III) 720° 120° 2 nº de voltas sec 840° = sec 120° sec 840° = 1 120 cos ° sec 840° = 1 1 2 − sec 840° = –2 –cossec 30° = 1 30 sen ° –cossec 30° = – 1 1 2 –cossec 30° = –2
IV. Verdadeiro. sec α = 2 e cos α = 1 2 Se α ∈ [0°, 360°], então α = 60° ou α = 300°. x y 1 2 60° 300° 23) E
I. Verdadeiro. sen 310° = –sen 50° sen 50° = –sen 310° P F F + + – – II. Falso. Seja sen x = y y2 + 4y + 3 = 0 s = –4 p = 0 y1 = –1 y2 = –3 sen x = –1 → x = 270° sen x = –3 → (impossível) III. Verdadeiro. –1 ≤ sen x ≤ 1 –1 ≤ k –1 ≤ 1 0 ≤ k ≤ 2 IV. Verdadeiro.
A = sen sen sen sen π π π π π 2 2 0 2 2 4 2 + + . . cos cos = 1 2 0 1 0 2 1 1 1 1 2 + + − = = . . . ( ) 24) E
I. Verdadeiro. sen2 x + cos2 x = 1
(1−k2)2 + (k + 2)2 x = 1
1 – k2 x + k2 + 4k + 4 = 1
4k = –4 k = –1
25) 05 01. Verdadeiro. 45° 45° 45° 20 3 17 3 3 02. Falso. a a 25π+ a 88π– a 25 + a 88 + a π π
sen (25π + a) = sen a = – 1 3 sen (88π – a) = –sen a = –1
3 sen (25π + a) – sen (88π – a) = – 1
3 – ( )−1 3 = 0 04. Verdadeiro. 1 1 y x π 4 π 4 38π π 2 P = 2π m = 24π = π2 g(x) = −2
3π + π4 (função de primeiro grau) Ponto em que a reta corta o eixo y: Coeficiente linear: π 4 ≅ 3 144 , < 1 08. Falso. tg x . sec x < 0 tg x sec x tg . sec
26) E
A soma envolve apenas ângulos pares, medidos em graus. Tomei ao acaso um deles para análise no ciclo. Escolhi um ângulo de 12°.
168° 12°
192° 348°
Esse ângulo possui uma determinação em cada quadrante com os mesmos valores de seno e cosseno, alterando apenas o sinal. Veja que esses ângulos aparecem na soma e, como em toda expressão o cosseno está elevado ao quadrado, a soma pode ser escrita com o:
27) C A = xk=sen k k = 2 2 24 1 2 π : , y sen k k k= + = 2 3 5 24 1 2 ( )π : , Como k = 1,2, então + {x1, x2} e B {y2, y2} A ∪ B = {x1, x2,y1, y2} Soma = x1 + x2 +y1 + y2 Soma = sen2 π 24 + sen2 4 24 π + sen2 824π + 1124π = sen2 π 24 + sen2 π 6 + sen2 π3 + sen 2 11 24 π Como π 24 e 1124π são complementares, sen2 11 24 π = cos2 π 24 Soma = sen2 π 24 + sen2 π 6 + sen2 π3 + cos 2 π 24 Soma = 1 + sen2 π 6 + sen2 π3 Soma = 1 1 2 3 2 2 2 + + Soma = 1 + 1 4 + 3 4 = 2 28) B P = 2π m = 23 π
S = cos20° +cos290° +cos2180° +cos2270° +cos2360° Extremos
+ (cos 4 22° +cos24° + +... cos286° +cos288°
Reduções ao 1º Q
S = 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 4 . (cos2 2° + cos2 4° + ...+ cos2 86° + cos2 88°)
Veja que 2° e 88° são complementares, logo cos 88° = sen 2°. O mesmo acontece com os ângulos 4° e 86° assim como com todos os ângulos da expressão:
S = 3 + 4 . (cos 2° + cos 4° + ... + sen 4° + sen 2°)2 2 2 2
S = 3 + 4 . 1 1 1 22 + + + ( ... ) vezes ⇒ S = 3 + 4 . 22 = 91
29) f(x) = 1 + sen 2 2 πx−π a) P = 2π m P = 2 2 π π = 1 Imagem: sen y sen y máx. min. = = + = = − = − = 1 1 1 2 1 1 1 0 ⇒ Im = [0, 2] b) y = 1 ⇒ 1 + sen 2 2 πx−π = 1 sen 2 2 πx−π = 0 2πx – π 2 = kπ 2πx = π 2 + kπ ÷ (2π) x = 1 4 + K2 Se K então x Se K então x = = = = 0, 1, 1 4 3 4 ⇒ S = 1 4 , 3 4 30) C y x Pseno = 2π m = 2 1 π 2π ≅ 6,28
Logo, temos dois pontos de intersecção. 31) D Se T = 0, então f(0) = cos π 2 = 0 Se T = π 2, então f(π2) = cos π = –1 Se T = π, então f(π 2) = cos 3π = 0 Se T = 3 2 π, então f(3 2 π) = cos 2π = 1
Esboçando o gráfico teremos:
–1 0 f(t) 1 2p t 3 /2p p p/2 32) A f(t) = 2sen [3t – (π/3)], t ∈ R. Im . ( ) . ( ) Im [ , ] 2 1 2 2 1 2 2 2 − = − = − ⇒ = − P = 2π m = 23π f(0) = 2sen − π 3 = 2 . sen (–60°) f(0) = 2 . − 3 3 = – 3 ≅ – 1,7 Esboçando o gráfico temos:
t
f(t)
2
1
–1
–2
–1
–2
1
2
33) E Pseno = 2π m ⇒ 4π = 2π m ⇒ m = 1 2A observação que P = 4π provém do gráfico (quanto leva para repetir).
