Aula 09 - Probabilidade-Introdução

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PROBABILIDADE E

ESTATÍSTICA

PROFESSOR: Heleno Pontes Bezerra Neto

Eng. Civil, M.Sc.

helenopontes@lccv.ufal.br

Maceió-AL 2014.2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

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SUMÁRIO DA AULA

INTRODUÇÃO

ESPAÇO AMOSTRAL

EVENTOS

PROBABILIDADE

PROPRIEDADES BÁSICAS

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE

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INTRODUÇÃO

 Muitas situação do nosso dia a dia são de natureza aleatória.

 O conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo de

probabilidades

é

uma

necessidade

essencial

para

compreensão desses fenômenos e estabelecimento de

inferências.

 Esse é mais um passo para o entendimento da estatística

inferencial.

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INTRODUÇÃO

 A palavra probabilidade está presente sempre que estivermos perante

um fenômeno aleatório, isto é, um fenômeno para o qual não sabemos

de antemão o que vai acontecer, na próxima repetição, mas para o qual

se admite uma certa regularidade a longo termo, ou seja, para um

grande número de repetições do fenômeno.

Fenômenos aleatórios:

• Resultado da Mega Sena;

• Resposta de uma doença a um tratamento feito com determinado

medicamento;

• Estado do tempo no dia seguinte;

• Chance de acerto de um aluno no exame de resposta múltipla, para o

qual não estudou;

• Comportamento do mercado perante um produto novo para lavar a

roupa;

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INTRODUÇÃO

 Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o

acaso.

 Da afirmação “é provável que meu time ganhe a partida de

hoje” pode resultar:

a) Que, apesar do favoritismo, ele perca;

b) Que, como esperado, ele ganhe;

c) Que empate.

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INTRODUÇÃO

 EXEMPLO:

Se medirmos a corrente em um fio fino de cobre, estaremos

conduzindo um experimento. Entretanto, em repetições diárias

da medida, os resultados podem diferir levemente, por causa

de pequenas variações em variáveis que não estejam

controladas em nosso experimento (temperatura ambiente,

variação nos medidores, ...).

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INTRODUÇÃO

Experimentos aleatórios

Experimento que pode fornecer diferentes resultados, muito embora seja

repetido toda vez da mesma maneira.

Objetivo:

Compreender, quantificar e modelar os tipos de variações

que encontramos com frequência.

Experimento/ Sistema

Entrada Saída

Variáveis controladas

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ESPAÇO AMOSTRAL

Espaço amostral

Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

O espaço amostral é normalmente denotado por S.

Cada um dos elementos de S recebe o nome de ponto amostral.

 Para entender e analisar um experimento aleatório, temos que entender o conjunto de resultados possíveis de um experimento.

 No lançamento de uma moeda há dois resultados possíveis: cara ou coroa; 𝑆 = {𝐶𝑎, 𝐶𝑜}

 No lançamento de um dado há seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

 Em dois lançamentos sucessivos de uma moeda:

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ESPAÇO AMOSTRAL

 EXEMPLO:

 Considere um experimento em que você seleciona uma tubulação para medir a espessura. Os valores possíveis de espessura dependem da resolução do instrumento de medição e também dos limites superior e inferior da espessura. Nesse caso pode ser conveniente definir o espaço amostral como simplesmente a linha real positiva.

𝑆 = 𝑅+ = {𝑥|𝑥 > 0}

 Se de antemão já se sabe que os conectores terão entre 10 e 11 mm de espessura, o espaço amostral poderia ser:

𝑆 = {𝑥|10 < 𝑥 < 11}

 Se o objetivo for considerar os níveis de espessura apenas como baixa, média e alta:

𝑆 = {𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎, 𝑚é𝑑𝑖𝑎, 𝑎𝑙𝑡𝑎}

*não existe espessura com valor negativo

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ESPAÇO AMOSTRAL

 Espaço amostral discreto: consiste em um conjunto finito ou infinito contável de resultados.

 Espaço amostral contínuo: consiste em um conjunto que contém um intervalo (tanto finito quanto infinito de números reais).

𝑆 = 𝑅+ = {𝑥|𝑥 > 0} 𝑆 = {𝑥|10 < 𝑥 < 11} 𝑆 = {𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎, 𝑚é𝑑𝑖𝑎, 𝑎𝑙𝑡𝑎}

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Como eventos são subconjuntos, podemos usar operações básicas de

conjuntos, tais como uniões, interseções e complementos para formar outros

eventos de interesse.

