Métodos Matemáticos Aplicados a Processos Químicos e Bioquímicos. Capítulo II : Autovalores, Autovetores e Formas Quadráticas

Métodos Matemáticos Aplicados a

Processos Químicos e Bioquímicos

Capítulo II : Autovalores, Autovetores

e Formas Quadráticas

José Luiz de Medeiros e Ofélia Q.F. Araújo

Engenharia Química – UFRJ

jlm@eq.ufrj.br, ofelia@eq.ufrj.br

Tel. 21-2562-7535

Sistema Quadrado Homogêneo : n Equações em n Variáveis

0

=

X

A







1

:

:

x

n

X

n

x

n

A

O SQH tem, obviamente, a Solução Trivial X = 0

Todavia, Temos Interesse apenas na Possibilidade de Soluções Não-Triviais, para as quais X ≠ 0

Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.1

∑

=

=

⇔

=

m i i i m

X

B

A

X

B

A

A

A

1 2 1

...

]

[

A₁ , A₂ , ... , A_m L.I. e Tem-se B com Posto([A₁ A₂ ... A_m B])=m,

Então :

Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.1

∑

=

=

⇔

=

m i i i m

X

B

A

X

B

A

A

A

1 2 1

...

]

[

A₁ , A₂ , ... , A_m L.I. e Tem-se B com Posto([A₁ A₂ ... A_m B])=m,

Então :

Demonstração

Tem Solução X Única

{

.) . . ( 0 . . ,..., 0 0 0 0 ) ( : . . ]) ... ([ ]) ... [ ( . 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 Sol Uma Há Só e i X X X X Assim I L A A A A X X A B X A B X A Então X X Diferentes Soluções Duas há que Admita Única é Sol A B A A A Posto p A A A A Posto pois Sol Tem B X A n m i i i n n n i i i = ⇒ = − = ⇒ = ⇒ = ⇒ = − ⇒    = = ≠ = = = =

∑

∑

= = α α α

Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.2







B

se

somente

A

B

se

A

B

se

somente

e

se

A







⇒

⇒

B

A

B

se

somente

A

A

B

B

se

A

:

:

O SQH tem Solução Não-Trivial X ≠ 0 Se e Somente Se sua Matriz é Singular. Demonstração B é Suficiente para A B é Necessário para A B é Suficiente para A B é Necessário para A

Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.2







B

se

somente

A

B

se

A

B

se

somente

e

se

A







⇒

⇒

B

A

B

se

somente

A

A

B

B

se

A

:

:

O SQH tem Solução Não-Trivial X ≠ 0 Se e Somente Se sua Matriz é Singular. Demonstração B é Suficiente para A B é Necessário para A B é Suficiente para A B é Necessário para A B A B se somente e se A B A A B B se somente e se A ⇔    ⇒ ⇒ :

Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.2

0

0

=

≠

∃

⇒

X

com

A

X

Singular

A

0

0

=

≠

∃/

⇒

X

com

A

X

Singular

Não

A

O SQH tem Solução Não-Trivial X ≠ 0 Se e Somente Se sua Matriz é Singular.

Demonstração

Suficiência Necessidade

Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.2

0

0

=

≠

∃

⇒

X

com

A

X

Singular

A

.

.

...

,

,

)

(

A

p

n

A

₁

A

₂

A

São

L

D

Posto

Singular

A

⇒

=

<

⇒

_n

O SQH tem Solução Não-Trivial X ≠ 0 Se e Somente Se sua Matriz é Singular. Demonstração Suficiência

0

0

0

0

1

=

≠

∃

⇒

⇒

≠

=

=

⇒

∑

=

X

A

com

X

Singular

A

X

com

obtido

ser

pode

X

A

X

A

n i i i

Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.2

0

0

.

0

,

.

0

.)

.

0

.

.

(

.

0

])

0

([

)

(

=

≠

∃/

⇒

⇒

=

=

⇒

=

−

=

⇒

=

=

=

⇒

X

A

com

X

Sing

Não

A

Única

é

X

Sol

Sempre

é

X

Como

L

G

p

n

com

e

i

Única

Sol

Tem

X

A

n

p

A

Posto

A

Posto

Singular

Não

A

0

0

=

≠

∃/

⇒

X

com

A

X

Singular

Não

A

O SQH tem Solução Não-Trivial X ≠ 0 Se e Somente Se sua Matriz é Singular.

