cap-deriv-esp-tang

Sumário

1 Espaço tangente e derivada 1

Lista de Figuras

1.9 Imersão (não mergulho) . . . 9

1.10 Diagrama 5 . . . 10

1.11 Diagrama 6 . . . 10

1.12 Diagrama 7 . . . 12

1.13 Diagrama 8 . . . 13

Capítulo 1

Espaço tangente e derivada

No capítulo anterior definimos uma aplicação diferenciável entre duas vari-edades diferenciáveis. Nada mais natural do que se perguntar sobre a derivada dessa aplicação. Surge, então, o seguinte problema: Se as variedades em ques-tão não são espaços vetoriais (embora, localmente, sejam difeomorfas a umRn_), como podemos derivar a tal aplicação?

Relembremos o que acontece em espaços euclideanos.

Quando pensamos em Rn _{como espaço vetorial, associamos um ponto v} ∈ Rn_{a um vetor com ponto inicial na origem 0 e ponto final em v.}

v v

Figura 1.1: vetor ⃗v

Em outras situações, gostaríamos de pensar o mesmo vetor partindo de um ponto diferente da origem, digamos p∈ Rn_.

p

p + v

v v

Figura 1.2: vetor ⃗pv

Este é o caso, por exemplo, do “vetor velocidade” ou “vetor tangente” a uma curva diferenciável c : R → Rn_{. Temos que c}′_{(t) = (c}′

1(t),· · · , c′n(t)) é um ponto deRn_{e a curva entre os pontos c(t) e c(t) + c}′_{(t)é tangente à curva.}

c(t)

c(t) + c′(t)

c′(t)

Figura 1.3: Vetor tangente em p

Denotaremos pelos pares (p, v) aos vetores de ponto inicial p e ponto de che-gada p + v. O conjunto de todos esses pares, que éRn_×Rn_{, chamamos de espaço}

3 tangente deRn_{e denotamos por TR}n_{. O seus elementos são chamados de vetores}

tangentes deRn_.

Às vezes, denota-se o par (p, v) ∈ T Rn _{por vp o vetor tangente em p, mas} às vezes é conveniente denotar um elemento de TRn _{apenas por v, sem fazer} referência ao ponto; e uma vez fixado o ponto p, denotamos o conjunto de todos (p, v)para v ∈ Rnpor TpRn_ouRn

p.

Para reobter o primeiro ponto do par v ∈ T Rn_{, definimos a aplicação} proje-ção π : Rn_{× R}n _{→ R}n_{por π(u, w) = u. Ou seja, para qualquer vetor tangente,}

π(v)é exatamente onde v está. O conjunto pré-imagem de p, π−1(p)que chama-mos de fibra sobre p , é formado por todos os vetores tangentes em p.

p

Figura 1.4: Espaço tangente de p

Na terminologia de fibrados, dizemos que (TRn_,Rn_,Rn_{, π)é o fibrado} (tan-gente) com baseRn_{, fibraR}n_{, espaço total TR}n_{e projeção π. Veremos logo mais} outros exemplos de fibrados e a definição mais geral.

Se f : Rn _{→ R}m_{é uma aplicação diferenciável, e p ∈ R}n_{, a transformação} linear Df (p) :Rn_{→ R}m_{induz uma tranformação linear deR}n

p → Rmf (p)por

v 7→ [Df(p)(v)]f (p).

Para definir a derivada de uma aplicação diferenciável f : M → N, onde M e

N são variedades diferenciáveis, vamos associar a cada ponto x∈ M um espaço vetorial TxM, o espaço tangente a M em x, e mostrar que existe uma aplicação linear Df (x) : TxM → Tf (x)N, que chamamos de derivada de f no ponto x. Os elementos de TxM são os “vetores tangentes” às curvas diferenciáveis passando por x.

