UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação
Juliano Carvalho Bento
MÉTODO ANALÍTICO PARA DESCRIÇÃO
DE IMPORTANTES FEIXES ÓPTICOS
OBSTRUÍDOS E O SPOT DE
POISSON-ARAGO
Campinas
2016
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação
Juliano Carvalho Bento
MÉTODO ANALÍTICO PARA DESCRIÇÃO DE
IMPORTANTES FEIXES ÓPTICOS OBSTRUÍDOS E O
SPOT DE POISSON-ARAGO
Dissertação apresentada à Faculdade de En-genharia Elétrica e de Computação da Uni-versidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica, na Área de Telecomunicações e Telemática.
Orientador: Prof. Dr. Michel Zamboni-Rached
Este exemplar corresponde à ver-são final da tese defendida pelo aluno Juliano Carvalho Bento, e orientada pelo Prof. Dr. Michel Zamboni-Rached
Campinas
2016
Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): Não se aplica.
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura
Rose Meire da Silva - CRB 8/5974
Bento, Juliano Carvalho,
B446m BenMétodo analítico para descrição de importantes feixes ópticos obstruídos e o spot de Poisson-Arago / Juliano Carvalho Bento. – Campinas, SP : [s.n.], 2016.
BenOrientador: Michel Zamboni Rached.
BenDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.
Ben1. Eletromagnetismo. 2. Difração. 3. Física ótica. 4. Análise de ondas localizadas. 5. Feixes óticos. I. Zamboni-Rached, Michel,1973-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Analytical method for describing important obstructed optical
beams and the Poisson-Arago spot
Palavras-chave em inglês:
Electromagnetism Diffraction
Optical physics
Localized waves analysis Optical beams
Área de concentração: Telecomunicações e Telemática Titulação: Mestre em Engenharia Elétrica
Banca examinadora:
Michel Zamboni Rached [Orientador] Marcos Roberto da Rocha Gesualdi Cesar José Bonjuani Pagan
Data de defesa: 15-07-2016
Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica
COMISSÃO JULGADORA – DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Candidato: Juliano Carvalho Bento
RA: 024203
Data da Defesa: 15 de julho de 2016
Título da Tese: “Método Analítico para Descrição de Importantes Feixes
Ópticos Obstruídos e o Spot de Poisson-Arago”
Prof. Dr. Michel Zamboni Rached (Presidente, FEEC/UNICAMP)
Prof. Dr. Marcos Roberto da Rocha Gesualdi (UFABC)
Prof. Dr. Cesar José Bonjuani Pagan (FEEC/UNICAMP)
A ata da defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comissão
Julgadora, encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.
Agradecimentos
Pode parecer insólito um agradecimento a Deus numa dissertação em que se pro-movem hipóteses e novas contribuições ao mundo científico. Tendemos a possuir uma compartimentação do “eu que acredita em algo” daquele “eu que raciocina”, como se fôs-semos duas pessoas distintas. Apesar disso, gostaria de agradecer a Deus. Porém, realizar isto de forma insciente seria quase agradecer a um corpo de paradoxos de significados, ou ainda a deuses pessoais (que Albert Einstein tanto combatia), que seria impossível defi-nir o que realmente estou gratulando. De modo a compreender tal significado, gostaria de trazer parte do capítulo Ecce Deus do livro “Crônicas e Entrevistas”, do jornalista e educador Paiva Netto, a quem aproveito também para agradecer por ser esse grande professor de toda minha vida, me ensinando, dentre as muitas lições, que “O Universo de Deus é a mais bela partitura musical jamais criada”...
Afirma o autor:
(...) Friedrich Nietzsche (1844-1900), filósofo e discutido autor de Ecce Homo! (Eis o Homem!), Assim falava Zaratustra, entre outros trabalhos até hoje instigantes, concluiu que Deus havia morrido... Muita gente ficou indig-nada com sua afirmativa. Porém, sabendo ou não, o velho Frederico valen-temente combatia o deus antropomórfico, criado à imagem e semelhança do Homem aturdido: o deus que persegue, se vinga e mata, o deus sem senso algum. Esse, Nietzsche tem toda a razão, está morto. Aliás, nunca existiu. Por isso, é chegada a hora de universalmente — porquanto, com atitude antifa-nática e/ou antipreconceituosa — aprimorarmos o nosso conhecimento sobre Deus, qualquer que seja a Sua verdadeira Essência.
[...]
Para os que preferem pesquisá-Lo por efeito de análise racional, certamente o farão de forma aliada ao indispensável antidogmatismo científico e, ipso facto, libertos das restrições à convenção de leis consideradas cláusula pétrea no campo luminoso da Ciência, o que não se pode conceber numa região do intelecto em que a curiosidade sadia, pois isenta, é mola mestra de suas magníficas realizações. Para os que já crêem Nele, de todo o sempre, o Deus Divino permanece. Está vivo, é como o moto-contínuo a transmutar energia e trabalho na intimidade humana. É eterno, mais do que uma individualidade, mais do que uma equação divinal... É um Poder de Amor, do sentimento que move os mundos, na exclamação de Dante Alighieri (1265-1321), na Divina Comédia. [...]
E continua o autor:
[...] No debate que se instala na rejeição ou na defesa da idéia do Cria-dor, os Seus negadores “provocam” o Ser Humano religioso perseverante, mas acomodado à visão prosaica, mesmo de assuntos sublimes. E, assim, o leva, pretendendo ou não, a caminhar para o juízo de que Deus é muito mais do que se pensa, até alcançar que a Grande Missão de Jesus e de tantos extraordiná-rios pregoeiros foi proclamar que o Mistério de Deus revelado é simplesmente o Amor, de que toda a Humanidade carece, sabendo ou não, querendo ou não querendo. Amar de verdade é a mais eficiente Política. [...]
Ainda a respeito da divindade, Paiva Netto escreve em seu artigo “Deus é Ciência”, publicado no Jornal “O Sul”, edição de 14 de janeiro de 2008, o seguinte pensamento:
O que vem de Deus é Ciência. Há tempos, comentamos que todos os ra-mos do saber universal compõem a Ciência Divina. Conforme estudarera-mos em outra oportunidade, Religião é Ciência, Ciência é Religião. Ambas devem honrar a Ciência Moral, que tem pelas criaturas o mais elevado respeito, não as considerando instrumento para fanatização nem reles cobaias. O pensa-mento quando altamente sectário pode sustentar rancores que ensombreçam os olhos da alma de geniais cerebrações. Aliadas, muito além poderiam fazer pelos povos sequiosos de um mundo melhor. É fundamental afastar o tabu de que a fé religiosa esteja restrita aos tolos e radicais e a Ciência seja abrigo apenas dos que possuem intelecto aguçado, conquanto, de preferência, distan-tes do sentimento que liga a Razão ao Espírito imortal. Convém ressaltar que Racionalidade em demasia, sem o amparo do coração, promove, por exemplo, soluções econômicas que a uns privilegiam e aos demais destroem.
Em Reflexões e Pensamentos — Dialética da Boa Vontade (1987), sem pretender dar uma de conselheiro Acácio (risos), escrevi: Muita aberração catalogada na História como de autoria do Criador do Universo nada mais é do que projeções do deus antropomorfo, gerado pelo homem para satisfazer aos seus proveitos. São, portanto, as próprias deficiências humanas alçadas à condição de divindade. [...]
Enfim, agradeço a Deus — Leis Naturais que regem o cosmos (como propunha Baruch de Espinoza (1632—1677)) aliadas ao princípio do Amor Fraterno (termo que ainda necessitamos de muito estudo e pesquisa para compreendê-lo em toda sua magni-tude), personificado, ao meu ver, no Novo Mandamento de Jesus: “Amai-vos como Eu vos amei1”.
Aproveito o momento para também agradecer a meu pai, Azarias, à minha mãe, Rosa Maria, e à minha irmã, Milena, que sempre estiveram presentes no apoio constante para que eu estudasse, me fornecendo não só todo o amparo material necessário, mas, prin-cipalmente, me proporcionando todo o carinho e amor para hoje eu estar aqui; à minha companheira de jornada, Nataly, que me ajudou a tomar as grandes decisões transforma-doras de minha vida incluindo esta; à todos os meus grandes e verdadeiros amigos que, embora sejam poucos, sinto receio de me esquecer de citá-los nesse momento; à Mariana de Assis, grande amiga dos tempos de graduação, sempre apta a me ouvir e disposta a me auxiliar em minha vida acadêmica; à Grazielle, Roger e Matheus, amigos do mestrado doando tempo e compartilhando vivências; à Patrícia Calicchio, minha coordenadora, que sempre me auxiliou em todos os momentos precisos para que eu conseguisse terminar este projeto; à diretora do Instituto de Educação José de Paiva Netto (IEJPN), Suelí Peri-otto; aos professores e alunos do IEJPN; à Danielle, amiga que me ajudou na revisão dos capítulos iniciais deste material; ao meu orientador, Michel, que gastou muito tempo e esforço tentando me instruir; e, por fim, a todos que, de alguma forma, num sorriso ou num gesto de amizade me fizeram ganhar o dia.
