Representações de hiperálgebras de laços e álgebras de multi-correntes

INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA

Departamento de Matemática

Tese de Doutorado

Representações de hiperálgebras de laços e

álgebras de multi-correntes.

por

Angelo Calil Biânchi

Orientador:

Prof. Dr. Adriano Adrega de Moura.

Coorientadora:

Prof

. Dr

. Vyjayanthi Chari.

Este trabalho contou com apoio financeiro da FAPESP. Campinas, 2012.

INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA

Angelo Calil Biânchi.

Representações de hiperálgebras de laços

e álgebras de multi-correntes

TESE DE DOUTORADO APRESENTADA AO INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA DA UNICAMP PARA

OBTENÇÃO DO TÍTULO DE DOUTOR EM MATEMÁTICA.

Orientador:

Prof. Dr. Adriano Adrega de Moura.

Coorientadora:

Prof

. Dr

. Vyjayanthi Chari.

Este exemplar corresponde à versão nal da tese defendida pelo aluno Angelo Calil Biânchi e orientada pelo Prof. Dr. Adriano Adrega de Moura.

Agradecimentos.

Em primeiro lugar, agradeço a Deus por TUDO.

Agradeço a força vinda de meu pai Pedro e minha mãe Ana, minha irmã Aline, minha avó Ignes, minha bisavó Santa e outros, os quais sempre constituíram maravi-lhosos exemplos e um porto seguro para mim. Em seu devido lugar especial, deixo minha gratidão à minha querida e amada esposa Isa, que por longo tempo desse douto-rado honrou apenas o título de namorada e sempre aguentou (...nem sempre vai) meu estresse.

Sou muito grato

aos grandes amigos e colegas sempre presentes. Em lugar muito especial: Adilson Presoto, Alexandre Ventura, Ricardo Miranda e Tiago Fuzaro. Além de todo o pessoal das gomas em que morei: Hostel, La Maison, Pia dos Macacos e RepNews.

aos companheiros de tantos anos no IMECC. Não me atreverei citar nomes, são muitos e ainda corro o risco de esquecer algum. Momentos de estudos e além, isso sempre será inesquecível.

ao Ed, à Lívia e à Tânia, por tantos conselhos, prosas e, no nal, poesia. a todos os professores do IMECC pelo imenso aprendizado oferecido e pelas valiosas conversas. Especialmente, meu ex-orientador Prof. Brumatti, Prof. Plamen e Prof. San Martin.

Em lugar muito especial, sou grato ao meu orientador, professor, amigo e pra sempre mestre, Prof. Dr. Adriano Adrega de Moura, pelas oportunidades, atenção, paciência, prossionalismo e dedicação sempre presentes. O mundo seria um lugar melhor se existissem mais pessoas assim.

Also in a very special way, I would like to express my gratitude to Professor Chari for the great opportunity she gave me at the University of California at Riverside and for all the attention she gave me while I was there. I also thank the sta and everybody at UCR for the great time I had there.

Now is the time to express my gratitude for all my foreign friends:

this moment to also thank the hospitality and nancial support that I had in Cologne at the Universität zu Köln - Germany during the Summer School - Geometry and Combinatorics in Representation Theory of Lie Algebras in October, 2010.

Apoorva Khare and Prasad Senesi, thanks for all the answers and explanations to the questions I made. Perhaps all your answers were just simple e-mails for both of you, but they were important pieces to complete my work.

Alex, it was a great time sharing the apartment with you. Maybe I was just one more roommate for you, but you were very important to me with all help that you gave me.

Matt, Nathan, Mike, Sam, Chris and others, thanks for all the support, the fri-endship, for my rst Friday's night at Riverside and for introducing me to the pineapple pizza with bacon and for all the iced coees.

Resumo.

Este trabalho é dedicado ao estudo de alguns assuntos da teoria de representações de certas álgebras que podem ser vistas como generalizações do conceito de álgebras de Kac-Moody am. De modo geral, o trabalho é dividido em duas partes: na primeira delas, abordamos questões sobre as representações de dimensão nita das hiperálgebras de laços torcidas e, na outra, abordamos certas propriedades homológicas da categoria de representações de uma álgebra de Lie multi-graduada, as quais são extremamente úteis para obter uma generalização do conceito de módulos de Kirillov-Reshetikhin.

Abstract.

This work is dedicated to the study of some aspects of the representation theory of certain algebras which can be regarded as generalizations of the concept of ane Kac-Moody algebras. The work is divided into two parts: the rst is concerned with the nite-dimensional representations of twisted hyper loop algebras and the other focuses on certain homological properties of the category of representations of a multigraded Lie algebra which are useful to study a generalization of the concept of Kirillov-Reshetikhin modules.

Sumário

1.1.1 Reticulado de raízes e pesos. . . 14

1.1.2 Grupo de Weyl, raízes reais e imaginárias. . . 15

1.1.3 Resultados particulares para as álgebras de tipo nito. . . 17

1.2 Módulos de peso e de peso máximo. . . 18

1.3 Realização das álgebras am não torcidas. . . 21

1.3.1 Álgebras de laços. . . 21

1.3.2 Revisitando o sistema de raízes da álgebra de laços. . . 23

1.4 Realização das álgebras am torcidas. . . 24

1.4.1 Automorsmos de diagrama. . . 24

1.4.2 Álgebras de laços torcidas. . . 26

2 Hiperálgebras. 29 2.1 Considerações iniciais. . . 29

2.2 Bases de Chevalley para álgebras torcidas. . . 30

2.3 Hiperálgebras. . . 36

2.3.1 Formas integrais e a construção das hiperálgebras. . . 37

2.3.3 Domínios de valoração discreta e funções de avaliação. . . 42

2.3.4 Estrutura de álgebra de Hopf. . . 45

2.4 Representações de dimensão nita de UF(g) e UF(˜g). . . 46

2.4.1 Módulos para hiperálgebras. . . 46

2.4.2 Módulos para hiperálgebras de laços não torcidas. . . 48

2.4.3 Um teorema tensorial. . . 51

2.5 Representações de dimensão nita de UF(˜g σ_{). . . . 56}

2.5.1 Módulos de `-peso máximo. . . 56

2.5.2 Módulos de avaliação. . . 61

2.5.3 Módulos de Weyl. . . 62

2.6 Torcidas versus não torcidas. . . 65

2.6.1 Sobre certos homomorsmos sobrejetivos. . . 65

2.6.2 Módulos simples para álgebras torcidas via restrições. . . 69

3 Multi-correntes. 73 3.1 Considerações iniciais. . . 73

3.2 A categoria G e seus objetos simples. . . 76

3.3 Módulos projetivos. . . 79

3.4 Categorias truncadas. . . 82

3.5 Extensões e álgebras restritas de grau um. . . 88

3.6 Uma fórmula de carácter. . . 90

3.7 Relações para módulos projetivos truncados. . . 94

Perspectivas futuras. 99 Apêndice. 101 A.1 Módulos sobre uma álgebra de Lie. . . 101

A.2 A álgebra universal envelopante. . . 102

A.3 Álgebras de Hopf. . . 104

A.4 Extensões. . . 107

A.5 Fórmulas binomiais. . . 108

A.6 Álgebra de Heisenberg 3-dimensional. . . 109

A.8 Minidicionário para categorias. . . 111

Referências Bibliográcas. 115

Introdução.

As álgebras de Lie e suas representações formam um extremamente rico e importante campo da matemática. Essa área pode ser muitas vezes tecnicamente abstrata, mas é também conhecida por suas conexões e aplicações a muitas outras áreas, tais como Geometria, Topologia, Física-Matemática e Combinatória Algébrica. Nos últimos 30 anos tem havido, especialmente, uma interação muito frutífera entre Física e Matemá-tica, resultando no surgimento de várias áreas de pesquisa e na descoberta de diferentes ferramentas em outras áreas já existentes.

Devido ao grande desenvolvimento da teoria de álgebras de Lie semissimples e suas representações, várias tentativas de generalizá-las foram feitas. Uma dessas tenta-tivas, a qual pode ser vista como uma generalização de sucesso, é a teoria das álgebras de Kac-Moody no nal dos anos 60. Essencialmente, as álgebras de Kac-Moody são obtidas da apresentação das álgebras de Lie simples em termos de geradores e relações (Teorema de Serre) por uma generalização da matriz de Cartan. Dentre as álgebras de Kac-Moody estão compreendidas as álgebras de Lie simples de dimensão nita e as cha-madas álgebras de Kac-Moody am, as quais podem ser subdivididas em não torcidas e torcidas. Essas álgebras de Kac-Moody, juntamente com a teoria de suas representa-ções, tem sido intensivamente estudadas, devido tanto à riqueza estrutural, como pelas suas aplicações em Física-Matemática na teoria de modelos integráveis, equações de Yang-Baxter etc.

No que se segue vamos precisar de algumas notações. Dada uma álgebra de Lie a, denotaremos por U(a) sua álgebra universal envelopante e por ˜a = a ⊗ C[t, t−1] e a_{[t] = a ⊗ C[t] sua álgebra de laços e de correntes, respectivamente. No caso em que a} é uma álgebra de Lie simples de dimensão nita sobre C e de tipo A, D ou E, devido às simetrias dos diagramas de Dynkin dessas álgebras, elas sempre admitem automor-smos não triviais, denominados automorautomor-smos de diagramas. Um tal automorsmo de diagrama se estende naturalmente para a álgebra de laços ˜a de a e a partir disso dene-se a chamada álgebra de laços torcida como o conjunto de pontos xos desse

automorsmo em ˜a, a qual denotaremos por ˜aσ_.