Demonstração

Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.3

SQH com D_A ≠ 0, só possui a Solução Trivial X = 0

Demonstração

0

0

0

)

(

0

,

.

0

.)

.

0

.

.

(

.

0

])

0

([

)

(

0

=

=

⇒

≠

⇒

=

=

⇒

=

−

=

⇒

=

=

=

⇒

⇒

≠

X

para

apenas

X

A

A

DET

Única

é

X

Sol

Sempre

é

X

Como

L

G

p

n

com

e

i

Única

Sol

Tem

X

A

n

p

A

Posto

A

Posto

Singular

Não

A

D

_A

Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.4

SQH com Posto(A)=n-1, tem Solução Completa X = β.S onde β é Constante Arbitrária Demonstração [ ] S V V X X X X com V X X A V X X X A V X A X A X A X A X A Assim único é V Teor Pelo A V A como colocado ser pode A D L Col a A Seja D L Col e I L Cols n Tem A n p A Posto L G p n a Sol Tem X A n A Posto n p A A A A Posto n n n n i n i n i i i n i n i n i i n i i i n i n n i i n i n n i i n i i i n n n n n β β β =             − =             − = ⇒ − = ⇒ = + − = ⇒ − = ⇒ = + = − ⇒ − = = = − = ⇒ − = ⇒ − = = = − − − = − = − = − = − = − = −

∑

∑

∑

∑

∑

∑

1 , 0 ) ( 0 ). , 1 . 2 . ( . . . ; . . 1 . . 1 1 ) ( . . 1 . 0 1 ]) 0 ([ 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M M L Por que ?

SQH com Posto(A)=n-1, a Solução Completa é constante vezes o vetor de cofatores de Q.Q. linha com ao menos um cofator ≠ 0

Demonstração

Pelo Teor. 2.4, a Sol. Completa é X = β.S onde β é Constante Arbitrária e S é um vetor específico. Como Posto(A)=n-1, D_A=0

) . ( . 0 0 0 ; ) 0 ( 1 2 1 SQH Completa Sol X SQH do Sol de direção a define D A A A A Então A de cofatores vetor k k A k T n k T k k T k T k T T k T n T T Ω = ⇒ Ω ⇒ =               =                   Ω Ω Ω = Ω ≠ Ω               Ω Ω Ω = Ω β M M M M M

SQH com Posto(A)=n-1, a Solução Completa é constante vezes o vetor de cofatores de Q.Q. linha com ao menos um cofator ≠ 0

Exemplo           − = ⇒           − = = = Ω − = − = Ω = = Ω           Ω Ω Ω = Ω = =                     + 1 2 1 3 6 3 3 7 5 5 4 , 6 9 5 6 4 ) 1 ( , 3 9 7 6 5 0 9 7 5 6 5 4 3 2 1 13 2 1 12 11 13 12 11 1 3 2 1 β β β β X X Dando X Usamos X X X

Solução Completa do SQH pode ser Obtida pela Estratégia Geral de Pivotamento e Análise de Sistemas Lineares.

Exemplo

0

9

7

5

6

5

4

3

2

1

3 2 1

=









































X

X

X

Exemplo 0 0 0 6 3 0 6 3 0 3 2 1 ) ( 1 0 0 0 9 7 5 6 5 4 3 2 1 0 0 0 9 7 5 6 5 4 3 2 1 3 2 1 − − − −           =                     o Normalizad Pivô Aumentado Tableau X X X    = − = ⇒ = = − = = − − − β β β 1 2 3 3 2 ) ( . . 1 2 3 . ]) 0 ([ 2 ) ( : 3 0 0 0 0 0 0 2 1 0 1 0 1 2 0 0 0 6 3 0 2 1 0 3 2 1 2 X X X X L G tem Sol A Posto A Posto Fim Nulo Pivô Pivô Pivô Normaliza           − = 1 2 1 β X Sol. Completa

Matriz da Forma Quadrática

)

1

x

n

(

Y

),

1

x

n

(

X

,

)

n

x

n

(

A

Sejam

∑∑

= = = n 1 i n 1 j j i ij X X A ) X ( Q Quando Quadrática Forma uma é ) X ( Q

)

1

x

n

(

X

,

Y

)

