Assuntos: Interpreta¸cão dos conjuntos-solu¸cão da equa¸cão geral do 2

(1)

UFPE — MA054 — 2013.2 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

COMPLEMENTO AO T ´ OPICO 19 E

ALGUMAS SOLU ¸ C ˜ OES PARA A LISTA 04 – v. 1.0

Assuntos: Interpreta¸cão dos conjuntos-solu¸cão da equa¸cão geral do 2

^o

grau em 2 variáveis como curvas cônicas; elimina¸cão do termo cruzado por rota¸cão.

Para o uso correto do método discutido neste texto, é importante a devida compreensão das 12 equa¸cões numeradas ao longo deste texto.

A equa¸c˜ao geral do 2

^o

grau nas duas vari´aveis x e y ´e:

Ax

²

+ Bxy + Cy

²

+ Dx + Ey + F = 0 (1) Para facilitarmos a conversão desta equa¸cão para sua equivalente em novas coordenadas, observemos que ela pode ser reescrita de uma forma matricial, a qual é mais complicada que (1) mas utilizará, diretamente, a matriz de mudan¸ca de coordenadas por rota¸cão. Come¸caremos com matrizes de ordem 1 × 1, e as expandiremos como produtos de matrizes de ordem maior:

[0] = [Ax

²

+Bxy+Cy

²

+Dx+Ey+F ] = [Ax

²

+Bxy+Cy

²

]+[Dx+Ey]+[F ] ∴

[0] =

x y 

 A B/2 B/2 C







 x y



 +

D E 

 x y



 + [F ] (2) Acompanharemos a discuss˜ao do assunto usando o Item 1.v. da Lista de Exerc´ıcios Complementar 04, a saber, 4x

²

− 4xy + 7y

²

− 24 = 0, isto ´e:

[0] =

x y 

 2 − 2

− 2 7







 x y



 +

0 0 

 x y



 + [ − 24].

As partes quadrática e linear da equa¸cão são codificadas pelas matrizes, Q = h

A B/2 B/2 C

i e L = [

^{D E}

] que, no Item 1.v, s˜ao iguais a

₂ ₋₂

−2 7

e [

^{0 0}

]

respectivamente. Devido a Bxy = − 4xy (um “termo cruzado”, isto ´e, um

monômio em duas variáveis distintas), é necessária uma rota¸cão, a qual é

(2)

uma mudan¸ca de coordenadas e, como tal, codificada por uma matriz M cujas colunas são dadas pelas coordenadas antigas dos novos vetores unitá- rios. Estas coordenadas são obtidas pela rota¸cão dos vetores unitários da base { (1, 0); (0, 1) } original (base canônica do R

²

). Como estudamos:



 x y



 = M



 x

1

y

1



 =



 cos (θ) − sen(θ) sen(θ) cos (θ)







 x

1

y

1



 (3)

A fun¸c˜ao f (x, y) = Ax

²

+ Bxy + Cy

²

+ Dx + Ey + F = 4x

²

− 4xy + 7y

²

− 24 definida no plano

¹

pode ser expressa em termos das coordenadas (x

1

, y

1

) de cada ponto P do plano com rela¸c˜ao ao sistema de coordenadas rotacionado Ox

1

y

1

(ou seja, o ponto P é o mesmo e o valor da fun¸cão nele também: quem muda são as expressões daquele ponto por coordenadas e daquela fun¸cão em termos destas): f (x, y) = ˜ f (x

1

, y

1

) = ˜ Ax

²₁

+ ˜ Bx

1

y

1

+ ˜ Cy

₁²

+ ˜ Dx

1

+ ˜ Ey

1

+ ˜ F . Em particular, a curva cônica descrita por f(x, y) = 0 também é descrita por f ˜ (x

₁

, y

₁

) = 0. Assim, para reescrevermos a Equa¸c˜ao (1) nas novas vari´aveis, precisamos calcular os coeficientes de ˜ f :

Ax ˜

²₁

+ ˜ Bx

1

y

1

+ ˜ Cy

₁²

+ ˜ Dx

1

+ ˜ Ey

1

+ ˜ F = 0. (4) Podemos aplicar a Equa¸c˜ao (3) para expressarmos x e y em termos de x

1

e y

1

, obtendo fórmulas para os novos coeficientes em termos dos antigos. Usando a equa¸cão (3) e sua transposi¸cão,

x y

=

x

₁

y

₁

M

^t

, obtemos a matriz Q ˜ a partir do formato descrito na Equa¸c˜ao (2):

x y Q



 x y



 =

x

1

y

1

M

^t

QM



 x

1

y

₁



 =

x

1

y

1

Q ˜



 x

1

y

₁



 ∴

Q ˜ = M

^t

QM (5)

Da mesma forma, L



 x y



 = LM



 x

1

y

1



 = ˜ L



 x

1

y

1



 ∴

1f é fun¸cão definida emR2 e, como tal, pode também ser vista como fun¸cão dos pontos P do plano.

