1 Geometria grega e os elementos
1.1 Os elementos de Euclides
Os elementos de Euclides s˜ao o livro de Matem´atica que exerceu influˆencia por mais tempo ao longo da hist´oria. Durante v´arios s´eculos foi a base de teorias posteriores como a ´algebra de Al-Kwarizmi. A seguir, vou apresen-tar as principais caracter´ısticas dessa obra.
Primeiro, ´e um engano achar que se trata somente de uma obra de Geometria. Essa obra consiste de treze livros, alguns sobre Geometria, outros sobre Aritm´etica, e outros sobre teoria das propor¸c˜oes. A divis˜ao dos livros por assuntos ´e a seguinte:
• Livros I a IV: Geometria Plana;
• Livros V e VI: Teoria das propor¸c˜oes; • Livros VII a IX: Aritm´etica;
• Livro X: Incomensur´aveis;
• Livros XI a XIII: Geometria Espacial.
Poder´ıamos dizer que os Elementos tratam das duas quantidades, a discreta e a cont´ınua, ao tratar de Aritm´etica e Geometria. Mas, podemos dizer tamb´em que, para os antigos, a raz˜ao ´e uma esp´ecie de terceira quantidade. Sobre isso, veremos mais nos pr´oximos cap´ıtulos.
1.2 Estilo dos Elementos
Al´em de seu conte´udo matem´atico, o estilo dos Elementos de Euclides ´e um assunto em si. ´E uma das causas da dificuldade de se ler e estudar
as demonstra¸c˜oes que ele cont´em. Al´em do estilo conciso das afirma¸c˜oes matem´aticas, como as das no¸c˜oes comuns, em que ”coisas iguais a uma terceira s˜ao iguais”, a as afirma¸c˜oes a respeito de mesma ´area, em que o autor afirma que triˆangulos de mesma ´area s˜ao o mesmo, ou iguais, querendo apenas dizer que tˆem a mesma ´area, o pr´oprio estilo de se fazer geometria torna obra de dif´ıcil leitura pelas seguintes raz˜oes:
1. Euclides nunca afirma que a ´area de um paralelogramo ´e a base vezes a altura, ele apenas compara ´areas e mostra quando s˜ao iguais ou n˜ao, ou seja, n˜ao h´a associa¸c˜ao entre n´umeros e ´areas, ou at´e n´umeros e comprimentos; portanto, n´umeros e magnitudes s˜ao quantidades bem separadas.
2. Apesar das raz˜oes serem um terceiro tipo de quantidades que de certa forma une as outras duas, Euclides nunca afirma que duas raz˜oes s˜ao iguais, mas que est˜ao em propor¸c˜ao; mesmo assim, raz˜oes em pro-por¸c˜ao tˆem esse papel de unir n´umeros e magnitudes, ou magnitudes de tipos diferentes.
3. O que s˜ao magnitudes de tipos diferentes? Euclides s´o faz a raz˜ao entre ´areas e ´areas, ou comprimento e comprimentos, ele nunca afirma algo como ”se, dados dois triˆangulos, a raz˜ao entre a ´area e a base de cada um s˜ao a mesma, ou est˜ao em propor¸c˜ao, ent˜ao eles tˆem a mesma altura”; Euclides s´o afirma ”dados triˆangulos com v´ertices em duas retas paralelas, a raz˜ao entre as ´areas dos dois est´a em propor¸c˜ao com a raz˜ao entre as bases”.
como unidimensionais e compar´aveis, para Euclides esses dois tipos de magnitudes n˜ao s˜ao do mesmo tipo.
1.3 Livro 1 dos Elementos
´
E no primeiro livro dos Elementos de Euclides que temos os princ´ıpios a partir dos quais conseguimos demonstrar todas as proposi¸c˜oes e realizar todas as constru¸c˜oes que aparecem nos livros de Euclides. Seus tipos s˜ao os seguintes:
i. Defini¸c˜oes; ii. Postulados;
iii. Axiomas, ou no¸c˜oes comuns.