Duas curvas α, β : (−ϵ, ϵ) → M passando por x em t = 0 são equivalentes em x se existe uma carta local φi : Ui → eUiem x tal que (φi◦α)′(0) = (φi◦β)′(0). Esta definição independe da escolha da carta, uma vez que, se tivermos outra

φj : Uj → eUj, então

(φi◦ α)′(0) = D(φj ◦ φ−1i (φi(x))(φi◦ α)′(0) (φi◦ β)′(0) = D(φj ◦ φ−1i (φi(x))(φi◦ β)′(0).

De fato, esta é uma relação de equivalência no conjunto das curvas diferenciá-veis passando por x. A classe de equivalência de α, [α], é chamada de vetor

tan-gente a α em x, denotada também por α′(0). O espaço tangente a M em x,TxM, é o conjuntos desses vetores.

Podemos definir uma estrutura de espaço vetorial em TxM, visto que uma carta local φi : Ui → eUi, x ∈ Ui, induz uma bijeção Dφi(x)entre TxM eRm que associa a cada classe [α] o vetor (φ◦ α)′(0) ∈ Rm_{. Este vetor independe do} representante da classe de equivalência [α]. Veja que esta é sobrejetiva, pois se

v ∈ Rm, então α(t) = φ−1i (φi(x) + tvé uma curva diferenciável passando por x e a imagem de [α] é v.

Vejamos que a estrutura de espaço vetorial independe das cartas locais. Ora, se φj : Uj → eUjé outra carta local com x∈ Uj, então

Dφj(x) = (Dφj◦ φ−1i )(φi(x))· Dφi(x).

Assim, se definimos a estrutura vetorial em TxM de modo que Dφi(x) é um isomorfismo, então Dφj(x)também é, pois (Dφj◦ φ−1i )(φ(x))é isomorfismo. 1 Exercício. 1) Mostre que a dimensão do espaço tangente TxM a Mm em x é dim(TxM ) = m.

2) O fibrado tangente a M , T M , é uma variedade de dimensão 2m.

Seja f : M → N uma aplicação diferenciável entre duas variedades diferen-ciáveis. Se α : (−ϵ, ϵ) → M é uma curva diferenciável com α(0) = x, então

f◦ α é uma curva diferenciável em N que passa por f(x). Defina Df (x) : TxM → Tf (x)N

[α]7→ [f ◦ α].

Veja que esta definição independe da escolha de α na classe de equivalência e que dadas duas cartas locais ψ : W ⊂ N → fW ⊂ Rn_{e φ : U ⊂ M → eU ⊂ R}m_{, tais}

5 que f (x)∈ W, x ∈ U, então Df(x) é dada por

Df (x) = (Dψ(f (x)))−1◦ D(ψ ◦ f ◦ φ−1)(φ(x))◦ Dφ(x),

que, sendo composta de aplicações lineares, é uma aplicação linear, chamada de

derivada de f no ponto x. Esta é a melhor aproximação linear de uma aplicação

diferenciável f : M → N entre variedades num ponto x.

Suponha que φ : U ⊂ M → eU ⊂ Rm _{é uma parametrização em x} ∈ U e

ψ : V ⊂ N → eV ⊂ Rn_{parametriza y = f (x) e φ(x) = 0, ψ(y) = 0. Se eU é} pequeno o suficiente o seguinte diagrama comuta:

M f h = ψ◦ f ◦ φ−1 N e U Ve φ ψ Figura 1.5: Diagrama 1 Logo, h :Rm _{→ R}n_{é diferenciável.}

Pela regra da cadeia em espaços euclideanos, tomando as derivadas devemos ter também um diagrama comutativo de transformações lineares

Ora, considerando tais cartas locais, temos então que Df (x) = D(ψ−1◦ h ◦

φ) : TxM → TyN. Como vimos anteriormente, esta aplicação está bem definida (independe das cartas locais).

Regra da cadeia

Assim como no caso euclideano, um ferramenta muito útil relativa às deriva-das de aplicações é a regra da cadeia.