Resumo
Através do estudo de ondas não difrativas e da equação de onda para o caso escalar, mostramos algumas de suas possíveis soluções, bem como obtemos uma descrição para importantes feixes ópticos truncados por uma abertura finita. Para isso, utili-zamos a equação de onda na aproximação paraxial junto à Integral de Difração de Fresnel, aliado ao método analítico proposto por Zamboni et al. Em seguida, esten-demos esse método para o caso vetorial, a fim de descrever feixes eletromagnéticos de maneira mais completa. Estudamos o caso dos feixes truncados cujas polariza-ções são dadas por uma componente transversal (cartesiana) e uma longitudinal. O método escalar é então usado em conjunto com as equações de Maxwell, fornecendo o campo elétrico e magnético emanados da abertura finita usada para truncar o feixe incidente. Na sequência, associamos o Princípio e Babinet ao método analítico estendido referido anteriormente e, com isso, obtemos um novo método capaz de descrever analiticamente o comportamento de importantes feixes ópticos quando obstruídos por obstáculos circulares. Com essa formulação, importantes pontos po-dem ser descritos e confirmados, em particular, a formação do Spot de Poisson-Arago para feixes ordinários (como a Onda Plana e o Feixe Gaussiano) e também a autorre-construção dos feixes não difrativos (Feixe de Bessel e de Bessel-Gauss). Realizamos, por fim, um estudo do comportamento do vetor de Poynting do campo em questão após a obstrução, bem como a distribuição de energia do feixe obstruído.
Abstract
Based on studies of nondiffracting waves, in this paper we demonstrate possible solutions for the wave equation for the scalar case and also get a description for im-portant optical beams truncated by a finite aperture. In order to obtain the desired results, we join the wave equation in paraxial approximation with the Diffraction Fresnel Integral and couple both with the analytical method proposed by Zam-boni et al. Then, we extend the method to the vector analysis to fully describe the electromagnetic beams. We studied the case of truncated beams with polariza-tions given by a transverse (cartesian) and a longitudinal coordinate. The scalar method is then used in association with Maxwell’s equations providing the electric and magnetic field emanated from a finite aperture in order to truncate the incident beam. Following, we associate the Babinet Principle to again extend the analytical method mentioned above and thereby obtain a new method to analytically describe the behavior of important optical beams when obstructed by circular obstacles. Rel-evant points can be described and confirmed from this, in particular the formation of Spot Poisson-Arago for ordinary beams (such as the Plane Wave and the Gaus-sian Beam) and also the self-reconstruction of nondiffracting beams (Bessel Beam and Bessel-Gauss beam). Finally, we obtained the Poynting vector’s components from the truncated and obstructed field, and then the distribution of energy of the obstructed beam was analyzed.
Lista de ilustrações
Figura 1 – Imagem extraída do primeiro artigo de Durnin de 1987 buscando uma solução exata para feixes não difrativos, por meio de uma teoria escalar. No caso específico, observamos o feixe de Bessel conseguindo manter sua intensidade por alguns metros [DURNIN, 1987]. . . 24 Figura 2 – Método atual de obtenção do spot de Poisson-Arago demonstrado pela
Universidade de Berkeley [BERKELEY, 2016]. No esquema apresen-tado, um laser monocromático He-Ne é expandido por uma lente de 4 polegadas, atingindo um pequeno objeto esférico preso a uma lâmina de vidro. A imagem é então expandida por uma lente de 10 polegadas e projetada em uma tela. Note que a necessidade de colocação de len-tes de ampliação nos aparatos experimentais atuais se deve ao fato do
Spot necessitar, muitas vezes, de uma distância muito grande para ser
observado em feixes comuns. . . 26 Figura 3 – Vetores de onda em diferentes direções formando um envelope gaussiano. 30 Figura 4 – Gráfico 3D do módulo ao quadrado da parte real do feixe gaussiano de
𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚 com um 𝑟𝑜 na ordem de 100 vezes o comprimento de onda. . . 31 Figura 5 – Vetores de onda sob a superfície de um cone. . . 33 Figura 6 – Gráfico 2D priorizando a vista da propagação na transversal da parte
real ao quadrado do feixe gaussiano de 𝜆 = 632, 8 · 10−9𝑚 com um 𝑟𝑜 na ordem de 100 vezes o comprimento de onda. Pode-se notar o motivo de não se incluir o feixe gaussiano na classe de ondas localizadas, visto que sua propagação na transversal se desvanece muito rapidamente. . . 34 Figura 7 – Gráfico 3D do módulo ao quadrado do feixe de Bessel ideal de 𝜆 =
600 · 10−9𝑚. Pode-se notar que o feixe não sofre difração. . . . 35 Figura 8 – Gráfico 2D priorizando a vista da propagação na frontal do módulo ao
quadrado do feixe de Bessel ideal de 𝜆 = 600 · 10−9 𝑚. . . . 36 Figura 9 – Apresentação o campo fornecido pela equação (4.39) com alta fidelidade
ao FB truncado no plano 𝑧 = 0. Sendo: 𝑘𝜌 = 4, 07 · 104 𝑚−1; 𝑅 = 3, 5 𝑚𝑚; 𝑞 = 0; 𝐿 = 3𝑅2; 𝑞𝑅 = 6/𝐿 e 𝑁 = 23. [ZAMBONI-RACHED et al., 2012b] . . . 46 Figura 10 – Projeção ortogonal da intensidade mostrada na Figura (11).
[ZAMBONI-RACHED et al., 2012b] . . . 46 Figura 11 – Intensidade do campo de Bessel truncado por uma abertura finita, como
Figura 12 – Oscilações da intensidade do campo no eixo z, quando adotado 𝑁 = 500. [ZAMBONI-RACHED et al., 2012b] . . . . 48 Figura 13 – Projeção longitudinal do módulo ao quadrado do campo da Eq. (5.4)
para o caso da Onda Plana obstruída em 𝑧 = 0 (𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚, 𝑁 = 300, 𝑅 = 1 · 10−3 𝑚, 𝑘 = 2𝜋𝜆, 𝑘𝜌= 0, 𝐿 = 6𝑅2 e 𝑞𝑅= 𝐿8). . . 51 Figura 14 – Intensidade do campo on-axis, obtido da solução da Eq. (5.4), com
𝜌 = 0 para o caso da Onda Plana obstruída. . . . 51 Figura 15 – Quadrado da magnitude do campo emanado após um obstáculo no caso
da Onda Plana obstruída. . . 52 Figura 16 – Projeção ortogonal da intensidade apresentada na Fig.15. Note o Spot
de Poisson-Arago sendo formado a poucos centímetros do obstáculo no caso da Onda Plana obstruída. . . 52 Figura 17 – Projeção longitudinal do módulo ao quadrado do campo da Eq. (5.6)
para o caso do Feixe de Bessel obstruído em 𝑧 = 0, onde se observa exatamente a região de obstrução (𝜆 = 632, 8 · 10−9, 𝑁 = 500, 𝑅 = 0, 2 · 10−3 𝑚, 𝐿 = 3𝑅2, 𝑘 = 2𝜋
𝜆 , 𝑘𝜌= 𝑘sin𝜃, 𝑞𝑅=
6
𝐿 e 𝜃 = 0, 0041). . . . 54 Figura 18 – Intensidade do campo on-axis, obtido da solução da Eq. (5.4), com
𝜌 = 0 para o caso do Feixe de Bessel obstruído. . . . 54 Figura 19 – Quadrado da magnitude do campo emanado após um obstáculo para
o caso do Feixe de Bessel obstruído. . . 55 Figura 20 – Projeção ortogonal da intensidade apresentada na Fig. 19 para o caso
do Feixe de Bessel obstruído. . . 55 Figura 21 – Projeção longitudinal do módulo ao quadrado do campo da Eq. (5.8)
para o caso do Feixe de Bessel-Gauss obstruído em 𝑧 = 0, onde se observa exatamente a região de obstrução (𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚, 𝑁 = 30, 𝑅 = 5Δ𝜌𝐵, 𝐿 = 10𝑅2, 𝜃 = 0, 0021, 𝑘 = 2𝜋𝜆 , 𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃, Δ𝜌𝐵 = 2.4𝑘𝜌, Δ𝜌𝐺= 40Δ𝜌𝐵 e 𝑞𝑅= 2Δ𝜌12
𝐺
). . . 57 Figura 22 – Intensidade do campo on-axis, obtido da solução da Eq. (5.4), com
𝜌 = 0 para o caso do Feixe de Bessel-Gauss obstruído. . . . 57 Figura 23 – Quadrado da magnitude do campo emanado após um obstáculo no caso
do Feixe Bessel-Gauss obstruído. . . 58 Figura 24 – Projeção ortogonal da intensidade apresentada na Fig. 23 para o caso
do Feixe de Bessel-Gauss obstruído. As partes em branco ocorrem por uma limitação do software Matlab que acaba por fornecer alguns valores nulos para o argumento da função, mediante os parâmetros escolhidos (geralmente relacionados ao número de termos). . . 58
