EA960 Aritmética e Representação Numérica

Texto

(1)EA960 Aritmética e Representação Numérica. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação (FEEC) Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) Prof. Levy Boccato.

(2) Introdução  Até o momento, nos preocupamos apenas com escolhas. ligadas ao conjunto de instruções, partindo do pressuposto que as grandezas manipuladas são essencialmente números com ou sem sinal.  Algumas perguntas importantes, porém, precisam ser. analisadas:  Como podemos representar frações e números reais?  O que acontece se uma operação cria um número que excede o. limite representável?  Como o hardware efetivamente multiplica ou divide os números?. 2.

(3) Adição  Processo: vai-um (carry).  Implementação:  Circuito somador com propagação do bit de transporte;  Ou, então, com cálculo antecipado de todos os bits de transporte.  Estas opções diferem em relação ao atraso de propagação, ao número de portas lógicas, etc.. 3.

(4) Adição  Problema: o resultado da adição (e subtração) pode. ultrapassar os limites definidos pelo tamanho da palavra.  Esta condição é conhecida como estouro aritmético ou overflow..  Em que condições o overflow pode ocorrer quando a. instrução add $t0, $t1, $t2 é executada?  Se $t0 e $t1 possuem sinais diferentes, jamais ocorre overflow.. Por quê?. 4.

(5) Adição  A soma de dois números de N bits precisaria, em tese, de. (N + 1) bits para sua representação completa.  A falta deste (N+1)-ésimo bit significa que quando o. overflow ocorre, o bit de sinal (do registrador) recebe um valor lógico que corresponde a um bit do resultado, em vez do bit de sinal do número produzido.  Logo, para detectar overflow, basta olhar para o bit de. sinal do resultado armazenado.  Condições:  Soma de dois positivos = número negativo.  Soma de dois negativos = número positivo. 5.

(6) Adição  Processador MIPS  As instruções addu, addiu e subu ignoram a ocorrência de. overflow.  Por outro lado, as instruções add, addi e sub causam exceções. relacionadas a overflow.  Tratamento da exceção:  O endereço da instrução que causou a exceção é salvo no registrador EPC (exception program counter).  O processador desvia para um endereço pré-definido em que há uma rotina de tratamento específica para aquele evento.  A instrução mfc0 (move from coprocessor reg) copia o valor de EPC em um registrador ($k0 ou $k1, para evitar a perda do conteúdo de outros registradores), de modo que o processador possa retornar à execução normal após a ação de correção. 6.

(7) Adição  Processador MIPS  Não possui uma instrução de desvio que permita o teste da. ocorrência de overflow.  Como fazer esta checagem em software? A. Números com sinal addu xor slt bne xor slt bne. $t0, $t1, $t2 $t3, $t1, $t2 $t3, $t3, $zero $t3, $zero, sem_overflow $t3, $t0, $t1 $t3, $t3, $zero $t3, $zero, overflow. Se $t1 e $t2 tiverem sinais distintos, o OUexclusivo entre eles será um número cujo bit mais significativo será igual a 1. Logo, em complemento de 2, o resultado da operação XOR será um número negativo.. A mesma ideia é explorada para testar se o sinal do resultado confere com o esperado (i.e., igual ao dos operandos).. 7.

(8) Adição  Processador MIPS  Não possui uma instrução de desvio que permita o teste da. ocorrência de overflow.  Como fazer esta checagem em software? B. Números sem sinal Bastaria testar se o resultado é menor que 232 -1.. addu nor sltu bne. $t0, $t1, $t2 $t3, $t1, $zero $t3, $t3, $t2 $t3, $zero, overflow. Uma forma engenhosa de fazer isto consiste em, primeiro, obter o complemento de 1 do primeiro operando ($t1). OBS: complemento de 1 = 232 – 1 – $t1 Em seguida, testamos se o complemento de 1 deste operando é menor que o segundo operando. Ou seja, 232 – 1 – $t1 < $t2 Isto é equivalente a testar: 232 – 1 < $t1 + $t2 8.

(9) Multiplicação  Relembrando o procedimento: 1001 x 1000 = 1 x 1000 + 0 x 10 x 1000 + 0 x 100 x 1000 + 1 x 1000 x 1000 multiplicando. multiplicador. produto. 1000 × 1001 1000 0000 0000 1000 1001000. O deslocamento alinha o resultado conforme a casa do dígito multiplicador (unidade, dezena, centena, etc.) O resultado pode ter, no máximo, um número de dígitos equivalente à soma das quantidades de dígitos dos operandos.. 9.