(3)

L ˜ = LM (6) A este ponto, ´e interessante sabermos que, em geral, a mudan¸ca de coordenadas inversa seria representada por M

⁻¹

mas, neste contexto, M

⁻¹

= M

^t

porque a matriz M representa uma mudan¸ca de base entre duas bases or- tonormais. M

⁻¹

representa a rota¸cão inversa (isto é, aquela pelo ângulo trigonométrico − θ). Finalmente, como nosso objetivo é eliminar o “termo cruzado” Bxy, o que desejamos é:

B ˜ = 0 ∴ B ˜

2 = 0 ∴ Q ˜ =

A ˜ B/2 ˜ B/2 ˜ C ˜

=

A ˜ 0 0 C ˜

(7) Mas ˜ Q = M

^t

QM pela Equa¸c˜ao (5), donde obtemos que:

B ˜ = B

2 cos

²

(θ) − sen

²

(θ) + (C − A) cos (θ)sen(θ)

∴

usando o ˆangulo dobro de θ, B ˜ = B

2 cos (2θ) + C − A

2 sen(2θ) ∴

B ˜ = 0 ⇐⇒ B cos (2θ) = (A − C) sen(2θ) (8)

Num dos caminhos por trigonometria, calculamos ˜ A e ˜ C a partir de um certo sistema de equa¸cões envolvendo sen(2θ). Noutro caminho por trigonometria, calculamos M e, a partir deste, ˜ Q. Há também solu¸cões por autovalores (um assunto de ´ Algebra Linear)

²

. Seguiremos a primeira abordagem.

Para ela, podemos usar o ˆangulo trigonom´etrico no intervalo 0,

^π₂

determinado por cot(2θ) = (A − C)/B, e trabalhar com sen(2θ) > 0 como no livro-texto [Boulos/Camargo, 3

^a

ed.] - Se¸c. 23.C. Tamb´em poder´ıamos usar θ ∈ −

^π₄

,

^π₄

determinado por tan (2θ) = B/(A − C) se A 6 = C, e θ =

^π₄

se A = C, como em alguns outros textos. Usaremos o primeiro destes intervalos.

Assim: θ ∈ 0,

^π₂

∴ 2θ ∈ (0, π) ∴ sen(2θ) > 0 ∴ cot (2θ) = A − C

B (9)

2Nestas solu¸cões, Ãe ˜Csão os autovalores deQ(escolhidos numa ordem arbitrária mas, uma vez escolhidos, as dire¸cões dex¹ ey¹ são definidas pelos respectivos autovetores).

(4)

Em particular, no intervalo escolhido:

θ = π

4 ⇐⇒ 2θ = π

2 ⇐⇒ cot (2θ) = 0 ⇐⇒ A − C = 0 ⇐⇒ A = C ∴ θ = π

4 ⇐⇒ A = C (10)

No exemplo, cot (2θ) =

⁴⁻⁷₋₄

=

³₄

. Da identidade trigonom´etrica sen

²

(2θ) = 1/ 1 + cot

²

(2θ)

(11) segue-se que sen

²

(2θ) = 1/ (1 + (3/4)

²

) = 1/ (1 + (9/16)) = 16/25 no exemplo. Mas sen(2θ) > 0 ∴ sen(2θ) = 4/5. Finalmente, das Equa¸c˜oes (5), (3) e (7), calculamos

A ˜ = A cos

²

(θ) + Csen

²

(θ) + B cos (θ)sen(θ);

C ˜ = Asen

²

(θ) + C cos

²

(θ) − B cos (θ)sen(θ)

∴

 



A ˜ + ˜ C = (A + C) (cos

²

(θ) + sen

²

(θ)) = A + C;

A ˜ − C ˜ = (A − C) (cos

²

(θ) − sen

²

(θ)) + B (2 cos (θ)sen(θ)) = (A − C) cos (2θ) + B sen(2θ)

Substituindo A − C por B cot (2θ) seguindo a Equa¸c˜ao (9), obtemos o sistema:

A ˜ + ˜ C = = A + C;

A ˜ − C ˜ = B/sen(2θ) (12) No exemplo:

( A ˜ + ˜ C = A + C = 4 + 7 = 11 ∴ 2 ˜ A = 11 − 5 = 6 ∴ A ˜ = 3 A ˜ − C ˜ =

_sen(2θ)^B

=

_4/5⁻⁴

= − 5 ∴ C ˜ = 11 − 3 = 8 ∴

3x

²₁

+ 8y

²₁

− 24 = 0 ∴ x

²₁

8 + y

²₁

3 = 1 (equa¸c˜ao reduzida)

Como ˜ D = 0 = ˜ E neste exemplo, não há monômios de grau 1, e uma transla¸cão não será necessária

³

. Sendo positivos os coeficientes dos termos quadr´aticos, conclu´ımos que se trata de uma elipse. S´o tendo sido efetuada uma

3Se houvesse algum termo puramente linear, uma transla¸cão poderia ser necessária ou não.

(5)

rota¸c˜ao, seu centro ´e a origem do sistema de coordenadas original, O (0, 0).

Comprimento do eixo maior: 2a = 2 √

8 = 4 √ 2.

Comprimento do eixo menor: 2b = 2 √

3 ∴ c = √

a

²

− b

²

= √

8 − 3 = √ 5 ∴ Distˆancia focal 2c = 2 √

5; e excentricidade e =

_a^c

= p 5/8.

Foram também pedidos os vértices e focos. Para eles, é necessário en- contrarmos θ ou, alternativamente, M de modo que possamos explicitar o novo sistema de coordenadas Ox

1

y

1

, no qual é bastante conveniente expres- sar as coordenadas daqueles pontos devido às informa¸cões já encontradas acima. Mas cos (2θ) = cot (2θ) sen(2θ) =

³₄

·

⁴₅

=

³₅

. Somando os respectivos membros das identidades trigonom´etricas cos (2θ) = cos

²

(θ) − sen

²

(θ) e cos

²

(θ) + sen

²

(θ) = 1, obtemos que cos

²

(θ) =

¹₂

(1 + cos (2θ)) =

¹₂

·

⁸₅

=

⁴₅

. Como θ ∈ 0,

^π₂

, temos que cos (θ) > 0 ∴ cos (θ) = 2/ √

5. Combinando este valor com

⁴₅

= sen(2θ) = 2sen(θ) cos (θ), obtemos que sen(θ) = 1/ √

5. Assim, chegamos `a base ortonormal F =

f b

1

, f b

2

associada a Ox

1

y

1

, onde:

f b

₁

= (cos (θ), sen(θ))

_E

=

^√¹₅

(2, 1)

_E

e f b

₂

= ( − sen(θ), cos (θ))

_E

=

^√¹₅

( − 1, 2)

_E

, e E é a base ortonormal original. Neste novo sistema de coordenadas, dado por (O, F ), os vértices da elipse têm coordenadas ( ± 2 √

2, 0) e (0, ± √ 3), en- quanto os focos tˆem coordenadas ( ± √

5, 0).

Se desej´assemos as coordenadas destes seis pontos com rela¸c˜ao ao sistema de coordenadas Oxy original, poder´ıamos aplicar a mudan¸ca de coordenadas inversa (encapsulada em M

⁻¹

) ou, simplesmente, notar que x

1

e y

1

s˜ao os coeficientes de f b

1

e f b

2

. Por exemplo: o foco F

1

de coordenadas (x

1

, y

1

) = ( − √

5, 0) ´e F

1

= O − √

5 f b

1

+ 0 f b

2

= O − √

5 f b

1

e, portanto, suas coordenadas (x, y) no sistema original (O, E ) s˜ao:

F

1

= (0, 0) − √

5

^√¹₅

(2, 1)

_E

= ( − 2, − 1). E assim por diante.

(6)

1.w. 4x

²

+ 4xy + 7y

²

− 24 = 0.

Solu¸ c˜ ao: Devido ao termo cruzado 4xy, é necessária uma rota¸cão. Como feito acima, utilizamos o ângulo θ ∈ 0,

^π₂

determinado por cot (2θ) =

⁴⁻⁷₄

=

−

³4

. Da identidade trigonom´etrica sen

²

(2θ) = 1/ (1 + cot

²

(2θ)), segue-se que sen

²

(2θ) = 1/ (1 + (3/4)

²

) = 1/ (1 + (9/16)) =

¹⁶₂₅

. Devido `a escolha de θ em

0,

^π₂

, temos que 2θ ∈ (0, π) e, portanto, sen(2θ) > 0. Logo, sen(2θ) = 4/5.