Figura 25 – Projeção longitudinal do módulo ao quadrado do campo da Eq. (5.10 (𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚, 𝑁 = 81, 𝑅 = Δ𝜌𝐺, 𝐿 = 4𝑅2, e 𝜃 = 0, 0041, 𝑘 = 2𝜋𝜆 , 𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃, Δ𝜌𝐺 = 1 · 10−4 e 𝑞𝑅 = 𝐿8).) para o caso do Feixe Gaussiano obstruído em 𝑧 = 0, onde se observa exatamente a região de obstrução . . . 60 Figura 26 – Intensidade do campo on-axis, obtido da solução da Eq. (5.4), com
𝜌 = 0 para o caso do Feixe Gaussiano obstruído. . . . 60 Figura 27 – Quadrado da magnitude do campo emanado após um obstáculo no caso
do Feixe Gaussiano obstruído. . . 61 Figura 28 – Projeção ortogonal da intensidade apresentada na Fig. 27 para o caso
do Feixe Gaussiano obstruído. . . 61 Figura 29 – Projeção ortogonal do [10 · log10|𝐸𝑦|2] de um FG obstruído. Dados:
𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚, 𝑁 = 81, 𝑅 = Δ𝜌𝐺, 𝐿 = 4𝑅2, e 𝜃 = 0, 0041, 𝑘 = 2𝜋𝜆 , 𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃, Δ𝜌𝐺 = 1 · 10−4 e 𝑞𝑅 = 𝐿8. Podemos notar a formação do Spot de Poisson-Arago. . . . 63 Figura 30 – Projeção ortogonal do [10 · log10|𝐸𝑧|2] de um FG obstruído. Dados:
𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚, 𝑁 = 81, 𝑅 = Δ𝜌𝐺, 𝐿 = 4𝑅2, e 𝜃 = 0, 0041, 𝑘 = 2𝜋𝜆 , 𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃, Δ𝜌𝐺 = 1 · 10−4 e 𝑞𝑅 = 𝐿8. Podemos notar a formação do “Anel de Poisson” ao invés do Spot de Poisson-Arago. . . . 65 Figura 31 – Projeção ortogonal do [10 · log10|𝑆𝜌] de um Feixe Gaussiano Obstruído
para 𝜑 = 0. Dados: 𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚, 𝑁 = 81, 𝑅 = Δ𝜌𝐺, 𝐿 = 4𝑅2, 𝜃 = 0, 0041, 𝑘 = 2𝜋𝜆 , 𝑘𝜌= 𝑘sin𝜃, Δ𝜌𝐺 = 1 · 10−4 e 𝑞𝑅= 𝐿8. . . 71 Figura 32 – Funções de Bessel 𝐽0, 𝐽1 e 𝐽2 com aplitude inicial ±1 e depois caindo
“(...) o Universo perspectiva um colossal poema em louvor à ação e à beleza (...)” Paiva Netto
Sumário
1 Introdução . . . 17
1.1 Objetivos . . . 18
1.2 Organização . . . 19
2 Princípios Teóricos . . . 21
2.1 Breve contexto histórico . . . 21
2.2 A difração . . . 23
2.3 “Ondas não difrativas” . . . 24
2.4 Dispersão e Atenuação . . . 25
2.5 Ondas Localizadas . . . 25
2.6 O Spot de Poisson-Arago . . . . 26
3 Soluções para alguns Importantes Feixes . . . 27
3.1 As Equações de Maxwell . . . 27
3.2 A Equação de Onda . . . 28
3.2.1 Campo escalar . . . 29
3.3 Soluções para Equação de Onda . . . 29
3.4 Feixe Gaussiano . . . 30
3.5 Feixe de Bessel . . . 33
4 Feixes Gerados por Aberturas Finitas . . . 37
4.1 A Equação de Onda na aproximação paraxial . . . 37
4.2 A Integral de Difração de Fresnel . . . 40
4.3 Soluções para a Integral de Difração de Fresnel . . . 41
4.3.1 Solução Feixe Gaussiano (sem truncamento) . . . 42
4.3.2 Solução Feixe Bessel (sem truncamento) . . . 42
4.3.3 Solução Feixe Bessel-Gauss (sem truncamento) . . . 42
4.4 O Método Analítico (soluções analíticas com truncamento) . . . 43
4.4.1 A função 𝐺(𝑟) . . . . 44
4.4.2 Conclusão do Método . . . 46
4.4.3 Aplicação do Método . . . 47
5 Descrição Analítica de Importantes Feixes Obstruídos por Obstáculos Cir-culares . . . 49
5.1 O Princípio de Babinet . . . 49
5.3 Feixe de Bessel obstruído por elemento circular finito . . . 53
5.4 Feixe de Bessel-Gauss obstruído por elemento circular finito . . . 56
5.5 Feixe Gaussiano obstruído por elemento circular finito . . . 59
6 Versão Vetorial do Método e Padrões de Distribuição de Energia . . . 62
6.1 Vetor Campo Elétrico e Campo Magnético . . . 62
6.2 Cálculo das componentes do Campo Elétrico . . . 62
6.3 Cálculo das componentes do Campo Magnético . . . 66
6.4 O Vetor de Poynting . . . 68
6.5 Cálculo das xomponentes do Vetor de Poynting Médio . . . 69
6.5.1 𝑆𝜌 para o FG obstruído . . . 70
Conclusão . . . 72
Referências . . . 73
Anexos
76
ANEXO A Solução da Equação de Onda – Onda Plana . . . 77ANEXO B Fundamentos Matemáticos . . . 79
B.1 Análise de Fourier . . . 79 B.1.1 Série de Fourier . . . 79 B.1.2 Integral de Fourier . . . 80 B.1.3 Transformada de Fourier . . . 81 B.2 A Transformada de Hankel . . . 81 B.3 Função de Bessel . . . 82
17
1 Introdução
A notável revolução propiciada pelas Equações de Maxwell, não só no campo do Eletromagnetismo, mas na óptica, no desenvolvimento da física relativística, na com-preensão dos mais diversos fenômenos da mecânica quântica e na própria estrutura da matéria, impactou de tal forma a ciência, que levou Albert Einstein em ensaio intitulado
A influência de Maxwell sobre a evolução da realidade física a concluir que:
“Esta mudança na concepção de realidade [proporcionada pelos trabalhos de Maxwell] representa a mais radical e mais frutífera revolução para a física desde Newton [EINSTEIN, 1931 (2015)]”.
A obtenção da equação de onda eletromagnética a partir dessas formulações, criou novos desenvolvimentos dentro da óptica ondulatória e inaugurou um novo ramo de estudo verificado na óptica eletromagnética e na óptica física. Algumas soluções para essa equação são relativamente simples de se obter, como o caso da Onda Plana1 e da Onda Esférica.
Já outras necessitam de um pouco mais de álgebra, como o Feixe Gaussiano2 e o Feixe
de Bessel3 – uma solução exata e não difrativa da equação de onda. Entretanto, soluções
gerais, exatas e simples são muito raras de se alcançar.
Com isso, desenvolver uma descrição analítica para propagação de feixes de onda (ou feixes ópticos, mais especificamente) tende a ser uma tarefa complexa e praticamente impossível em alguns casos. Como afirma Zamboni et al., “(...) por conta das dificuldades
matemáticas encontradas quando se procura soluções exatas, frequentemente a descrição analítica é obtida por meios aproximativos, sendo que, na maioria das vezes, deve-se recorrer a soluções numéricas de equações de propagação (diferenciais ou integrais) em suas formas exatas ou aproximadas [ZAMBONI-RACHED et al., 2012b]’.
Uma dessas aproximações, tanto no caso numérico como no analítico, é a para-xial4. Por meio desse cálculo, conseguimos obter a bem conhecida Integral de Difração de
Fresnel5. Todavia, embora existam soluções analíticas para essa integral, estas são escas-sas, fazendo-se necessário ainda recorrer a soluções numéricas. O processo se torna ainda mais intricado ao se tentar obter a descrição de feixes gerados por uma abertura finita, ou seja, truncados no espaço.
1 Vide Anexo A. 2 Vide Seção 3.4. 3 Vide Seção 3.5. 4 Vide Seção 4.1. 5 Obtida na Seção 4.2.
Capítulo 1. Introdução 18
Buscando solucionar esse impasse, surge o método analítico proposto por Zamboni
et al.6, que de forma eficaz, consegue descrever alguns feixes ordinários e não difrativos.
Com o objetivo de ampliar e evidenciar a importância desse método, pensamos em avaliar sua eficácia ao ser aplicado a feixes obstruídos por uma abertura circular, como uma proposta interessante para iniciarmos este projeto.
A motivação para esse desenvolvimento específico se deu pela análise do artigo
Energy flow lines and the spot of Poisson–Arago [GONDRAN; GONDRAN, 2010], em
que os autores propuseram solucionar a sugestão da Academia Francesa de Ciências em 1818, em relação ao fenômeno difrativo, deduzindo matematicamente os movimentos dos raios durante a sua passagem perto dos corpos. Para isso, os autores se utilizaram de linhas de fluxo de potência num disco opaco, criando o Spot de Poisson-Arago por meio de simulação numérica.
Num primeiro momento, pensamos em aplicar o método a fim de se obter uma solução analítica para a pesquisa desenvolvida por Gondran, comparando posteriormente os resultados. Contudo, depois de uma leitura atenta do citado artigo, verificamos que o tipo de feixe escolhido pelos autores para o desenvolvimento do trabalho não satisfazia as equações de Maxwell (além de alguns outros problemas verificados), o que impossibilitou a utilização de seus resultados numéricos.
No entanto, a formação do Spot de Poisson-Arago para feixes ordinários e a autorre-construção para feixes não difrativos nos pareceu um desenvolvimento muito interessante. Assim, parte dessa dissertação7 é voltada para o correto desenvolvimento dessa ideia.