(10) Multiplicação  Relembrando o procedimento:. 10.

(11) Multiplicação  Primeira implementação:. Decide quando os registradores contendo o multiplicador e o multiplicando são deslocados, e quando um valor é escrito no registrador Produto. 11.

(12) Multiplicação  O algoritmo e o hardware anteriores podem ser facilmente. refinados para consumir um ciclo de relógio por passo (iteração). Como?  Operações em paralelo: os deslocamentos são feitos enquanto. o multiplicando é somado ao produto caso o bit menos significativo do multiplicador seja igual a 1.  O. hardware também pode economizar unidades de armazenamento, eliminando porções dos registradores que não são utilizadas.. 12.

(13) Multiplicação  Segunda implementação:. O multiplicador está inicialmente armazenado na meia palavra inferior do registrador de produto. A cada iteração, o tamanho (em bits) do produto cresce na mesma proporção em que os bits do multiplicador são retirados.. 13.

(14) Multiplicação  E se os números forem inteiros?  1ª abordagem: 1) Conversão dos números para os respectivos valores positivos; 2) Multiplicação convencional; 3) Ajuste do sinal do resultado conforme os sinais dos operandos observados no passo 1.  2ª abordagem:  Podemos utilizar o mesmo algoritmo visto anteriormente, tomando apenas o cuidado de efetuar a extensão de sinal toda vez que um valor for deslocado.. 14.

(15) Multiplicação  Terceira implementação:  Ideia: a possibilidade de o multiplicando ser somado é conhecida no início da operação por meio da observação dos N bits do multiplicador.  Organização: árvore – faz com que o tempo para o término da operação completa seja proporcional a log2(N).. CUIDADO!!!!. Trade-off entre desempenho e complexidade. 15.

(16) Multiplicação  Processador MIPS:  Dois registradores especiais de 32 bits para armazenar o produto: . . HI – bits mais significativos; LO – bits menos significativos;.  Instruções:  mult rs, rt  multu rs, rt. . mfhi mflo. rd rd. . mul. rd, rs, rt. . . O produto, com 64 bits, é armazenado em HI LO. Útil para o teste de overflow. Move o conteúdo de HI / LO para um registrador.. Os 32 bits menos significativos do produto são armazenados em rd.. 16.

(17) Divisão  Assim como ocorre com a multiplicação, existem várias estratégias. para realizar a operação de divisão. Dividendo. Divisor. 10011 -0101. 101. 01001 -0101. 00011. Quociente. 0100 Resto.  Ideias iniciais:  Enquanto o dividendo for menor que o divisor, os bits do quociente são. iguais a zero e acrescentamos um dígito ao dividendo a cada tentativa.  Quando a subtração é possível, o quociente é deslocado para a esquerda e um bit igual a 1 é inserido.. 17.

(18) Divisão  Algoritmo: Inicialmente, o valor do dividendo é armazenado no regist. Resto.. 18.

(19) Divisão  Hardware imediato:. O divisor ocupa inicialmente os 32 bits mais significativos do registrador.. Decide quando deslocar o conteúdo dos registradores Divisor e Quociente, além de armazenar um novo valor no Resto. 19.

(20) Divisão  Exemplo: 10  3 (4 bits) Iteração 0. Dividendo / Resto. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 0. Divisor. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. Quociente. 0. 0. 0. 0. 20.

(21) Divisão  Exemplo: 10  3 (4 bits) Iteração 1 (1) Resto = Resto – Divisor. Dividendo / Resto. 1. (2) Rem < 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. Resto = Resto + Divisor ; Desloca Quociente e insere um zero.. Dividendo / Resto. 0. 0. 0. 0. Quociente. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. (3) Desloca o divisor para a direita. Divisor. 0. 0. 0. 1. 21.



(24) Divisão  Exemplo: 10  3 (4 bits) Iteração 4 (1) Resto = Resto – Divisor. Dividendo / Resto. 0. (2) Rem >= 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 1. Desloca Quociente e insere um bit 1.. Dividendo / Resto. 0. 0. 0. 0. Quociente. 0. 0. 0. 1. (3) Desloca o divisor para a direita. Divisor. 0. 0. 0. 0. 24.

(25) Divisão  Exemplo: 10  3 (4 bits) Iteração 5 (1) Resto = Resto – Divisor. Dividendo / Resto. 0. (2) Rem >= 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. Desloca Quociente e insere um bit 1.. Dividendo / Resto. 0. 0. 0. 0. Quociente. 0. 0. 1. 1. (3) Desloca o divisor para a direita. Divisor. 0. 0. 0. 0. 25.

