Este material ´e apenas um resumo de parte do conte´udo da disci-plina.
O material completo a ser estudado encontrase no Cap´ıtulo 8 -Se¸c˜oes 8.9 e 8.10 do livro texto da disciplina:
Logaritmos naturais e a fun¸
c˜
ao exponencial
de base e.
Carlos Humberto Soares J´unior
Observa¸c˜ao
Inicialmente observe que, fixado um n´umero real k > 0, a transforma¸c˜ao T : R2 → R2 dada por T (x , y ) = (kx ,y
k) tranforma
um retˆangulo X = [a, b] × [c, d ] de lados paralelos aos eixos em outro retˆangulo X0= [ka, kb] × [c/k, d /k] de lados tamb´em paralelos aos eixos e de mesma ´area.
Baseado na observa¸c˜ao anterior, conclu´ımos que toda figura plana F ´e transformada por T em outra figura F0= T (F ) de mesma ´area.
Para ter uma no¸c˜ao intuitiva do fato de que F e F0 tˆem a mesma ´area, observe que todo retˆangulo contido em F ´e transformado em um retˆangulo de mesma ´area contido em F0.
Estamos interessados aqui no efeito da transforma¸c˜ao T nas faixas de hip´erbole.
Seja
H = {(x ,1
x); x > 0}
o ramo positivo da hip´erbole equil´atera xy = 1; Observe que H ´e o gr´afico da fun¸c˜ao h : R+ → R, h(x) = 1
Defini¸c˜ao
Dados a, b ∈ R+, definimos afaixa de hip´erbole Hab como sendo o conjunto
Hab= {(x , y ) ∈ R2; a ≤ x ≤ b e 0 ≤ y ≤ 1 x}.
Observa¸c˜ao: Como T preserva ´area e T (Hab) = Hakbk segue-se que Hab e Hakbk tˆem a mesma ´area.
Por conveniˆencia, usaremos aqui a no¸c˜ao de “´areas orientadas”. Convencionamos que a ´area da faixa de hip´erbole Hab ser´a positiva quando a < b, negativa quando b < a e zero quando a = b. Objetivando mais clareza, escrevemos
´
AREA Hab,
em letras mai´usculas, para indicar a ´area orientada e ´area Hab,
´ AREA Hab= ´area Hab> 0, se a < b; ´ AREA Hab= −´area Hba< 0, se b < a; ´ AREA Haa= 0 Observa¸c˜ao Se a < b < c ent˜ao obviamente ´
area Hab+ ´area Hbc = ´area Hac.
Como consequˆencia da ado¸c˜ao de ´areas orientadas temos que ´
AREA Hab= −´AREA Hba. Da´ı segue-se que vale a igualdade
´
AREA Hab+ ´AREA Hbc = ´AREA Hac
em cada um dos seis casos a ≤ b ≤ c, a ≤ c ≤ b, b ≤ a ≤ c, b ≤ c ≤ a, c ≤ a ≤ b e c ≤ b ≤ a.
A demonstra¸c˜ao ´e simples. Basta considerar cada caso separada-mente.
Defini¸c˜ao
Seja f : R+→ R a fun¸c˜ao definida por
f (x ) = ´AREA H1x.
Observa¸c˜oes: Seguem diretamente da defini¸c˜ao as seguintes pro-priedades:
f (x ) > 0 ⇔ x > 1; f (x ) < 0 ⇔ 0 < x < 1; f (1) = 0;
f ´e crescente
Teorema
A fun¸c˜ao f : R+→ R definida por f (x) = ´AREA H1x ´e uma fun¸c˜ao logar´ıtmica.
Demonstra¸c˜ao: Com efeito,
f (x .y ) = ´AREA H1x .y = ´AREA H1x + ´AREA Hxx .y. Entretanto vimos que ´AREA Hxx .y = ´AREA H1y. Logo
f (x .y ) = ´AREA H1x+ ´AREA H1y = f (x ) + f (y ).
Portanto, pelo Teorema de Caracteriza¸c˜ao das Fun¸c˜oes Logar´ıtmicas, existe um n´umero real e > 0 tal que f (x ) = logex , para todo
No lugar de logex escrevemos ln x e chamamos delogaritmo natural de x.