O principal fator que torna as álgebras de Kac-Moody am interessantes é que, por um lado, elas são a priori denidas por geradores e relações codicadas na matriz de Cartan generalizada e, por outro, elas admitem uma realização (construção) concreta a partir de uma álgebra de Lie simples de dimensão nita por meio de sua álgebra de

e das álgebras de laços torcidas.

Muitas questões sobre a categoria de representações de dimensão nita das álge-bras am foram tratadas por Chari em [6], Chari e Moura em [17] e Chari e Presley em [18], entre outros. Em [20], Chari e Pressley deniram os chamados módulos de Weyl, nome dado devido a uma analogia com a teoria de representações modulares de grupos algébricos. De modo geral, a propriedade universal dos módulos de Verma na consolidada Categoria O de Bernstein-Gelfand-Gelfand (e outras) é em grande parte substituída pelas propriedades dos então denidos módulos de Weyl. Os módulos sim-ples são módulos de peso máximo em um certo sentido  usualmente chamados de módulos de `-peso máximo. Os módulos de Weyl são os objetos universais com relação à propriedade de serem de dimensão nita e de `-peso máximo no sentido que qualquer outro módulo satisfazendo essa propriedade é um quociente de algum módulo de Weyl. O estudo de representações de dimensão nita das álgebras de Kac-Moody am torci-das, incluindo a construção dos módulos de Weyl e a classicação dos módulos simples, foi feito recentemente nos artigos [8], por Chari, Fourier e Senesi, e [52], por P. Senesi. A partir dessa discussão, estamos prontos para passar ao cenário das hiperálge-bras. Vamos a seguir dar uma ideia mais precisa do que são essas hiperálgebras e como elas surgem. Para isso, faremos uma pequena digressão sobre grupos algébricos: seja G um grupo algébrico conexo e semissimples sobre um corpo algebricamente fechado F. O espaço tangente a G no seu elemento neutro é uma álgebra de Lie sobre F, a qual denotaremos por L(G). Se o corpo F é de característica zero, estudar representações suaves de G é equivalente a estudar representações de dimensão nita de L(G). Por sua vez, independentemente do corpo base, estudar representações de L(G) é equivalente a estudar representações de sua álgebra envelopante U(L(G)), a qual é uma álgebra associativa com unidade, de dimensão innita, contendo L(G) como subespaço vetorial e gerada por L(G) e F no contexto de álgebras associativas. Em característica positiva, a primeira equivalência mencionada acima não é verdadeira. Para resolver este problema é necessário considerar a chamada álgebra de distribuições de G, a qual denotaremos por D(G). Essa álgebra também contém L(G) como subespaço vetorial, mas só é gerada por L(G) se F for de característica zero, caso no qual as álgebras U(L(G)) e D(G) se tornam isomorfas. Portanto, o estudo das hiperálgebras é de fato distinto do estudo de álgebras de Lie apenas em característica positiva. A álgebra D(G) age naturalmente em todo G-módulo e foi conjecturado por Verma e provado por Sullivan em [54], que toda representação de dimensão nita de D(G) pode ser levantada a uma representação racional de G. Atendo-se ao caso em que G é um grupo de Chevalley simplesmente conexo associado a uma álgebra de Lie simples de dimensão nita sobre C, é provado que a álgebra D(G) é isomorfa à álgebra construída tomando a forma integral de Kostant de g := L(G), denotada por UZ(g), e tensorizando-a com F sobre Z, i.e., UZ(g) ⊗Z F,

que denotaremos por UF(g). É num contexto puramente algébrico como esse que parte

Recentemente Jakeli¢ e Moura em [32] iniciaram o estudo das chamadas hiperál-gebras de laços UF(˜g), com F sendo um corpo algebricamente fechado e de característica

positiva p, e abordaram várias questões voltadas às representações de dimensão nita dessas álgebras. Dentre essas questões, foram classicados os módulos irredutíveis, construídos os módulos de Weyl e iniciada uma teoria de redução módulo p. Essas hiperálgebras de laços são construídas de maneira similar às hiperálgebras através de

uma forma integral para U(˜g), denotada por UZ(˜g), que vem a ser a forma integral

introduzida por Garland em [30] (ver também [55]). Foi conjecturado em [32] certas propriedades do processo de redução módulo p dos módulos de Weyl introduzido por Chari e Pressley. O primeiro resultado desse trabalho versa sobre produtos tensoriais de módulos de Weyl e era parte dessa conjectura em [32]. Resumidamente, com uma parte dessa conjectura obtemos uma generalização para característica positiva de um teorema provado por Chari e Pressley em [20] e essa generalização era, também, parte da conjectura de [32]. Os detalhes são apresentados na Seção 2.4.3.

Posteriormente a Garland, Mitzman em [42] construiu formas integrais para as álgebras envelopantes das álgebras de laços torcidas U(˜gσ₎associadas a automorsmos

não triviais do diagrama de Dynkin de g, o que torna natural denir as hiperálgebras de laços torcidas UF(˜g

σ_{) analogamente ao que foi feito para as álgebras não torcidas.}

O estudo de questões sobre a categoria de representações dimensão nita dessas hiper-álgebras é o assunto da primeira parte principal desta tese. Após darmos os detalhes da construção dessas álgebras na Subseção 2.3.1, são discutidas propriedades de mó-dulos de avaliação na Subseção 2.3.3, denidos os mómó-dulos de Weyl e classicados os U_F(˜gσ)-módulos irredutíveis em termos de seus `-pesos máximos na Seção 2.5. Também mostramos no Teorema 2.3.10 que a álgebra UF(˜g

σ_{)pode ser vista de maneira natural}

como subálgebra de UF(˜g). O último resultado dessa parte da tese, apresentado no

Teorema 2.6.7, diz que, se a característica de F não é igual à ordem de σ, os módulos simples de UF(˜g

σ_{)são isomorfos à restrição da ação de U}

F(˜g)a UF(˜g

σ_{)de certos módulos}

simples para UF(˜g). Esses resultados estão prestes a serem submetidos para publicação

[3].

Agora, voltando-se para a álgebra g[t], observa-se que um grande volume de ar-tigos foi dedicado ao estudo de suas representações de dimensão nita, por exemplo [9, 14, 15, 24, 28]. É interessante notar que várias propriedades dos módulos de Weyl para ˜g foram obtidas através do estudo da restrição da ação a g[t]. Outros proeminentes exemplos de representações de dimensão nita das álgebras de correntes (presentes nes-ses mesmos artigos citados) são os módulos de Demazure e Kirillov-Reshetikhin. Todas essas representações pertencem à categoria de g[t]-módulos Z+-graduados, para os quais

foi desenvolvida por Chari e Greenstein a série de artigos [9, 10, 11] dedicados ao estu-dos de propriedades homológicas da categoria de suas representações. Esses trabalhos oferecem uma diferente perspectiva para o estudo de representações das álgebras am quantizadas, como por exemplo ver os limites clássicos das chamadas anizações mini-mais como objetos projetivos em certas categorias de g[t]-módulos graduados. Como

um pouco mais gerais que g[t] e obtiveram resultados relacionados com álgebras de Koszul e de Hecke.

A contribuição do nosso trabalho nesse âmbito é a obtenção de parte dos resultados de [12] para o contexto de uma álgebra de Lie a multi-graduada, isto é, graduada por

Z`+, cuja parte graduada de grau zero é uma álgebra Lie simples g de dimensão nita

sobre C e as demais partes graduadas são g-módulos de dimensão nita. Claramente as álgebras de multi-correntes g[t1, · · · , tn] = g ⊗ C[t1, · · · , tn] estão compreendidas

nesse caso. Esses resultados são apresentados ao longo do Capítulo 3. Em particular, no Teorema 3.6.5 (revisitado no Corolário 3.7.5), obtemos uma fórmula de carácter multi-graduada de comportamento recursivo e, no Teorema 3.7.3, uma generalização do conceito de módulos de Kirillov-Reshetikhin em multi-variáveis.

Organização do texto.

No Capítulo 1 xamos a notação e apresentamos os preliminares básicos para o desen-volvimento das duas partes do trabalho proposto. Abordamos nele os rudimentos da teoria de álgebras de Kac-Moody, módulos de peso e de peso máximo e uma realização das álgebras de Kac-Moody am. Os Capítulo 2 e 3 correspondem aos capítulos que tratam dos problemas principais, conforme explicado na Introdução.

Optamos também em inserir alguns apêndices com resultados diversos que foram usados ao longo do texto. Assim, tratamos sobre álgebras de Hopf no Apêndice A.3 e a álgebra universal envelopante e o Teorema de Poincaré-Birkho-Witt no Apêndice A.2. Os Apêndices A.1 e A.8 apresentam uma miscelânea de terminologias sobre mó-dulos, categorias e funtores. Já o apêndice A.7 apresenta resultados extremamente importantes sobre domínios de valoração discreta, fortemente utilizados no Capítulo 2. Nesse mesmo sentido, o Apêndice A.4 apresenta resultados que foram necessários para o Capítulo 3, abordando extensões entre módulos. Outros dois apêndices, A.6 e A.5, tratam simplesmente de duas fórmulas relacionadas com combinatória, as quais foram utilizadas várias vezes ao longo do texto.

Evidentemente que tanto o Capítulo 1, quanto os apêndices, estão longe de serem sucientes para que o leitor aprenda sobre os assuntos ali contidos. A princípio, servem para o leitor fazer a leitura do trabalho e apresentar referências aprofundadas.

Notações.

N : conjunto dos números naturais. Z : conjunto dos números inteiros.

Z+ :conjunto dos números inteiros não negativos.

A× :conjunto dos elementos invertíveis de um anel A.

|X| : cardinalidade de um conjunto X.