(26) Divisão  Hardware aprimorado:.  Note a semelhança entre este circuito e aquele destinado à. multiplicação.. 26.

(27) Divisão  Divisão com sinal:  A abordagem mais simples consiste em lembrar dos sinais dos. operandos, convertê-los para seus equivalentes positivos, realizar a divisão e, finalmente, ajustar o sinal do quociente caso necessário.  Convenção para evitar ambiguidades: o sinal do resto é. determinado pelo sinal do dividendo..  Cuidado: há a possibilidade de divisão por zero.. 27.

(28) Divisão  MIPS:  Também usa os registradores Hi e Lo para a operação de divisão. . . Hi (32 bits): contém o resto. Lo (32 bits): contém o quociente..  O Software precisa verificar uma eventual divisão por zero e a. ocorrência de overflow.  Instruções:   . div rs, rt divu rs, rt mfhi e mflo possibilitam o acesso aos resultados.. 28.

(29) Ponto Flutuante  De que maneira números reais podem ser representados em. computador?  Exemplos:. 0,33 2,71828 (e) 3.847.992.023,45.  Problema: o conjunto (e qualquer subintervalo) dos números. reais não é contável.  Consequência:. o que se processa em computador necessariamente é uma aproximação do conjunto dos números reais..  Duas questões, portanto, são bastante importantes na escolha de. uma representação para esta classe de números:  . Qual a faixa de valores representáveis? Qual a precisão que se atinge com a representação adotada? 29.

(30) Ponto Flutuante  A representação em ponto flutuante é o padrão adotado. pelos sistemas computacionais para expressar um número real.  Notação científica:  Um único dígito à esquerda da vírgula (ponto decimal ou. binário).  Normalização: o único dígito antes da vírgula sempre é diferente. de zero.  Exemplos:. 4,0 × 10-9 1,011 × 2-8 0,1011 × 2-7. (Normalizado) (Normalizado) (Não-normalizado) 30.

(31) Ponto Flutuante  Vantagens da notação científica normalizada:  Simplifica. a troca de dados que incluem números representados em ponto flutuante..  Simplifica os algoritmos para aritmética de ponto flutuante.  Aumenta. a precisão dos números que podem ser armazenados em uma palavra. . 0’s desnecessários são substituídos por dígitos verdadeiros à direita da vírgula.. 31.

(32) Ponto Flutuante  Representação (normalizada):. 1,xxxxxx2 × 2yyyy k bits. Sinal. m bits. yyyy. 1,xxxxxx2. Expoente. Fração, Mantissa ou Magnitude.  O primeiro bit indica o sinal do número.  O campo seguinte contém os bits referentes ao expoente (positivo ou. negativo), cujo tamanho representáveis.. afeta decisivamente a faixa de números.  O último campo, denominado fração (mantissa ou magnitude), contém os. dígitos válidos na forma normalizada. O tamanho deste campo determina a precisão da representação.. Geral: (-1)S × F × 2E 32.

(33) Ponto Flutuante  A representação em ponto flutuante está sujeita à ocorrência. de overflow:  Quando o expoente se torna excessivamente grande, não podendo ser. representado no campo correspondente, temos um overflow..  Há, também, a possibilidade de outro evento excepcional,. denominado underflow:  Quando o valor calculado se torna tão pequeno que não pode ser. representado, temos um underflow.  Ou, equivalentemente, um underflow ocorre quando o expoente negativo para a representação do número se torna muito grande e não cabe no campo correspondente.. 33.

(34) Ponto Flutuante  Solução de compromisso:  Aumentar o número de bits destinados ao expoente amplia a. faixa de números que podem ser representados. Além disso, reduz a possibilidade de ocorrência de overflow / underflow.  Aumentar o número de bits destinados à mantissa melhora a. precisão ou a capacidade representação adotada.. de. aproximação. associada. à.  Limitação: tamanho da palavra (memória / registrador).. 34.

(35) Ponto Flutuante  Padrão IEEE 754 (1985):  Formato simples (single): 8 bits 31. 30. 29. 28. S. 27. 23 bits. 26. 25. 24. 23. 22. 21. 20. 19. 18. 17. 16. 15. 14. Expoente. 13. 12. 11. 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. Fração.  Formato duplo (double): 52 bits. 11 bits 31. 30. 29. 28. 27. 26. S 31. 25. 24. 23. 22. 21. 20. 19. 18. 17. 16. 15. 14. 13. 12. Expoente 30. 29. 28. 27. 26. 25. 24. 11. 10. Fração 23. 22. 21. 20. 19. 18. 17. 16. 15. 14. 13. 12. 11. 10. Fração (continuação). 35.