1.1 Teorema. Dadas duas aplicações diferenciáveis de classe C1_{, f : M → N, g :}

N → P, M, N, P variedades C1_{. Então g◦ f : M → P ∈ C}1_{e tem-se}

TxM Dfx Dh0 TyN f Rm Rfn Dφ0 Dψ0 Figura 1.6: Diagrama 2

Demonstração. Se φ : U ⊂ M → eU ⊂ Rm _{é uma parametrização em x ∈ U,}

ψ : V ⊂ N → eV ⊂ Rn _{parametriza y = f (x), η : W ⊂ P → fW ⊂ R}p parametriza z = g(y) e φ(x) = 0, ψ(y) = 0 e η(z) = 0.

Vamos mostrar que o seguinte diagrama comuta:

j = η◦ g ◦ ψ−1 η P f W M f h = ψ◦ f ◦ φ−1 N e U Ve φ ψ Figura 1.7: Diagrama 3

Derivamos o seguinte diagrama temos, por definição,

D(g◦ f)(x) = Dη₀−1◦ D(j ◦ h)0 ◦ φ0.

Pela regra da cadeia entre aplicações de abertos em espaços euclideanos,

7 M g◦ f j◦ h P e U Ve φ η Figura 1.8: Diagrama 4 Assim, D(g◦ f)(x) = (Dη−1₀ ◦ Dj0◦ Dψ0)◦ (Dψ0−1◦ Dh0◦ Dφ0) = Dgy◦ Dfx.

Outra construção do espaço tangente é dada a seguir. Para tanto, considera-se a priori M ⊂ Rn_.

Já se sabe que a derivada é a melhor aproximação linear de uma aplicação. Podemos usar a derivada para identificar o espaço linear que melhor aproxima uma variedade M num ponto M .

Seja φ : M → eU ⊂ Rk_{uma parametrização em x, com φ(x) = 0.} A melhor aproximação linear de φ−1 : eU → M em 0 é dada por

v 7→ φ−1(0) + Dφ−1₀ (v) = x + Dφ−1₀ (v).

Definimos, então, o espaço tangente a M em x como sendo a imagem da aplicação Dφ−10 : Rk → Rn. Ou seja, TxM é o subespaço vetorial deRn cuja

translação paralela x + TxM é a melhor aproximação linear a M passando por x. Neste caso, um ponto v ∈ Rn_{que pertence ao subespaço vetorial TxM é um}

vetor tangente a M em x.

2 Exercício. Mostre que esta definição também independe da escolha da carta local.

Imersões, submersões e mergulhos

Agora que definimos derivada de uma aplicação entre variedades, podemos trazer conceitos da análise para este contexto.

Como já foi dito, estamos interessados em estudar o comportamento de apli-cações entre variedades e, em particular, se elas são difeomorfas, ao menos local-mente.

Assim como em espaços euclideanos, uma condição necessária para que uma aplicação f : M → N, entre variedades de mesma dimensão, seja um difeomor-fismo local em x é que sua derivada Df (x) : TxM → Tf (x)N seja um isomor-fismo.

1.2 Teorema. Seja f : Mm → Nm _{aplicação diferenciável entre variedades}

dife-renciáveis duja derivada no ponto x é um isomorfismo. Então, f é um difeomor-fismo local em x.

3 Exercício. Demonstre o Teorema1.2.

1.3 Observação. Recordemos que uma aplicação linear é chamada de não singular

se a sua matriz representante tem determinante não nulo.

O Teorema 1.2 nos diz que para verificar se f leva difeomorficamente uma vizinhança do ponto x numa vizinhança de sua imagem f (x) basta verificar se

det[Df (x)]̸= 0, onde [A] é a matriz de uma aplicação linear A.

Um exemplo típico de um difeomorfismo local que não é global é a função

f :R → S1

1.4 Lema. Seja X uma variedade suave não-compacta e Ki ⊆ intKi+1 uma

sequência de compactos tais que X =∪_i∈NKi. Dadas sequências ϵi > 0e ωi > 0

de números positivos onde i∈ N então existem funções f; g : X → R+_{suaves tais}

que para todo x∈ Ki+1\ intKitemos que 0 < f (x)≤ ϵie ωi ≤ g(x)

Demonstração. Exercício.