1

x

n

(

X

)

n

x

n

(

A

Variáveis da Forma Quadrática Variáveis da Forma Bilinear

∑∑

= = = n 1 i n 1 j j i ij X Y A ) Y , X ( F Quando Bilinear Forma uma é ) Y , X ( F

) 1 ( , ) (n x n X n x A Sejam

[

]

( )

AX X AX X ) X ( Q X A X A X A X X X X A X X X A ) X ( Q X X A ) X ( Q Quando Quadrática Forma uma é ) X ( Q T T n 1 j j nj n 1 j j j 2 n 1 j j j 1 n 2 1 n 1 j j ij n 1 i i n 1 i n j j i ij n 1 i n 1 j j i ij = =                       = = = =

∑

∑

∑

∑

∑

∑∑

∑∑

= = = = = = = = = M L X A X X A X X X A X Q T T n i T n j j i ij

∑∑

= = = = = 1 1 ) (

)

1

x

n

(

Y

),

1

x

n

(

X

,

)

n

x

n

(

A

Sejam

∑∑

= = = n 1 i n 1 j j i ij X Y A ) Y , X ( F Quando Bilinear Forma uma é ) Y , X ( F

[

]

X A Y Y A X Y X F Y A Y A X X Y A X Y X A Y X F T T T n j j nj n j j j n n i n j j ij n i i n j j i ij = =               = = = = =

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = ) , ( ) , ( 1 1 1 1 1 1 1 1 M L Y A X X A Y X Y F X A Y Y A X Y X F geral em que Note T T T T T T = = ≠ = = ( , ) ) , ( ,

Simétrica M X M X X A X X Q M M Simétrica A A M X M X X A A X X Q X A X X A X X A X X A X X Q X Q X Q X Q X Q X Q Como X A X X Q T T T T T T T T T T T T T T T T , ) ( , 2 , 2 ) ( 2 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = = =         ₊ = =         ₊ = + = + = + = ⇒ = =

Toda FQ é Idêntica a uma FQ com Matriz Simétrica Teorema 2.6 Demonstração

Simétrica M X M X X A X X Q M M Simétrica A A M X M X X A A X X Q X A X X A X X A X X A X X Q X Q X Q X Q X Q X Q Como X A X X Q T T T T T T T T T T T T T T T T , ) ( , 2 , 2 ) ( 2 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = = =         ₊ = =         ₊ = + = + = + = ⇒ = =

Toda FQ é Idêntica a uma FQ com Matriz Simétrica Teorema 2.6 Demonstração

Simétrica

A

A

M

X

M

X

X

A

X

X

Q

T T T

















₊

=

=

=

2

)

(

Toda FQ é Idêntica a uma FQ com Matriz Simétrica Teorema 2.6 Devido ao Teor. 2.6, deste Ponto em Diante só Consideramos FQs com Matrizes Simétricas, pois :

0

)

X

(

Q

0

X

,

real

n

x

n

simétrica

M

X

M

X

)

X

(

Q

Seja

=

T

=

⇒

=

Classificação de Formas Quadráticas Definição 2.1

) PD ( Definida Positiva ) X ( Q 0 X 0 ) X ( Q > ∧ ≠ ⇒ − 1 ) 0 X um lg a para 0 ) X ( Q ( ) PSD ( da Semidefini Positiva ) X ( Q 0 X 0 ) X ( Q ≠ = − ⇒ ≠ ∧ ≥ 2 ) ND ( Definida Negativa ) X ( Q 0 X 0 ) X ( Q < ∧ ≠ ⇒ − 3 ) 0 X um lg a para 0 ) X ( Q ( ) NSD ( da Semidefini Negativa ) X ( Q 0 X 0 ) X ( Q ≠ = − ⇒ ≠ ∧ ≤ 4 Indefinida ) X ( Q 0 X 0 ) X ( Q 0 ) X ( Q 0 ) X ( Q ⇒ ≠ ∧      = < > 5

Seja Q(X) Definida (PD ou ND), Então D_M

≠≠≠≠

0 Teorema 2.7

)

0

D

(

Singular

Não

M

Definida

)

X

(

Q

,

Logo

Definida

é

)

X

(

Q

pois

Absurdo

0

X

M

X

)

X

(

Q

Em

)

SQH

(

0

X

para

ocorre

0

X

M

Assim

0

)

M

(

DET

com

Definida

X

M

X

)

X

(

Q

Admita

M * T * * * T

≠

−

⇒

⇒

=

=

≠

=

=

=

Demonstração

Condição Necessária e Suficiente para Q(X) PD (ND) Teorema 2.8

































=

=

nn 3 n 2 n 1 n n 3 33 32 31 n 2 23 22 21 n 1 13 12 11 T

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

,

X

M

X

)

X

(

Q

L

M

O

M

M

M

L

L

L

Quantidades abaixo todas Positivas (Alternem Sinal com M₁₁<0 )

M

,

...

