Sistemas particulas Colisoes 2018

3.1 Introdução,

3.2 O centro de massa,

3.3 Segunda Lei de Newton para um sistema de partículas, 3.3.1 Quantidade de movimento linear,

3.3.2 Conservação da quantidade de movimento linear, 3.6 Colisões,

3.6.1 Impulsão,

3.6.2 Quantidade de movimento e Energia Cinética em colisões, 3.6.3 Colisões elásticas em uma dimensão,

3.6.4 Colisões inelásticas em uma dimensão, 3.6.5 Colisões em duas dimensões.

3 Sistema de Partículas e colisões

Movimento de um Sistema de Particulas

Corpo rígido: bastão de beisebol

Observações

•Todas as partículas do corpo se movimentam de formas diferentes.

•Mas, um ponto (centro de massa) do Sistema de partículas se desloca da mesma Exemplo: Fato experimental

Massa discreta

Composta por número finto de partículas, unidas rigidamente. "Conjunto de bolas coladas formando um sólido".



 dm

M

Massa de um corpo rígido

Pode-se caracterizar de duas maneiras:

Massa continua

Composta por número infinito de partículas que pode-se idealizar como um meio continuo. No caso de um sólido onde a distribuição de massa é continua.

dV dm ou V M _ 





Para um sistema homogêneo:

Neste caso a forma do corpo não é considerada.

a b c d e g f i h

O centro de massa é um ponto que se comporta como se toda a massa de um corpo estivesse concentrada sobre ele. O seu cálculo depende da distribuição da massa do corpo.

CENTRO DE MASSA

massa continua

massa discreta

ρ₁> ρ_{2 ρ}

M

x

m

x

N i i i CM







1 a) Sistema de N particulas-1D onde _então

Podemos fazer uma extensão da definição anterior

Nosso caso estudo envolveu partículas que se encontram posicionadas no eixo x, isto é extensivo para o eixo y ou z.

Cálculo do centro de massa de um Sistema de Partículas

Cálculo do centro de massa de um S. P.

Se m₁ = 0  x_CM = x₁

Se m₂ = 0  x_CM = x₂ Exemplo: Para dois corpo – 1D

a.1)Sistema de duas partículas de massa m₁ e m₂

Se m₁ = m₂  x_CM x x x d 2 1 ) ( 2 1 1 2 1   

Em ambos os casos o C. M. está nas posições respectivas a cada partícula.

Casos:

isto indica que o C. M. está localizado entre as

2 2 1 1 x M m x M m x_CM   ==> média ponderada

Sistema de N partículas distribuídas em um plano b) Sistema de N partículas - 2D

O vetor posição no plano de cada partícula de massa m_i é:

N

i

onde

j

y

i

x

r

_{i i i}

...,

,

2

,

1

ˆ

ˆ







Trabalhando independentemente cada componente do vetor posição, temos portanto

j

y

i

x

r



_CM



_CM

ˆ



_CM

ˆ

7

Exercício:

A figura abaixo mostra um sistema de três partículas no plano: Encontre o centro de massa

j i r₁  0 ˆ 0 ˆ j i r₂ 1ˆ 2 ˆ m₁: m₂: Posição da partícula a1) se: m₁ = m₂ = m₃ = m x_CM = [m(0)+m(1)x₂+m(2)]/3m= 1 y_CM = [m(0)+m(2)+m(1)]/3m= 1 a2) se m₁ = m; m₂ = 2m; m₃ =3m x_CM = [m(0) + 2m(1) + 3m(2)]/6m = 8/6 y_CM = = [m(0)+2m(2)+3m(1)]/6m = 7/6

j

i

r

_CM



1

ˆ



1

ˆ



a) sabemos que para três partículas :

7

8

Tomando com referência a posição de m₁

9













               N i i N i i i CM N i i N i i i CM N i i N i i i CM m m z z m m y y m m x x 1 1 1 1 1 1

Então as componentes do centro de massa são: Sistema de N partículas distribuídas no espaço b) Sistema de N partículas - 3D

k

z

j

y

i

x

r



_CM



_CM

ˆ



_CM

ˆ



_CM

ˆ

k

z

j

y

i

x

r

_i



_i

ˆ



_i

ˆ



_i

ˆ



   N i i m M 1



   N i i V V 1 V M  

Se um corpo rígido de densidade homogênea é dividido em pequenos elementos iguais de volume ∆V_i de massa ∆m_i , que estão localizados em:



Corpos rígidos - Distribuição continua de matéria

V d m d dV V 0 V dm m 0 m            

Se o corpo é homogêneo, a densidade ρ pode ser obtida:

V m     Se A densidade do corpo:

Se ∆V_i → 0

Então (∆x_, ∆y_, ∆z)→ 0 e ∆m → 0

Corpos rígidos - Distribuição continua de matéria

tem-se procurar que x, y ou z esteja como função de m.