Formas locais

1.5 Definição. Seja f : M → N uma aplicação diferenciável entre variedades.

Dizemos que f é:

1. Imersão em x ∈ M, se Df(x) : TxM → Tf (x)N é injetiva; Se valer para

9

2. Submersão em x ∈ M, se Df(x) : TxM → Tf (x)N é sobrejetiva; Se valer

para todo x∈ M, diz-se que f é uma submersão.

3. Mergulho se f é uma imersão e um homeomorfismo de M sobre sua imagem f (M )⊂ N.

Exemplo: Uma imersão que não é mergulho.

R f

Figura 1.9: Imersão (não mergulho)

Observe que f pode ser tomada como imersão, mas não é um mergulho por

não ser homeomorfismo. ♢

A imersão canônica é a aplicação inclusão de inc : Rm → Rn_{, m} ≤ n, que leva (a1,· · · , am)no ponto (a1,· · · , am, 0,· · · , 0).

Na verdade, a menos de difeomorfismos, esta é a única imersão.

1.6 Teorema. Seja f : M → N uma imersão em x. Então existem coordenada

locais em torno de x e y = f (x) tais que

f (x1,· · · , xm) = (x1,· · · , xm, 0,· · · , 0).

Demonstração. Escolha cartas locais φ(x) = 0 e ψ(y) = 0 tais que o diagrama

abaixo comute Agora, aplicamos o Teorema da função inversa para g.

Como Dg0 :Rm → Rné injetiva, por uma mudança de base emRnpodemos

supor que tem um matriz n×m da forma(Im

0

)

, com Ina matriz identidade n×n. Defina a aplicação G : eU × Rn−m _{→ R}n_por

G(u, v) = g(u) + (0, v).

Note que G leva um conjunto aberto deRn_emRn_{e a matriz de DG}

0 = In. Daí,

pelo teorema da inversa, temos que G é um difeomorfismo local deRn_{em torno} de 0.

M f g N e U Ve φ ψ Figura 1.10: Diagrama 5

Veja também que g = G◦ inc, inc = inclusão canônica. Já que ψ−1e G são difeomorfismos locais em 0, também o é ψ−1◦G. Logo, esta última pode se usada como carta local de N em y.

Ademais, diminuindo eU e eV se necessário, temos que o diagrama abaixo co-muta M inc N e U Ve φ−1 ψ−1◦ G Figura 1.11: Diagrama 6

1.7 Corolário. Se f é uma imersão em x, então é uma imersão numa vizinhança

de x.

É importante notar que a imersão é uma condição de natureza local, estrita-mente. Se tivermos uma imersão entre duas variedadesde mesma dimensão, por exemplo, é o mesmo que termos um difeomorfismo local.

11 Por outro lado, difeomorfismos (globais) devem satisfazer, ao mesmo tempo, uma condição topológicaglobal e uma diferencial local: devem ser difeomorfis-mos locais e devem ser bijeções.

Em geral, o nosso interesse recai sobre a imagem das imersões. Na imersão canônica, sua imagem é o melhor exemplo de uma subvariedade. Entretanto, nem sempre a imagem uma imersão qualquer é uma subvariedade. Isto porque para f (M ) ser uma variedade é necessário que todo ponto tenha vizinhanças pa-rametrizáveis. Mas, f (U ) não necessariamente é um aberto em N .

FAZER OS EXEMPLOS AQUI

Exemplos como a Figura 1.9, deixa-nos em dúvida se podemos obter infor-mações globais a partir do teorema de imersões.

1.8 Definição. Uma aplicação f : M → N é chamada de própria se a pré-imagem

de todo conjunto compacto em N é compacta em M .

Podemos reformular a noção de mergulho na Definição1.5: um mergulho é uma imersão injetiva e própria.

Apresentamos agora uma extensão global do Teorema1.6.