Al´em dessas trˆes poder´ıamos acrescentar as hip´oteses, que veremos mais adiante o que s˜ao. Podemos tamb´em subdividir cada um desses tipos. Por exemplo, no caso dos Elementos de Euclides, os postulados podem se dividir em construtivos e n˜ao-construtivos (que s´o afirmam uma verdade). Vejamos exemplos de defini¸c˜oes, postulados e no¸c˜oes comuns, come¸cando pelas defini¸c˜oes:
Defini¸c˜ao I.1. Um ponto ´e o que n˜ao tem partes;
Defini¸c˜ao I.2. Linha ´e o que tem comprimento sem largura; Defini¸c˜ao I.3. As extremidades da linha s˜ao pontos;
Defini¸c˜ao I.4. Linha reta ´e aquela, que est´a posta igualmente entre as suas extremidades;
Defini¸c˜ao I.6. As extremidades da superf´ıcie s˜ao linhas;
Defini¸c˜ao I.7. Superf´ıcie plana ´e aquela, sobre a qual assenta toda uma tinha reta entredois pontos quaisquer, que estiverem na mesma superf´ıcie;
Os postulados do livro I s˜ao os seguintes:
Postulado I.1. Dados dois pontos, construir a linha reta que os une; Postulado I.2. Dada uma linha reta, estendˆe-la indefinidamente e retili-nearmente;
Postulado I.3. Dada uma linha reta, construir um c´ırculo cujo raio ´e essa linha reta e o centro ´e um dos extremos dela;
Postulado I.4. Todos os ˆangulos retos s˜ao iguais;
Postulado I.5. Se uma linha reta que cruza outras duas forma com elas, do mesmo lado, ˆangulos internos menores que dois ˆangulos retos, as duas linhas retas, se estendidas indefinidamente, se cruzam do lado em que os ˆ
angulos s˜ao menores do que dois retos.
As no¸c˜oes comuns do livro I s˜ao as seguintes:
No¸c˜ao comum I.1. Coisas iguais a uma terceira s˜ao iguais;
No¸c˜ao comum I.2. Se iguais s˜ao adicionados a iguais, os todos s˜ao iguais;
No¸c˜ao comum I.3. Se iguais s˜ao subtra´ıdos de iguais, os restos s˜ao iguais;
No¸c˜ao comum I.4. Coisas que coincidem uma com a outra s˜ao iguais; No¸c˜ao comum I.5. O todo ´e maior do que a parte.
Esses princ´ıpios da Geometria n˜ao aparecem somente no primeiro livro dos Elementos. No Livro V, de teoria das propor¸c˜oes, temos as seguintes afirma¸c˜oes, com defini¸c˜oes e postulados misturados:
Defini¸c˜ao V.1. Uma grandeza se diz parte de outra grandeza, a menor da maior, quando a menor mede a maior.
Defini¸c˜ao V.2. A grandeza maior se diz m´ultipla, ou mult´ıplice da menor, quando a menor mede a maior.
Defini¸c˜ao V.3. A raz˜ao entre duas grandezas, que s˜ao do mesmo gˆenero, ´e um respeito rec´ıproco de uma para outra, enquanto uma ´e maior, ou menor do que aoutra, ou igual a ela.
Defini¸c˜ao V.4. As grandezas tˆem entre si raz˜ao, quando a grandeza me-nor, tomada certo n´umero de vˆezes, pode vencer a grandeza maior.
Defini¸c˜ao V.5. As grandezas tˆem entre si a mesma raz˜ao, a primeira para, a segunda, e a terceira para a quarta, quando umas grandezas, quais-quer que sejam,eq¨uimult´ıplices da primeira e da terceira a respeito de ou-tras, quaisquer que sejam, eq¨uimult´ıplices da segunda e da quarta, s˜ao ou juntamente maiores,ou juntamente iguais, ou juntamente menores.
Defini¸c˜ao V.6. As grandezas, que tˆem entre si a mesma raz˜ao, se cha-mam proporcionais.
Defini¸c˜ao V.7. Quando das quantidades eq¨uimult´ıplices a mult´ıplice da primeira fˆor maior que a mult´ıplice da segunda, n˜ao o sendo a mult´ıplice da terceira a respeito da mult´ıplice da quarta, neste caso’ a raz˜ao da primeira grandeza para a segunda se diz maior que a raz˜ao da terceira para a quarta.
E pelo contr´ario se diz que a terceira grandeza tem para a quarta uma raz˜ao menor, que a raz˜ao da primeira grandeza para a segunda.