,

M

M

M

M

M

M

M

M

M

,

M

M

M

M

,

M

33 32 31 23 22 21 13 12 11 22 21 12 11 11

0

X

M

Y

Y

M

X

T

=

T

=

Vetores Ortogonais e Conjugados Definição 2.2

real

n

x

n

,

PD

,

Simétrica

M

0

Y

,

0

X

,

1

x

n

Vetores

Y

,

X

≠

≠

(

0

,

0

)

0

>

>

=

=

Y

Y

X

X

X

Y

Y

X

T T T T X , Y São Ortogonais

X , Y São Conjugados por M

(

X

T

M

X

>

0

,

Y

T

M

Y

>

0

)

U₁ , U₂ , ..., U_n São n Vetores Mutuamente Ortogonais,

Então Eles São L.I. Teorema 2.9

Demonstração









≠

≠

=

⇒

⊥

⊥

⊥

⊥

0

U

U

)

j

i

(

0

U

U

U

U

U

U

i T i j T i n 3 2 1

L

.]

I

.

L

são

Vetores

,

Absurdo

[

0

n

..

1

k

para

petindo

Re

0

0

U

U

0

U

U

U

.

emult

Pr

0

com

0

U

.

e

.

i

.;

D

.

L

e

U

,

,

U

Admita

0

para

só

0

U

.

I

.

L

Serem

Para

k k T k k n 1 i i T k i T k n 1 i i i n 1 n 1 i i i

=

⇒

=

=

⇒

=

⇒

=

⇒

≠

=

⊥

=

=

∑

∑

∑

= = =

α

α

α

α

α

α

α

α

L

U₁ , U₂ , ..., U_n São n Vetores Mutuamente Conjugados por M Simétrica e P.D. n x n. Então Eles São L.I. Teorema 2.10 Demonstração









>

≠

=

⇒

0

U

M

U

)

j

i

(

0

U

M

U

M

por

Conjugados

U

,

U

,

U

i T i j T i n 2 1

L

.]

I

.

L

são

Vetores

,

Absurdo

[

0

n

..

1

k

para

petindo

Re

0

0

U

M

U

0

U

M

U

M

U

.

emult

Pr

0

com

0

U

.

e

.

i

.;

D

.

L

U

,

,

U

Admita

0

para

só

0

U

.

I

.

L

Serem

Para

k k T k k n 1 i i T k i T k n 1 i i i n 1 n 1 i i i

=

⇒

=

=

⇒

=

⇒

=

⇒

≠

=

=

=

∑

∑

∑

= = =

α

α

α

α

α

α

α

α

L

Construção de Base Ortogonal P₁ , P₂ , ..., P_n de Vetores via

Ortogonalização Schmidt Teorema 2.11

Demonstração 1 n 1 nn 2 2 n 1 1 n n n 2 32 1 31 3 3 1 21 2 2 1 1 n 2 1 n 2 1

P

...

P

P

W

P

P

P

W

P

P

W

P

W

P

:

com

Ortogonais

P

,

P

,

P

oduzir

Pr

.,

I

.

L

W

,

W

,

W

Com

− −

+

+

+

=

+

+

=

+

=

=

α

α

α

α

α

α

O

M

M

M

M

L

L

Construção de Base Ortogonal P₁ , P₂ , ..., P_n de Vetores via

Ortogonalização Schmidt Teorema 2.11

Demonstração 1 n 1 nn 2 2 n 1 1 n n n 2 32 1 31 3 3 1 21 2 2 1 1 n 2 1 n 2 1

P

...

P

P

W

P

P

P

W

P

P

W

P

W

P

:

com

Ortogonais

P

,

P

,

P

oduzir

Pr

.,

I

.