1.9 Teorema. Um mergulho f : M → N mapeia difeomorficamente M sobre

uma subvariedade de N .

Demonstração. Precisamos mostrar que a imagem de qualquer aberto V ⊂ M é

um subconjunto aberto de f (M ).

Se f (V ) não é aberto em f (M ), então existe uma sequência de pontos yj em f (M ) que não pertence a f (V ), mas converge a um ponto y em f (V ). O conjunto{y, yj} é compacto, logo sua pré-imagem em M deve ser um compacto. Cada ponto yj tem uma única pré-imagem xjem M , bem como y tem única pré-imagem x ∈ V . Como {x, xj} é compacto, podemos tomar uma subsequência convergindo para um ponto z∈ M.

Assim, f (xj)→ f(z). Já que f(xj)→ f(z), por injetividade de f, z = x. Afirmo que f (V ) é aberto: Com efeito, já que xj → x e V é aberto, então para j grande o suficiente, xj ∈ V . Mas, isto contradiz yj ∈ f(V ). Logo, f(M)/ é, de fato, uma variedade.

É claro que f : M → f(M) é um difeomorfismo, pois f é um difeomorfismo local entre M e f (M ). Já que é bijetiva, a sua inversa f−1 : f (M )→ M está bem definida, e é localmente diferenciável.

1.10 Teorema. Se Nn_{é uma subvariedade de M}m_{, então é a imagem de um}

mer-gulho f : Pp _{→ M.}

Demonstração. Com efeito, se N é uma subvariedade diferenciável, tem uma

es-trututa diferenciável proveniente de uma cobertura por cartas de subvariedade. Para esta estrutura diferenciável temos que a inclusão inc : N → M é um mergulho C∞.

1.11 Observação. Se M é uma variedade compacta, então toda aplicação f :

M → N é própria. Assim, mergulhos em variedades compactas são, simplesmente, imersões injetivas.

Forma local das submersões

A submersão canônica é exatamente a projeção deRm_emRn_{, com m≥ n, proj :} (x1,· · · , xm) 7→ (x1,· · · , xn). O próximo resultado nos diz que, a menos de

difeomorfismos, toda submersão é localmente canônica.

1.12 Teorema. Seja f : M → N uma submersão em x e f(x) = y. Existem

coordenadas locais em x e y tais que f (x1,· · · , xm) = (x1,· · · , xn).

Demonstração. Dada uma parametrizações local com φ(x) = 0 e ψ(y) = 0 tais

que o diagrama abaixo comute.

M f g N e U Ve φ ψ Figura 1.12: Diagrama 7

Como Dg0 :Rm → Rné sobrejetiva, fazemos uma mudança de coordenadas

13 Defina G : eU → Rmpor

G(a) = (g(a), an+1,· · · , am), onde a = (a1,· · · , am).

Temos a matriz de DG0 = [Im], donde G é um difeomorfismo local em 0. Daí, existe a inversa G−1e é um difeomorfismo local de algum aberto eU′contendo 0 em eU.

Por construção, g = proj◦ G, logo g ◦ G−1é a submersão canônica. Então, o diagrama1.13comuta.

M f proj N f U′ Ve φ◦ G−1 ψ Figura 1.13: Diagrama 8

1.13 Observação. Se f : M → N é uma aplicação Cr _{e S ⊂ M é uma}

subvarie-dade, então f restrita a S é uma aplicação Cr_{de S em N e sua derivada em cada}

ponto é a restrição da Df ao espaço tangente a S o qual é um subespaço do espaço tangente a M .

Por exemplo, restringindo a projeção πn+1 : (x1, . . . , xn+1) 7→ xn+1 à esfera Sn_{obtemos uma aplicação diferenciável que não se anula em apenas dois pontos.}

A aplicação antípoda, restrição de f : x7→ −x a Sn_{, a :S}n_{→ S}n_é

diferenciá-vel. E já que a◦ a = Id, a antípoda é um difeomorfismo.

Valor regular e pré-imagem

Uma das maiores utilidades do teorema de classificação local está na natureza geométrica de soluções de equações funcionais.