11





     _N i i N i i i CM m m x x 1 1 k z j y i x r _i  _i ˆ  _i ˆ  _i ˆ

A posição de cada massa Δm é:

(i=1,2,...)

Se o corpo é dividido em partes iguais, então: V V m m_i     _i    Se ∆V_i → 0  ∆V dv ∆m → 0  ∆m  dm portanto temos: ) 1 ( 1 1 1 0











         _{dm M} xdm dm x m m x Lim x _N i i N i i i m CM

) 3 ( 1 ) 2 ( 1 1 1 0 1 1 0





















                  dm z M dm dm z m m z Lim z dm y M dm dm y m m y Lim y N i i N i i i m CM N i i N i i i m CM

Corpos rígidos - Distribuição continua de matéria

tem-se procurar que y ou z esteja como função de m.

)

4

(

ˆ

ˆ

ˆ

_y

_j

_z

_k

i

x

r



_CM



_CM



_CM



_CM Portanto:

dV

dm

ou

V

M















   z dV V 1 z dV y V 1 y dV x V 1 x_{CM CM CM}

SE o corpo é homogêneo, então:

 Portanto, (5) em (1), (2) e (3) termos que:

Observação:

O centro de massa não precisa estar localizado dentro do objeto,por exemplo:

Casca esférica de aço,

Lente de contato.

Corpos rígidos - Distribuição continua de matéria

13 z ou y x s dm s M s_CM  1



, : , ) 5 ( dV V M dm

Do mesmo modo para densidade linear (λ) e superficial (σ):







   z dz L z dy y L y dx x L x_CM 1 _CM 1 _CM 1 dx L M dm L M _{ }  







   z dA A z dA y A y dA x A x_CM 1 _CM 1 _CM 1 dA A M dm A M _{ }  

Exemplo:

Calcule o centro de massa de uma haste com uma distribuição uniforme de massa de comprimento L e massa M.

Passos

Escolha de uma pequena massa: dm Posição de dm: x

Como a distribuição de massa é uniforme então a haste é homogênea:

dx L M dm dx dm L M cte        , Sabemos que:





  x dx M x ou dm x M x_CM 1 _CM 1  ₍₁₎ (2) (2) em (1)

M r m r N i i CM



  1 1   N N CM

m

r

m

r

m

r

r

M





₁



₁



₂



₂



...

.





dt r d m dt r d m dt r d m dt r d M CM _N N         ₁ 1 ₂ 2 ... N N CM m v m v m v v M   ₁ ₁  ₂ ₂ ... 

Sabemos que o centro de massa esta definido por

A partir desta equação temos:

Derivando com relação ao tempo, temos:

de modo que a velocidade do centro de massa é:

M v m v N i i i CM



   Portanto:

Cálculo da relação de movimento para o centro de massa







N i i CM

m

r

r

M

1 1





15

de modo que a aceleração do centro de massa é: N N CM m a m a m a a M   ₁ ₁  ₂ ₂ ... 



      N i i N CM F F F F a M 1 2 1 ...     

m

_i

a

_i: força resultante que atua na partícula i (i=1,2,..N).

dt v d m dt v d m dt v d m dt v d M CM _N N         ₁ 1 ₂ 2 ...

A variação dessas velocidades com o tempo é :

Cálculo da relação de movimento para o centro de massa

Portanto:

R

CM

F

a

M







Essa equação diz que, o centro de massa de um sistema de partículas se move como se fosse uma partícula de massa M e como se essa massa

p

v

m

p





Quantidade de movimento linear:

Para uma partícula

 Propriedade dos corpos em movimento, quantifica.

 Relacionada à massa e à velocidade de um corpo. definida como:

grandeza vetorial com a direção e sentido a sua velocidade.

O conceito de quantidade de movimento linear p e o principio de conservação da quantidade de movimento linear nos permitirem prever o resultado de uma colisão de dois corpos sem que saibamos os detalhes da colisão.

Definimos o momento total como:

ou ainda:

Sabemos que:

e quando M = constante, temos

Para um sistema de Partículas de N

O momento total descreve como se uma partícula de massa M se movimentará com velocidade v_CM.

M

v

m

v

N i i i CM





















m

v

m

v

m

_N

v

_N

m

_i

v

_i

p



₁



_{1 2}



₂

...