A → B : função do conjunto A no conjunto B.

A ,→ B : função injetora do conjunto A no conjunto B.

A  B : função sobrejetora do conjunto A no conjunto B. ker(f ) : núcleo de uma função f.

imf : imagem de uma função f.

f |A :restrição da função f ao conjunto A.

a 7→ b : regra de formação de uma função que associa a a b.

{−}i∈I : conjunto de elementos indexado num conjunto de índices I.

t : união disjunta.

Capítulo 1

Preliminares.

Em 1967, V.G. Kac e R. V. Moody iniciaram independentemente o estudo de certas álgebras de Lie, as quais hoje são denominadas Álgebras de Kac-Moody. No presente capítulo, será feita uma revisão da teoria básica dessas álgebras e suas representações de peso máximo, em seguida daremos enfoque para as chamadas Álgebras de Kac-Moody am. Não apresentaremos as demonstrações, que podem ser encontradas em [5, 35].

Ao longo deste capítulo, K indicará um corpo algebricamente fechado e de carac-terística zero.

1.1 Álgebras de Kac-Moody.

Iniciaremos com as propriedades das matrizes de Cartan generalizadas e depois passa-remos para as propriedades da álgebra de Kac-Moody associada.

Denição 1.1.1. Seja I um conjunto nito. Uma matriz C = (cij)i,j∈I com entradas

em Z é chamada de matriz de Cartan generalizada, abreviada por MCG, se, para todos i, j ∈ I, tem-se

(i) cii = 2, (ii) cij ≤ 0 sempre que i 6= j e (iii) cij = 0 ⇔ cji= 0.

Se existir sk ∈ Z>0, para cada k ∈ I, tal que skckj = sjcjk, para todo j ∈ I, então

C é dita simetrizável. Além disso, uma matriz de Cartan generalizada simetrizável C

é chamada de matriz de Cartan se a matriz simétrica SC, com S = diag(si | i ∈ I),

é positiva-denida. Adicionalmente, uma matriz C = (cij)i,j∈I é dita indecomponível

se, para qualquer escolha de subconjuntos não vazios I1, I2 ⊂ I tais que I = I1 t I2,

existem i ∈ I1 e j ∈ I2 satisfazendo cij 6= 0. Caso contrário, C é dita decomponível.

O termo matriz de Cartan generalizada será abreviado por MCG. Observe que,

no caso em que C é simetrizável, pode-se escolher os números si ∈ Z de modo que

mdc(si | i ∈ I) = 1. A partir de agora, vamos supor que C é uma MCG simetrizável e

Exemplo 1.1.2.

1. Se |I| = 1, então a única MCG possível é C = (2), a qual é, particularmente, uma matriz de Cartan. 2.  2 −1 −1 2 

é uma matriz de Cartan. 3.  2 0_{0 2}



é uma matriz de Cartan decomponível. 4.



2 −2

−2 2



é uma MCG simétrica indecomponível e não é uma matriz de

Car-tan. 

Proposição 1.1.3. Apenas uma das seguintes opções é válida para cada MCG sime-trizável e indecomponível C:

(a) SC é positiva-denida (todos os menores principais são positivos);

(b) SC é semi positiva-denida de coposto 1 (todos os menores principais próprios são positivos e det(C) = 0);

(c) SC é indenida.

A partir dessa tricotomia é estabelecido o seguinte:

Denição 1.1.4. Uma matriz é dita ser de tipo nito se satisfaz (a), de tipo am se satisfaz (b) e de tipo indenido se satisfaz (c).

As entradas de uma MCG podem ser armazenadas num grafo chamado diagrama de Dynkin generalizado, denido a seguir:

Denição 1.1.5. Dada uma matriz de Cartan C = (cij)i,j∈I, o diagrama de Dynkin de

C é um grafo com I vértices tal que dois vértices i e j são ligados da seguinte forma: (i) Se cijcji ≤ 4, os vértices i e j são ligados por max(|cij|, |cji|)arestas com uma seta

> apontando para i se |cij| > 1.

(ii) Se cijcji > 4, os vértices i e j são ligados por uma aresta com o par (|cij|, |cji|)

sobre ela.

Um subdiagrama de um digrama de Dynkin consiste de um subconjunto de vértices com todas as arestas do diagrama original que ligam esses vértices.

Não é difícil notar que (i) e (ii) determinam completamente a matriz C. No caso de matrizes de tipo nito e am, que são os casos relevantes para nossos objetivos, tem-se cijcji ≤ 4 para todos i, j ∈ I, simplicando a denição acima.

As tabelas a seguir sumarizam o teorema de classicação de MCG's de tipo nito

e am. Na Tabela 1.1 o número de vértices do diagrama de tipo Xn é n. Nas Tabelas

1.2 e 1.3 o número de vértices do diagrama de tipo X(1)

n , A(2)_2n, A(2)_2n−1 e D(2)_n+1 é n + 1.

Tabela 1.1: Diagramas de Dynkin de tipo nito.

An: e e e e Bn: e e e> e Cn: e e e< e Dn: e e e e e E6: e e e e e e E7: e e e e e e e E8: e e e e e e e e F4: e e> e e G2: e> e

Tabela 1.2: Diagramas de Dynkin de tipo am não torcido. A(1)₁ : e<>e A(1)n : (n ≥ 2) e e e e e !! !!! aa a aa Bn(1): (n ≥ 3) e e e e e e > Cn(1): (n ≥ 2) e> e e e< e Dn(1): (n ≥ 4) e e e e e e E₆(1): e e e e e e e E₇(1): e e e e e e e e E₈(1): e e e e e e e e e F₄(1): e e e> e e G(1)₂ : e e> e

Tabela 1.3: Diagramas de Dynkin de tipo am torcido. A(2)₂ : e< e A(2)_2n: (n ≥ 2) e< e e e< e A(2)_2n−1: (n ≥ 3) e e e e e e < D(2)_n+1: (n ≥ 2) e< e e e> e E₆(2): e e e< e e D₄(3): e e< e

As matrizes associadas com os diagramas de tipo An, Bn, Cn e Dnsão as matrizes

das conhecidas álgebras clássicas sln+1, so2n+1, sp2n e so2n, respectivamente.

Passaremos agora ao estudo da álgebra denida a partir de uma matriz de Cartan generalizada.

Denição 1.1.6. Sejam r = posto(C) e J ⊆ I tal que |J| = r e (cij)i,j∈J é invertível.

Dene-se a álgebra de Kac-Moody g(C) como a álgebra de Lie sobre K dada por gera-dores {x±

i , hi, dj | i ∈ I, j ∈ I \ J} satisfazendo, para todos i, j ∈ I e k, l ∈ I \ J, as

seguintes relações: [hi, hj] = 0, [hi, x±j] = ±cijx±j , [dk, dl] = 0, [hi, dk] = 0, [dk, x±i ] = ±δijx±j , [x + i , x − j ] = δijhi e ad(x±i ) 1−cij_(x± j ) = 0 (i 6= j). Os geradores x±

i e hi, i ∈ I, são chamados de geradores de Chevalley-Kac e as relações

são chamadas de relações de Chevalley-Serre.

Denote por d, h0_{, n}+ _{e n}− _{as subálgebras de g(C) geradas por {d}

j | j ∈ I \ J}, {hi | i ∈ I}, {x+i | i ∈ I} e {x − i | i ∈ I}, respectivamente. Dena h = h 0 _{⊕ d e observe} que dim(h) = dim(h0) + |I \ J | = 2n − r,

com n = |I|. A álgebra derivada de g(C), i.e., (g(C))0 _{= [g(C), g(C)], é a subálgebra}

de g(C) gerada por {x±

i | i ∈ I} e, consequentemente, g(C)/g(C)

0 ∼

= d, ou seja,

0 −→ g(C)0 −→ g(C) −→ d −→ 0

é uma sequência exata.

Proposição 1.1.7. Uma álgebra de Kac-Moody g admite uma decomposição em soma direta de espaços vetoriais

g= n−⊕ h ⊕ n+.

Para cada subconjunto K de I, considere gK sendo a subálgebra gerada por {x

± k |

k ∈ K} e, similarmente, dena as subálgebras h_K e n±_K. Note que g_K é isomorfa à

Exemplo 1.1.8. Seja K = {k} ⊆ I, então a subálgebra gerada por x±

k é isomorfa à

álgebra de Lie sl2. Em particular, sl2 é isomorfa à álgebra de Kac-Moody associada à

matriz de Cartan (2) ∈ M1(Z). 

O resultado a seguir garante que o estudo das álgebras de Kac-Moody pode ser resumido ao estudo das álgebras de Kac-Moody associadas às matrizes indecomponíveis. Proposição 1.1.9. Seja C = (ci,j)i,j∈I uma MCG e I1, I2 ⊆ I tais que I1, I2 6= ∅,

I = I1 t I2 e cij = 0 para i ∈ I1 e j ∈ I2. Se C1 = (cij)i,j∈I1 e C2 = (cij)i,j∈I2, então

g(C) ∼= g(C1) ⊕ g(C2)com o colchete natural da soma direta.

Justicado por essa proposição, a partir de agora será suposto que C é uma MCG

simetrizável indecomponível e que g(C), h e n± _{são denidos como nessa seção.}

Teorema 1.1.10. Seja C uma MCG e g = g(C) a álgebra de Kac-Moody associada. (a) C é de tipo nito se, e somente se, g é de dimensão nita. Nesse caso, g é simples.

(b) C é de tipo am se, e somente se, det(C) = 0 e gK é de dimensão nita para todo

K ( I.