Se y é um ponto de N e f : M → N, as soluções da equação f(x) = y é o subconjunto de M ao qual já chamamos pré-imagem de y,e denotamos f−1(y). Para aplicações mais gerais, não necessariamente este conjunto é de natureza ge-ométrica bem definida, mas se f é uma submersão temos uma boa descrição geométrica para ele.

Seja f : M → N uma aplicação Cr_{entre variedades diferenciáveis. Dizemos} que x ∈ M é um ponto regular se Df(x) é sobrejetiva. Dizemos que y ∈ N é um valor regular se f−1(y)possui apenas pontos regulares. Em particular, se

f−1(y) = ∅, então y é valor regular.

Um ponto que não é valor regular é chamado de valor crítico de f . o conjunto solução{x : f(x) = y}, quando y é um valor crítico, pode ser bem complicado.

1.14 Proposição. Sejam X e Y variedades de mesma dimensão onde X é uma

variedade compacta e f : X → Y contínua. A função #f−1(y) é localmente constante quando y percorre os valores regulares y de f .

Demonstração. Seja y um valor de f , pela proposição anterior, temos que #f−1(y) é finito. Assim podemos considerar f−1(y) = {p1, ..., pr}. Como X e Y possuem a mesma dimensão, pelo Teorema da Aplicação Inversa, para cada pi ∈ f−1(y) existe Uiaberto no qual f|Ui é um difeomorfismo com sua imagem f (Ui) = Vi

aberto em Y para cada i∈ {1, ..., r}. Como estamos supondo a variedade como sendo de Haudorff, podemos supor s.p.g. esses abertos Ui’s como sendo dois-a-dois disjuntos. Tome y∈ ˜V ⊆∩r_i=1Vicom ˜V aberto.

Seja w ∈ ˜V , segue que w ∈∩r_i=1f (Ui), logo existe um único wi ∈ Uital que

f (wi) = w(pois f é um difeo em Ui) para cada i∈ {1, ..., r}, segue que f−1(w) possui pelo menos r pontos. Note que poderiam existir pontos de f−1(w)que não estão em nenhum Ui para todo i ∈ {1, ..., r}. Vamos mostrar que existe

y∈ V ⊆∩r_i=1Vital que isso não ocorre.

1 Afirmação. Existe V ∋ y aberto contido em∩r_i=1Vi tal que para todo w em V

temos que f−1(w)⊆∪r_i=1Ui.

Suponha, por absurdo, que a afirmação não vale. Podemos tomar{Vn}∞n=1a

vizinhança básica enumerável de y (pois as variedades diferenciáveis satisfazem o segundo axioma de enumerabilidade, e portanto satisfazem o primeiro axioma de enumerabilidade), assim, para toda Vnvizinhança aberta de y existe wn ∈ Vntal

que xn ∈/ ∪r

i=1Ui com f (xn) = wn. Assim, wn → y quando n → ∞. Como

xn ∈ X para todo n ∈ N com X compacto, existe uma subsequência convergente

xk→ x quando k → ∞. Agora, note que:

15

Daí x ∈ f−1(y), segue que existe j ∈ {1, ..., r} tal que x = pj ∈ Uj. Como

xn → x existe n0 ∈ N tal que para n ≥ n0temos que xn ∈ Uj, um absurdo, pois

tomamos xn ∈/ ∪r

i=1Ui para todo n∈ N. Logo vale a afirmação, e f−1(w)possui

exatamente r pontos se w ∈ V . O que termina a prova.

1.15 Teorema. Seja f : M → N uma aplicação diferenciável e y um valor

re-gular de f . Então, a pré-imagem P = f−1(y)é uma subvariedade de M tal que

dim(P ) = dim(M )− dim(N).

Demonstração. Seja x∈ P . Tome coordenadas locais em torno de x e y de modo

que f (x1,· · · , xm) = (x1,· · · , xn)e y corresponda a (0,· · · , 0).