L

W

,

W

,

W

Com

− −

+

+

+

=

+

+

=

+

=

=

α

α

α

α

α

α

O

M

M

M

M

L

L

Constantes

αααα

₂₁,

αααα

₃₁, ...

αααα

_nn-1 calculadas de modo que

Construção de Base Ortogonal P₁ , P₂ , ..., P_n de Vetores via

Ortogonalização Schmidt Teorema 2.11

Demonstração 1 n T 1 n n T 1 n 1 nn n T 1 n 1 T 1 n T 1 1 n n T 1 2 T 2 4 T 2 42 4 T 2 1 T 1 4 T 1 41 4 T 1 2 T 2 3 T 2 32 3 T 2 1 T 1 3 T 1 31 3 T 1 1 T 1 2 T 1 21 2 T 1 P P W P 0 P P , ... , P P W P 0 P P ... P P W P 0 P P , P P W P 0 P P P P W P 0 P P , P P W P 0 P P P P W P 0 P P − − − − − = ⇒ = − − = ⇒ = − = ⇒ = − = ⇒ = − = ⇒ = − = ⇒ = − = ⇒ = α α α α α α α M M M M

Construção de Base Ortogonal P₁ , P₂ , ..., P_n de Vetores via

Ortogonalização Schmidt Teorema 2.11

Demonstração End P W P Calc End P P W P Calc k i For n k For W P Fazer W W W Entrar Schmidt ocesso do sumo k i i ki k k i T i k T i ki n

∑

− = + = − = − = = = 1 1 1 1 2 1 . . 1 ... 1 ... 2 ; ..., , , : Pr Re α α

Construção de Base Ortogonal P₁ , P₂ , ..., P_n de Vetores via

Ortogonalização Schmidt Teorema 2.11

Ao Final, os Vetores da Base Ortogonal podem ser Normalizados

End

P

P

P

n

...

1

k

For

k k k

=

=

Construção de Base Conjugada P₁ , P₂ , ..., P_n por Matriz

Simétrica e Definida, via Processo Schmidt Teorema 2.11b Demonstração 1 n 1 nn 2 2 n 1 1 n n n 2 32 1 31 3 3 1 21 2 2 1 1 n 2 1 n 2 1 P ... P P W P P P W P P W P W P : com M por Conjugados P , P , P oduzir Pr ., I . L W , W , W Com ; Definida , n x n Simétrica M Com − − + + + = + + = + = =

α

α

α

α

α

α

O M M M M L L

Construção de Base Conjugada P₁ , P₂ , ..., P_n por Matriz

Simétrica e Definida, via Processo Schmidt Teorema 2.11b Demonstração 1 n 1 nn 2 2 n 1 1 n n n 2 32 1 31 3 3 1 21 2 2 1 1 n 2 1 n 2 1 P ... P P W P P P W P P W P W P : com M por Conjugados P , P , P oduzir Pr ., I . L W , W , W Com ; Definida , n x n Simétrica M Com − − + + + = + + = + = =

α

α

α

α

α

α

O M M M M L L Constantes

αααα

₂₁,

αααα

₃₁, ...

αααα

_nn-1

calculadas de modo que

P₁ , P₂ , ..., P_n Sejam

Demonstração 1 n T 1 n n T 1 n 1 nn n T 1 n 1 T 1 n T 1 1 n n T 1 2 T 2 3 T 2 32 3 T 2 1 T 1 3 T 1 31 3 T 1 1 T 1 2 T 1 21 2 T 1 P M P W M P 0 P M P , ... , P M P W M P 0 P M P P M P W M P 0 P M P , P M P W M P 0 P M P P M P W M P 0 P M P − − − − − = ⇒ = − − = ⇒ = − = ⇒ = − = ⇒ = − = ⇒ = α α α α α M M M M

Construção de Base Conjugada P₁ , P₂ , ..., P_n por Matriz

Demonstração End P W P Calc End P M P W M P Calc k i For n k For W P Fazer W W W M Entrar Conjugada Base para Schmidt ocesso do sumo k i i ki k k i T i k T i ki n

∑

− = + = − = − = = = 1 1 1 1 2 1 . . 1 ... 1 ... 2 ; ..., , , , : Pr Re α α

Construção de Base Conjugada P₁ , P₂ , ..., P_n por Matriz

Construção de Base Conjugada P₁ , P₂ , ..., P_n por Matriz

Simétrica e Definida, via Processo Schmidt Teorema 2.11b

Ao Final, os Vetores da Base Conjugada podem ser Normalizados

End

P

P

P

n

...