Além disso, optamos por ampliar esse estudo desenvolvendo o método escalar para o caso vetorial tanto para o feixe truncado quanto obstruído. Somente esse desenvolvi-mento rendeu boa parte do tempo e esforço gasto nesse projeto. Com estas componentes vetoriais dos campos elétrico e magnético obtidas, nos pareceu razoável realizar uma dis-tribuição de energia do feixe obstruído através da obtenção das componentes do vetor de Poynting médio. Por fim, verificamos a eficácia das imensas equações geradas, buscando uma componente do vetor de Poynting, a fim de observar o notório Spot de Poisson-Arago.
1.1
Objetivos
Através da teoria da difração largamente desenvolvida, averiguado o princípio de Huygens-Fresnel, utilizaremo-nos do estudo da propagação de feixes ordinários e de certos
6 Quando citarmos no texto corrido “método analítico”, ”método escalar”, “o método de Zamboni
et al.” ou alguma variação próxima dessas construções, estamos nos referindo ao método proposto
no artigo [ZAMBONI-RACHED et al., 2012b], evitando a necessidade de o referenciarmos a todo instante.
7 Acesse <julianobento.com> para erratas, complementos e comentários sobre essa dissertação. Utilize
Capítulo 1. Introdução 19
feixes não difrativos bem conhecidos, a fim de:
1. Por meio da Equação de Onda Eletromagnética, propiciar a solução para o Feixe Gaussiano e do Feixe de Bessel;
2. Apresentar um estudo sobre a aproximação paraxial, obtendo a Integral de Difração de Fresnel;
3. Apresentar o método analítico de Zamboni et al., aplicando-o para o caso do Feixe de Bessel;
4. Ampliar o método analítico para o caso de um feixe obstruído por obstáculos circu-lares por intermédio do Princípio de Babinet;
5. Verificar a formação do Spot de Poisson-Arago para feixes ordinários; 6. Verificar a autorreconstrução para feixes não difrativos;
7. Estender todo o estudo de feixes truncados e obstruídos para o caso vetorial; 8. Analisar a distribuição de energia através da obtenção de todas as componentes
cartesianas do vetor de Poynting médio.
1.2
Organização
Após propiciar uma contextualização dos temas aqui propostos (Cap. 2), focare-mos no estudo da equação de onda, buscando algumas importantes soluções não difrativas e ordinárias da mesma (Cap. 3). A seguir, passaremos para o estudo de feixes ópticos truncados por uma abertura finita, utilizando a equação de onda na aproximação para-xial e a Integral de Difração de Fresnel. Na sequência, apresentamos o método analítico [ZAMBONI-RACHED et al., 2012b], bem como sua aplicação (Cap. 4).
E então, associamos o Princípio e Babinet ao método analítico estendido supraci-tado e, com isso, obtemos um novo método capaz de descrever analiticamente o compor-tamento de importantes feixes ópticos quando obstruídos por obstáculos circulares (Cap. 5).
Com essa formulação, importantes pontos podem ser descritos e confirmados, em particular a formação do Spot de Poisson-Arago para feixes ordinários (como a onda plana e o feixe gaussiano) e também a autorreconstrução dos feixes não difrativos (Feixe de Bessel e de Bessel-Gauss). Ainda neste ponto, a partir das soluções analíticas obtidas, fazemos um estudo do comportamento do vetor de Poynting do campo em questão após a obstrução, obtendo figuras muito esclarecedoras e informativas sobre o processo difrativo
Capítulo 1. Introdução 20
envolvido com o Spot de Poisson-Arago (para feixes usuais) e com a autorreconstrução (para feixes não difrativos).
Em seguida, estendemos o método para o caso vetorial, a fim de descrever feixes eletromagnéticos de maneira mais completa. Estudamos o caso dos feixes truncados cujas polarizações são dadas por uma componente transversal (cartesiana) e uma longitudinal. O método escalar é então usado em conjunto com as equações de Maxwell, fornecendo os campos elétrico e magnético emanados da abertura finita usada para truncar o feixe incidente (Cap. 6).
Por fim, a última parte focará na distribuição de energia do feixe obstruído. Uti-lizamos para esse intento, e, durante todo o projeto, o software MathWorks - MATLAB and Simulink for Technical Computing○R como ferramenta de simulação e obtenção de
21
2 Princípios Teóricos
A fim de aprimorar a compreensão dos desenvolvimentos expostos nessa disser-tação, contextualizaremos e definiremos alguns dos principais temas recorrentes nesse projeto.
2.1
Breve contexto histórico
A luz sempre foi objeto de grande fascínio por parte dos filósofos naturais. Sua natureza tem sido estudada e debatida desde a Grécia antiga. Embora diversas expli-cações para seu fundamento tenham surgido, duas principais correntes de pensamento prevaleceram: a luz seria composta por partículas ou por ondas. Leucipo (Indef.—século 5a a.C) e Demócrito (460 a.C.—370 a.C.), com sua escola atomista, definiram a luz como
um sistema corpuscular. Já Aristóteles (384 a.C.—322 a.C.) foi quem primeiro assumiu a luz como uma onda [CARVALHO, 2005].
Somente séculos mais tarde, estudos significativos foram realizados por Leonardo da Vinci (1452—1519) sobre a luz e seus efeitos [ASSIS, 2013], seguido de pesquisas1 do
padre jesuíta italiano Francesco Maria Grimaldi (1618—1663). Nesse caso, por meio de um aparato experimental, o clérigo observou que a luz ao incidir num obstáculo formava padrões luminosos que oscilavam entre claros e escuros, ou diffringere (do latim “quebrar em pedaços” [STEVENSON; WAITE, 2011]), fazendo surgir o termo usual “difração”. Esse fenômeno fortaleceu a teoria ondulatória da luz que, por sua vez, começava a se estabelecer como a mais correta [JONATHAN; RENNIE, 2015].
Após algumas décadas, trazendo ainda mais destaque ao caráter ondulatório da luz, o físico matemático e astrônomo Christiaan Huygens (1629—1695) propôs2 que cada
ponto de um distúrbio ocasionado por uma frente de onda criaria uma fonte secundária de distúrbio esférico construindo uma envoltória (envelope) [GOODMAN, 1996]. Huygens, assim, estabalecia uma teoria ondulatória que verificava, dentre outros pontos, a reflexão, refração e difração da luz. Importante salientar que, para o físico, esta propagação se processava no éter. “(...) Estava [este] para a luz como as ondas estavam para o mar [STEWART, 2012]”.
Entretanto, a defesa da teoria corpuscular luminosa proposta por Sir Isaac Newton3
1 Publicadas em livro póstumo Physicomathesis de Lumine, Coloribus et Iride (Tese Psicossomática
da Luz, Cores e Arco-íris); Bolonha, 1665.
2 Livro Traité de la lumière (Tratado sobre a luz); apresentada à Académie royale des sciences, 1678.
Publicado em 1690.
Capítulo 2. Princípios Teóricos 22
(1643—1727), alçada por sua imensa fama, se estabeleceu como um consenso na recente física clássica durante praticamente todo século 18.
Com isso, as pesquisas que defendiam a luz como onda praticamente se estagnaram, até que o físico inglês Thomas Young (1773—1829), em 1804, em seu célebre experimento das duas fendas, trouxe o conceito de interferência, ocasionando certo desconforto no meio científico. Isso porque, a partir de dados de experimentos do próprio propositor da Lei da Gravitação Universal, conseguia explicar diversos fenômenos antes verificados somente via partículas (como, por exemplo, os “Anéis de Newton”).
Diante dessas descobertas, Augustin-Jean Fresnel (1788—1827), unificando o prin-cípio de Huygens com o da interferência de Young e propondo a distribuição da luz em padrões difrativos, estabelecia toda uma teoria ondulatória muito bem fundamentada. Apresentando seu trabalho para a Academia Francesa de Ciências que criara em 1818 uma competição para definir a natureza da luz, recebeu resistência de Siméon Denis Pois-son (1781—1840), um de seus membros julgadores e defensor da teoria corpuscular de Newton para a luz. O cientista argumentava que, caso a teoria de Fresnel estivesse cor-reta, haveria um ponto brilhante no centro da sombra de um disco opaco iluminado, algo que em um primeiro momento parecia impossível de proceder.
Para resolver o embate, Dominique François Jean Arago (1786—1853), presidente deste comitê, realizando posteriormente um experimento para analisar a proposta de Poisson, verificou a existência do mesmo, ao que hoje se conhece como Ponto Brilhante de Fresnel, “Mancha” de Arago/Poisson, ou, como definiremos aqui, Spot4 Poisson-Arago.
Anos mais tarde, se utilizando dos trabalhos de Fresnel e dos estudos de Michael Faraday (1791—1867) — que observou os efeitos do campo magnético na propagação da luz em algumas substâncias —, Heinrich Hertz (1857—1894) — que demonstrou a existência de Ondas Eletromagnéticas —, Pyotr Lebedev (1866—1912) — que mediu a pressão da Luz — e de trabalhos de alguns outros importantes físicos, James Clerk Maxwell (1831—1879) unificava a Eletricidade ao Magnetismo por meio de suas equações [AKHMANOV; NIKITIN, 1997].