Assim, próximo a x, f−1(y)é o conjunto dos pontos (0,· · · , 0, x1,· · · , xn). Precisamente, seja V a vizinhança de x na qual o sistema de coordenadas (x1,· · · , xm) está definido. Então, f−1(y)∩V é o conjunto de pontos onde x1 = 0,· · · , xn = 0. As funções xn+1,· · · xm forma, assim, um sistema de coordenadas sobre o con-junto f−1(y)∩ V que é relativamente aberto em f−1(y)(veja a figura).

1.16 Observação. Informações sobre o valor regular são úteis, pro exemplo, quando

queremos encontrar pontos que não pertencem a uma imagem f (x).

Quando dim M > dim N , a regularidade de um valor y significa que f é uma submersão em cada ponto da pré-imagem x∈ f−1(y).

Quando dim M = dim N , f é um difeomorfismo local em cada ponto de f−1(y). Este um caso muito importante.

E, se dim M < dim N , então todo ponto em f (M ) é um valor crítico, e por-tanto, os valores regulares são aqueles nunca atingidos por f .

Exemplo:

1. Seja f : Rk → R, f(x) = |x|2 ₌ ∑k

i=1x2i. A derivada Dfa no ponto

a = (a1,· · · , ak)tem matriz (2a1,· · · , 2ak). Assim, Dfa : Rk → R é sobrejetiva a menos que f (a) = 0, donde todo número não nulo é um valor regular para f . Em particular, isto prova que a esferaSk−1 _{= f}−1_(1), é uma variedade de dimensão k− 1.

2. Grupos de Lie são aqueles que têm estrutura de variedade e cujas operações de grupo são diferenciáveis. Um exemplo de grupo de Lie é o seguinte: Considere o grupo ortogonal O(n), o grupo das transformações lineares de Rn_{preservando distância. O espaço de matrizes Mn(R) é uma variedade,} de fato é nada mais do queRn2

O(n) é o grupo de matrizes tais que A · At _{= Id, onde A}t _{é a matriz} transposta de A. Vamos mostrar que O(n) é uma superfície compacta di-ferenciável de dimensãon

2(n− 1) em R

n2

. Para isto, seja S(Rn_{) = {A ∈ M}

n(R); At = A} ≈ R

n

2(n+1) vejamos

que O(n) é pré-imagem de um valor regular da aplicação diferenciável

f : Mn(R) → S(Rn), f (A) = AAt. Se mostrarmos que a identidade

I ∈ S(Rn)é valor regular para f , então obteremos que O(n) = f−1(I)é superfície diferenciável de dimensão n2₋ n

2(n + 1) =

n

2(n− 1) em R

n2

. Assim, tome X ∈ O(n) = f−1(I). Temos que f′(X) : Mn(R) → S(Rn), dada por f′(X) = XHt_{+ HX}t_{, é sobrejetiva.}

De fato, dada uma matriz S∈ S(Rn_{), seja V =} SX

2 , então f′(X)· V = X ( SX 2 )t + ( SX 2 ) Xt = (XXt)S 2 + S 2(XX t_{) = S.}

Por outro lado, O(n) é fechado, pois é imagem inversa do “ponto” I por f , qual é um subconjunto fechado do contradomínio e f é contínua.

A isomorfismo Mn(R) ≈ Rn2

implica que O(n) é um subconjunto da es-fera de centro 0 ∈ Rn2

e raio√n, já que cada vetor linha de uma matriz

X ∈ O(n) tem comprimento 1. Logo, O(n) é fechado e limitado em Rn2, ou seja, O(n) é compacto.

♢ Suponha agora que g1,· · · , gksão funções diferenciáveis a valores reais defi-nidas sobre uma variedade M de dimensão l≤ k.

Pergunta-se: Sob quais condições o conjunto Z de zeros comuns é um objeto geométrico razoável?

Para responder, considere a aplicação g = (g1,· · · , gk) : M → Rk.

Já que Z = g−1(0), então Z é uma subvariedade de M se 0 é valor regular de

g, pelo teorema1.15.