1

k

For

k k k

=

=

Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de

Congruência Teorema 2.12

A Transformação de uma Forma Quadrática Geral do tipo

∑∑

= = = = n 1 i n 1 j j i ij T X X M X M X ) X ( Q

Em uma FQ Diagonal de Mesmo Valor, do tipo

{

Y

(

X

)

Y

D

Y

D

Y

)

X

(

Q

n 1 i 2 i ii T

∑

=

=

=

É uma Maneira Rápida de Determinar o Caracter de uma FQ, Pois :

PD ) X ( Q 0 X para 0 ) X ( Q ) n ... 1 i ( 0 D_ii > = ⇒ > ∀ ≠ ⇒ 1 ) k um lg a para 0 D ( PSD ) X ( Q 0 X para 0 ) X ( Q ) n ... 1 i ( 0 D kk ii = ⇒ ≠ ∀ ≥ ⇒ = ≥ 2 ND ) X ( Q 0 X para 0 ) X ( Q ) n ... 1 i ( 0 D_ii < = ⇒ < ∀ ≠ ⇒ 3 4 Indefinida ) X ( Q 0 X para 0 0 0 ) X ( Q 0 D ) ns ( um lg A 0 D ) ns ( um lg A 0 D ) ns ( um lg A ii ii ii ⇒ ≠ ∀      < = > ⇒      = < > 5

Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de

Congruência Teorema 2.12 ) k um lg a para 0 D ( NSD ) X ( Q 0 X para 0 ) X ( Q ) n ... 1 i ( 0 D kk ii = ⇒ ≠ ∀ ≤ ⇒ = ≤

Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Teorema 2.12

[

]

∑

=

=

=

=

=

=

≠

≠

=

n 1 i 2 i ii T n 2 1 i T i j T i n 2 1

Y

D

))

Y

(

X

(

Q

:

Y

em

Diagonal

FQ

Em

X

M

X

)

X

(

Q

Converte

Y

U

X

ção

Transforma

a

Então

U

U

U

U

Matriz

a

Seja

)

j

i

(

0

U

M

U

),

j

i

(

0

U

M

U

M

por

Conjugados

1

x

n

Vetores

U

...,

,

U

,

U

Sejam

n

x

n

Simétrica

M

Seja

L

Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Teorema 2.12

[

]

[

]

: Dando ) j i ( 0 U M U : Conjugados São Vetores os Como U M U U M U U M U U M U U M U U M U U M U U M U U M U U U U M U U U U M U Y U M U Y Y U M U Y X M X ) X ( Q X U Y Y U X : Inversível é ção Transforma a . I . L São U ..., , U , U Como j T i n T n 2 T n 1 T n n T 2 2 T 2 1 T 2 n T 1 2 T 1 1 T 1 n 2 1 T n T 2 T 1 T T T T T T 1 n 2 1 ≠ =               =               = = = = ⇒ = ∴ = − L M O M M L L L M Demonstração

Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Teorema 2.12

(

)

{

∑

=

=





























=

=

=

=

n 1 i 2 i i T i n T n 2 T 2 1 T 1 T T T T

ada

Diagonaliz

FQ

Y

U

M

U

)

X

(

Q

Y

U

M

U

0

0

0

U

M

U

0

0

0

U

M

U

Y

)

X

(

Q

Y

U

M

U

Y

X

M

X

)

X

(

Q

L

M

O

M

M

L

L

Demonstração

Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Teorema 2.12

[

]

1 n 1 nn 2 2 n 1 1 n n n i T i k T i ki 2 32 1 31 3 3 1 T 1 3 T 1 31 1 T 1 2 T 1 21 1 21 2 2 1 1 n 2 1 U U U I U etc U M U I M U U U I U U M U I M U , U M U I M U U I U I U I I I I cos Canôni Vetores Com Conjugada Base para Schmidt ocesso Pr via U de Cálculo − − + + + + = − = + + = − = − = → + = = = α α α α α α α α α L O M M M M L

Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Teorema 2.12 1 n 1 nn 2 2 n 1 1 n n n 2 32 1 31 3 3 1 21 2 2 1 1 U U U I U U U I U U I U I U − − + + + + = + + = + = = α α α α α α L O M M M M