A quinta afirma¸c˜ao acima ´e importante. Ela diz, basicamente, que dadas duas grandezas A e B, elas tˆem uma raz˜ao A : B se h´a um m´ultiplo de uma que seja maior do que a outra. Assim, A e B tˆem uma raz˜ao se h´a n´umeros m e n tais que mA > B e nB > A. Esse crit´erio acaba sendo o mesmo que determina se estamos diante de grandezas do mesmo tipo, afinal, se temos uma ´area e um segmento, podemos multiplicar o segmento o quanto quisermos que ele n˜ao vai abarcar a ´area, por menor que essa seja. Mas, se temos uma por¸c˜ao de ´area pequena, multiplic´a-la por um n´umero t˜ao alto quanto se queira vai acabar tornando essa ´area grande o suficiente para abarcar uma determinada ´area finita.
1.4 Elementos da teoria e da demonstra¸c˜ao
Wilbur Knorr tem um artigo em que fala dos elementos da demonstra¸c˜ao: afirma¸c˜oes, defini¸c˜oes, postulados, axiomas e hip´oteses. Vimos nos par´agrafos anteriores exemplos dos trˆes primeiros, mas o que seria uma hip´otese?
Toda ciˆencia tem seus objetos pr´oprios, mas isso n˜ao basta para mostrar a necessidade de haver defini¸c˜oes. A ciˆencia tamb´em ´e um discurso formal a respeito desses objetos estudados. Portanto, ela deve n˜ao somente partir do conhecimento da forma do objeto, mas da fixa¸c˜ao desse conhecimento em discurso. Da´ı a necessidade de defini¸c˜oes: elas fixam o significado do conceito do objeto estudado. Mas as defini¸c˜oes partem do uso de certas palavras que n˜ao podem ser definidas, caso contr´ario entrar´ıamos num discurso que n˜ao encontra come¸co, sempre precisar´ıamos ir cada vez mais
para tr´as na ordem dos conceitos. Ent˜ao, h´a, nas defini¸c˜oes, os objetos definidos com base em elementos primitivos de conhecimento mais simples que o conhecimento que ser´a constru´ıdo com o desenvolvimento da teoria. Em Euclides a necessidade de elementos primitivos n˜ao est´a clara, da´ı as defini¸c˜oes estranhas de ponto, linha e superf´ıcie.
Postulados s˜ao as afirma¸c˜oes b´asicas da ciˆencia, que tomamos como ver-dadeiras e, assim, com base nelas podemos demonstrar como verver-dadeiras as afirma¸c˜oes seguintes, os teoremas. Mas os Postulados s˜ao espec´ıficos da ciˆencia. Al´em deles, h´a verdades que valem para mais de uma ciˆencia, `
as vezes todas as ciˆencias, que precisam ser utilizadas nas demonstra¸c˜oes: s˜ao as No¸c˜oes Comuns, ou Axiomas. Hoje em dia chamamos qualquer afirma¸c˜ao b´asica que ser´a tomada como princ´ıpio de Axioma, mas Eucli-des utiliza a palavra Axioma para se referir a essas verdaEucli-des mais gerais.
E o que seriam as hip´oteses? Hip´oteses s˜ao as afirma¸c˜oes iniciais de uma demonstra¸c˜ao. Knorr chamou a aten¸c˜ao para o seguinte: as primei-ras afirma¸c˜oes de uma demonstra¸c˜ao Euclideana concretizam o enunciado do teorema dando nome aos objetos referidos. Por exemplo, na demons-tra¸c˜ao da primeira proposi¸c˜ao, construir um triˆangulo equil´atero sobre um segmento dado, a primeira coisa que Euclides faz ´e dar nome aos extre-mos do segmento para poder se referir a ele no resto da demonstra¸c˜ao: seja AB o segmento dado. Na Geometria Grega n˜ao havia a preocupa¸c˜ao moderna de postular a existˆencia dos entes estudados, mas a necessidade de afirmar sua existˆencia aparece no papel da hip´otese, no in´ıcio de cada demonstra¸c˜ao, dando nome e, portanto, tornando concretos os objetos do enunciado dos teoremas.
1.5 Primeira proposi¸c˜ao dos elementos de Euclides
Elementos I.1. Construir um triˆangulo equil´atero sobre um segmento dado.
Demonstra¸c˜ao: observe que a demonstra¸c˜ao de Euclides tem duas eta-pas, a primeira, da constru¸c˜ao, e a segunda, da demonstra¸c˜ao de que o triˆangulo constru´ıdo ´e equil´atero. Os passos s˜ao os seguintes:
1. Seja AB o segmento dado (hip´otese);
2. Constru´ımos o c´ırculo de centro A e raio AB (postulado 3); 3. Constru´ımos o c´ırculo de centro B e raio AB (postulado 3); 4. Seja C um ponto em comum dos dois c´ırculos (?);
5. Constru´ımos AC e BC (postulado 1);
6. AB = AC pois ambos s˜ao raios do primeiro c´ırculo (defini¸c˜ao de c´ırculo);
7. AB = BC pois ambos s˜ao raios do segundo c´ırculo (defini¸c˜ao de c´ırculo);
8. AC = BC pois ambos s˜ao iguais a AB. Logo, o triˆangulo ABC ´e equil´atero (no¸c˜ao comum 1).
Falta `a demonstra¸c˜ao dessa proposi¸c˜ao a demonstra¸c˜ao de que o ponto de interse¸c˜ao entre os dois c´ırculos existe. Esse problema s´o foi resolvido no s´eculo passado. O mais prov´avel ´e que Euclides considerava a existˆencia desse ponto de interse¸c˜ao como uma verdade intuitiva. Em sua ´epoca e durante muitos s´eculos posteriores n˜ao havia a necessidade de postularem a existˆencia de determinados objetos geom´etricos, nem de postular propri-edades do espa¸co; partia-se do princ´ıpio de que trabalhavam com o espa¸co cheio, sem buracos. H´a v´arios axiomas de continuidade que garantiriam a existˆencia desse ponto. Um deles ´e o que se segue abaixo.
Axioma (C´ırculo-c´ırculo). Dados dois c´ırculos, se um deles cont´em pontos interiores e exteriores ao segundo, ent˜ao os dois tˆem um ponto em comum.
1.6 Segunda proposi¸c˜ao dos elementos de Euclides
Elementos I.2. De um ponto dado tirar uma reta igual a outra reta dada; 1. Seja A o ponto dado e BC o segmento de reta (hip´otese);
3. Construir o triˆangulo equil´atero ABD sobre AB (proposi¸c˜ao 1); 4. Estender DA e DB, obtendo DE e DF (postulado 2);
5. Construir o c´ırculo de centro B e raio BC e obter G ponto do c´ırculo que est´a em DF (postulado 3);
6. Construir o c´ırculo de centro D e raio DG e obter L ponto do c´ırculo que est´a em DE (postulado 3);
7. DL = DG (defini¸c˜ao de c´ırculo);
8. DA = DB (defini¸c˜ao de triˆangulo equil´atero); 9. BG = BC (defini¸c˜ao de c´ırculo);
10. AL = DL − DA = DG − DB = BG = BC (no¸c˜ao comum 3).
1.7 Terceira proposi¸c˜ao dos elementos de Euclides
Elementos I.3. Dadas duas linhas retas desiguais, cortar da linha maior uma parte igual `a linha menor;
1. Sejam AB e C dois segmentos de comprimentos distintos, e seja AB o maior deles (hip´otese);
2. Construa AD congruente a C com extremo em A (proposi¸c˜ao 2); 3. Construa o c´ırculo de centro A e raio AD e obtenha E ponto do c´ırculo
que est´a no segmento AB (postulado 3);
4. AE = AD implica AE = C (defini¸c˜ao de c´ırculo e no¸c˜ao comum 1); 5. Logo, EB ´e o segmento C retirado de AB, j´a que ´e AE retirado de
1.8 Problemas a resolver
Problema 1. Enuncie um postulado que garanta a existˆencia dos pontos em comum entre os segmentos e os c´ırculos das trˆes primeiras proposi¸c˜oes dos Elementos de Euclides.
Problema 2. Duplique um segmento utilizando os princ´ıpios de Euclides. Problema 3. Vimos na demonstra¸c˜ao da primeira proposi¸c˜ao dos elemen-tos de Euclides que n˜ao ´e demonstrada a existˆencia do ponto de interse¸c˜ao dos dois c´ırculos contru´ıdos, porque parte-se do pressuposto que o espa¸co ´e cheio, sem buracos. Suponha que estamos trabalhando no geoplano, peda¸co de madeira retangular de lados inteiros em cent´ımetros com uma malha de pregos constru´ıda do seguinte modo: cada posi¸c˜ao que est´a a distˆancia inteira em cent´ımetros de cada lado do retˆangulo recebe um prego (por exemplo, na posi¸c˜ao a dois cent´ımetros de um lado e trˆes do outro colo-camos um prego). Mostre que no geoplano, entre todos os triˆangulos que podemos construir usando os pregos como v´ertices, n˜ao h´a como construir um triˆangulo equil´atero.
1.9 Referˆencias
• Euclides, Elementos, Unesp, 2009.