UNIÃO: a união de dois eventos é o evento que consiste em todos os

resultados que estão contidos em cada um dos dois eventos. 𝐸

₁

∪ 𝐸

₂

INTERSEÇÃO: a interseção de dois eventos é o evento que consiste em todos os

resultados que estão contidos simultaneamente nos dois eventos. 𝐸

₁

∩ 𝐸

₂

COMPLEMENTO: é o conjunto dos resultados no espaço amostral que não

estão no evento. Denotamos o complemento do evento 𝐸 por 𝐸

′

(ou 𝐸

𝐶

)

EVENTO

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EVENTO

INTERSEÇÃO

UNIÃO

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EVENTO

Assim, qualquer que seja 𝐸, se 𝐸 ⊂ 𝑆 (𝐸 está contido em 𝑆), então 𝐸 é um evento de 𝑆. Se 𝐸 = 𝑆 , 𝐸 é chamado de evento certo.

Se 𝐸 ⊂ 𝑆 e 𝐸 é um conjunto unitário, 𝐸 é chamado de evento elementar. Se 𝐸 = ∅ e 𝐸 é chamado de evento impossível.

EXEMPLO:

No lançamento de um dado, onde 𝑆 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , temos: 𝐴 = 2,4,6 ⊂ 𝑆

𝐵 = 1,2,3,4,5,6 ⊂ 𝑆, logo 𝐵 é um evento certo de 𝑆.

𝐶 = 4 ⊂ 𝑆, logo 𝐶 é um evento elementar de 𝑆. 𝐷 = ∅ ⊂ 𝑆, logo 𝐷 é um evento impossível de 𝑆.

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EVENTO

EXEMPLO:

No lançamento de um dado, onde 𝑆 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , temos: 𝐴 = 2,4,6 ⊂ 𝑆

𝐵 = 1,2,3,4,5,6 ⊂ 𝑆, logo 𝐵 é um evento certo de 𝑆.

𝐶 = 4 ⊂ 𝑆, logo 𝐶 é um evento elementar de 𝑆. 𝐷 = ∅ ⊂ 𝑆, logo 𝐷 é um evento impossível de 𝑆.

Um evento é sempre definido por uma sentença. Assim, os eventos acima podem ser definidos pelas sentenças:

• Obter um número par na face superior;

• Obter um número menor ou igual a 6 na face superior; • Obter o número 4 na face superior;

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PROBABILIDADE

 Dado um experimento aleatório, sendo 𝑆 o seu espaço amostral,

vamos admitir que todos os elementos de 𝑆 tenham a mesma chance

de ocorrer, ou seja, que 𝑆 é um

conjunto equiprovável

.

 Probabilidade de um evento

𝐴 (𝐴 ⊂ 𝑆)

o número real 𝑃(𝐴), tal que:

𝑃 𝐴 =

𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)

𝑛(𝐴) é o número de elementos de 𝐴

𝑛(𝑆) é o número de elementos de 𝑆

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PROBABILIDADE

EXEMPLO:

Considerando o lançamento de uma moeda e o evento 𝐴 “obter cara”, temos:

Logo:

Assim, ao lançarmos uma moeda equilibrada, temos 50% de chance de que apareça cara na face superior.

𝑆 = 𝐶𝑎, 𝐶𝑜 ⇒ 𝑛 𝑆 = 2 𝐴 = 𝐶𝑎 ⇒ 𝑛 𝐴 = 1

𝑃 𝐴 = 1 2

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PROBABILIDADE

EXEMPLO:

Considerando o lançamento de um dado, qual a probabilidade de ocorrer o

evento 𝐴 “obter um número par na face superior”.