[

]

[

]

                    + = − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U U U I U U U 1 nn 3 n 43 2 n 42 32 1 n 41 31 21 n 2 1 n 2 1 L L M O O M M M L L L L L α α α α α α α α α α

Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Teorema 2.12

I

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

I

U

1 nn 3 n 43 2 n 42 32 1 n 41 31 21

=

















































































−

−

L

L

M

O

O

M

M

M

L

L

L

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Teorema 2.12 1 1 3 43 2 42 32 1 41 31 21

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

− −









































−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

L

L

M

O

O

M

M

M

L

L

L

nn n n n

U

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Exemplo . ) ( ) ( , , 8 6 3 1 6 7 4 2 3 4 5 3 1 2 3 4 4 3 2 1 a Congruênci de ção Transforma com X Q ar Diagonaliz X M X X Q X X X X X M = T             =             =

Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Exemplo 3 43 2 42 1 41 4 4 2 32 1 31 3 3 1 21 2 2 1 1 4 3 2 1 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 : Pr . . : Re U U U I U U U I U U I U I U I I I I Canônica Base Schmidt ocesso para I L Vetores solução

α

α

α

α

α

α

+ + + = + + = + = =             =             =             =             =

Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Exemplo             − − − =             − =            − =             = − = − = − = − = − = − = − = − = − = − = − = − = 1 926829 . 818181 . 25 . , 0 1 909091 . 181818 . , 0 0 1 75 . , 0 0 0 1 926829 . , 818181 . , 25 . 909091 . , 5 . 75 . 4 3 2 1 3 3 4 3 43 2 2 4 2 42 1 1 4 1 41 2 2 3 2 32 1 1 3 1 31 1 1 2 1 21 U U U U U M U I M U U M U I M U U M U I M U U M U I M U U M U I M U U M U I M U T T T T T T T T T T T T α α α α α α

Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Exemplo             =               =             − − − − − = 7073171 . 2 0 0 0 0 727273 . 3 0 0 0 0 75 . 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 926829 . 1 0 0 818181 . 909091 . 1 0 25 . 181818 . 75 . 1 4 4 3 3 2 2 1 1 U M U U M U U M U U M U D U T T T T

.

)

(

7073171

.

2

727273

.

3

75

.

2

4

)

(

₁2 ₂2 ₃2 ₄2 4 1 2

Definida

Positiva

é

X

Q

Y

Y

Y

Y

Y

D

X

Q

i i ii

−

+

+

+

=

=

∑

=

Considere a Matriz Quadrada Abaixo e o Vetor X

)

1

x

n

(

X

),

n

x

n

(

A

É Razoável Questionar sob que Casos a Multiplicação da Matriz por X Produz Vetor Paralelo a X :

(

A

I

)

X

0

X

X

A

=

λ

⇔

−

λ

=

Em geral, Interessa Obter as Condições de Validade de (1) em Termos de X e de

λλλλ

. Ora, a condição X=0 é Solução Trivial de (1), de modo que apenas buscamos Soluções X

≠≠≠≠

0. O Sistema

(1) é um SQH, que Terá Sols. Não Triviais Se e Somente Se:

1

(

A

I

)

0

Esta Equação – Conhecida como Equação Característica – é um Polinômio de Grau n na Variável

λλλλ

cujas n Raízes (pelo Teor. Fundamental da Álgebra) sempre existirão, sendo expressas como

λλλλ

₁ ,

λλλλ

₂ , ... ,

λλλλ

_n . Esta Lista de Raízes Poderá Conter

Números Reais (distintos ou repetidos, parcialmente ou não) e Números Complexos em Pares Conjugados (também com

Repetição ou Não). Desta Forma a Eq. (2) Escreve-se:

(

A I

)

0 DET − λ = ₂

(

)

). 2 ( ) 1 ( 0 ) )...( )( )( ( 0 _{1 2 3} em diagonais termos aos devido K onde K I A DET n n − = = − − − − ⇔ = − λ λ λ λ λ λ λ λ λ 3

Fazendo as Multiplicações dos Fatores na Eq. (3), Resulta a Forma Polinomial em

λλλλ

:

3

(

)

(

)