• Dm → valores de x Dm = R
• Im → valores de y Im → [–3, 3]
• Sobre a paridade, verifica-se que o gráfico é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano. Portanto, a função é ímpar. • Esboçando o gráfico de y = 3 sen x
2
notamos que é igual ao da figura, logo a função descrita é: y = 3 sen x 2 . 34) E
A variação do número de clientes é dada pela imagem da função f(x). Calcularemos o mínimo e o máximo do seno.
sen mín. = –1 ⇒ y = 900 – 800 . (–1) sen mín. = 900 + 800 = 1700 sen máx. = 1 ⇒ y = 900 – 800 . (1) sen máx. = 900 – 800 = 100
A diferença entre os valores máximo e o mínimo da função é: 1700 – 100 = 1600. 35) 22 01. Falso. –1 ≤ cos (x) ≤ 1 –1 ≤ 2k – 4 ≤ 1 3 ≤ 2k – 4 ≤ 5 3 ≤ k ≤ 5 ⇒ {k ∉ R/ 3 2 ≤ K ≤ 5/2}. 02. Verdadeiro. f(x) = cos (1/x)
Dm → conjunto dos valores de x que satisfa-zem as condições de existência.
Dm = {x ∈ R/x ≠ 0} ⇒ D = R*. 04. Verdadeiro. Valor mínimo: cos = –1 y = 2 + 5(–1) y = 2 – 5 y = – 3 08. Falso. P = 2π m P = 2 4 5 π ⇒ P = 5 2 π
16. Verdadeiro. Os valores do cos x variam entre –1 e 1. Portanto: Im = [–1, 1] 36) D Im = [–1, +1] P = 2π m ⇒ P = 2 1 4 π ⇒ P = 8π
Esboçando o gráfico temos:
37) C d → eixo médio ⇒ d = 20 120 2 + = 70 a → amplitude ⇒ a = 50 c → altera o período ⇒ P = 2π m ⇒ 12 = 2π c = c = π6 A função é: Q(t) = 50 sen b +π t 6. + 70 Pelo gráfico se t = 2 então Q(2) = 120 Q(2) = 50 sen b + π 6. + 702 120 = 50 sen b + π 3 + 70 50 = 50 sen b + π 3 ⇒ sen b + π3 = 1 Se sen b + π 3 = 1, então b + π 3 = π2 ⇒ b = π2 – π 3 ⇒ b = π6 Portanto, Q (t) = 50 sen π π 6+6 .t + 70 Q (0) = 50 sen π 6 + 70 Q (0) = 50 1 2 + 70 Q (0) = 25 + 70 = 95
38) a) Para t = 0 s, temos P = 100 + 20 . sen (2π . 0) = 10 0 mm de Hg.