𝑆 = 1,2,3,4,5,6 ⇒ 𝑛 𝑆 = 6 𝐴 = 2,4,6 ⇒ 𝑛 𝐴 = 3 𝑃 𝐴 = 3 6 = 1 2 𝑆 = 1,2,3,4,5,6 ⇒ 𝑛 𝑆 = 6 𝐵 = 1,2,3,4,5,6 ⇒ 𝑛 𝐴 = 6 𝑃 𝐴 = 6 6 = 1

A probabilidade de ocorrer o evento 𝐵 “Obter um número menor ou igual a 6 na face superior”:

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PROBABILIDADE

𝑆 = 1,2,3,4,5,6 ⇒ 𝑛 𝑆 = 6

𝐶 = 4 ⇒ 𝑛 𝐴 = 1 𝑃 𝐴 =

1 6

 A probabilidade de ocorrer o evento 𝐶 “obter um número 4 na face superior”:

𝑆 = 1,2,3,4,5,6 ⇒ 𝑛 𝑆 = 6

𝐷 = ∅ ⇒ 𝑛 𝐴 = 0 𝑃 𝐴 =

0

6 = 0

 A probabilidade de ocorrer o evento 𝐷 “obter um número maior que 6 na face superior”:

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PROBABILIDADE

Logo, podemos concluir que, sendo 𝑛 𝑆 = 𝑛:

 A probabilidade do evento certo é igual a 1: 𝑃 𝑆 = 1

 A probabilidade do evento impossível é igual a zero:

𝑃 ∅ = 0

 A probabilidade de um evento 𝑬 qualquer (𝐸 ⊂ 𝑆) é um

número real 𝑃(𝐸), tal que: 0 ≤ 𝑃 𝐸 ≤ 1

 A probabilidade de um evento elementar 𝐸 qualquer é,

lembrando que 𝑛 𝐸 = 1: 𝑃 𝐸 =

_𝑛1

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EVENTOS COMPLEMENTARES

 Um evento pode ocorrer ou não.

 Sendo 𝑃 a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade

de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre

a relação:

 Se a probabilidade de se realizar um evento é 𝑝 =

1₅

, a probabilidade de

que ele não ocorra é:

 A probabilidade de tirar o 4 no lançamento de um dado é 𝑝 =

1₆

. Logo, a

probabilidade de não tirar 4 é 𝑝 = 1 −

1₆

=

5₆

𝑝 + 𝑞 = 1 ⇒ 𝑞 = 1 − 𝑝

𝑞 = 1 − 𝑝 ⇒ 𝑞 = 1 − 1 5 =

4 5

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EVENTOS INDEPENDENTES

Dois eventos são independentes quando a realização ou não realização de um

dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.

 Lançamento dois lançamentos de um dado;

 Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos.

𝑝 = 𝑝₁ ∙ 𝑝₂

• No lançamento de dois dados, a probabilidade de ocorrer 1 no primeiro dados é 𝑝₁ = 1₆ .

• A probabilidade de ocorrer 5 no segundo dado é 𝑝₂ = 1₆. • A probabilidade de obtermos 1 no primeiro e 5 no segundo

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EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS

Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outros(s).

 No lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.

 Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual a soma das probabilidades de que cada um deles se realize:

 EXEMPLO: No lançamento de um dado, a probabilidade de se tirar ou 3 ou 5 é: 𝑝 = 𝑃₁ + 𝑃₂ 𝑝 = 1 6 + 1 6 = 2 6 = 1 3

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EXERCÍCIOS

1. Qual a probabilidade de sair o ás de ouro quando retiramos uma carta de baralho de 52 cartas?

𝑝 = 1 52

2. Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de baralho de 52 cartas?

𝑝 = 4 52 =

1 13

3. Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, qual a probabilidade de essa peça ser defeituosa

𝑝 = 4 12 =

1 3

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EXERCÍCIOS

1. Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes. Uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde. Uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes.

Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?

𝑝₁ = 3 9 = 1 3 𝑝2 = 2 8 = 1 4 𝑝3 = 4 9 Como os 3 eventos são independentes e simultâneos:

𝑝 = 1 3 ∙ 1 4 ∙ 4 9 = 1 27

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EXERCÍCIOS

São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual é a probabilidade de tirarmos uma dama e um rei, não necessariamente nessa ordem?

Probabilidade de tirarmos uma dama do primeiro baralho ₅₂4 e um rei do segundo baralho ₅₂4 é: 𝑝₁ = 4 52 ∙ 4 52 = 1 13 ∙ 1 13 = 1 169

A probabilidade de tirarmos um rei do primeiro baralho e uma dama do segundo baralho é: 𝑝₂ = 4 52 ∙ 4 52 = 1 169