Fun c ao Exponencial Fun c ao Exponencial ( ) F. Exponencial Matem atica II 2008/2009

Fun¸c˜ ao Exponencial

(20-02-2009)

Chama-se fun¸c˜ao exponencial de base a`a correspondˆencia f :R −→ R⁺

x 7→ a^x, com a >0 Se a= 1, a fun¸c˜ao ´e constante e tem pouco interesse.

Vejamos agora, quando

0< a <1 e a >1

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

−4

−2 0 2 4 6 8

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

−4

−2 0 2 4 6 8

f(x) =(1/4)^x f(x) =4^x

f(x) =(1/3)^x f(x) =3^x

Observe que:

1 Se a6= 1, ent˜ao a fun¸c˜ao exponencialy=a^x tem dom´ınioR e contradom´ınio R⁺.

2 Uma vez que (¹_a)^x= _a¹x =a^−x, o gr´afico dey= (¹_a)^x ´e a reflex˜ao do gr´afico dey=a^x em torno do eixo dos YY.

Exemplos

Esbocemos o gr´afico das seguintes fun¸c˜oes

1 y= 7^x

2 y= (¹₇)^x

3 y= 4−2^x

1 Um esbo¸co do gr´afico dey= 7^x ser´a

0 50 100 150 200 250 300 350

2 Para esbo¸car o gr´afico dey= (¹₇)^x basta reflectirmos o gr´afico de y= 7^x em torno do eixo dos YY. (O dom´ınio da fun¸c˜ao y= (¹₇)^x ´eRe o contradom´ınio ´e ]0,∞[.)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−50 0 50 100 150 200 250 300 350

3 Come¸camos por esbo¸car o gr´afico da fun¸c˜ao y= 2^x. Em seguida reflectimos este gr´afico em torno do eixo dos XX para obter o gr´afico dey=−2^x. A seguir deslocamos o gr´afico de y=−2^x quatro (4) unidades para cima, para obtermos o gr´afico de y= 4−2^x. (O dom´ınio da fun¸c˜ao y= 4−2^x ´eR e o contradom´ınio ´e ]− ∞,4[.)

−10 −5 0 5 10

−10

−5 0 5 10 15 20

−10 −5 0 5 10

−20

−15

−10

−5 0 5 10

−10 −5 0 5 10

−15

−10

−5 0 5 10

y= 2^x y=−2^x y= 4−2^x

Usemos a an´alise gr´afica para comparar a fun¸c˜ao exponencial f(x) = 2^x e a fun¸c˜ao potˆencia g(x) =x². Qual ´e a fun¸c˜ao que cresce mais r´apido quando x for ”muito grande´´?

A figura seguinte mostra o gr´afico da fun¸c˜ao f(x) = 2^x a azul e o gr´afico deg(x) =x² a vermelho. Observamos que para grandes valores de x, a fun¸c˜ao exponencialf(x) = 2^x cresce muito mais rapidamente do que a fun¸c˜ao potˆencia g(x) =x².

−10 −5 0 5 10

−100 0 100 200 300 400 500 600

(A fun¸c˜ao f(x) = 2^x ´e chamada fun¸c˜ao exponencial, pois a vari´avel,x, ´e o expoente. Esta fun¸c˜ao n˜ao deve ser confundida com a fun¸c˜ao potˆencia g(x) =x²,na qual a vari´avel ´e a base.)

Propriedades

Se ae b forem n´umeros positivos e xe y n´umeros reais quaisquer, ent˜ao

(a) a⁰= 1 (b) a^x>0 (c) a^−x = _a¹x

(d) a^xa^y =a^x+y (e) ^a_a^xy =a^x−y (f) (a^x)^y =a^xy (g) (ab)^x=a^xb^x

Na escolha de uma base a pesa muito a forma como a fun¸c˜ao y =a^x cruza o eixo dos YY. As figuras seguintes mostram os gr´aficos dey= 2^x e de y= 3^x e das respectivasrectas tangentes aos gr´aficos no ponto (0,1).

−10 −5 0 5 10

−5 0 5 10 15 20

−10 −5 0 5 10

−5 0 5 10 15 20

A recta tangenteay = 2^x no ponto (0,1) tem inclina¸c˜ao m≃0,7 e a recta tangenteay= 3^x no ponto (0,1) tem inclina¸c˜ao

m≃1,1.

As f´ormulas de c´alculo ficam muito simplificadas quando escolhemos para base aaquela para a qual resulta uma recta tangente a y=a^x no ponto (0,1) com uma inclina¸c˜ao

exactamente igual a 1. Esse n´umero existe realmente e ´e denotado pela letra e. Observando as figuras seguintes, n˜ao nos surpreende que o n´umero eesteja entre 2 e 3 e o gr´afico dey=e^x, entre o de y = 2^x e o de y= 3^x.