Vamos reformular isso em termos das funções gi.

Note que cada gi : M → R é diferenciável e sua derivada num ponto x é dada por Dgi(x) : TxM → R, ou seja, Dgi(x)é uma funcional linear sobre o espaço vetorial TxM.

17 Além disso, é fácil ver que Dg(x) : TxM → Rké sobrejetiva se, e somente se, os funcionais Dg1,· · · , Dgksão linearmente independentes em TxM. (exer-cício) Neste caso, diremos que g1,· · · , gksão independentes em x. Reescrevendo o teorema anterior nesses termos, obtemos:

1.17 Proposição. Se as funções diferenciáveis a valores reais g1,· · · , gksobre M

são independentes em cada ponto onde todas se anulam, então o conjunto dos zeros comuns é uma subvariedade de M de dimensão dim(M )− k.

1.18 Definição. Seja Z ⊂ M uma subvariedade. O número codim(Z) = dim(M)−

dim(Z) é chamado de codimensão de Z com respeito a M .

Será que toda subvariedade pode ser “talhada” em M por funções indepen-dentes?

Nem sempre é verdade, mas vale em alguns casos.

1.19 Proposição. Se y é uma valor regular de uma aplicação diferenciável f :

M → N, então a subvariedade pré-imagem f−1(y) é gerada por funções inde-pendentes.

Demonstração. Tome um difeomorfismo h de uma vizinhança W de y tal que h(y) = 0∈ Rk_{. Faça g = h◦ f e verifique que 0 valor regular para g. Portanto,} as funções coordenadas de g são as procuradas.

1.20 Proposição. Toda subvariedade de M é localmente gerada por funções

inde-pendentes.

Demonstração. Sejam Z uma subvariedade de codimensão k e z ∈ Z.

2 Afirmação. Existem k funções independentes g1,· · · , gk definidas em alguma

vizinhança W de z em M tal que Z∩ W é o conjunto de zeros comuns das gi. Note

que estamos considerando a subvariedade Z∩ W na variedade W .

Segue imediatamente da forma local das imersões para a imersão Z → W . (ver exercício a seguir)

Em particular, tomando Z como um espaço euclideano qualquer vê-se que toda variedade está localmente definida por uma coleção de funções independen-tes em espaços euclideanos. Novamente, não é verdade que todas as variedades possam ser globalmente geradas por funções independentes.

1.21 Proposição. Seja Z a pré-imagem de um valor regular y∈ N por uma

aplica-ção diferenciável f : M → N. Então, o núcleo da derivada Df(x) : TxM → TyN

em qualquer ponto x∈ Z é o espaço tangente a Z, TxZ.

Demonstração. Já que f é constante em Z, Df (x) é zero sobre TxZ. Mas, Df (x) :

TxM → TyN é sobrejetiva, por definição de valor regular. Logo, a dimensão de de seu núcleo deve ser

dim(TxM )− dim(TyN ) =dim(M )− dim(N) = dim(Z).

Assim, TxZé um subespaço vetorial do núcleo que tem mesma dimensão do núcleo todo, e disto segue TxZ =ker(Df (x)).

4 Exercício. 1. Mostre que se f é uma submersão em x, então o é em uma vizinhança de x.

2. Seja Nn_{subvariedade de M}m_{. Mostre que T N identifica-se com uma}

sub-variedade de T M por um mergulho T N ,→ T M..

3. SLn(R) = {A ∈ GLn(R); det A = 1} é uma subvariedade de GLn(R).

4. Prove que Dg(x) : TxM → Rké sobrejetiva se, e somente se, os funcionais

Dg1,· · · , Dgksão linearmente independentes em TxM.

5. Suponha que Z é uma subavariedade de dimensão k de M e que z ∈ Z. Mostre que existe um sistema de coordenadas locais{x1,· · · , xk} numa

vi-zinhança U de z em M tal que Z ∩ U está definido pelas equações xk+1 = 0,· · · , xm = 0.