(36) Ponto Flutuante  Padrão IEEE 754 (1985):  Bit escondido: dado que o bit mais significativo guardado na. mantissa sempre seria igual a 1 – por causa da normalização –, ele não precisa ser armazenado junto com os demais bits, i.e., ele pode ser implícito à representação. . Deste modo, no formato single, teremos efetivamente 24 bits de mantissa (1 implícito e 23 armazenados). No caso double, serão 53 bits.. 36.

(37) Ponto Flutuante  Padrão IEEE 754 (1985):  Para facilitar a comparação entre dois números representados em. ponto flutuante, o expoente é armazenado antes da mantissa..  Contudo, expoentes negativos complicam um pouco a comparação,. pois à primeira vista se parecem com valores de maior magnitude (sem sinal) – lembrar que o bit mais significativo é igual a 1..  Desejável:. maior expoente positivo = 11111 menor expoente negativo = 00000.  Esta convenção nos leva à notação polarizada, na qual um bias é. subtraído do expoente (sem sinal) armazenado para determinar o valor real deste campo..  Valor escolhido:. bias = 127 (single) bias = 1023 (double) 37.

(38) Ponto Flutuante  Padrão IEEE 754 (1985):  Com estas modificações, a representação em ponto flutuante. segundo o padrão IEEE 754 é expressa da seguinte forma: (-1)S × (1 + mantissa) × 2(expoente – bias). Expandindo em função dos bits da mantissa b0, b1, b2,  : (-1)S × (1 +(b1 × 2-1) + (b2 × 2-2) + (b3 × 2-3) + ) × 2(expoente – bias). Ou, equivalentemente: (-1)S × (1 +((b1 × 222) + (b2 × 221) +  + (b23 × 20)) × 2-23) × 2(expoente – bias) 38.

(39) Ponto Flutuante  Padrão IEEE 754 (1985):  Números positivos: Menor expoente armazenado: 1. 0. 1,000... × 2-126. Maior expoente armazenado: 254. 1,111... × 2-126. 1,000... × 2127. 1,111... × 2127.  Precisão: 2-23× 2-126. Precisão: 2-23× 2127.  Números negativos:. -1,111... × 2127. -1,000... × 2127. -1,111... × 2-126. -1,000... × 2-126.  Precisão: 2-23× 2127. 0 Precisão: 2-23× 2-126 39.

(40) Ponto Flutuante  Padrão IEEE 754 (1985):  Representação do zero:  Menor expoente: 000...0  Menor fração ou mantissa: 000...0  Símbolos especiais:  O maior expoente (255) é reservado para símbolos especiais.  Por exemplo, em vez de uma divisão por zero causar uma exceção, um símbolo +∞ ou -∞ pode ser retornado. Neste caso, a representação adotada é: expoente = 255 e fração = 000...0  Operações inválidas como 0 / 0 ou uma subtração entre dois valores infinitos produzem um símbolo NaN (not a number). A representação adotada para esta condição é: expoente = 255 e fração = valor não-nulo.. 40.

(41) Ponto Flutuante  Padrão IEEE 754 (1985):  Em vez de haver um vazio (gap) entre o 0 e o menor valor. normalizado, o padrão IEEE 754 aceita os chamados números não-normalizados.  Características:  Expoente armazenado é o mesmo que o utilizado para o valor zero (00...0).  Fração não-nula.  Correspondência: (-1)S × (0 + fração) × 2-126  Exemplo:  Menor valor não-normalizado (single): 0,000...001 × 2-126 = 2-149.  Maior valor não-normalizado (single): 0,111...111 × 2-126 = (1 – 2-23) × 2-126. 41.

(42) Ponto Flutuante  Exemplo:  k=4em=2. Neste caso, o bias é igual a 7. Expoente = 0 – reservado para o 0 e para os números não-normalizados. 1,00 × 2-6 = 0,01562500 1,01 × 2-6 = 0,01953125 1,10 × 2-6 = 0,02343750 1,11 × 2-6 = 0,02734375 1,00 × 27 = 128 1,01 × 27 = 160 1,10 × 27 = 192 1,11 × 27 = 224. Menor expoente válido. Maior expoente válido. Expoente = 15 – reservado para ±∞ e NaN. 42.