0 5 10 15 20 25 30

Valor Marginal

Consideremos a fun¸c˜ao exponencialy=e^x (f(x) =e^x) e calculemos o seu valor marginal ∆y. Temos

∆y =f(x+ 1)−f(x)

=e^x+1−e^x Uma vez que e^x+1=e^x.e¹ vem

∆y =e^x.e¹−e^x

=e^x.e−e^x Pondo e^x em evidˆencia temos

∆y = (e−1)e^x

O valor marginal da exponencial y=e^x ´e ainda uma fun¸c˜ao exponencial:

∆y= (e−1)e^x

Consideremos a fun¸c˜ao exponencialy=e^x (f(x) =e^x) e calculemos a sua derivada

f^′(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x) h

Comecemos por calcular a diferen¸ca

f(x+h)−f(x) =e^x+h−e^x

=e^x.e^h−e^x

= (e^h−1)e^x e depois a raz˜ao incremental

f(x+h)−f(x)

h = (e^h−1)e^x h

= (e^h−1) e^x

Para o c´alculo de

f^′(x) = lim

h→0

(e^h−1) h e^x

o que est´a em causa ´e o limite

h→0lim

(e^h−1) h

cujo valor ´e 1 (fa¸camos c´alculos num´ericos para acreditar neste resultado, uma vez que uma demonstra¸c˜ao deste resultado envolve argumentos que saem do contexto desta disciplina).

Assim,

f^′(x) = lim

h→0

(e^h−1)

h e^x =e^xlim

h→0

(e^h−1)

h =e^x.1 =e^x

Conclu´ımos que a derivada da fun¸c˜ao exponenciale^x ´e ainda uma fun¸c˜ao exponencial

f^′(x) =e^x

Neste caso a derivada da fun¸c˜ao ´e igual `a pr´opria fun¸c˜ao.

Exerc´ıcio

Uma popula¸c˜ao de bact´erias aumenta 50% em cada dia. Se no in´ıcio da contagem havia 1 milh˜ao de bact´erias, quantas haver´a ao fim de x dias?

Resolu¸c˜ao

Em milh˜oes temos

ao fim de 1 dia 1 + 0,5 = 1,5

ao fim de 2 dias 1,5 + 0,5×1,5 = 1,5(1 + 0,5) = 1,5² ao fim de 3 dias 1,5²+ 0,5×1,5² = 1,5²(1 + 0,5) = 1,5³

... ...

ao fim dex dias 1,5^x

Vemos que o n´umero de milh˜oes de bact´erias, ao fim de x dias, ´e dado por uma potˆencia de expoente vari´avel (exponencial).

Sabemos que esta potˆencia tem significado para qualquer valor real dex; no in´ıcio da contagem ´ex= 0 e antes desse instante ´ex <0.

Sabemos, tamb´em, que os valores de 1,5^x s˜ao sempre positivos.

Resolu¸c˜ao (cont.)

Portanto, temos a correspondˆencia:

f :R −→ R⁺ x → 1,5^x

que se chama fun¸c˜ao exponencial de base 1,5 e cujo gr´afico ´e

−10 −5 0 5 10

−5 0 5 10 15 20

Uma situa¸c˜ao com comportamento exponencial ´e a de juros compostos.

Suponhamos que algu´em colocou, no dia 1 de Janeiro de 2009, um determinado capital

C

num dep´osito a prazo, a uma taxa de juroj (ao ano).

No dia 1 de Janeiro de 2010, o capital acumulado ser´a de C+C.j=C(1 +j)

onde C ´e o capital depositado inicialmente e C.j ´e o montante correspondente ao juro que esse capital inicial rendeu.

No dia 1 de Janeiro de 2011, o capital acumulado ser´a de C(1 +j) +C(1 +j).j= C(1 +j)(1 +j)

= C(1 +j)²

onde C(1 +j).j ´e o juro correspondente ao ano de 2010.

Repetindo este racioc´ınio, vemos que no dia 1 de Janeiro de 2012, o capital acumulado seria de

C(1 +j)²+C(1 +j)²j= C(1 +j)²(1 +j)

= C(1 +j)³

Podemos resumir esta situa¸c˜ao no seguinte quadro Anos decorridos ap´os

Data o in´ıcio do dep´osito Capital acumulado

1/01/2009 0 C=C(1 +j)⁰

1/01/2010 1 C(1 +j)¹

1/01/2011 2 C(1 +j)²

1/01/2012 3 C(1 +j)³

Num processo de juros compostos, com capital inicial C e uma taxa de juros j, o valor do capital acumulado Aao fim de xanos ´e dado por

A=C.(1 +j)^x

Exerc´ıcio

No dia 1 de Janeiro de 2004, o Sr. Jos´e investiu 10.000 euros num dep´osito a prazo, remunerado com a taxa de 3% ao ano.

Admitindo que os juros foram sendo capitalizados, determine o montante que o Sr. Jos´e tinha no dia 1 de Janeiro de 2008.

Resolu¸c˜ao

1/01/2004 99K 10.000

1/01/2005 99K 10.000 + 10.000×0,03

= 10.000(1 + 0,03)

= 10.000(1,03)

1/01/2006 99K 10.000(1,03) + 10.000(1,03)×0,03

= 10.000(1,03)(1 + 0,03)

= 10.000(1,03)²

1/01/2007 99K 10.000(1,03)² + 10.000(1,03)² ×0,03

= 10.000(1,03)²(1 + 0,03)

= 10.000(1,03)³

1/01/2008 99K 10.000(1,03)³ + 10.000(1,03)³ ×0,03

= 10.000(1,03)³(1 + 0,03)

= 10.000(1,03)⁴

Resolu¸c˜ao (cont.)

ou, simplesmente, utilizando a f´ormula A=C(1 +j)^x

e atendendo a que, em 1 de Janeiro de 2008, decorreram 4 anos, o montante pedido ´e

A= 10.000(1 + 0,03)⁴ = 10.000(1,03)⁴ = 11255,08 euros.