(c) C é de tipo indenido se, e somente se, C tem um menor principal negativo. A partir desse teorema conclui-se que C é de tipo nito se, e somente se, C é uma matriz de Cartan no sentido usual da Teoria de Lie clássica.

A álgebra universal envelopante U(g(C)) de uma álgebra de Kac-Moody g(C) (veja Apêndice A.2) também pode ser vista como uma álgebra dada por geradores e relações do seguinte modo:

Proposição 1.1.11. A álgebra U(g(C)) é isomorfa à álgebra associativa dada por geradores {x±

i , hi, dj | i ∈ I, j ∈ I \ J} satisfazendo, para todo i, j ∈ I, as relações da

Denição 1.1.6, sendo que a última delas é substituída por

1−cij X k=0 (−1)k1 − cij k  (x±_i )1−cij−k_x± j (x ± i ) k _{= 0.}

Pelo Teorema de Poincaré-Birkho-Witt (veja Apêndice A.2) e pela Proposição 1.1.7, temos

1.1.1 Reticulado de raízes e pesos.

Nesta seção revisamos a construção dos reticulados de raízes e de pesos, bem como sistemas de raízes de álgebras de Kac-Moody.

Começamos com o seguinte resultado sobre funcionais lineares:

Proposição 1.1.12. Dado i ∈ I, existe único αi ∈ h∗ tal que αi(hj) = cij, para todo

j ∈ I, e αi(dj) = δij, para todo j ∈ I \ J. Além disso, {αi | i ∈ I} é linearmente

independente e [h, x±

i ] = ±αi(h)x±i para todos i ∈ I e h ∈ h.

Por abuso de notação, a restrição de αi a h0 continuará sendo denotada por αi.

Note que, quando C é singular, o conjunto {αi | i ∈ I} é linearmente dependente

quando visto como um subconjunto de (h0

)∗.

Denição 1.1.13. O reticulado de raízes Q de g é o subgrupo de h∗ _{gerado por {α}

i |

i ∈ I}, i.e., Q = P_i∈IZαi ⊆ h∗. O submonóide P_i∈IZ+αi será denotado por Q+.

Dado η = Pi∈Iaiαi ∈ Q, o número ht(η) = |η| =

X

i∈I

ai é chamado de altura de η.

Dene-se uma ordem parcial em h∗ _por

µ ≤ λ se, e somente se, λ − µ ∈ Q+.

Denição 1.1.14. Para cada i ∈ I, o único elemento ωi ∈ h∗ satisfazendo ωi(hj) = δij

e ωi(dj) = 0, para todo j ∈ I \ J, é chamado de i-ésimo peso fundamental. O Z-módulo

gerado pelos pesos fundamentais, i.e., P = Pi∈IZωi ⊆ h

∗

, é chamado de reticulado

de pesos de g e os elementos de P são chamados pesos integrais. O submonóide P+ ₌

P

i∈IZ+ωi ⊆ P é denominado cone de pesos dominantes e seus elementos são ditos

pesos dominantes.

Dado α ∈ h∗_{, considere}

g_α = {x ∈ g | [h, x] = α(h)xpara todo h ∈ h}. Segue da identidade de Jacobi que

[g_α, g_β] ⊆ g_α+β para todo α, β ∈ h∗. Além disso, g±αi é gerado por x

±

i para todo i ∈ I.

Denição 1.1.15. Um elemento não nulo α ∈ h∗ _{tal que g}

α 6= 0 é chamado de raiz

de g, enquanto que gα é o espaço de raiz associado à raiz α. O conjunto R de todas

as raízes de g é dito um sistema de raízes de g. Os elementos de R+ _{= R ∩ Q}+ são

chamados de raízes positivas e os de R− _{= −R}+ _{são chamados de raízes negativas de}

g. Os elementos αi (i ∈ I) são chamados de raízes simples e o conjunto dessas será

Proposição 1.1.16. Para toda álgebra de Kac-Moody tem-se R ⊆ Q e R = R+_∪−R+_.

Mais ainda, g0 = h, g±αi = Kx

± i , n

± _{= ⊕}

α∈R+g_±αe dim(g_α) < ∞para toda raiz α ∈ R.

Finalmente observamos que a álgebra U(g) é Q-graduada com partes graduadas dadas por

U (g)β = {x ∈ U (g) | [h, x] = β(h)xpara todo h ∈ h}, com [h, x] = hx − xh,

para cada β ∈ Q. Além disso, denindo U(n±₎

β = U (n±) ∩ U (g)β, temos U(h) ⊆ U(g)0

e U(n±₎

β 6= 0 somente se β ∈ ±Q+.

1.1.2 Grupo de Weyl, raízes reais e imaginárias.

A forma de Killing é uma importante ferramenta para a teoria clássica de álgebras de Lie semissimples, mas não pode ser denida no caso de álgebras de dimensão innita. Entretanto, uma forma bilinear com as mesmas propriedades e importância também pode ser associada a g(C), como segue:

Proposição 1.1.17. Existe uma única forma bilinear simétrica invariante (·, ·) sobre gsatisfazendo: (hi, hi0) = cij sj , (x+_i , x−_i0) = δij sj , (x±_i , x±_i0) = 0, (h_i, x±_i0) = 0, (dj, dj0) = 0, (d_j, x± i ) = 0 e (hi, dj) = δij sj

para todos i, i0 _{∈ I e j, j}0 _{∈ I \ J. Mais ainda, (·, ·) é não degenerada e sua restrição a}

h também é não degenerada.

Observação 1.1.18.

1. Note que se J 6= I, então a restrição de (·, ·) a g0 _{é degenerada. De fato, a matriz}

da restrição de (·, ·) a h0 _{com respeito à base {h}

i | i ∈ I0} é dada por CS−1.

Em particular, a restrição de (·, ·) a h0 _{é não degenerada se, e somente se, C é}

invertível.

2. No caso em que g é de dimensão nita, (·, ·) é um múltiplo escalar da forma de Killing.

Como (·, ·)|h×h é não degenerada, existe um único isomorsmo linear

h∗ −→ h

com tλ sendo o único elemento de h satisfazendo (tλ, h) = λ(h) para todo h ∈ h. Assim,

induz-se uma forma bilinear simétrica (·, ·) em h∗ _denindo

(λ, µ) = (tλ, tµ) para todos λ, µ ∈ h∗.

Observe que

(λ, µ) = λ(tµ) = µ(tλ), para todos λ, µ ∈ h∗,

e a matriz da restrição de (·, ·) ao subespaço gerado por Q com respeito à base {αi |

i ∈ I}é SC, i.e.,

(αi, αj) = sicij para todos i, j ∈ I.

Dado i ∈ I, considere ri ∈ EndK(h ∗ ) denido por ri(λ) = λ − λ(hi)αi = λ − 2 (λ, αi) (αi, αi) αi.

Note que ri2 =id, ri(λ) = λse (λ, αi) = 0, ri(αi) = −αi e αi = ωi− ri(ωi).

Denição 1.1.19. As transformações ri (i ∈ I) são chamadas de reexões simples. O

grupo de Weyl W de g é o subgrupo de AutK(h

∗

) gerado pela reexões simples. Dado

w ∈ W, uma expressão w = ri1ri2· · · ril é dita uma expressão reduzida para w se l

é mínimo e, nesse caso, l é dito ser o comprimento de w e denotado por `(w). Dois

elementos µ, ν ∈ h∗ _{na mesma W-órbita são ditos W-conjugados. Uma raiz α de g é}

chamada de raiz real se for conjugada a uma raiz simples. Caso contrário, é dita raiz imaginária.

Exemplo 1.1.20. `(ri) = 1, para cada i ∈ I, e `(id) = 0. A expressão rirjrj é uma

expressão não reduzida para ri. 

Observação 1.1.21. O grupo de Weyl é um exemplo de grupo de Coxeter, mas pro-priedades decorrentes disso não serão utilizadas aqui.

Um importante fato é que a forma (·, ·) é invariante pela ação de W, i.e.,

(α, β) = (wα, wβ) para todos α, β ∈ h∗ e w ∈ W.

Teorema 1.1.22. As seguintes condições são equivalentes:

(a) dim(g) < ∞, (b)|R| < ∞, (c)|W| < ∞ e (d) Toda raiz é real.

Para nalizar essa seção, seguem alguns resultados importantes sobre raízes reais e seus correspondentes espaços de raízes:

Proposição 1.1.23. Sejam α, β ∈ R raízes reais. Então, (a) kα ∈ R se, e somente se, k = ±1.

(b) Se β 6= ±α, então existem p, q ∈ Z+ tais que β + kα ∈ R para todo k ∈ Z

satisfazendo −p ≤ k ≤ q.

Proposição 1.1.24. Para todos α ∈ R e w ∈ W tem-se dim gα = dim gwα. Em

particular, se α é uma raiz real, então dim gα = 1. Nesse caso, a subálgebra de g gerada

por g±α é isomorfa a sl2.

1.1.3 Resultados particulares para as álgebras de tipo nito.

Nesta seção apresentaremos alguns resultados sobre uma álgebra de Kac-Moody de tipo nito.

• Existe único w0 ∈ W de comprimento máximo. Além disso, `(w0) = |R+|, w20 =id

e, se w0 = ri1· · · ril é uma expressão reduzida para w0, então

R+ = {αi1, ri1αi2, ri1ri2αi3, ri1. . . ril−1αil}.

• Todo elemento de P é W-conjugado a um único elemento de P+. Mais ainda,

seja λ ∈ P+ _{e dena P (λ) = {w(µ) | w ∈ W, µ ∈ P}+_{, µ ≤ λ}. Então,}

(i) w(λ) ≤ λ para todo w ∈ W. Em particular, ν ≤ λ para todo ν ∈ P (λ). (ii) P (λ) é um conjunto nito, w0(λ) ∈ −P+ e w0(λ) ≤ µ para todo µ ∈ P (λ).