Procedendo como antes, chegamos ao sistema de equa¸c˜oes abaixo:

( A ˜ + ˜ C = A + C = 4 + 7 = 11 ∴ 2 ˜ A = 11 + 5 = 16 ∴ A ˜ = 8 A ˜ − C ˜ =

_sen(2θ)^B

=

_4/5⁴

= 5 ∴ C ˜ = 11 − 8 = 3 ∴

8x

²₁

+ 3y

²₁

− 24 = 0 ∴ x

²₁

3 + y

²₁

8 = 1 (equa¸c˜ao reduzida)

Como não há monômios de grau 1, uma transla¸cão não será necessária. Sendo positivos os coeficientes dos termos quadráticos, conclu´ımos que se trata de uma elipse. Só tendo sido efetuada uma rota¸cão, seu centro é a origem do sistema de coordenadas original, O (0, 0).

Comprimento do eixo maior: 2a = 2 √

8 = 4 √ 2.

Comprimento do eixo menor: 2b = 2 √

3 ∴ c = √

a

²

− b

²

= √

8 − 3 = √ 5 ∴ Distˆancia focal 2c = 2 √

5; e excentricidade e =

_a^c

= p

5/8. Para a localiza-

¸c˜ao dos v´ertices e e dos focos desta elipse, calculemos a base ortonormal F associada ao novo sistema de coordenadas Ox

1

y

1

, isto ´e, (O, F ): cos (2θ) = cot (2θ) sen(2θ) = −

³₄

·

⁴₅

= −

³₅

. Somando os respectivos membros das identidades trigonom´etricas cos (2θ) = cos

²

(θ) − sen

²

(θ) e cos

²

(θ) + sen

²

(θ) = 1, obtemos que cos

²

(θ) =

¹₂

(1 + cos (2θ)) =

¹₂

·

²5

=

¹₅

. Como θ ∈ 0,

^π₂

, temos que cos (θ) > 0 ∴ cos (θ) = 1/ √

5. Combinando este valor com

4

5

= sen(2θ) = 2sen(θ) cos (θ), temos que

⁴

sen(θ) = 2/ √

5. Assim, chegamos `a base ortonormal F =

f b

1

, f b

2

associada a Ox

1

y

1

, onde:

f b

1

= (cos (θ), sen(θ))

_E

=

^√¹₅

(1, 2)

_E

e f b

2

= ( − sen(θ), cos (θ))

_E

=

^√¹₅

( − 2, 1)

_E

, e E é a base ortonormal original. Neste novo sistema de coordenadas, dado por (O, F ), os vértices da elipse têm coordenadas (0, ± 2 √

2) e ( ± √

3, 0), en- quanto os focos tˆem coordenadas (0, ± √

5).

4Logo, o seno e o cosseno estão trocados com rela¸cão ao Item 1.v, donde este θ é o complemento do θda primeira solu¸cão de 1.v.

(7)

1.x. 5x

²

+ 12xy − 12 √

13x − 36 = 0.

Resposta: Com o sistema de coordenadas Ox

1

y

1

obtido através da rota¸cão pelo ângulo θ tal que cos (θ) =

^√³₁₃

e sen(θ) =

^√²₁₃

, expressamos a equa¸c˜ao em termos de Ox

1

y

1

:

9x

²₁

− 4y

2

− 36x

1

+ 24y

1

− 36 = 0

Completando os quadrados, revelamos uma segunda mudan¸ca de coordenadas Cx

2

y

2

obtida por transla¸c˜ao a partir de Ox

1

y

1

:

9(x

1

− 2)

²

− 4(y

1

− 3)

²

− 36 ∴ 9x

²₂

− 4y

₂²

− 36 = 0

O vetor −→ OC de transla¸c˜ao ´e expresso na base ortonormal F associada a Ox

1

y

1

como −→ OC = (2, 3)

_F

. Da´ı:

x

²₂

4 − y

₂²

9 = 1 (hip´erbole) Centro

⁵

: C. Comprimento do eixo transverso: 2 √

4 = 4. Coordenadas dos v´ertices em Cx

2

y

2

: ( ± 2, 0). Comprimento do eixo imagin´ario: 2 √

9 = 6.

5Claro,C tem coordenadas (0,0) emCx²y².