.





como: CM v M p   Então:













p

p

p

_N

p

_i

p





₁



₂

...

.





  d    _dp  𝑀𝑎 _𝐶𝑀 = 𝑀 𝒅 𝒅𝒕𝑣 𝐶𝑀 = 𝐹

interpretação

"Se a força externa resultante que atua sobre um sistema de partículas for nula, a quantidade de movimento linear total do sistema P não pode variar"

Isto indica que

Por exemplo,

Numa colisão entre duas bolas de bilhar, o momento total desse sistema isolado se conserva: o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão.

Conservação do momento linear

considerando um sistema isolado, onde

19 dt p d F   

∆ P=0



P

_i

= P

_f

Exemplo

Uma bola de aço de 0,5kg de massa é presa a uma corda, de 70cm de comprimento e fixa na outra ponta, e é liberada quando a corda está na posição horizontal. No ponto mais baixo de sua trajetória, a bola atinge um bloco de aço de 2,5kg inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito. A colisão é elástica.

a) Encontre a velocidade da bola imediatamente após a colisão. b) Encontre a velocidade do bloco imediatamente após a colisão.

a) Encontre a velocidade da bola imediatamente após a colisão. m = 0,5kg M = 2,5kg L = 70cm = 0,7m E_1m = E_2m K_1m + U_1m =K_2m + U_2m Logo:

Primeiro temos que encontrar a velocidade da bola,v_m2, antes do choque Referencial o ponto 2: xy 21

s

m

v

gL

v

mv

mgL

m m m

/

47

,

3

2

0

2

1

0

2 2 2 2













Antes da colisão

Como a colisão é elástica, existirá a conservação da energia cinética:

Da equação (1) encontramos que: posição 2 inicial (antes da colisão)

Antes

Depois o momento linear total desse sistema

isolado se conserva: v_M0=0 v_m0 Mf mf Mo mo

Mv

mv

Mv

mv











_f o

P

P

)

1

(

0

_{mf Mf} mo

mv

Mv

mv







f o K K  2 2 0 2 2 2 2 Mf mf mo mv Mv mv _{  }  ) 2 ( ) )( ( 2 2 2 2 mf mo mf mo Mf mf mo Mf v v v v m Mv mv mv Mv      



_{mo mf}



(

3

)

Mf

m

v

v

v

M





v_Mf v_mf 2 m mo

v

v



b) Encontre a velocidade do bloco imediatamente após a colisão. Dividindo (3) e (2), temos:

O sinal negativo indica que bola de massa m se movimenta no sentido contrario.

23           _mo mf v M m M m v Da equação (3): ) 4 ( mf mo Mf v v v   Substituindo (4) em (3), temos:





     _{mo mf mo} Mf v M m m v v M m v 2 vMf 1,24m/s

s

m

v

_mf





2

,

49

/

) 2 ( ) )( ( 2 mf mo mf mo Mf m v v v v Mv   



_{mo mf}



(

3

)

Mf

m

v

v

v

M





•Pelo menos um corpo este se movendo na direção do outro.

•Que dois corpos se movimentem em sentido contrário, um se encontrando com o outro.

•Que dois corpos se movimentem no mesmo sentido mas a velocidade de um dos corpos deveria ser menor.

Colisão em uma dimensão- dois corpos

Tipos de colisões:

elásticas: conservam a energia cinética antes e depois da colisão.

inelásticas: a energia cinética antes e depois da colisão não é conservada. Condições necessárias para que haja uma colisão:

“Uma colisão é um evento isolado em que uma força relativamente grande age em cada um de dois ou mais corpos que interagem por um tempo relativamente curto.”

Colisão

Forças que atuam durante um intervalo pequeno comparado com o tempo de observação do sistema, são chamadas de forças impulsivas.

Δt muito pequeno (Impulso)

A discussão estará limitada a colisões em sistemas que são fechados (não a massa entrando nem saindo) e isolados (não há forças externas resultantes atuando sobre os corpos dentro do sistema).

Conservação do momento linear durante uma colisão

Nestes casos existe, antes e depois, a conservação de momentum P do sistema: E =E e conservação de energia cte p p P dt P d F_Ext  0   0   ₁  ₂   

Colisão elástica - unidimensional

Temos que v_1I > v_2I , pois em caso contrário não existiria a colisão.

Antes da colisão (as bolas estão se movendo)

Colisão de duas bolas de massas m1 e m2 :

Temos que v_1F < v_2F , pois em caso contrário existiriam outras colisões depois da primeira.