(iii) Se i ∈ I e w ∈ W são tais que `(riw) = `(w) + 1, então w−1(αi) ∈ R+. Em

particular, w(λ) + αi ∈ P (λ)/ .

• Existe uma única raiz maximal θ em R com respeito à ordem parcial ≤ em h∗.

Além disso, θ é a raiz de altura máxima de g.

• O conjunto {(α, α) | α ∈ R} possui no máximo dois elementos. A cardinalidade

é um se, e somente se, g é de tipo ADE.

Assim, dentre o conjunto das raízes positivas de g, distinguem-se as raízes curtas e longas do seguinte modo: uma raiz positiva α é dita curta se (α, α) < (θ, θ). Caso contrário, α é dita longa. Nos casos ADE, geralmente é usada a convenção de que todas as raízes são curtas e longas.

• Dado α ∈ R, considere hα = _(α,α)2tα (relembre a denição de tα em (1.1.2)). Note

que hαi = hi para todo i ∈ I. Além disso, se α = Piniαi, então

hα = X i n∨_ihi com n∨i = (αi, αi) (α, α) ni. (1.1.3)

É possível escolher vetores x±

α ∈ gα, para todo α ∈ R+, de modo que [x+α, x − α] = hα e, se cα,β é denido por [x±α, x ± β] = cα,βx ± α+β, então cα,β = −c−α,−β Uma base {x±

α, hi | α ∈ R+, i ∈ I}satisfazendo essas condições é chamada de base

(a) [hi, hj] = 0,

(b) [hi, x±α] = ±α(hi)x±α e

(c) [x+

α, x−α] = hα é uma Z-combinação linear de hi, i ∈ I.

• A forma de Killing (·, ·) de g é invariante com respeito a automorsmos de g, i.e.,

(σx, σy) = (x, y) para todos x, y ∈ g e σ ∈ Aut(g). (1.1.4)

1.2 Módulos de peso e de peso máximo.

Seja V um g-módulo para uma álgebra de Kac-Moody g. Dado µ ∈ h∗_{, considere}

Vµ= {v ∈ V | hv = µ(h)v para todo h ∈ h}.

Vµ é chamado de espaço de peso de peso µ de V . Se Vµ 6= 0, µ é dito um peso de V e

dim Vµ é denominada a multiplicidade de µ como peso de V . O conjunto de pesos de

V será denotado por wt(V ) = {µ ∈ P | Vµ 6= 0}. Um módulo V é dito um módulo de

peso se admite uma decomposição em espaço de pesos

V = M

µ∈h∗

Vµ.

A partir das relações

[h, x±_i ] = ±αi(h)x±i para todos i ∈ I e h ∈ h,

temos

x±_i Vµ⊆ Vµ±αi, para todo i ∈ I. (1.2.1)

Além disso, para todos µ, ν ∈ h∗ _tem-se

Vµ⊗ Vν ⊆ (V ⊗ V )µ+ν.

Um vetor não nulo v de Vµ é chamado de vetor de peso µ e, se n+v = 0, então v é

chamado de vetor de peso máximo µ. Uma representação gerada por um vetor de peso máximo é chamada de módulo de peso máximo.

Proposição 1.2.1. Seja V um g-módulo de dimensão nita. Então, (a) V é a soma direta de seus espaços de pesos.

Segue de (1.2.1) que a soma dos espaços de peso de uma representação é uma sub-representação e que módulos de peso máximo são módulos de peso. Nesse caso, a

decomposição (1.1.1) de U(g) implica que V = U(n−_{)v e, com isso, se o peso de v é λ,}

então

dim Vλ = 1, dim Vµ < ∞, para todo µ ∈ wt(V ), e V =

M

µ≤λ

Vµ.

(Isso explica o termo vetor de peso máximo!).

Proposição 1.2.2. Seja M um módulo de peso máximo com peso máximo λ.

(a) Todo quociente não nulo de M é também um módulo de peso máximo com peso máximo λ.

(b) Todo submódulo de M é soma direta de seus subespaços de pesos.

(c) M possui um único submódulo próprio maximal e, portanto, um único quociente irredutível. Em particular, M é indecomponível.

(d) Todos os módulos simples de peso máximo com peso máximo λ são isomorfos. Observação 1.2.3. As noções de vetor de peso mínimo e módulo de peso mínimo são

denidas trocando os papéis dos geradores x±

i . Evidentemente, todos os resultados

provados para módulos de peso máximo são naturalmente traduzidos para módulos de peso mínimo.

Vamos a seguir construir uma importante família de módulos de peso máximo.

Dado λ ∈ h∗_{, seja M(λ) o g-módulo gerado por um vetor satisfazendo as relações de}

ser um vetor de peso máximo com peso λ. Em outras palavras, M(λ) é o quociente de

U (g) pelo ideal à esquerda I(λ) de U(g) gerado pelo conjunto

{x+

i , h − λ(h) | i ∈ I, h ∈ h}.

Decorre que M(λ) é um U(n−_{)-módulo livre de posto 1. Por denição, qualquer outro}

g-módulo de peso máximo com peso máximo λ é um quociente de M(λ), ou seja, M(λ)

é o módulo universal de peso máximo com peso máximo λ. Denotaremos seu único quociente irredutível (conforme o item (c) do teorema anterior) por V (λ).

Denição 1.2.4. O módulo M(λ) é chamado de módulo de Verma de peso máximo λ.

Exemplo 1.2.5. Considere g = sl2. Como I = {i} é unitário, denotaremos x±i = x

±_,

hi = he αi = α. Além disso, os funcionais λ ∈ h∗ podem ser vistos como elementos de

K identicando λ = λ(h).

Seja λ ∈ K. O módulo de Verma de peso máximo λ é dado por M (λ) = ⊕j≥0K(x−)jv,

com v = 1 ∈ M(λ). Em particular, todos os espaços de pesos de M(λ) são unidimensi-onais. Suponha que N seja um submódulo não trivial de M(λ). Então, pelo Teorema

1.2.2, N = L_µ∈K(M (λ)µ∩ N ) e os pesos de M(λ) são da forma µ = λ − 2m, com

m ∈ Z+, e, consequentemente, os pesos de N também são dessa forma. Agora,

consi-dere j0 ∈ Z≥0 minimal tal que (x−)j0v ∈ N. Se j0 = 0, então N = M(λ). Se j0 > 0,

então

x+(x−)j0_{v = j}

0(λ − (j0− 1))(x−)j0−1v = 0,

e, pela minimalidade de j0, temos (x−)j0−1v 6= 0. Logo, λ − (j0 − 1) = 0, ou seja,

j0 = λ + 1 ∈ Z≥0. Assim, se λ /∈ Z≥0, então não pode ocorrer j0 > 0 e, com isso,

N = M (λ)é o único submódulo não trivial de M(λ), ou seja, M(λ) = V (λ) é irredutível

e de dimensão innita. Se λ ∈ Z≥0, então

N =M µ∈K (M (λ)µ∩ N ) = M j≥λ+1 K(x−)jv ∼= M (−λ − 2) é o único submódulo não trivial de M(λ). Além disso,

V (λ) = M (λ) N = λ M j=0 K(x−)jv

e dim(V (λ)) = λ + 1. Observe que h(x−₎j_{v = (λ − 2j)(x}−₎j_{v. Logo, os pesos de V (λ)}

são λ, λ − 2, · · · , −(λ − 2), −λ.

Agora seja V um sl2-módulo irredutível de dimensão nita n + 1, n ∈ Z≥0. Pela

Proposição 1.2.1, V é gerado por um vetor de peso máximo v0. Suponha que o peso

de v0 seja λ. Então, V é isomorfo ao quociente irredutível de M(λ), i.e., V = V (λ).

Como V tem dimensão nita n + 1, segue da parte acima que λ = n ∈ Z≥0. Além

disso, se vi+1 = x−vi, para i = 0, · · · , n − 1, então {v0, · · · , vn} é uma base de V tal

que hvi = (n − 2i)vi e, por indução em i, tem-se que, x+vi = i(n − i + 1)vi−1. Por

último, seja v ∈ V (λ)µ\ {0}. Se µ(h) < 0, então (x+)−µ(h)v 6= 0 e, se µ(h) > 0, então

(x−)µ(h)_{v 6= 0}. _

Lembremos que, dada uma álgebra de Lie a (arbitrária) e um a-módulo V , é dito que um elemento x ∈ a age localmente nilpotentemente em V se, para qualquer v ∈ V , existe n ∈ N tal que que xn_{v = 0.}

Denição 1.2.6. Um g0_{-módulo é dito integrável se x}±

i age localmente nilpotentemente

em V para todo i ∈ I. Um g-módulo é dito integrável se é integrável como g0_-módulo.

Teorema 1.2.7. Seja λ ∈ h∗ _{e v um vetor de peso máximo de M(λ). Então, V (λ)}

é integrável se, e somente se, λ ∈ P+_{. Nesse caso, V (λ) é o quociente de M(λ) pelo}

submódulo gerado por (x−

i )λ(hi)+1v para todo i ∈ I.

Em vista desse teorema, para cada λ ∈ R+, V (λ) é o g-módulo simples de peso

máximo λ gerado por um vetor vλ satisfazendo as relações

n+vλ = 0, hvλ = λ(h)vλ e (x−αi)

λ(hi)+1_v

No caso de g ser de tipo nito, V (λ) tem dimensão nita e todo g-módulo simples de

dimensão nita é isomorfo a V (λ) para algum λ ∈ P+_.