Para t = 0,75 s, vem P = 100 + 20 . sen (2π . 0,75) = 100 – 20 = 80 mm de Hg.
b) A pressão sanguínea atingiu seu mínimo quando sen (2πt) = –1 ⇒ sen (2πt) = sen 3 2 π a) P = 100 + 20 sen (2π . t) Se t = 0, então P(0) = 100 + 20 . se (0) P(0) = 100
Para t = 0, a pressão sanguínea é de 100 mm de mercúrio. Se t = 0,75, então P(0,75) = 100 + 20 . sen (2π 0,75) P(0,75) = 100 + 20 . sen 3 2 π P(0,75) = 100 + 20 . (–1) P(0,75) = 80
Para t = 0,75, a pressão sanguínea é de 80 mm de mercúrio.
b) Conforme o enunciado, a pressão atinge seu menor valor em:
P = 80 mm. Mas no item a descobrirmos que P (0,75) = 80, logo t = 0,75s fornece o menor valor da pressão no primeiro segundo. Como o período dessa função é de 1 s, esse fato só se repetirá no próximo segundo. 39) V – V – F – V – V T t Início: π π 12 4 3 t+ = 0 π 12 . t = – 4 3 π t = –16 Final π 12 . t + 4 3 π = 2π π 12 . t = 23π t = 8
01. Verdadeiro. Temperatura às 6 horas (t = 0): T(0) = 26 + 5 . cos 4 3 π T(0) = 26 + 5 . cos (240°) T(0) = 26 – 5 . cos (60°) T(0) = 26 – 5 . 1 2 02. Verdadeiro. Período: P = 2π m ⇒ P = 2 12 π π = 24 h 03. Falso. Observando o gráfico verifica-se que a maior temperatura foi de 31 °C.
04. Verdadeiro. Pelo gráfico observamos que a tempe-ratura máxima ocorre em t = 8. Como t = 0 corres-ponde às 6h, então t = 8 correscorres-ponde às 14h. 05. Verdadeiro. Pelo gráfico observamos que T(t) é
crescente em [0, 8]. 40) A
Os ângulos estão medidos em radianos. Sabemos que 1 radiano vale aproximadadmente 57°.
a) Verdadeiro. 7 rad ≅ 7 . 57° = 399° 399° ∈ 1° Q ⇒ sen(7) > 0 b) Falso. 8 rad ≅ 8 . 57° = 456° 456° ∈ 2º Q ⇒ sen (8) > 0 c) Falso. 5 ≅ 2,2 5 rad ≅ 2,2 . 57° = 125,4° 125,4° ∈ 2° Q ⇒ cos ( 5) < 0
d) Falso. Observando os itens b e c temos que cos ( 5) < 0 e sen (8) > 0. Logo, cos ( 5) < sen (8). 41) B
Para descobrir a posição nos extremos tomamos os valores extremos de cos x.
cos máx. = 1 ⇒ r = 5865 1 0 15 1 5865 115 + , .( )= , = 5100 cos mín. = –1 ⇒ r = 5865 1 0 15 1 5865 0 85 + , .( )− = , = 6900 S = 6900 + 5100 S = 12 000 km. 42) A
Esboço do gráfico da função: h
3
0,0 1
t 0,3
Como a função começa de seu máximo, então é uma função cosseno.
a eixo médio ⇒ a = 3 0 03 2 + , = 1,515 b amplitude ⇒ b = 3 0 03 2 − , = 1,485 Além disso P = 2π m ⇒ 2π m = 12 ⇒ m = π6 Com os valores de a, b e m temos: h(t) = 1,515 + 1,485 . cos (π 6t) 43) D Esboço do gráfico: t f I. Falso. P = 2π m ⇒ 2 2 365 π π ⇒ P = 365 dias.
II. Verdadeiro. Pôr do sol ocorreu mais cedo: t = 91,25 Admitindo que cada mês possui 30 dias, então t = 91,25,
já se passaram 3 meses (janeiro, fevereiro e março) e já entramos no mês de abril.
III. Verdadeiro. f(t) mínimo vale 17, h, que equivale às 17h30. 44) B
f(x) = cos x
P é ponto de ordenada máxima da função. Como o maior valor que cos x pode assumir, a ordenada de P vale 1. Q é ponto em que o gráfico toca o eixo x, ou seja, y = 0. Mas, para que cos x = 0, x deve assumir seu primeiro valor em π 2. P (0,1) Q 45) A I. Verdadeiro. 4330° 360° 12 360 730 720 10°
A divisão indica que o arco percorre 12 voltas acrescido de 10°, que deverá ser percorrido no sentido negativo do ciclo, parando assim no quarto quadrante do ciclo trigonométrico.
Observe que, ao percorrer o quarto quadrante, a função seno aumenta o seu valor, portanto nesse quadrante a função seno é crescente.
II. Verdadeiro. 34 5 10 5 3 30 5 4 5
A divisão indica que o aro percorre 3 voltas acres-cido de 4
5π rad = 144°, parando assim no segundo quadrante do ciclo trigonométrico. Observe que, ao percorrer o segundo quadrante, a função cosseno diminui o seu valor, portanto nesse quadrante a função cosseno é decrescente.
III. Falso. 1000° 360° 2 720 280°
A divisão indica que o arco percorre 2 voltas acres-cido de 280°, parando assim no quarto quadrante. No quarto quadrante a tangente é negativa. 46) B
Queremos saber t tal que c = 4: 4 = 3 + 2sen πt 6 1 = 2sen πt 6 ⇒ sen πt 6 = 1 2 Primeiro seno que vale 1
2: tπ 6 = π6 ⇒ t = 1 h 47) D I. f (x) = sen (2x) P = 2π m = 2 2 π π ≅ 3,14
A única função que repete em um intervalo de aproximadamente 3,14 é a alternativa B. AΔ = b h. 2 = π 2 1 2 . = π 4 u . a
II. f (x) = sen |x|
Como |x| = |x|, essa função é par. Entre as alternati-vas, a única que possui gráfico simétrico em relação ao eixo y é a C.
III. f (x) = sen (–x)
Estudando o ciclo observa-se que sen (–x) = –sen x, e o gráfico de y = – sen x aparece na alternativa A. 48) 8 f(t) = π 9 . sen 83 3 4 π. t− f(t) = π 9 . sen 83π.t−2π P = 2π m P = 2 8 3 π π = 2π . 3 8π = 3 4s
Isso quer dizer que o atleta repete o movimento a cada 3 4s. 3 4 6 1 x segudos repetições 3 4x = 6 ⇒ x = 8
Em 6 segundos o atleta realiza 8 repetições. 49) D
Os valores máximo e mínimo do custo correspondem aos valores máximo e mínimo de seno.
sen mín. = –1 c = 200 + 120 . (–1) c = 200 – 120 c = 80 sen máx. = 1 c = 200 + 120 . (1) c = 200 + 120 c = 320 50) B K → amplitude K = 2 m → altera o período P = 2π m 8 3π = 2πm ⇒ m = 3 4 Portanto, f(x) = 2 . sen 3 4 x . f 29 3 π = 2 . sen 3 4 29 3 . π f 29 3 π = 2 . sen 29 4 π f 29 3 π = 2 . sen 5 4 π ⇒ f 293π = sen (225°) f 29 3 π = 2 . − 2 2 = – 2 29 4 8 4 3 24 4 5 4 nº de voltas 51) E
Como a função cos (x) é par, sabe-se que se cos (x) = cos (–x). Como a função sen (x) é ímpar, sabe-se que sen (–x) = –sen (x). Então a função f pode ser escrita como:
f(x) = 1
2 . (sen (x) + cos (x) + sen (x) – cos (x)) f(x) = 1
2 . 2sen (x) f(x) = sen (x)
O esboço do gráfico da função sen(x) está no item e. 52) C
Queremos saber o valor de t tal que h = 12. O seno vale 1/2 nos seguintes arcos:
1/2 30° = /6 150° = 5 /6 tπ 12 = π6 ou tπ 12 = 56 π t = 2 ou t = 10
Então o navio pode permanecer no porto entre 2 e 10 horas.
53) 12 Esboço do gráfico: h (t) 8 4 6 12 18 24 t P = 2π m ⇒ P = 2 12 π π = 24 h
01. Falso. valor mínimo: cos mínimo h = 8 + 4 . (–1) h = 8 – 4 = 4 02. Falso. Observando o gráfico verifica-se que a maré baixa acontece às 18h. 04. Verdadeiro. P = 2π m ⇒ P = 2 12 π π = 24 h
08. Verdadeiro. O gráfico não informa quando h = 10, descobriremos isso algebricamente.
10 = 8 + 4 . sen t. π 12 2 = 4 . sen t. π 12 1 2 = sen t. π12 1/2 30° = /6 150° = 5 /6 30° = π 6 tπ 12 = π6 ou tπ 12 = 56 π t = 2 ou t = 10
Logo, o navio pode permanecer entre 2 e 10 horas.
54) 11 a → eixo médio ⇒ a = –1 b → amplitude ⇒ b = 2 c → altera o período ⇒ P = 2π m ⇒ π = 2π c = c = 2 01. Verdadeiro. Com os valores de a, b e c temos que
f(x) = –1 + 2sen (2x)