(43) Ponto Flutuante  Padrão IEEE 754 (1985):  Quadro resumo:. 43.

(44) Ponto Flutuante  Padrão IEEE 754 (1985):  Exemplo: decimal para ponto flutuante (1) (2) (3) (4) (5) (6). 0,625 – base decimal 0,1012 – base 2 Normalizando: 1,01 × 2-1 Sinal: 0 Expoente: -1 + 127 = 126 Fração: 01000...0. 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. S. Expoente (7). Fração. Palavra armazenada: 0x3f20 0000 44.

(45) Ponto Flutuante  Padrão IEEE 754 (1985):  Exemplo: ponto flutuante para decimal 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. S. Expoente. (1) (2) (3). (4) (5). Fração. Palavra armazenada: 0xc1b2 4000 Sinal = 1 – número negativo Expoente = 131 – removendo a polarização, obtemos o expoente verdadeiro: 131 – 127 = 4. Fração = 2-2 + 2-3 + 2-6 + 2-9 Valor: (-1)S × (1 + fração) × 2(expoente – bias) (-1) × (1 + 0,392578125) × 24 = - 22,28125 45.

(46) Ponto Flutuante  Adição:  Passo 1: alinhar o ponto binário (decimal) tendo como referência. o número com maior expoente. . Para isto, basta deslocar o significando do menor número para a direita até que seu expoente corrigido se torne equivalente à referência..  Passo 2: efetuar a operação de adição.  Passo 3: normalizar o resultado.  Passo 4: arredondar (truncar) para que valor obtido possua. exatamente o número de dígitos permitido.  Passo 5: caso necessário, efetuar nova normalização. 46.

(47) Ponto Flutuante  Adição:. 47.

(48) Ponto Flutuante  Adição:  Exemplo: 0,5 – 0,4375. Usando 4 bits para a representação:  . . 0,5 = 0,1 × 20 = 1,000 × 2-1 -0,4375 = - 0,0111 × 20 = -1,110 × 2-2. O significando do número com menor expoente (no caso, -1,110) é deslocado para a direita até que seu expoente atinja o valor -1.. -1,110 × 2-2 = -0,111 × 2-1 . Soma:. 1,000 × 2-1 – 0,111 × 2-1 = 0,001 × 2-1. 48.

(49) Ponto Flutuante  Adição:  Exemplo: 0,5 – 0,4375 . Normalize a soma, verificando a ocorrência de overflow ou underflow.. 0,001 × 2-1 = 1,000 × 2-4 . Arrendonde o resultado (neste caso em particular, não há necessidade de mudança).. 1,000 × 2-4 = 0,0625.. 49.

(50) Ponto Flutuante  Hardware: Primeiro, o expoente de um operando é subtraído do outro usando uma pequena ALU para descobrir qual deles é o maior e qual a diferença entre estes valores. Esta diferença controla os três multiplexadores; da esquerda para a direita, eles selecionam o maior expoente, o significando do menor número e o significando do maior número. O menor significando é deslocado para a direita e, então, os significandos são somados com o auxílio da ALU ampliada. Em seguida, a soma é deslocada para a direita ou esquerda e o expoente é incrementado ou decrementado (Normalização) O hardware de arredondamento cria o resultado final, o que pode exigir uma nova etapa de normalização.. 50.

(51) Ponto Flutuante  Multiplicação:  Passo 1: calcular o expoente.  Basta somar os expoentes armazenados!? E subtrair a polarização.  Passo 2: multiplicar os significandos.  Passo 3: normalizar o resultado.  Passo 4: arredondar (truncar) para que valor obtido possua. exatamente o número de dígitos permitido. Se necessário, efetuar nova normalização.  Passo 5: determinar o sinal do resultado. 51.

(52) Ponto Flutuante  Multiplicação:. 52.

(53) Ponto Flutuante  Multiplicação:  Exemplo: 0,5 × (-0,4375) Usando 4 bits para a representação:  . . 0,5 = 0,1 × 20 = 1,000 × 2-1 -0,4375 = - 0,0111 × 20 = -1,110 × 2-2. Somando os expoentes sem bias:. -1 + (-2) = -3 . Multiplicando os significandos:. 1,000 × 0,111 = 1,110000 Podemos manter apenas 4 bits – 1,110 × 2-3 53.

(54) Ponto Flutuante  Multiplicação:  Exemplo: 0,5 × (-0,4375) . O produto já está normalizado e não houve overflow / underflow.. . Não há necessidade de arredondar.. . Sinal: como os sinais dos operandos eram diferentes, o resultado será negativo.. -1,110 × 2-3. Convertendo para decimal: -1,110 × 2-3 = -0,21875. 54.

(55) Ponto Flutuante  Bits de guarda e arredondamento:  Para arredondar os números de maneira mais precisa, o hardware pode incluir bits extras nos cálculos.  O padrão IEEE 574 prevê o uso de dois bits extras à direita. durante as somas intermediárias, denominados bits de guarda e arredondamento.  Exemplo: 2,56 × 100 + 2,34 × 102 . Com bits extras: 2,3400 + 0,0256 = 2,3656 × 102 Arredondamento: 2,37 × 102. . Sem bits extras: 2,34 + 0,02 = 2,36 × 102 55.

(56) Ponto Flutuante  Sticky bit:  Terceiro. bit extra usado aproximação/arredondamento.. para. melhorar. a.  Se existem bits não-nulos à direita do bit de arredondamento, o sticky. bit é 1; caso contrário, ele é zero..  Atrativo: permite que o computador enxergue a diferença existente. entre, por exemplo, 0,5000...000 e 0,5000...001 durante a etapa de arredondamento..  Exemplo: 5,01 × 10-1 + 2,34 × 102.  . Mesmo com os bits de arredondamento e de guarda, a soma seria realizada entre 2,34 e 0,005. O sticky bit, neste caso, assumiria o valor 1, uma vez que haveria dígitos não-nulos à direita do bit de arredondamento.  . Sem o sticky bit: a soma seria 2,345 = 2,34. Com o sticky bit: a soma também seria 2,345, mas com a informação de que havia mais dígitos. Então, o arredondamento seria para o valor 2,35. 56.

(57) Ponto Flutuante  A arquitetura MIPS oferece um conjunto de instruções. específicas para trabalhar com números reais em representação com ponto flutuante.  Adição: add.s e add.d  Subtração: sub.s e sub.d.  Multiplicação: mul.s e mul.d  Divisão: div.s e div.d  Comparação: c.X.s e c.X.d, onde X = {eq, neq, lt, le, gt e ge}  Desvio: bc1t (branch, true) e bc1f (branch, false). 57.

(58) Ponto Flutuante  Há 32 registradores, denotados por $f0-$f31, destinados. especificamente para operações em ponto flutuante.  Estes registradores podem ser agrupados em pares para a. representação com precisão dupla. . Neste caso, uma referência ao registrador $f0 é interpretada como uma tentativa de acesso ao conteúdo (64 bits) de $f0 - $f1..  Há instruções específicas para mover dados da memória. para estes registradores: lwc1 e swc1.  OBS:. a abreviação c1 vem de “coprocessador 1” – antigamente, a ULA de ponto flutuante ficava em um chip separado do processador.. 58.

(59) Ponto Flutuante  Resumo:. 59.

(60) Considerações Finais  Alguns erros comuns:  Deslocamento para a direita sempre implementa a divisão por. uma potência de 2. . Isso é verdade desde que seja um número sem sinal..  Adição em ponto flutuante é associativa!  Por causa da precisão limitada, é possível que arredondamentos intermediários levem a resultados diferentes dependendo da ordem em que as somas são feitas.  Exemplo: a = -1,5 × 1038 b = 1,5 × 1038 c=1  (a + b) + c = 1  a + (b + c) = 0. 60.

(61) Números + Programa Armazenado  Importante: uma sequência de bits armazenada na memória. não possui um significado intrínseco; isto é, ela pode ser interpretada de maneiras diferentes:     . Número sem sinal; Número inteiro; Número em representação de ponto flutuante; Caractere (ASCII); Instrução de máquina..  A operação que atua sobre os bits armazenados em uma dada. palavra é que determina o significado desta sequência de bits..  Importante: há uma diferença fundamental entre os números. representados em computador e os números do mundo real.  Magnitude limitada.  Precisão limitada.. Podemos representar apenas 2N números, onde N é o número de bits para armazenamento/representação.. 61.

(62) Créditos  Figuras extraídas de D. A. Patterson e J. L. Hennessy,. “Computer Organization and Design: The Hardware/Software Interface”, Morgan Kauffman, 5ª edição, 2013. http://textbooks.elsevier.com/web/product_details.aspx?isbn=9780124077263. 62.

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