As imagens dos vetores (x−

i )λ(hi)v em V (λ) são todas não nulas, como consequência

do estudo de representações de sl2 conforme o Exemplo 1.2.5. Em particular, V (0) é a

representação trivial de dimensão um.

Concluímos essa seção com dois lemas sobre módulos para uma álgebra de Kac-Moody g de tipo nito que serão relevantes nas demonstrações de nossos resultados principais. A parte (ii) do segundo lema pode ser encontrada em [50].

Lema 1.2.8. Seja V um g-módulo de dimensão nita e suponha l ∈ N, νk ∈ P e

vk ∈ Vνk para k ∈ {1, . . . , l} tais que V = P

l

k=1U (n −_)v

k. Fixe uma decomposição

V = ⊕m

j=1Vj para algum m ≥ 1, com Vj = V (µj) para algum µj ∈ P+, e πj : V → Vj a

projeção associada para j = 1, . . . , m. Então, existem distintos k1, . . . , km ∈ {1, . . . , l}

tais que νkj = µj e πj(vkj) 6= 0.

Lema 1.2.9. Sejam V um g-módulo de dimensão nita e λ, µ ∈ P+_{. Dena}

V+ := {v ∈ V | n+v = 0}. (i) dim Homg(V (λ), V ) = dim(V+∩ Vλ).

(ii) Como espaços vetoriais,

Homg(V ⊗ V (µ), V (λ)) ∼= {v ∈ Vλ−µ | (x+αi)

µ(hi)+1_{v = (x}−

αi)

λ(hi)+1_{v = 0}.}

1.3 Realização das álgebras am não torcidas.

O objetivo desta seção é apresentar uma realização explícita das álgebras de Kac-Moody de tipo am não torcidas.

1.3.1 Álgebras de laços.

Fixe uma matriz de Cartan C = (cij)i,j∈I e denote g = g(C) a correspondente álgebra

de Lie simples de dimensão nita. Sejam R e Π = {α1, · · · , α`} como na Denição

1.1.15.

Considere álgebra de laços de g, i.e., o espaço vetorial ˜g = g ⊗ K[t, t−1_{] munido do}

colchete dado pela extensão bilinear de

[x ⊗ f (t), y ⊗ g(t)] = [x, y] ⊗ f (t)g(t) para todos x, y ∈ g e f, g ∈ K[t, t−1]. É fácil vericar que isso dene uma estrutura de álgebra de Lie em ˜g. Note que g ⊗ 1 é uma subálgebra de ˜g isomorfa a g e, sob essa identicação, um elemento x ∈ g continuará

sendo denotado por x ao invés de x ⊗ 1. Denotaremos também ˜n± _{= n}± ⊗ K[t, t−1_{] e} ˜ h_{= h ⊗ K[t, t}−1], de modo que ˜ g= ˜n−⊕ ˜h⊕ ˜n+.

Observe que temos uma Z-graduação natural em ˜g dada por ˜

g=M

k∈Z

˜

gk, com ˜gk= g ⊗ tk.

Agora, considere o espaço vetorial ˆg0 _{= ˜}

g× K e denote c = (0, 1) ∈ ˆg0_{. Então,}

podemos escrever ˆg0 _{= ˜g}

⊕ Kc.

Proposição 1.3.1. Existe uma única estrutura de álgebra de Lie sobre ˆg0 _{tal que}

[˜g, c] = 0 (c é central) e

[x ⊗ tr, y ⊗ ts] = [x, y] ⊗ tr+s+ rδr,−s(x, y)c

para todos x, y ∈ g e r, s ∈ Z.

Observe que a Z-graduação natural de ˜g se estende para uma graduação em ˆg0 _ao

denir o grau de c como zero. Dena ˆg = ˆg0

× K e denote por d o elemento (0, 1) ∈ ˆg tal que ˆg = ˆg0

⊕ Kd. Novamente é possível estender a Z-graduação de ˆg0 _{para uma}

graduação em ˆg exigindo que o grau de d seja zero.

Proposição 1.3.2. Existe uma única estrutura de álgebra de Lie sobre ˆg tal que ˆg0_×{0}

é um ideal isomorfo a ˆg0 _{e d age como uma 0-derivação sobre ˆg}0_{, i.e.,}

[d, x ⊗ f (t) + λc] = x ⊗  td dtf (t)  para todos x ∈ g, f(t) ∈ K[t, t−1_{]e λ ∈ K.}

Relembre que θ denota a raiz maximal de g (Seção 1.1.3) e suponha que essa se escreve como θ = Pi∈Iciαi. Escolha x

± θ ∈ g±θ tais que [x+θ, x − θ] = hθ e dena x0±= x∓_θ ⊗ t±1 e h0 = [x+0, x − 0]. Além disso, h0 = [x−θ ⊗ t, x + θ ⊗ t −1 ] = [x−_θ, x+_θ] ⊗ 1 + (x+_θ, x−_θ)c = 2c (θ, θ)− hθ, pois (θ, θ)(x+_θ, x−_θ) = θ(tθ)(x+θ, x − θ) = (θ(tθ)x+θ, x − θ) = ([tθ, x+θ], x − θ) = (tθ, [x+θ, x − θ]) = (tθ, hθ) = (tθ, 2tθ (tθ, tθ) ) = 2.

Veremos a seguir que é possível construir uma MCG ˆC de tipo am não torcida adicionando-se uma linha e uma coluna na matriz C. Para isso, considere ˆI = I t {0} e dena a matriz ˆC = (ˆcij)i,j∈ ˆI por

ˆ cij = cij, ˆc00 = 2, cˆ0j = −αj(hθ) = −2(αj, θ) (θ, θ) e ˆci0 = −θ(hi) = −2(αi, θ) (αi, αi) para todos i, j ∈ I.

Denição 1.3.3. A matriz ˆC é chamada de matriz de Cartan estendida de C.

Não é difícil vericar que

[hi, x±j ] = ±ˆcijx±j e ad(x ± i )

1−ˆcij_(x±

j ) = 0 para todos i, j ∈ ˆI.

Mais ainda, seguindo a nomenclatura das Tabelas 1.1-1.3, tem-se

Proposição 1.3.4. Se C é de tipo T ∈ {A`, B`, C`, D`, E6, E7, E8, F4, G2}, então a

matriz de Cartan estendida ˆC é uma matriz de Cartan generalizada de tipo am não

torcida T(1)_.

Segue então que a subálgebra de ˆg gerada por d e x±

i , com i ∈ I, é um quociente

da álgebra de Kac-Moody am associada a ˆC. De fato, temos o seguinte:

Teorema 1.3.5. A álgebra ˆg é isomorfa à álgebra de Kac-Moody am associada a ˆC

e toda MCG de tipo am da Tabela 1.2 é uma matriz estendida de uma matriz de Cartan.

Os dois resultados a seguir são extremamente importantes para justicar porque somos levados a estudar representações de dimensão nita de ˜g ao invés de ˆg0 _{ou ˆg.}

Proposição 1.3.6.

(a) Se V é um ˆg0_{-módulo de dimensão nita, então o elemento central c age trivialmente.}

(b) Se V é um ˆg-módulo simples de dimensão nita, então V é unidimensional e ˆg0_{V = 0.}

1.3.2 Revisitando o sistema de raízes da álgebra de laços.

Considere ˆh = h ⊕ Kc ⊕ Kd e dena δ ∈ ˆh∗ por δ(d) = 1 e δ(h ⊕ Kc) = 0. Claramente

temos que ˆh é abeliana e, dado µ ∈ h∗_{, estendemos µ a um elemento de ˆh}∗ _{de modo}

que µ(d) = µ(c) = 0. Por abuso de notação, continuamos a denotar esse elemento por µ. Dado λ ∈ ˆh∗, considere

ˆ

e dena

ˆ

R = {λ ∈ ˆh∗ | ˆgλ 6= 0} \ {0}.

Calculando alguns simples colchetes entre elementos de g, tem-se ˆ

g0 = ˆh, ˆgkδ = h ⊗ tk e ˆgα+mδ = gα⊗ t m

para todos k, m ∈ Z, k 6= 0 e α ∈ R. Em particular, obtém-se ˆ

R = {α + kδ | α ∈ R, k ∈ Z} ∪ {kδ | k ∈ Z \ {0}} e ˆg= ˆh⊕M

α∈ ˆR

ˆ gα.

Observe que os auto-espaços correspondentes a δ são de dimensão igual a dim h e,

portanto, maior que 1 em geral. Também é provado que, denindo α0 = −θ+δ, qualquer

elemento de ˆR é escrito unicamente como uma combinação linear dos elementos de

ˆ

Π = {αi | i ∈ ˆI},

com coecientes sendo todos ou não negativos ou não positivos.

1.4 Realização das álgebras am torcidas.

Nesta seção vamos apresentar uma realização das álgebras de tipo am torcidas. Para tal objetivo, primeiramente recordaremos algumas propriedades sobre automorsmos de diagramas.

1.4.1 Automorsmos de diagrama.

Sejam I um conjunto nito e C = (cij)i,j∈I uma matriz de Cartan. Considere g = g(C)

a álgebra de Lie simples de dimensão nita sobre C associada à matriz C. Suponha

que σ ∈ Aut(g) é um automorsmo de ordem nita, i.e., σm _{=id para algum m ∈ Z}

+,

e que ζ é uma m-ésima raiz primitiva da unidade.

Lema 1.4.1. O automorsmo σ é diagonalizável com autovalores ζj _{para 0 ≤ j < m.}

Em particular, g decompõe-se como a soma direta de σ-autoespaços dada por

g=

m−1

M

i=0

g_i, com g_i =x ∈ g | σ(x) = ζix .