Depois da colisão (as bolas estão se movendo)

Colisão elástica - unidimensional

Objetivo: encontrar as velocidades finais de cada corpo depois da colisão, onde as velocidades iniciais e as massas são conhecidas

• Usando a conservação do momento linear total, temos que, o momento total antes (P_I) e depois (P_F) são iguais:

  _F I P P Rearranjando, temos: F F I I

m

v

m

v

m

v

v

m

_{1 1}



_{2 2}



_{1 1}



_{2 2} (1) • Como a colisão é elástica, existe a conservação da energia cinética total, logo:

)

)(

(

)

)(

(

v

v

v

v

m

v

v

v

v

m











ou seja: (2) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 F F I I F I K m v m v m v m v K      ) ( ) ( ₁2 ₁2 _{2 2}2 ₂2 1 v I v F m v F v I m    Rearranjando, temos:

)

(

)

(

_{1 1 2 2 2} 1

v

I

v

F

m

v

F

v

I

m







F I

F

I

v

v

v

v

₁



₁



₂



₂

Dividindo a equação (2) pela equação (1), encontramos:

I F I F

v

v

v

v

₂



₁



₁



_{2 (3)} I I F I F I

v

m

v

v

v

m

v

v

m

₁

(

₁



₁

)



₂

(

₁



₁



₂

)



_{2 2} usando (3) em (1) , temos: 2I 2 1 2 1I 2 1 2 1 1F v m m m 2 v m m m m v _                 2I 2 1 1 2 1I 2 1 1 2F

v

m

m

m

m

v

m

m

m

2

v

_

































(4) Usando esse valor na equação (3), encontramos:

ou seja: (5) (1) ) ( ) ( _{1 1 2 2 2} 1 v I v F m v F v I m   











I F I F

v

v

v

v

1 2 2 1

















































1I 2 1 1 2F 1I 2 1 2 1 1F

v

m

m

m

2

v

v

m

m

m

m

v

A partir das equações (4) e (5) poderemos analisar diversas situações, quando:

b) v_2I = 0 (bola 2 parada) a) m1 = m2 = m

Nessa situação ainda temos várias possibilidades: b1) m₁ <m₂

 v_1F <0: m₁ inverte o sentido da sua velocidade. v_2F < v_1I

b2) m₁ >m₂

 v_1F>v_1I: m₁ diminui a sua velocidade. v_2F >v_1I

b3) m₁ = m₂

As duas massas da figura a seguir estão sendo ligeiramente separadas e inicialmente em repouso. A massa da esquerda (1) incide sobre a massa 2 com velocidade v₀. Supondo que as colisões são frontais e elásticas.

Mostre que se m < M acontecerão duas colisões para a massa 1. Encontre as velocidades finais das massas.

Problema 1.

Vamos a resolver o problema separando em dois eventos. 1) choque entre m1 e m2 : 2I 2 1 2 1I 2 1 2 1 1F

v

m

m

m

2

v

m

m

m

m

v

_

































1I 2 1 1 2I 2 1 1 2 2F

v

m

m

m

2

v

m

m

m

m

v

_

































v = 0 e v = v Como m₁ = m₂ v_2I = 0, temos

0 3F

v

m

M

m

2

v

_



















0 2F

v

m

M

M

m

v'



















como v'_2I = v₀, v_3I = 0 e m₁=m, m₃ = M, então: 2) Choque entre m₂ e m₃ : 2I 2 3 2 3I 2 3 2 3 3F

v

m

m

m

2

v

m

m

m

m

v

_

































3I 2 3 3 2I 2 3 3 2 2F

v

m

m

m

2

v'

m

m

m

m

v'

_

































33

0 3F

v

m

M

m

2

v

_



















0 2F

v

m

M

M

m

v'



















Observações:

i) De (1), a bola m₃ se desloca para a direita (v₀ > 0).

ii) De (2), para m > M, a bola m₂ se desloca para a direita.

iii) De (2), para m < M, a bola m₂ se desloca para a esquerda, então colidirá com a bola m₁, então a haverá duas colisões para a bola m1.

então:

(1) (2)

Sistema fechado e isolado

Lei de conservação de quantidade de movimento linear

Colisões inelásticas- 1-D (K

_f

≠ K

_i

)

Isto significa que eles ficam presos um ao outro depois do choque

considerando a massa m₂ que está inicialmente em repouso  v_2i =0 Após a colisão os dóis corpos se movem juntos  v_1f = v_2f =V

temos:

V

m

m

v

m

_{1 1I}



(

₁



₂

)

então

v

m

V



1