02. Verdadeiro. Observando o gráfico verifica-se que y varia entre –3 e 1, portanto Im = [–3, 1].
04. Falso. Analisando o gráfico verifica-se que o período é de π. 08. Verdadeiro. f(x) = –1 + 2 . sen (2x) ⇒ f π 12 = –1 + 2 . sen 2. π12 f π 12 = –1 + 2 . sen ( π 6) f π 12 = –1 + 2 . 1 2 = –1 + 1 = 0 55) a) 6,5 m
b) Período: 24 segundos; altura mínima: 1,5 m; altura máxima: 21,5 m. h(t) = 11,5 + 10 sen [ π 12 . (t – 26)] a) t = 0 ⇒ h(0) = 11,5 + 10 sen [ π 12 . (– 26)] h(0) = 11,5 + 10 sen [– 13 6π] Como sen(–x) = – sen(x), então: h(0) = 11,5 – 10 sen (13 6π) 13 6 126 1 12 6 6 nº de voltas Com isso, sen (13 6π) = sen (π6). h(0) = 11,5 – 10 . sen (π 6) h(0) = 11,5 – 10 . sen (30°) h(0) = 11,5 – 10 . 1 2 h(0) = 11,5 – 5 = 6,5 m h = 11,5 + 10 . (–1) h = 11,5 – 10 h = 1,5 m
b) As alturas mínima e máxima dependem do valores mínimo e máximo de sen (x).
sen mín. = –1 h = 11,5 + 10 . (1) h = 11,5 + 10 h = 21,5 sen máx. = 1 P = 2 P = 24 s P = 2π π
Portanto, as alturas mínima e máxima valem 1,5 m e 21,5 m, respectivamente, e o período de repetição vale 24 s.
56) D
Suponha a função da forma y = a + b . cos(m . t) a → eixo médio ⇒ a = 3 b → amplitude ⇒ b = 1 m → altera o período ⇒ P = 2π m ⇒ 3 = 2π m = m = 23 π 57) C L(3) = ? C(3) = 2 – cos (3 . π 6) ⇒ C(3) = 2 – cos (π2) C(3) = 2 – 0 = 2. V(3) = 3 2 . sen (3 . π 12) ⇒ V(3) = 3 2 . sen (π4) V(3) = 3 2 . 2 2 = 3 L(3) = V(3) – C(3) L(3) = 3 – 2 L(3) = 1
Como o lucro é dado em milhares de reais, o lucro é de R$ 1000,00. 58) D Esboço do gráfico P 100 A 5 0 /2 3 /2 2 5 /2 P = 2π m ⇒ 2 1 π = 2π
A função atinge o mínimo em t = 2π.
59) B f(x) = 3 . sen πx 4 P = 2π m ⇒ 2 4 π π = 8 Gráfico: B 0 8 A 3 –3
Para que o triângulo possua a maior área é necessário que ele possua a maior, ou seja, h = 3.
AΔ = b h. 2 ⇒ AΔ = 8 32. = 12 u.a. 60) D f(x) = 100 + 0,5x + 3sen (πx 6) Primeiro trimestre: (x) = 1, 2, 3 f(1) = 100 + 0,5 . (1) + 3sen (π 6) f(1) = 100 + 0,5 + 3sen (30°) f(1) = 100,5 + 3 . 1 2 f(1) = 102 f(2) = 100 + 0,5 . (2) + 3sen 2 6 π f(2) = 100 + 1 + 3sen (60°) f(2) = 101 + 3 . 3 2 f(2) = 103,55 f(3) = 100 + 0,5 . (3) + 3sen 3 6 π f(3) = 100 + 1,5 + 3sen (90°) f(3) = 101,5 + 3 . 1 f(3) = 104,5 Total de vendas: 102 + 103,55 + 104,5 = 310,05
61) B
Os gráficos a seguir esboçam as funções sen (x) e cos (x). y 0 x –2 2 sen y 0 x –2 2 cos
O módulo apenas provoca um rebatimento na parte negativa do gráfico em relação ao eixo (x). Representando os gráficos de |sen x| e |cos x| no mesmo sistema temos:
y 0 x cos sen Pontos de intersecção: 8 62) P(4 3, 0); Q(2, 0), R( 8 3, 0) e S( 10 3, 0)
Pontos em que o gráfico corta o eixo (x) : f(x) = 0 sen 3 2 πx . − + − 1 x 1 = 0 ⇒ –1 + x +1 = 0 x+1 = 1 x + 1 = 1 ⇒ x = 1 ou sen 3 2 πx = 0 ⇒ 3π.x2 = kπ ⇒ x = 2 3k Se K = 1, então x = 2/3 Se K = 2, então x = 4/3 Se K = 3, então x = 2 Se K = 4, então x = 8/3 Se K = 5, então x = 10/3
Todos os pontos possuem abcissas maiores que 1. Observando esse fato saberemos que: P(4 3,0); Q(2, 0); R( 8 3, 0); S( 10 3, 0)