Note que a decomposição do lema acima fornece uma Zm-graduação em g, pois

com  + 0 sendo o resto da divisão de  + 0 _{por m. Daqui em diante, abusaremos um}

pouco da notação escrevendo  + 0 _{em vez de  + }0_.

Vamos agora focar no estudo de uma classe especial de automorsmos de g: os automorsmos de diagrama de g.

Denição 1.4.2. Uma bijeção τ : I → I é chamada automorsmo de diagrama se cij = cτ (i)τ (j) para todos i, j ∈ I.

Se τ é um automorsmo de diagrama, existe um único automorsmo de álgebra de Lie σ ∈ Aut(g) satisfazendo

σ(x±_i ) = x±_{τ (i)}. (1.4.2)

Denição 1.4.3. Um automorsmo σ de g é chamado de automorsmo de diagrama

de g se σ é conjugado a um automorsmo µ satisfazendo (1.4.2), i.e., σ = φµφ−1 _para

algum φ ∈ Aut(g) e µ é induzido por um automorsmo de diagrama de I. Um automorsmo de digrama de g induz uma permutação em R dada por

σ X i∈I niαi ! =X i∈I niασ(i) e tem-se σ(g_α) = g_σ(α), σ(h) = h e σ(n±) = n±.

O termo automorsmo de diagrama é usado para bijeções da forma (1.4.2), pois estas oferecem uma simetria do diagrama de Dynkin. Uma inspeção caso-a-caso nas simetrias desses diagramas permite concluir que os únicos tipos para os quais um automorsmo não trivial ocorre são An(n ≥ 2), Dn(n ≥ 4)ou E6. Além disso, σ possui

ordem 2 quando g é de tipo An(n ≥ 2), Dn(n > 4)ou E6, e ordem 2 ou 3 quando g é

de tipo D4.

A partir de agora, suponha que σ é um automorsmo de diagrama.

Segue de (1.4.1) que g0 é uma subálgebra de g e que g é um g0-módulo para

0 ≤  < m. Essa álgebra g₀ desempenhará um papel fundamental no que faremos no

capítulo seguinte. Conforme a Denição 1.1.15, R0 indicará o sistema de raízes g0, R + 0

o conjunto das raízes positivas e, adicionalmente, Rs e Rl indicarão os subconjuntos de

R+₀ correspondentes às raízes curtas e longas, respectivamente.

Dada uma subálgebra a de g e 0 ≤  < m, considere a = a ∩ g.

Proposição 1.4.4. (a) A álgebra de Lie g0 é simples e se escreve como g0 = n+0 ⊕ h0⊕

n−₀.

(b) g é um g0-módulo irredutível para 0 ≤  < m. Em particular, se m = 3, então

(c) Se µ ∈ wt(g) e µ 6= 0, então dim(g)µ= 1 para todo . Além disso, (g)0 = h.

(d) A tabela a seguir sumariza algumas informações sobre g de acordo com g e σ:

g |σ| Tipo de g₀ wt(g₁) \ {0} A2 2 A1 R0∪ {2α | α ∈ Rs} A2n, n ≥ 2 2 Bn R0∪ {2α | α ∈ Rs} A2n−1, n ≥ 2 2 Cn Rs Dn+1, n ≥ 3 2 Bn Rs E6 2 F4 Rs D4 3 G2 Rs

1.4.2 Álgebras de laços torcidas.

O automorsmo σ de g estende-se naturalmente a um automorsmo ˜σ da álgebra de laços ˜g associada a g denindo

˜

σ(x ⊗ tj) = ζjσ(x) ⊗ tj para todos j ∈ Z e x ∈ g.

Por sua vez, também podemos estender esse automorsmo para um automorsmo ˆσ de ˆ

gdenindo

ˆ

σ|˜g = ˜σ, ˆσ(c) = c e ˆσ(d) = d.

Observe que eσ continua sendo um automorsmo de ordem m.

Denote o conjunto de pontos xos de ˜σ e ˆσ por ˜gσ _{e ˆg}σ_{, respectivamente. Pela}

maneira como ˆg foi construído na seção anterior, é fácil vericar que ˆ

gσ = ˜gσ _{⊕ Kc ⊕ Kd.} Note também que, se m = 1, então ˜gσ _{= ˜g e ˆg}σ _{= ˆg.}

Observação 1.4.5. A Proposição 1.3.6 permanece válida ao substituirmos ˆg por ˆgσ_.

Denição 1.4.6. Se m 6= 1, a álgebra ˜gσ _{é chamada de álgebra de laços torcida}

asso-ciada a g e σ.

A álgebra de laços torcida pode, então, ser descrita como ˜ gσ = m−1 M =0 ˜ gσ_, com ˜gσ_ = g_⊗ tm− K[tm, t−m].

Note que, se uma subálgebra s de g é σ-invariante, então pode ser denido ˜sσ de maneira

natural. Como σ(n±_{) = n}± _{e σ(h) = h, obtém-se a decomposição triangular}

˜

e, similarmente, também obtém-se ˜

gσ_ = (˜n−_ )σ⊕ ˜hσ_ ⊕ (˜n+_ )σ. Finalmente, um teorema de realização:

Teorema 1.4.7. Sejam A uma matriz de tipo am de tipo X(k)

n , com k = 2, 3, a

a álgebra de Lie simples de dimensão nita associada à matriz de tipo Xn e σ um

automorsmo de diagrama de a de ordem k, então ˆaσ é isomorfa à álgebra de

Kac-Moody de tipo am g(A) associada a A. Em particular, ˜aσ ∼₌ g(A)0

Capítulo 2

Hiperálgebras.

Neste capítulo trataremos da teoria de representações de dimensão nita da hiperálge-bra de laços torcida associada a uma álgehiperálge-bra de Lie simples de dimensão nita sobre C de maneira análoga ao trabalho de D. Jakeli¢ e A. Moura [32] para as hiperálgebras de laços não torcidas. Esse é o conteúdo principal do capítulo e será feito na Seção

2.5. Na Seção 2.2 começamos com a construção de uma base especial para g e ˜gσ

de acordo com o trabalho de D. Mitzman [42]. Na Seção 2.3 faremos a construção das hiperálgebras de laços torcidas a partir da forma integral construída também por D. Mitzman e desenvolveremos algumas propriedades importantes para o estudo de suas representações de dimensão nita. Na Seção 2.4 apresentaremos uma revisão sobre representações de dimensão nita de hiperálgebras e hiperálgebras de laços não torcidas, além de um teorema tensorial para módulos de Weyl para a hiperálgebra de laços não torcida, o qual é análogo a um resultado obtido por V. Chari e A. Pressley em [20] para ˜g. A Seção 2.6 apresenta uma relação entre os módulos irredutíveis para as hiperálgebras não torcidas e os das torcidas.

2.1 Considerações iniciais.

Seja I o conjunto de vértices de um diagrama de Dynkin de tipo nito e g a álge-bra de Lie simples de dimensão nita sobre C associada. Lembre-se que temos uma decomposição triangular

g= n−⊕ h ⊕ n+.

Conforme a Denição 1.1.15, denote por R o sistema de raízes de g e por R+o conjunto

de raízes positivas. Considere αi, i ∈ I, as raízes simples e ωi, i ∈ I, os pesos

funda-mentais de g. Denote o reticulado de raízes e o reticulado de pesos por Q e P , respecti-vamente, com cones positivos Q+ e P+. Para cada α ∈ R, seja gα o espaço associado à

raiz α e θ a raiz maximal de g. Fixe uma base de Chevalley C = {x±

α, hi | α ∈ R+, i ∈ I}

para g e, dado α ∈ R+_{, dena h}

α = [x+α, x − α].

Fixe também um automorsmo de diagrama não trivial σ de g de ordem |σ| =

m ∈ {2, 3}e ζ uma m-ésima raiz primitiva da unidade. Seja g₀ a subálgebra de pontos

xos de σ em g, a qual se escreve como

g₀ = n+₀ ⊕ h₀⊕ n−₀.

No âmbito da álgebra g0, I0 indicará seu conjunto de vértices do diagrama de Dynkin e,

conforme a Denição 1.1.15, R0 o sistema de raízes e R+0 o conjunto de raízes positivas.

As raízes simples e os pesos fundamentais continuarão sendo denotadas por αi e ωi com

i ∈ I0 (no respectivo contexto, isso não gerará confusão). O reticulado de raízes e o de

pesos serão denotados por Q0 e P0 e, similarmente, os seus cones positivos serão Q+0 e

P₀+. Também escreveremos Rse Rl para indicar os subconjuntos de R+0 correspondentes

às raízes curtas e longas, respectivamente.

Conforme a Seção 1.2, wt(V ) indicará o conjunto de pesos de um módulo V e cará claro no respectivo contexto sobre qual álgebra esse módulo está sendo considerado (se

é um g-módulo ou um g0-módulo).

Finalmente, ˜g = g ⊗CC[t, t

−1_{] denotará a álgebra de laços associada a g e ˜g}σ _a

álgebra de laços torcida associada a g e σ. Lembre que ˜

g= ˜n−⊕ ˜h⊕ ˜n+ e ˜gσ = (˜n−)σ ⊕ ˜hσ⊕ (˜n+)σ,

e que ˜h é uma subálgebra abeliana de ˜g. Referiremos à base de ˜g formada pelos ele-mentos do conjunto

˜

C = {x±_α ⊗ tr_{, h}

i⊗ tr | α ∈ R+, i ∈ I, r ∈ Z},

como uma base de Chevalley de ˜g.