Um dos primeiros argumentos a favor da natureza eletromagnética da luz foi a coincidência da velocidade das ondas eletromagnéticas calculada por Maxwell com a ve-locidade da luz medida em 1849 por Armand Fizeau (1819—1896). Em 1857, Wilhelm Weber (1804—1891) e Friedrich Kohlrausch (1840—1910) mediram a constante eletromag-nética c, igual à razão das unidades de carga eletromageletromag-nética e eletrostática, e obtiveram um valor muito próximo ao de Fizeau, o que possibilitou a Maxwell sugerir que a luz era
4 Utilizaremos a palavra inglesa Spot ao invés de “ponto” para fugir da interpretação euclidiana usual
que o termo carrega, visto que em experimentação o que se observa seria uma espécie de “macha” bem definida ou até mesmo um pequeno disco, algo que imaginamos que o termo Spot conseguirá melhor representar.
Capítulo 2. Princípios Teóricos 23
uma onda eletromagnética [KRAPAS, 2011]:
“Esta velocidade [de propagação da perturbação magnética] é tão próxima à da luz que parece que temos uma forte razão para concluir que a própria luz (incluindo o calor radiante e outras formas de radiações, se houver) é um distúrbio eletromagnético na forma de ondas propagadas através do campo eletromagnético, de acordo com leis eletromagnéticas [MAXWELL, 1952]”
Em 1882, Gustav Kirchhoff (1824—1887) e Arnold Sommerfeld (1868—1951) de-senvolveram cada um, individualmente, um estudo e aprimoramento matemático do Prin-cípio de Huygens [STRATTON; CHU, 1939]. Através desses trabalhos, diversos avanços surgiram não só no campo da física, bem como junto das ciências aplicadas [ASSIS, 2013]. Todavia, a maior revolução sobre a real natureza da luz ainda estava por vir. No começo do século 19, Max Planck (1858—1947), estudando o problema da radiação de um corpo negro, sugeriu que a energia transportada por ondas eletromagnéticas só podia ser liberada por meio de “pacotes” (quanta) de energia. Em 1905, Albert Einstein (1879—1955) através do Efeito Fotoelétrico, mostrou que a luz se portava como um feixe de partículas com energia quantizada, cunhando-se posteriormente o termo “fótons”. Em 1924, Louis de Broglie (1892—1987), diante dos resultados que a então recente física quântica desenvolvia, propôs que elétrons, dependendo do experimento, se portavam como onda e partícula. Ao aplicar o mesmo conceito para fótons, verificou-se, por fim, a chamada dualidade onda-partícula da luz [EISBERG; RESNICK, 1979].
2.2
A difração
Podemos, assim, definir que a difração é “(...) um fenômeno inevitável, que afeta
ondas bi ou tridimensionais que viajam em um meio não guiado. Pulsos e feixes5
ar-bitrários contém componentes de ondas planas que se propagam em direções diferentes, causando um aumento progressivo na sua largura espacial ao longo de sua propagação
[ZAMBONI-RACHED et al., 2008]”.
Seu estudo foi amplamente desenvolvido, visto que, com avanços nas técnicas de geração de ondas de rádio em altas frequências [UMTSEV, 2014], novas áreas nas ciências aplicadas surgiram e a difração passou de um fenômeno curioso para um problema efetivo. Embora tenhamos meios de amenizar os efeitos da difração em ondas não guiadas, o ideal seria evitar a abertura espacial na transversal diretamente no feixe ou pulso durante sua propagação.
5 Definindo de maneira simples, um feixe possui frequência fixa, enquanto o pulso possui multiplas
Capítulo 2. Princípios Teóricos 24
2.3
“Ondas não difrativas”
Em 1940, Stratton [STRATTON; CHU, 1939] resgatou a solução do Feixe de Bes-sel, que é uma onda imune aos efeitos da difração. Cunhou-se, assim, o termo ondas
não difrativas6. Contudo, o feixe não difrativo proposto (feixe de Bessel ideal), embora
Figura 1: Imagem extraída do primeiro artigo de Durnin de 1987 buscando uma solução exata para feixes não difrativos, por meio de uma teoria escalar. No caso específico, obser-vamos o feixe de Bessel conseguindo manter sua intensidade por alguns metros [DURNIN, 1987].
conseguisse se propagar na longitudinal de maneira intacta, possuía um fluxo de potência infinito. Para contornar o problema, tentou-se multiplicá-lo por uma função degrau que acompanhava o feixe, todavia posteriormente percebeu-se que comprometia as condições de contorno. Diante desse impasse, o interesse por esse tipo de onda diminuiu considera-velmente.
A busca por essa classe de feixes e pulsos somente ressurgiu nos anos 1980 com a publicação dos resultados de um novo experimento realizado por Durnin et al. [DURNIN et
6 É importante salientar que embora o nome dessa classe de feixes seja não difrativo, a difração
con-tinua ocorrendo, entretanto de forma suavizada. Uma total não difração só ocorre em feixes ideais teóricos como no caso da onda plana, pois sua componente transversal é infinita, podendo somente ser observada de forma aproximada no trato de ondas eletromagnéticas em situações limites, advindas de regiões muito distantes.
Capítulo 2. Princípios Teóricos 25
al., 1988]. Sua pesquisa utilizou feixes de Bessel que, quando truncados, percorriam uma
distância vinte oito vezes maior que os feixes gaussianos [ASSIS, 2013], mantendo sua localização transversal praticamente intacta, ou seja, atenuando de forma muito eficiente à difração (vide Fig. 1). Já os pulsos não difrativos foram obtidos, posteriormente, com os trabalhos de Brittingam e Kiselev [ZAMBONI-RACHED et al., 2008].
2.4
Dispersão e Atenuação
Com o tempo, se percebeu que se poderia generalizar o conceito de ondas não difrativas para também resistirem à dispersão, algo que ocorre “devido à dependência
do índice de refração com a frequência: por conseguinte, cada componente espectral de um pulso propaga-se com uma velocidade de fase diferente, de modo que um pulso eletro-magnético irá sofrer um aumento progressivo na largura temporal ao longo da propagação
[ZAMBONI-RACHED et al., 2008]”. Ou seja, é um análogo temporal da difração. O efeito disso seria um pulso começar a abrir, não na transversal, mas na longitudinal.
Entretanto, feixes e pulsos não difrativos e não dispersivos, ao mesmo tempo, não são simples de se obter. Um pulso dispersivo possui ondas em diferentes frequências, e cada uma se propaga com uma velocidade de fase própria. Uma primeira forma de se contornar isso seria realizar um acoplamento espaço-temporal específico no espectro desse pulso. Outra forma seria utilizando pulsos de Airy [SIVILOGLOU et al., 2007].
Além da dispersão em meios materiais, ainda existe o fenômeno da atenuação,em que o meio absorve e retira energia da onda. Assim, se generalizou o estudo de forma a se obter feixes resistentes também esse efeito.
2.5
Ondas Localizadas
Por conta disso, o termo “não difrativo”, quando em meios materiais, se torna incompleto, optando-se por chamá-las de Ondas Localizadas.
Por fim, sua definição geral hoje pode ser compreendida como feixes que resistem aos efeitos da difração e atenuação por longas distâncias e pulsos resistentes (por longas distâncias) aos efeitos da difração e dispersão. Recentemente, nosso grupo demonstrou que é possível se obter pulsos resistentes aos três efeitos concomitantes: difração, dispersão e atenuação. Diversas aplicações surgiram, como Pinças Ópticas, Comunicações Ópticas do Espaço Livre (FSO), dentre outras.
Capítulo 2. Princípios Teóricos 26
2.6
O Spot de Poisson-Arago
Podemos definir o Spot de Poisson-Arago (através dos feixes ordinários) como uma mancha luminosa que surge na sombra de um disco, ou objeto esférico (ambos opacos), quando se incide um feixe luminoso sobre o mesmo. Conforme verificamos, sua compro-vação foi um grande episódio na história da ciência, evidenciando a natureza ondulatória da luz. Embora tenha sido proposto em 1818, Arago verificou que 100 anos antes, esse fenômeno já era observado por Joseph-Nicolas Delisle (1688—1768) e Giacomo Filippo Maraldi (1665—1729). Contudo, seu nome e o de Poisson continuaram a definí-lo.
Sua verificação experimental é relativamente simples de se obter, conforme obser-vamos na Fig. 2. Já a justificativa teórica para sua existência pode ser demonstrada pelo princípio de Huygens–Fresnel considerado uma aproximação da Integral de Difração de Kirchhoff [WOLF; BORN, 2005].
Diversas pesquisas já foram desenvolvidas desde então, buscando esse spot lumi-noso nos mais diversos tipos de experimentos, como, por exemplo, sua análise via simu-lação por processos de duas fendas utilizando o princípio de Babinet [DAUGER, 1996].
Figura 2: Método atual de obtenção do spot de Poisson-Arago demonstrado pela Universi-dade de Berkeley [BERKELEY, 2016]. No esquema apresentado, um laser monocromático He-Ne é expandido por uma lente de 4 polegadas, atingindo um pequeno objeto esférico preso a uma lâmina de vidro. A imagem é então expandida por uma lente de 10 polegadas e projetada em uma tela. Note que a necessidade de colocação de lentes de ampliação nos aparatos experimentais atuais se deve ao fato do Spot necessitar, muitas vezes, de uma distância muito grande para ser observado em feixes comuns.
27
3 Soluções para alguns Importantes Feixes
O intuito do presente capítulo é realizar uma breve revisão teórica das equações de Maxwell, bem como deduzir a equação de onda eletromagnética. A partir desse re-sultado, presumiremos uma aproximação escalar, obtendo algumas de suas soluções. No caso, trabalharemos com o Feixe Gaussiano (um feixe ordinário) e o Feixe de Bessel ideal (um feixe não difrativo). Posteriormente, compararemos esses resultados com as mesmas soluções dentro do método analítico para feixes não truncados.
3.1
As Equações de Maxwell
Conforme observamos na Seção 2.1, toda a base do eletromagnetismo clássico surgiu com o advento das equações de Maxwell1. Podemos, desse modo, as definir em
meios não materiais da seguinte forma:
⃗ ∇ · ⃗𝐸 = 𝜌 𝜖∘ , (3.1) ⃗ ∇ · ⃗𝐵 = 0, (3.2) ⃗ ∇ × ⃗𝐸 = −𝜕 ⃗𝐵 𝜕𝑡, (3.3) ⃗ ∇ × ⃗𝐵 = 𝜇0𝐽 + 𝜇⃗ 0𝜖0 𝜕 ⃗𝐸 𝜕𝑡 , (3.4)
onde ⃗𝐸 e ⃗𝐵 são os vetores campo elétrico e campo magnético, respectivamente; 𝜌 e ⃗𝐽 são
as densidades de carga e de corrente livre, respectivamente; e 𝜖0 e 𝜇0 são a permissividade
elétrica e a permeabilidade magnética respectivamente, ambas no vácuo.
A Eq. (3.1) é a chamada Lei de Gauss, que relaciona a distribuição de carga elétrica com a resultante do campo elétrico. Em seguida, a Eq. (3.2) pode ser definida como a “Lei de Gauss para o Magnetismo”, afirmando que não existe um equivalente para “carga magnética”, os chamados monopolos magnéticos.
Já a Eq. (3.3) é conhecida como a Lei de Indução de Faraday, que relaciona o fluxo magnético (que induz a formação de um campo elétrico circulante), com o surgimento de forças eletromotrizes num sistema. O sinal negativo garante que a corrente induzida
1 Junto das Equações de Maxwell, consideramos também a eq. da Força de Lorentz, que afirma que
a força que atua sobre um ponto de carga 𝑞 na presença de um campo eletromagnético é dada por:
⃗
Capítulo 3. Soluções para alguns Importantes Feixes 28
produzirá um campo magnético que se opõe à variação que lhe deu origem (Lei de Lenz). Caso contrário, seria incompatível com a conservação de energia.
Também é importante enfatizar a Eq. (3.4), a Lei de Ampère-Maxwell, des-crevendo duas maneiras de se gerar um campo magnético circulante, sendo através de correntes elétricas ou por variações no fluxo elétrico (corrente deslocamento) [JACKSON, 1999].
3.2
A Equação de Onda
Sendo 𝑐2 = 1
𝜇0𝜖0 (vide Seção 2.1), trabalharemos com as Equações de Maxwell para
o espaço livre e sem fontes, ou seja, 𝜌 = 0 e ⃗𝐽 = 0.
Assim, aplicando o rotacional em ambos os lados da Eq. (3.3), teremos:
⃗ ∇ × ( ⃗∇ × ⃗𝐸) = ⃗∇ × ⎛ ⎝− 𝜕 ⃗𝐵 𝜕𝑡 ⎞ ⎠. (3.5)
A partir da identidade vetorial ⃗∇ × ( ⃗∇ × ⃗𝑈 ) = ⃗∇( ⃗∇ · ⃗𝑈 ) − ∇2𝑈 e sendo a Eq.⃗
(3.1) no espaço livre definida como ⃗∇ · ⃗𝐸 = 0, as aplicaremos na Eq. (3.5), obtendo:
−∇2𝐸 = −⃗ 𝜕 𝜕𝑡 (︁ ⃗ ∇ × ⃗𝐵)︁⇒ ∇2𝐸 =⃗ 𝜕 𝜕𝑡 ⎛ ⎝𝜇0𝜖0 𝜕 ⃗𝐸 𝜕𝑡 ⎞ ⎠⇒ ∇2𝐸 −⃗ 1 𝑐2 𝜕2𝐸⃗ 𝜕𝑡2 = 0. (3.6)
Realizando processo similar na Eq. (3.4), verificamos a seguinte relação:
∇2𝐵 −⃗ 1
𝑐2
𝜕2𝐵⃗
𝜕𝑡2 = 0. (3.7)
Possuímos agora duas equações diferenciais, (3.6) e (3.7), que descrevem juntas a propagação de uma onda eletromagnética. Com esses resultados, podemos notar que:
“O acoplamento entre grandezas elétricas e magnéticas previsto nas Eqs. de Maxwell implica que o campo eletromagnético se manifesta como uma perturbação que pode se propagar no espaço na forma de uma onda. Ou seja, se em algum ponto do espaço é criada uma flutuação no tempo da carga,
Capítulo 3. Soluções para alguns Importantes Feixes 29
o campo eletromagnético dessa flutuação se propaga no espaço e seu efeito pode ser sentido remotamente. Isso, em essência, permite o intercâmbio de informação entre pontos remotamente localizados. Diferentemente de ondas materiais, como as ondas acústicas que produzem o som, por exemplo, essa propagação pode se dar inclusive no vácuo [FONTANA, 2016]”.
A partir dessas equações, algumas soluções são possíveis, como a solução para onda plana (Anexo A) e as que veremos a seguir.
3.2.1
Campo escalar
Antes, porém, embora a equação de onda possua componentes de campo vetoriais, podemos propor um campo escalar Ψ que representará somente uma componente carte-siana do campo ⃗𝐸 linearmente polarizado [ZAMBONI-RACHED, 2013]. O interessante é
que com esse resultado, temos uma aproximação do caso vetorial muito eficaz. Assim, a equação de onda pode ser escrita como:
∇2Ψ − 1
𝑐2
𝜕2Ψ
𝜕𝑡2 = 0. (3.8)
Desta forma, temos definida a Equação de Onda.
3.3
Soluções para Equação de Onda
Para que se torne mais fácil a obtenção de soluções mais gerais, iremos supor uma função escalar Ψ(⃗𝑟, 𝑡), que é constituída de uma superposição de ondas planas com a
mesma frequência: Ψ(⃗𝑟, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡 ˆ ∞ −∞ d𝑘𝑥 ˆ ∞ −∞ d𝑘𝑦 ˆ ∞ −∞ d𝑘𝑧 · · S(𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧) 𝑒𝑖𝑘𝑥𝑥𝑒𝑖𝑘𝑦𝑦 𝑒𝑖𝑘𝑧𝑧 𝛿 (︃ 𝜔2 𝑐2 − 𝑘 2 𝑥− 𝑘2𝑦− 𝑘2𝑧 )︃ , (3.9)
onde 𝑘𝑥, 𝑘𝑦 e 𝑘𝑧 são os números de onda do vetor de onda ⃗𝑘 (vide (A.2)), sendo que 𝜔2
𝑐2 = 𝑘2𝑥+ 𝑘𝑦2+ 𝑘𝑧2. Além disso, S(𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧) é a função espectral (função peso) a ser escolhida, possibilitando soluções diferentes e, portanto, feixes distintos. A função 𝛿 é a delta de Dirac que garante que Ψ seja solução da eq. de onda. A fim de evitar ondas planas que possuam componentes 𝑘𝑧 negativas, iremos realizar a integração da Eq. (3.9) em 𝑘𝑧, assumindo que o espectro S detenha apenas valores positivos. Esta escolha, associada com a função delta do integrando da Eq. (3.9), implica em:
𝑘𝑧 = √︃ 𝜔2 𝑐2 − 𝑘 2 𝑥− 𝑘2𝑦. (3.10)
Capítulo 3. Soluções para alguns Importantes Feixes 30
Deste modo, saberemos que as ondas planas que compõem Eq. (3.9) são todas propagantes (não evanescentes), onde 𝜔𝑐22 ≥ 𝑘𝑥2+𝑘𝑦2. Assim, realizando as devidas mudanças
de variáveis, podemos reescrever a Eq. (3.9) como:
Ψ(⃗𝑟, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡 ˆ 𝜔 𝑐 −𝜔 𝑐 d𝑘𝑦 ˆ √︁ 𝜔2 𝑐2−𝑘 2 𝑦 − √︁ 𝜔2 𝑐2−𝑘 2 𝑦 d𝑘𝑥 S(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) 𝑒𝑖𝑘𝑥𝑥 𝑒𝑖𝑘𝑦𝑦 𝑒 𝑖𝑧 √︁ 𝜔2 𝑐2−𝑘 2 𝑥−𝑘2𝑦 . (3.11)
3.4
Feixe Gaussiano
Figura 3: Vetores de onda em diferentes direções formando um envelope gaussiano.
Supondo que uma função espectral é o produto de duas gaussianas centradas em
𝑘𝑥= 0 e 𝑘𝑦 = 0 , escrevemos: S(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) = 𝑟2 𝑜 4𝜋 𝑒 −𝑟2𝑜 4 𝑘 2 𝑥 𝑒 −𝑟2𝑜 4 𝑘 2 𝑦, (3.12)
onde 𝑟𝑜é uma grandeza que está relacionada ao spot do feixe. Se 𝑟𝑜for grande, a gaussiana é bem estreita e vice-versa. Substituindo essa função na Eq. (3.11), teremos:
Ψ(⃗𝑟, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡 ˆ 𝜔 𝑐 −𝜔 𝑐 d𝑘𝑦 ˆ √︁ 𝜔2 𝑐2−𝑘 2 𝑦 − √︁ 𝜔2 𝑐2−𝑘 2 𝑦 d𝑘𝑥 𝑟𝑜2 4𝜋 𝑒 −𝑟𝑜 4 𝑘 2 𝑥 𝑒−𝑟𝑜4 𝑘 2 𝑦 𝑒𝑖𝑘𝑥𝑥 𝑒𝑖𝑘𝑦𝑦 𝑒𝑖𝑧 √︁ 𝜔2 𝑐2−𝑘 2 𝑥−𝑘2𝑦 , (3.13)
que é, em essência, uma soma de ondas planas em diferentes direções (Fig. 3). Infelizmente, não é possível resolver analiticamente essa equação. Assim, para darmos prosseguimento ao cálculo, assumiremos espectros gaussianos com as seguintes propriedades:
Δ𝑘𝑥 << 𝜔 𝑐 ⇒ 2 𝑟𝑜 << 𝜔 𝑐, Δ𝑘𝑦 << 𝜔 𝑐 ⇒ 2 𝑟𝑜 << 𝜔 𝑐,
onde consideramos a propagação das componentes dos vetores de onda com um valor médio 𝑘𝑥 = 𝑟2𝑜 e 𝑘𝑦 = 𝑟2𝑜, obtendo, assim, as larguras do espectro. Como veremos, isso
Capítulo 3. Soluções para alguns Importantes Feixes 31
Figura 4: Gráfico 3D do módulo ao quadrado da parte real do feixe gaussiano de 𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚 com um 𝑟𝑜 na ordem de 100 vezes o comprimento de onda.
implica que o spot é muito maior que o comprimento de onda. Realizaremos agora duas aproximações:
1. Estenderemos os limites de integração para −∞ a ∞; 2. Sendo: √︃ 𝜔2 𝑐2 − 𝑘 2 𝑥− 𝑘2𝑦 = √︃ 𝜔2 𝑐2 − 𝑘 2 ⊥ = √︁ 𝑘2− 𝑘2 ⊥ = 𝑘 √︃ 1 − 𝑘 2 ⊥ 𝑘2, (3.14) onde 𝑘⊥2 ≡ 𝑘2
𝑥+ 𝑘2𝑦. Se utilizando da aproximação paraxial2 podemos dizer que:
𝑘 √︃ 1 −𝑘 2 ⊥ 𝑘2 ≈ 𝑘 (︃ 1 −𝑘 2 ⊥ 2𝑘 )︃ . (3.15)
Com essas duas aproximações, a Eq. (3.13) torna-se: Ψ(⃗𝑟, 𝑡) = 𝑟 2 𝑜 4𝜋 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ˆ ∞ −∞ d𝑘𝑦 ˆ ∞ ∞ d𝑘𝑥· · exp (︃ −𝑎2𝑘2 𝑥− 𝑎2𝑘𝑦2+ 𝑖𝑘𝑥𝑥 + 𝑖𝑘𝑦𝑦 + 𝑖 𝜔 𝑐𝑧 − 𝑖𝑘𝑥2 2𝑘𝑧 − 𝑖𝑘𝑦2 2𝑘𝑧 )︃ , (3.16)
Capítulo 3. Soluções para alguns Importantes Feixes 32
onde 𝑎 ≡ 𝑟2𝑜
4. Como as integrais não estão acopladas, as reescrevemos como:
Ψ(⃗𝑟, 𝑡) = 𝑟 2 𝑜 4𝜋 𝑒 𝑖𝑘𝑧 𝑒−𝑖𝜔𝑡 {︃[︃ˆ ∞ −∞ d𝑘𝑦 𝑒−(𝑎 2+𝑖𝑧 2𝑘)𝑘 2 𝑦𝑧 𝑒𝑖𝑘𝑦𝑦 ]︃ · [︃ˆ ∞ −∞ d𝑘𝑥 𝑒−(𝑎 2+𝑖𝑧 2𝑘)𝑘 2 𝑥𝑧 𝑒𝑖𝑘𝑥𝑥 ]︃}︃ . (3.17)
Podemos notar que os argumentos das integrais são transformadas de Fourier (Anexo B). Utilizando a integral tabelada em [GRADSHTEYN; RYZHIK, 1995]:
ˆ ∞ −∞ 𝑒−𝑝2𝑥2 𝑒±𝑞𝑥d𝑥 = 𝜋 𝑝 𝑒 𝑞2 4𝑝2, (3.18)
verificamos que a solução da função será:
Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑟 2 𝑜 4 (︃ 𝑒𝑖𝑘𝑧 𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑎2+ 𝑖𝑧 2𝑘 )︃ exp−(𝑥 2+ 𝑦2) 4(︁𝑎2+ 𝑖𝑧 2𝑘 )︁ ⇒ Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = eik(z−ct) ⎡ ⎣ ⎛ ⎝ 1 1 + 𝑘𝑟2𝑖𝑧2 𝑜 ⎞ ⎠exp −(𝑥2+ 𝑦2) 𝑟2 𝑜 (︁ 1 + 𝑘𝑟2𝑖𝑧2 𝑜 )︁ ⎤ ⎦, (3.19)
onde Ψ(⃗𝑟, 𝑡) ≡ Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). Podemos notar algumas particularidades nessa função:
reti-rando o termo da onda plana em destaque, todo o restante se assemelha a uma envoltória gaussiana, com um confinamento na transversal com possuindo uma dependência em 𝑧. Não é um pulso e sim um feixe, pois apresenta uma única frequência, tendo energia na transversal, mas não na longitudinal.
Assim, definimos um feixe gaussiano como ondas planas que se propagam em di-ferentes direções, com amplitudes diversas, de tal forma que seus maiores valores ocorrem quando a onda plana se propaga quase que paralelo a 𝑧 (Figs. 4 e 6). Por sua vez, quando a onda plana adquire um vetor de onda que se afasta do eixo 𝑧, sua amplitude começa a diminuir. Ao se realizar uma superposição de ondas planas, temos esse feixe gaussiano.
Outras informações muito úteis podem ser extraídas. Escrevendo a Eq. (3.19) em coordenadas polares, ou seja, 𝜌2 = 𝑥2+ 𝑦2, obtemos:
Ψ(𝜌, 𝑧, 𝑡) = eik(z−ct) ⎡ ⎣ ⎛ ⎝ 1 1 + 𝑘𝑟2𝑖𝑧2 𝑜 ⎞ ⎠exp −𝜌2 𝑟2 𝑜 (︁ 1 + 𝑘𝑟2𝑖𝑧2 𝑜 )︁ ⎤ ⎦. (3.20)
Pode-se demonstrar que, sendo Δ𝜌𝑜 o raio do spot inicial em 𝑧 = 0, esse é dado por Δ𝜌𝑜 = √𝑟𝑜2.
Capítulo 3. Soluções para alguns Importantes Feixes 33
Com base nessa abertura, temos como mensurar o quanto o feixe se degrada de-pendendo dessa abertura inicial, ou seja, qual o valor de 𝑧 em que o Δ𝜌 dobrara em relação a Δ𝜌𝑜. Chamamos essa medida de comprimento de difração que é dada por:
𝑍diff =
2√3𝜋Δ𝜌2𝑜
𝜆 , (3.21)
ou seja, quanto mais concentrado, menor será a abertura desse feixe com a distância. O guia de onda, por exemplo, por meio de reflexões em seu interior, busca evitar esse fenômeno difrativo.
3.5
Feixe de Bessel
Figura 5: Vetores de onda sob a superfície de um cone.
Escolhamos agora uma função espectral de forma que os vetores de onda se pro-paguem sobre a superfície de um cone (Fig. 5). Para isso, convém escrever o versor ^𝑘 em
coordenadas esféricas, tal como: ^
𝑘 = (sen 𝜃′cos 𝜑′𝑥 + sen𝜃^ ′sen𝜑′𝑦 + cos𝜃^ ′𝑧)^ (3.22)
Para forçarmos ⃗𝑘 a se estabelecer sobre a superfície de um cone, basta fixarmos
𝜃 = 𝜃𝑜 que é o chamado de ângulo de axicon ou cônico. Com isso a função escalar (3.9), escrita sem a necessidade do vínculo 𝜔𝑐22 = 𝑘2𝑥+ 𝑘2𝑦+ 𝑘𝑧2, se torna:
Ψ(⃗𝑟, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡 ˆ 2𝜋 0 d𝜑′ ˆ 𝜋 0 d𝜃′ S(𝜃′, 𝜑′) 𝑒𝑖⃗𝑘·⃗𝑟. (3.23)
Substituindo a Eq. (3.22) em (3.23), temos:
Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡 ˆ 2𝜋 0 d𝜑′ ˆ 𝜋 0
Capítulo 3. Soluções para alguns Importantes Feixes 34
Escolhendo agora a função espectral como:
S(𝜃′, 𝜑′) = 𝑒𝑖𝑀 𝜑′ 𝛿(𝜃′− 𝜃𝑜), (3.25) onde 𝑀 é um número inteiro. Substituindo a Eq. (3.25) na Eq. (3.24), obteremos:
Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡 ˆ 2𝜋
0
d𝜑′ 𝑒𝑖𝑀 𝜑′ 𝑒𝑖𝑘(𝑥 sen𝜃𝑜cos𝜑′+𝑦 sen𝜃𝑜sen𝜑′+𝑧 cos𝜃′) ⇒
Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑒𝑖𝑘𝑧 cos𝜃𝑜
ˆ 2𝜋 0
d𝜑′ 𝑒𝑖𝑀 𝜑′ 𝑒𝑖𝑘 sen𝜃𝑜 (𝑥 cos𝜑′+𝑦 sen𝜑′). (3.26)
Sendo, em coordenadas cilíndricas, 𝑥 = 𝜌 cos𝜑, 𝑦 = 𝜌 sen𝜑 e 𝑧 = 𝑧, reescrevemos a integral:
Ψ(𝜌, 𝜑, 𝑧, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑒𝑖𝑘𝑧 cos𝜃𝑜
ˆ 2𝜋 0
d𝜑′ 𝑒𝑖𝑀 𝜑′ 𝑒𝑖𝑘𝜌 sen𝜃𝑜 (cos𝜑cos𝜑′+sen𝜑sen𝜑′)⇒
Figura 6: Gráfico 2D priorizando a vista da propagação na transversal da parte real ao quadrado do feixe gaussiano de 𝜆 = 632, 8 · 10−9𝑚 com um 𝑟𝑜 na ordem de 100 vezes o comprimento de onda. Pode-se notar o motivo de não se incluir o feixe gaussiano na classe de ondas localizadas, visto que sua propagação na transversal se desvanece muito rapidamente.
Capítulo 3. Soluções para alguns Importantes Feixes 35
Figura 7: Gráfico 3D do módulo ao quadrado do feixe de Bessel ideal de 𝜆 = 600 · 10−9𝑚.
Pode-se notar que o feixe não sofre difração.
Ψ(𝜌, 𝜑, 𝑧, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑒𝑖𝑘𝑧 cos𝜃𝑜
ˆ 2𝜋 0
d𝜑′ 𝑒𝑖𝑀 𝜑′ 𝑒𝑖𝑘𝜌 sen𝜃𝑜 [cos(𝜑′−𝜑)]. (3.27)
Realizando uma mudança de variável onde 𝑢 = 𝜑′− 𝜑, teremos a seguinte equação: Ψ(𝜌, 𝜑, 𝑧, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑒𝑖𝑘𝑧 cos𝜃𝑜
ˆ 2𝜋−𝜑 0−𝜑
d𝜑′ 𝑒𝑖𝑀 𝑢 𝑒𝑖𝑘𝜌 sen𝜃𝑜cos(𝑢). (3.28)
Pela Eq. (B.17), podemos escrever a integral da Eq. (3.28) como uma função de Bessel de ordem 𝑀 (vide Anexo B). Assim:
Ψ(𝜌, 𝜑, 𝑧, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑒𝑖𝑘𝑧 cos𝜃𝑜𝐽
𝑀(𝑘 sen𝜃𝑜𝜌)𝑒𝑖𝑀 𝜑. (3.29)
Chamamos essa solução de Feixe de Bessel que é uma solução exata da equação de onda. Conforme notamos pela Fig. 32, a função de Bessel possui caráter oscilatório que decai em relação a seu argumento. Esse tipo de feixe possui fluxo de potência infinito, o que inviabiliza sua construção. É interessante notar que este nunca sofre difração, como se observa na Fig. 8.
Definindo agora 𝑘𝑧 = 𝑘 cos𝜃𝑜 e 𝑘𝜌 = 𝑘 sen𝜃𝑜, onde 0 ≤ 𝜃𝑜 ≤ 𝜋2. Chamaremos, assim, de 𝑘𝑧 o número de onda longitudinal e 𝑘𝜌 o número de onda transversal. Dessa forma a Eq. (3.29) torna-se:
Capítulo 3. Soluções para alguns Importantes Feixes 36
Figura 8: Gráfico 2D priorizando a vista da propagação na frontal do módulo ao quadrado do feixe de Bessel ideal de 𝜆 = 600 · 10−9 𝑚.
Ψ(𝜌, 𝜑, 𝑧, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑒𝑖𝑘𝑧𝑧𝐽
𝑀(𝑘𝜌, 𝜌)𝑒𝑖𝑀 𝜑. (3.30)
Podemos agora extrair alguns resultados interessantes. Por exemplo, mediante alguns cálculos, pode-se provar que o raio spot é dado por:
Δ𝜌 = 2, 4
𝑘𝜌
37
4 Feixes Gerados por Aberturas Finitas
Conforme apresentamos no Cap. 1, obter soluções exatas da equação de onda é possível (vide Cap. 3), embora em diversos casos não seja trivial. Porém, conseguir soluções exatas para um campo difratado por uma abertura beira o impossível. A melhor forma de se abordar esse problema é utilizando integrais de difração.
Por exemplo, se quisermos saber o campo de uma onda propagante difratada a grandes distâncias da abertura, o mais simples seria utilizar a Integral de Difração de
Fraunhofer1. Já na região de campo próximo e na região de transição entre campo próximo
e distante, o mais indicado é usar a Integral de Difração de Fresnel. Existe ainda a Integral
de Difração de Sommerfeld que é exata, mas extremamente difícil de se trabalhar tanto
do ponto de vista analítico quanto numérico.
Para nossos propósitos, utilizaremos a Integral de Difração de Fresnel. Todavia, esta também apresenta uma sérias dificuldades, necessitando fazer-se uso de simulações numéricas na maioria das vezes. Para solucionar isso, utilizaremos o método desenvolvido por Zamboni et al., onde é feita justamente a descrição analítica de alguns feixes ópticos truncados por uma abertura.
Desta forma, como parte do nosso objetivo neste trabalho é fornecer uma ferra-menta analítica para o estudo do comportamento de alguns feixes importantes, quando obstruídos por obstáculos circulares, o método será fundamental para esse posterior de-senvolvimento.
4.1
A Equação de Onda na aproximação paraxial
A fim de se obter a Integral de Difração de Fresnel, necessário se faz estudarmos a aproximação paraxial. Esta surge para verificar soluções analíticas de campos mais complexos, que de outra maneira seria praticamente impossíveis de se calcular2. Podemos
utilizá-la quando o spot da onda é muito maior que o comprimento de onda associado. Na Seção 3.4 já observamos uma primeira abordagem para realizar uma aproxima-ção paraxial para o feixe gaussiano. Visaremos agora essa aproximaaproxima-ção para um campo escalar genérico.
Assim, seja um campo escalar Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) que satisfaça a equação de onda Eq.
1 Aproximação da Integral de Difração de Kirchhoff para grandes distâncias.
2 No caso, o feixe de Bessel ideal não necessitou de nenhuma aproximação paraxial, sendo um exemplo
Capítulo 4. Feixes Gerados por Aberturas Finitas 38 (3.8): (︃ ∇2− 1 𝑐2 𝜕2 𝜕𝑡2 )︃ Ψ = 0 ⇒ (︃ ∇2 ⊥+ 𝜕2 𝜕𝑧2 − 1 𝑐2 𝜕2 𝜕𝑡2 )︃ Ψ = 0, (4.1) onde: ∇2 ⊥ = 𝜕2 𝜕𝑥2 + 𝜕2 𝜕𝑦2, (4.2)
consideremos agora uma solução para a Eq. (4.1) do tipo:
Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = Λ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑒𝑖𝑘𝑧𝑒−𝑖𝜔𝑡, (4.3) onde 𝑘 = 𝜔𝑐 e Λ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) um envelope de onda plana.
Iremos considerar situações onde a variação espacial e temporal de Λ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) seja muito mais lenta que o mesmo tipo de variação para a componente 𝑒𝑖𝑘𝑧𝑒−𝑖𝜔𝑡.
Expressare-mos de maneira mais rigorosa essa hipótese derivando parcialmente em todas as variáveis [ZAMBONI-RACHED, 2013]: 𝜕Ψ 𝜕𝑧 = (︃ 𝜕Λ 𝜕𝑧𝑒 𝑖𝑘𝑧+ 𝑖𝑘Λ𝑒𝑖𝑘𝑧 )︃ 𝑒−𝑖𝜔𝑡. (4.4)
Assumindo que Λ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) varia muito mais lentamente que 𝑒𝑖𝑘𝑧, podemos propor que em (4.4): ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜕Λ 𝜕𝑧 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ << 𝑘 |Λ| . (4.5)
Realizando o mesmo procedimento para a diferencial parcial em 𝑡, teremos:
𝜕Ψ 𝜕𝑡 = (︃ 𝜕Λ 𝜕𝑡𝑒 −𝑖𝜔𝑡− 𝑖𝜔Λ𝑒−𝑖𝜔𝑡 )︃ 𝑒𝑖𝑘𝑧. (4.6)
Da mesma forma, por conta de Λ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) variar muito mais lentamente que 𝑒−𝑖𝜔𝑡, podemos assumir que em (4.4):
⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜕Λ 𝜕𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ << 𝜔 |Λ| . (4.7)
E também, pela definição de Λ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), temos ainda que :
⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜕Λ 𝜕𝑥 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ << 𝑘 |Λ| , ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜕Λ 𝜕𝑦 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ << 𝑘 |Λ| e (4.8)