O n´umero e, base do logar´ıtmo natural ´e tal que seu logaritmo natural ´e igual a 1, ou seja ´AREA H1e = 1. Um valor aproximado desse n´umero ´e 2, 718281828459. O n´umero e ´e irracional.
Proposi¸c˜ao e = lim n→∞ 1 +1 n n . Demonstra¸c˜ao: Observe a figura abaixo.
Nesta figura h´a um retˆangulo menor cuja base ´e o segmento [1, 1+x ] que mede x e a altura mede 1+x1 . Este retˆangulo est´a contido na faixa H11+x e esta faixa est´a contida no retˆangulo cuja base ´e o segmento [1, 1 + x ] e a altura mede 1.
Comparando as ´areas dessas figuras obtemos, para todo x > 0, a desigualdade
x
1 + x < ln(1 + x ) < x . Dividindo por x obtemos
1 1 + x < ln(1 + x ) x < 1. Tomando x = 1n com n ∈ N: n n + 1 < ln 1 +1 n n < 1, e portanto en+1n < 1 +1 n n < e, ∀n ∈ N.
n+1
1 e portanto en+1n se aproxima de e. Portanto, das ´ultimas
desigual-dades, obtemos que lim n→∞ 1 +1 n n = e. Usando a mesma t´ecnica (ver livro texto p´ag. 202 e 203) ´e poss´ıvel mostrar que
e = lim
n→0(1 + x ) 1/x.
Desta forma, dado qualquer α ∈ R, tomando x = αn vemos que
1 x =
n
α e que x → se, e somente se, n → ∞. Logo
lim 1 +αn= lim h(1 +α)αn
iα
= limh(1 + x )1x
iα = eα.
Em particular eα= lim n→∞ 1 +α n n para todo α ∈ R e portanto
1 e = limn→∞ 1 −1 n n . Defini¸c˜ao
Afun¸c˜ao exponencial de base e x 7→ ex pode ser definida por meio
do limite ex = lim n→∞ 1 +x n n
ou geometricamente, pelo fato de que y = ex ´e o ´unico n´umero real positivo tal que a ´area da faixa H1y ´e igual a x .
Vejamos agora um exemplo onde fun¸c˜oes de tipo exponencial f (x ) = beαx surgem naturalmente.
Exemplo: Um investidor aplica um capital c0 a uma taxa de k% ao
ano. Escrevendo α = 100k conclu´ımos que, por cada real aplicado o investidor receber´a, ao final de um ano, 1 + α reais. Deste modo, ao final de um ano, o total a ser resgatado ser´a de c0(1 + α) reais. O
acr´escimo c0.α (juro) ´e uma esp´ecie de aluguel do dinheiro (lucro).
Objetivando maior lucro, o investidor raciocina que, se resgatar o capital depois de um semestre, ter´a direito `a metade do juro anual, logo receber´a c0(1 +α2) reais. Ent˜ao reinvestir´a a soma por mais
um semestre e, no final de um ano, receber´a c0(1 + α2)2 que ´e
uma quantia maior. [Nosso investidor conhece a desigualdade de Bernoulli, por isso sabe que (1 +α2)2 > 1 +α2].
Pensando ainda melhor, nosso investidor resolve resgatar e reinvestir o capital mensalmente, recebendo ao final de um ano o total de c0(1 +12α)12 que ´e maior do que c0(1 +α2)2.
Animado com o resultado, o nosso ambicioso ivestidor imagina que, resgatando e reaplicando seu dinheiro num n´umero n, cada vez maior, de intervalos de tempo iguais, poder´a aumentar seu capi-tal ilimitadamente.
Na realidade, fazendo o que imaginou, ao final de um ano o investi-dor receber´a um capital acumulado igual a
c0. lim n→∞ 1 +α n n = c0.eα.
O investidor estava certo em pensar que, para todo n ∈ N e todo α > 0, tem-se 1 +α n n < 1 + α n + 1 n+1 .
Entretanto se enganou ao conceber que tal processo o levaria `a um lucro ilimitado. Com efeito todos os termos da sequˆencia 1 + αnn s˜ao menores do que eα.
Seja como for, esse processo imagin´ario de resgatar e reinvestir a cada instante o capital nos conduziu `a no¸c˜ao de juros compostos, acumulados continuamente.
At´e breve!