Observação 2.1.1. Segundo Mitzman, a denição de base de Chevalley para álgebras de laços é feita de maneira um pouco mais abstrata, porém a que trabalhamos satisfaz as condições requeridas.

2.2 Bases de Chevalley para álgebras torcidas.

A seguir revisaremos a construção de uma base de (g)µ, para cada µ ∈ wt(g), em

termos da base de Chevalley C e construiremos uma base para ˜gσ, a qual será essencial

para a construção da forma integral de U(˜gσ_{). Esta seção é baseada em [42, 51].}

Primeiramente, note que a inclusão h0 ⊂ h induz uma função natural h

∗

 h∗0

que associa um funcional a sua restrição a h0. Temos o seguinte:

Lema 2.2.1. Se µ ∈ wt(g) é não nulo, então µ = α|h0 para algum α ∈ R. Em

particular, dados α, β ∈ R, tem-se α|h0 = β|h0 se, e somente se, β = σ

j_{(α) para algum}

Suponha primeiramente que g não é de tipo A2n. Então, dado α ∈ R+, 0 ≤  < m, denimos x±_α,=      m−1 P j=0 ζj_x± σj_(α), se σ(α) 6= α, δ0,x±α, caso contrário, e ~α,=      m−1 P j=0 ζj_h σj_(α), se σ(α) 6= α, δ0,hα, caso contrário.

Seja Γα o número de elementos na σ-órbita de α. Decorre que

x±_σ(α), = ζ−x±_α,, _~σ(α), = ζ−~α,, x±α = 1 Γα m−1 X =0 x±_α, e hα = 1 Γα m−1 X =0 ~α,. (2.2.1)

Agora, suponha que g é de tipo A2n. Nesse caso, para α ∈ R+, temos

α = σ(α) ⇔ α|h0 ∈ 2Rs ⇔ α = β + σ(β) para algum β ∈ R

+

. (2.2.2)

Desta terceira equivalência, obtemos x±

α ∈ g1 e hα∈ g0.

Desse modo, denimos

x±_α, = δ1,x±α e ~α, = δ0,hα. Se α 6= σ(α), denimos x±_α,=(x ± α + (−1)x ± σ(α), se α|h0 ∈ Rl, √ 2x±_α + (−1)x_σ(α)± , se α|h0 ∈ Rs, e ~α, = ( hα+ (−1)hσ(α), se α|h0 ∈ Rl, 2 hα+ (−1)hσ(α)
, se α|h0 ∈ Rs.

Observe que as relações (2.2.1) continuam sendo válidas nesse caso e, se α+σ(α) ∈ R+_,

temos x±_α+σ(α),1= s 4[x ± α,0, x ± α,1] = s[x ± α, x ± σ(α)] para algum s ∈ {±1}. (2.2.3)

Agora, lembrando que g é um g0-módulo irredutível, para 0 ≤  < m, temos uma

decomposição em espaços de pesos

g_ = M

α ∈ h∗0 (g_)α.

O próximo lema é consequência da Proposição 1.4.4 (c) e da última igualdade de (2.2.1).

Lema 2.2.2. Se α|h0 = µ ∈ wt(g) ∩ Q

+

0 \ {0}, então (g)±µ = Cx±α,. Além disso,

Consequentemente, para xar uma base para esses espaços, procedemos do se-guinte modo: seja O um conjunto completo de representantes das órbitas da ação de σ sobre R+_{. Então, se µ ∈ wt(g}

) ∩ Q+0 \ {0}, dena

x±_µ, = x±_α, para α ∈ O tal que α|h0 = µ. (2.2.4)

Observe também que existe uma única função injetiva o : I0 → I tal que αo(i) ∈ O para

todo i ∈ I0. Então, dena

hi,=

(

1

2~o(i),, se g é de tipo A2n e αi ∈ Rs,

~o(i),, caso contrário,

para i ∈ I0 tal que ~o(i), 6= 0.

A partir dessa construção temos

Cσ(O) = {x±_µ,, hi, | 0 ≤  < m, µ ∈ wt(g) ∩ Q +

0 \ {0}, i ∈ I0}

é uma base de g. Nos referiremos a Cσ_{(O)como base σ-torcida de g.}

Por conveniência notacional, para g de tipo A2n, vamos supor O escolhido de modo

que s = 1 em (2.2.3). No caso em que g é de tipo D4 e m = 3, também escolheremos O

de maneira mais especíca, de modo que se j ∈ I é o único vértice xado por σ e i ∈ I é tal que σ(i) 6= i, então O será um dos conjuntos

Oi = {α ∈ R+| σ(α) = α} ∪ {αi, αj+ αi, αj + σ(αi) + σ2(αi)}.

A razão para essa escolha é o Teorema 2.3.1.

Observação 2.2.3. A menos que g seja de tipo A2n, o conjunto

Cσ

0(O) = {x ±

µ,0, hi,0 | µ ∈ R+0, i ∈ I0}

é uma base de Chevalley de g0 (a qual não depende da escolha especíca de O no caso

em que m = 3). Para g de tipo A2n, uma base de Chevalley de g0 é obtida a partir

de Cσ

0(O)ao substituirmos o elemento hj,0, com j sendo o único elemento de I0 tal que

αj ∈ Rs, pelo elemento ~o(j),= 2hj,0.

Seja gσ

Z o Z-gerado de C

σ

(O). Utilizando as propriedades de C ser uma base de

Chevalley de g, em [42] foi provado caso-a-caso conforme o tipo de g o seguinte:

Proposição 2.2.4. Os colchetes dos elementos de Cσ_{(O)pertencem a g}σ

Z. Mais ainda,

dada uma base da forma Cσ

(O), os elementos x±_µ, ⊗ tr _{e h}

i, ⊗ tr, com xµ,, hi, ∈

Cσ

(O), r ∈ Z e  ≡m −r, formam uma base de ˜gσ.

Denição 2.2.5. Uma base de ˜gσ _{como nessa proposição é chamada de base de}

Che-valley de ˜gσ _{e o Z-gerado dessa base será denotado ˜g}σ Z.

Futuramente, alguns desses colchetes em gσ

Z serão necessários explicitamente e,

por isso, os estabeleceremos a seguir. Para isso, antes obteremos um resultado auxiliar sobre os números de Killing, os quais serão denotados por hα, βi = 2(β, α)/(α, α) para todo α, β ∈ R. Para η = Pi∈Iηiαi ∈ Q, denotaremos supp(η) = {i ∈ I | ηi 6= 0}.

Usaremos repetidamente os seguintes resultados clássicos: se α, β ∈ R são raízes não proporcionais e (α, β) > 0, então α − β ∈ R (cf. [31, Lema 9.4]). Além disso, se g é de tipo A, D ou E e α, β ∈ R, então os possíveis valores para hα, βi são 0, ±1 e ±2, com ±2 acontecendo apenas quando α e β são proporcionais (cf. [31, Ÿ9.4]).

Lema 2.2.6. Seja α ∈ R tal que α 6= σ(α).

(a) Suponha que ou g não é de tipo A2n ou que é de tipo A2n e os dois vértices centrais

do seu diagrama não pertencem a supp(α). Então, α − σ(α) /∈ R e hσ(α), αi = hα, σ(α)i = 0. Em particular, α + σ(α) /∈ R.

(b) Se g é de tipo A2ne apenas um dos vértices centrais do diagrama pertence a supp(α),

então α − σ(α) /∈ R e hσ(α), αi = −1. Em particular, α + σ(α) ∈ R.

(c) Se g é de tipo D4 e m = 3, então α − σ(α) /∈ R e hσ(α), αi = hα, σ(α)i =

hσ2_{(α), αi = 0. Em particular, α + σ(α) /∈ R.}

Demonstração. Por (1.1.4), se |σ| = 2, então hσ(α), αi = hα, σ(α)i para todo α ∈ R.

Pela mesma razão, se |σ| = 3, então hσ2_{(α), αi = hα, σ(α)i para todo α ∈ R. Para}

o item (a), devido às propriedades integrais de h·, ·i, devemos ter hσ(α), αi = 0 ou

hσ(α), αi = ±1. Entretanto, se hσ(α), αi = 1, então α−σ(α) ∈ R e, consequentemente,

σ(α − σ(α)) = −(α − σ(α)) ∈ R, mas isso é uma contradição com σ(R+_{) = R}+_{. Se}

hσ(α), αi = −1, então σ(α) + α ∈ R, mas isso não pode acontecer devido às simetrias

dos diagramas em cada caso. Portanto, hα, σ(α)i = 0. O item (b) é consequência direta de hαi, αji = 0 para j 6= i − 1, i + 1 e hαi, αi−1i = hαi, αi+1i = −1. Finalmente, para o

item (c), hσ(α), αi = 0 ou ± 1. Como antes, se hσ(α), αi = −1, então σ(α) + α ∈ R,

de modo que hσ(α) + α, σ2_{(α)i = −2 ou, equivalentemente, σ(α) + α = −(σ}2_(α)),

contradizendo que σ(R+_{) = R}+_{. Do mesmo modo, se hσ(α), αi = 1, então σ(α)−α ∈ R}

e, então, hσ(σ(α) − α), σ(α) − αi = −1, mas isso foi mostrado ser impossível, Portanto,

hσ(α), αi = 0sempre que σ(α) 6= α.

Com esse lema temos determinadas todas as constantes que precisamos para es-tabelecer os colchetes acima mencionados.

Lema 2.2.7. Sejam 0 ≤ , 0 _{< m. Dado µ ∈ R}+

0, ν ∈ wt(g) ∩ Q +

0\{0} e η ∈

wt(g_) ∩ wt(g_0) ∩ Q+₀\{0}, temos: