Cap37

Exerc´ıcios Resolvidos de Teoria Eletromagn´etica

Jason Alfredo Carlson Gallas,

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica

Mat´eria para a TERCEIRA prova. Numerac¸˜ao conforme a quarta edic¸˜ao do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conte ´udo

37 As Equac¸˜oes de Maxwell – [Cap´ıtulo 37,

p´agina 316] 2

37.1 Quest˜oes . . . 2 37.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . 2

37.2.1 As Equac¸˜oes de Maxwell: Uma Lista Provis´oria – (1/2) . . . 2

37.2.2 Campos Magn´eticos Induzidos – (3/5) . . . 2 37.2.3 Corrente de Deslocamento –

(6/15) . . . 3 37.2.4 Equac¸˜oes de Maxwell: a Lista

Completa – (16/20) . . . 4

Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (lista3.tex)

37

As Equac¸˜oes de Maxwell – [Cap´ıtulo 37, p´agina 316]

37.1

Quest˜oes

Por que ´e t˜ao f´acil mostrar que “um campo magn´etico vari´avel produz um campo el´etrico”, mas ´e t˜ao dif´ıcil mostrar de um modo simples que “um campo el´etrico vari´avel produz um campo magn´etico”?

Porque os campos magn´eticos devidos a campos el´etricos vari´aveis s˜ao extremamente fracos. Isto deve-se ao coeficiente 

  do termo  na lei de Amp`ere-Maxwell ser muito pequeno em relac¸˜ao ao outro termo da equac¸˜ao. A constante representa a ve-locidade da luz.

37.2

Problemas e Exerc´ıcios

37.2.1 As Equac¸˜oes de Maxwell: Uma Lista Pro-vis´oria – (1/2)

E 37-1.

Verifique o valor num´erico da velocidade escalar da luz usando a Eq. 37-1 e mostre que a equac¸˜ao est´a dimen-sionalmente correta. (Veja o Apˆendice B.)

No Apˆendice B, p´ag. 321, encontramos que   ! "$#&% ')(*",+-%/.10 H/m2 3   4'4*5(64$#&4'7#& *8+-%/. :9 F/m Portanto, ; <   =/>>#?>"$6+-%*@ m/s

O Apˆendice B informa que o valor experimental de ´e ;A'>*>$#?>$5(B4,+CD%@ m/s

N˜ao deixe de fazer a an´alise dimensional pedida! E 37-2.

(a) Mostre que E 



5



F"$##HG . (Esta grandeza ´e chamada de “impedˆancia do v´acuo”.) (b) Mostre que a freq ¨uˆencia angular correspondente a *% Hz ´e igual a"$#*# rad/s. (c) Compare os itens (a) e (b). Vocˆe acha que esta coincidˆencia tenha influido ma escolha de % Hz para os geradores de corrente alternada? Lembre-se de que na Europa usam% Hz.
(a) <     <  ! "$#;% IJ(*"8+-% .10 H/m 4'4*(K4#?4'5#? *8+-% . L9 F/m  "#5 'M#5"*%;GN (b)O 0

NAPNQ =5PR %K="$# '>>I Hz Por outro lado, OSLBT"'U(VW7> Hz

(c) Espac¸o reservado para sua resposta:

37.2.2 Campos Magn´eticos Induzidos – (3/5)

E 37-3.

Para a situac¸˜ao do Exemplo 37-1, quais as poss´ıveis distˆancias onde o campo magn´etico induzido se reduz `a metade do seu valor m´aximo?

SejaX o raio da placa do capacitor eY a distˆancia a partir do eixo do capacitor. Para pontos tais queY[ZAX a magnitude do campo magn´etico ´e dada por

\H] Y^ D_Y  $`  enquanto que paraY8abX ela ´e dada por

\[] Y5^     X 9 5Y $`  

O campo magn´etico m´aximo ocorre nos pontos em que YRTX sendo ent˜ao seu valor dado por qualquer uma das f´ormulas acima: \ max X  $`  

Existem dois valores de Y para os quais \H]

Y^c

\

max : um menor do que X e um maior. O valor menor do queX pode ser encontrado resolvendo-se em termos deY a equac¸˜ao \H] Y^)     Y  $` *      X ( *` *ed  \ max  f 

O resultado ´eY-gXKhi**hi*#/ mm O valor que ´e maior do queX ´e obtido resolvendo-se para Y a equac¸˜ao \H] Y^) X 9 5Y *` *  X ( $`  

O resultado ´eYRAX==8+jRk*% mm

37.2.3 Corrente de Deslocamento – (6/15) E 37-6.

Prove que a corrente de deslocamento num capacitor de placas paralelas pode ser escrita como

l:m An o  

A corrente de deslocamento ´e dada por lpm

Tq *`

*

2

onde q ´e a ´area de uma das placas e ` ´e a magnitu-de do campo el´etrico entre as placas. O campo entre as placas ´e uniforme, de modo que`rso5 , ondeo ´e a diferenc¸a de potencial entre as placas e ´e a separac¸˜ao das placas. Portanto

l m  Dq  o  Tn o * 2

uma vez queDqN5 ´e a capacitˆancian de um capacitor de placas paralelas “cheio de v´acuo”.

E 37-7.

Disp˜oe-se de um cacitor de placas paralelas det F. Co-mo seria poss´ıvel obter uma corrente de deslocamento (instantˆanea) de A no espac¸o entre as placas?

Para tanto basta variar o potencial entre as placas a uma taxa de o   l:m n   A % .u0 F v% 0 V/s E 37-8.

Para a situac¸˜ao do Exemplo 37-1, mostre que a

densida-de densida-de corrente densida-de densida-deslocamentow

m

paraY[ZxX , ´e dada por w m T *` * 

Considere uma ´areaq , normal a um campo el´etrico

y

. A densidade de corrente de deslocamento ´e uniforme e normal `a ´area. Sua magnitude ´e dada por w

m



lm zq . Nesta situac¸˜ao temos

l:m TDq $`  2 de modo que w m   q q *`  A $`   P 37-14.

Em 1929, M.R. Van Cauwenberghe conseguiu medir di-retamente, pela primeira vez, a corrente de deslocamen-tol:m

entre as placas de um capacitor de placas paralelas, submetido a uma diferenc¸a de potencial alternada, como est´a sugerido na Fig. 37-1. Ele usou placas circulares cujo raio efetivo era de (*% cm e cuja capacitˆancia era de D%% pF. A diferenc¸a de potencial aplicada tinha um valor m´aximo oI{ de 5#7( kV na freq ¨uˆencia de% Hz. (a) Qual foi a corrente de deslocamento m´axima obtida entre as placas? (b) Por que foi escolhida uma diferenc¸a de potencial t˜ao elevada? (A delicadeza destas medidas ´e tal que elas s´o foram realizadas diretamente mais de 60 anos depois de Maxwell ter enunciando o conceito de corrente de deslocamento!)

(a) Use os resultados do Exerc´ıcio 37-6, com oc o { sin

]

5P|OuL^. A derivada em relac¸˜ao ao tempo ´e oc P|Oo {C}_~$

]

P|OuL^, de modo que l:m



P|OnRo {C}_~$

]

P|OuL^, sendo a corrente de deslocamen-to m´axima dada por

l m max  5P|OnRoV{  5P ] %*^ ] D%%€+CD%/. L9 ^ ] 7#5(+CD%‚U^  /(#6+-% .1‚ A

(b) A corrente de deslocamento m´axima ´e diretamente proporcional `a m´axima diferenc¸a de potencial aplicada. Um valor grande deo { produz um valor de

l:m

max mais facilmente mensur´avel do que comoV{ menor.

O capacitor na Fig. 37-8 consistindo em duas placas cir-culares de raioXiƒD4 cm est´a ligado a uma fonte de fem „…F„/{ senQJ, onde „{†‡% V e Qˆe"*% rad/s. O valor m´aximo da corrente de deslocamento ´e l:m

‰# € A. Despreze a distorc¸˜ao do campo el´etrico nas bordas das placas. (a) Qual ´e o valor m´aximo da correntel

? (b) Qual ´e o valor m´aximo de?5*, onde  ´e o fluxo el´etrico na regi˜ao entre as placas? (c) Qual ´e a separac¸˜ao entre as placas? (d) Determine o valor m´aximo do m´odulo deŠ entre as placas a uma distˆancia YKk* cm do centro.

(a) Para qualquer instante , a corrente de desloca-mento l:m

existente no espac¸o entre as placas ´e igual `a corrente conduc¸˜ao l

nos fios. Portanto ‹ max 

l m max=#/  A. (b) Comol:m T ] /L^_2 d /   f max  l m max    # ,+CD% .u0 A 4'4*€+-% . :9 F/m  4'>8+-% S VŒm/s (c) De acˆordo com o Exerc´ıcio 37-6

l:m  q  $o * 

Na situac¸˜ao em quest˜ao, a diferenc¸a de potencial atrav´es do capacitor coincide em magnitude com a fem do gerador, de modo que o „

{ sen QJ e o5*Ž QJ„/{ }U~* QJ. Portanto l:m    q&QJ„/{   z‘ ’ “[”–• max }U~* QJz

donde se tira facilmente que

    q&QJ„/{ l m max  ] 4'4*8+-% . L9 ^—P ] %'˜4$^ 9 ] "*%*^ ] %*^ #/ 8+-% .u0  "I"*>8+CD% .u‚ m2 onde usamos o fato queq=™P—X

9

.

(d) Use a lei de Amp`ere-Maxwell na formaš8ŠsŒD$›K   ‹

m

, onde o caminho de integrac¸˜ao ´e um c´ırculo de raio Y entre as placas, paralelo a elas. ‹

m

´e a corren-te de deslocamento atrav´es da ´area limitada pelo ca-minho de integrac¸˜ao. Como a densidade da corren-te de deslocamento ´e uniforme entre as placas, corren-temos

‹ m  ] Y 9 X 9 ^ lm , onde lm

´e a corrente de deslocamen-to deslocamen-total entre as placas e X ´e o raio da placa. As li-nhas de campo s˜ao c´ırculos no eixo das placas, de modo que B ´e paralelo ao vetor*› . A magnitude do campo ´e constante ao longo da trajet´oria circular, de modo que š8ŠkŒD*›NT5PY \ . Logo, PY \ œ d Y 9 X 9 f l:m dando \    l m Y P—X 9 

O campo magn´etico m´aximo ´e dado por

\ max    lm maxY P—X 9  ] (P-+-% .1 ^ ] # ,+-% .10 ^ ] %'˜7^ 5P ] %'˜4$^ 9  /˜ 8+CD% . :9 T

37.2.4 Equac¸˜oes de Maxwell: a Lista Completa – (16/20)

P 37-20.

Uma longa barra cil´ındrica condutora, de raio X , est´a centrada ao longo do eixož como mostra a Fig. 37-11. A barra possui um corte muito fino emžŸT . Uma cor-rente de conduc¸˜aol

, aumentando no tempo e dada por

l

k¡¢, percorre a barra da esquerda para a direita;¡ ´e uma constante de proporcionalidade (positiva). No ins-tanteJA% n˜ao existe cargas nas faces do corte pr ´oximo ažhx  . (a) Determine o m´odulo da carga nessas faces em func¸˜ao do tempo. (b) Use a Eq. I da Tabela 37-2 para determinar` no intervalo entre as faces em func¸˜ao do tempo. (c) Esboce as linhas deŠ paraYH£=X , onde Y ´e a distˆancia ao eixož . (d) Use a Eq. IV da Tabela 37-2 para determinar\[]

Y^ no intervalo entre as faces para YCZsX . (e) Compare a resposta do item (d) com

\[] Y^ na barra paraY€Z¤X .

(a) No instante a carga na face direita ´e dada por

¥ A¦ §  l *)A¦ §  ¡¢¨*J   ¡¢ 9 

Para o mesmo instante, o valor da carga na face esquerda ´e©;¡|

9

 .

(b) Use uma superf´ıcie Gaussiana com a forma de um cilindro, concˆentrica com a barra condutora, com um extremo dentro do intervalo onde existe o corte e o outro

dentro da barra `a esquerda do corte, (conforme ilustra-do na figura `a direita). O campo el´etrico est´a na direc¸˜ao positiva do eixož de modo que precisamos apenas con-siderar as faces do cilindro. A magnitude do campo el´etrico na face esquerda ´e dado porªIw , ondeª ´e a re-sistividade da barra ew ´e a densidade de corrente.

Denotemos por` a magnitude do campo na face direita. Al´em disto, suponhamos que a densidade de corrente ´e uniforme na face esquerda e que o campo el´etrico ´e uni-forme na face direita. Neste caso,

«

y

ŒD*¬rv©&ªIw—q®­®`KqK2

ondeq ´e a ´area de uma das faces. N´os supomos ainda que a resistividade ´e t˜ao pequena que nos permita des-prezar o termo acima no qual ela aparece. A lei de Gauss fica`KqxA¯€5 , onde¯ ´e a carga na barra e dentro da superf´ıcie Gaussiana. A ´area da face do cilindro Gaus-siano ´eq°sPY

9

, ondeY ´e o raio, e a carga englobada pela Gaussiana ´e¯ˆ

] Y 9 5X 9 ^ ¥ , onde¥ ´e a carga na face da barra. Portanto

`v ¥ P—  X 9  ¡¢ 9 5P—±X 9 2

onde o resultado obtido no item (a),¥ A¡|

9

 , foi usa-do.

(c) As linhas de campo magn´etico formam c´ırculos que s˜ao concˆentricos com o eixo da barra (eixož ), estando em planos paralelos `as faces da barra.

(d) Use a lei de Amp`ere-Maxwell:

« ŠvŒU$›BT l ­²D³   * 

Como caminho de integrac¸˜ao escolha um c´ırculo que coincida com uma linha de campo magn´etico. Suponha que o raio do caminho de integrac¸˜ao sejaY (comY€£™X ) e que\

seja a magnitude do campo para pontos sobre o caminho. Ent˜aoš€ŠxŒ*›B

\

PY . Na regi˜ao do corte a corrente ´e zero e apenas a corrente de deslocamento con-tribui no lado direito da equac¸˜ao de Amp`ere-Maxwell. Como temos / * Tq *` * œPY 9 ¡¢ P—  X 9  ¡¢pY 9   X 9 2

a equac¸˜ao de Amp`ere-Maxwell nos fornece

\ PY´T ¡|pY 9   X 9  Portanto \  ¡¢pY P—X 9 

O campo magn´etico dentro da barra, a uma distˆanciaY do seu eixo, ´e dado exatamente pela mesma express˜ao. Neste caso, somente a corrente de conduc¸˜ao contribui no lado direito da lei de Amp`ere-Maxwell. Tome o ca-minho de integrac¸˜ao como sendo um c´ırculo centrado no eixo e paralelo `as faces da barra. A corrente atrav´es do c´ırculo ´e] Y 9 5X 9 ^ l e a equac¸˜ao de Amp`ere-Maxwell fornece \ PY´T  Y 9 X 9 l 2 de modo que \    l Y P—X 9    ¡¢pY 5P—X 9 2 onde substituimosl por¡¢ .