{

}

∏

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑

= − = − + = = + − = = + = − − − − = = = = = − + − + + + − − = − = − − − − − = − n i i n n i n i j n j k k j i n i n i j j i n i i n n n n n n n n n I A DET I A DET 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 2 1 , .... , , , 0 ) 1 ( ) 1 ( ... ) 1 ( 0 ) )...( )( )( ( ) 1 ( λ β λ λ λ β λ λ β λ β β λ β λ β λ β λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 4

As n Raízes

λλλλ

₁ ,

λλλλ

₂ , ... ,

λλλλ

_n são os Valores Característicos ou

Autovalores da Matriz A. Para

λλλλ

igual a cada

λλλλ

_i destes, o SQH Terá Solução Não Trivial X_i pois o Determinante D_A será Nulo. Estas Soluções são os chamados Autovetores ou Vetores

Característicos da Matriz A . Com

λλλλ

=0 na Eq. (4), Vem :

( )

_{= −} n _n ⇒ A DET ( 1)2 β A é Singular (DA=0) se ao menos um dos Autovalores é Nulo. ) ( 1 A DET n i i =

∏

= λ

Cálculo de Autovetores e Autovalores Exemplo      =           = 3 2 1 3 2 1 , , , , 3 3 1 2 1 0 1 2 1 1 X X X s Autovetore s Autovalore n A

λ

λ

λ

Cálculo de Autovetores e Autovalores Exemplo           = 3 1 2 1 0 1 2 1 1 A

Resolução : Equação Característica e Busca de Autovalores ⇒ = − − ⇒ = − − = + + − − − − − − = − + − − − − − =           − − − ⇒ = − 0 ) 3 4 ( 0 3 4 0 ) 2 1 ( 2 ) 2 3 ( ) 1 3 )( 1 ( 0 1 2 1 2 3 2 1 1 1 3 1 1 ) 1 ( 0 3 1 2 1 1 2 1 1 0 ) ( 2 2 3 2

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

I A DET 7 2 7 2 0 3 2 1 − = + = =

λ

λ

λ

Cálculo de Autovetores e Autovalores Exemplo           = 3 1 2 1 0 1 2 1 1 A

Resolução : Busca de Autovetores no SQH

0 3 1 2 1 0 1 2 1 1 0 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 =           ⇒ =           − − − X X λ λ λ 1 1 = 0 ⇒ X

λ

                  − = ⇒ 1 2 0 1 3 2 1 1 3 1 1 0 1 X           − − = 1 1 1 1 X

Cálculo de Autovetores e Autovalores Exemplo           = 3 1 2 1 0 1 2 1 1 A 0 7 1 1 2 1 7 2 1 2 1 7 1 0 3 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 =           − − − − − ⇒ =           − − − X X λ λ λ 2 2 = 2 + 7 ⇒ X

λ

                    − − − − − − − 1 2 7 2 1 7 1 2 1 1 7 1 1 1 7 2           + + + = 7 2 5 7 1 7 4 2 X

=

2

X

Cálculo de Autovetores e Autovalores Exemplo           = 3 1 2 1 0 1 2 1 1 A 0 7 1 1 2 1 7 2 1 2 1 7 1 0 3 1 2 1 1 2 1 1 3 3 3 3 3 =           + + − + − ⇒ =           − − − X X λ λ λ 3 3 = 2 − 7 ⇒ X

λ

                    + − + − + + − 1 2 7 2 1 7 1 2 1 1 7 1 1 1 7 2           − − − = 7 2 5 7 1 7 4 3 X

=

3

X

Cálculo de Autovetores e Autovalores Exemplo           = 3 1 2 1 0 1 2 1 1 A

Correspondência de Autovalores e Autovetores

7 2 7 2 0 _{2 3} 1 =

λ

= +

λ

= −

λ

          − − = 1 1 1 1 X           + + + = 7 2 5 7 1 7 4 2 X           − − − = 7 2 5 7 1 7 4 3 X

A é matriz (n x n), então A e AT _{têm a mesma Equação}

Característica Teorema 2.13a

) I A ( DET ) I A ( DET Logo ) I A ( DET ) ) I A (( DET ) I A ( DET 0 ) I A ( DET : A para . Carac . Eq T T T λ λ λ λ λ λ − = − − = − = − = − Demonstração

A é matriz (n x n), então A e AT _{têm a mesma Equação}

Característica Teorema 2.13a

) I A ( DET ) I A ( DET Logo ) I A ( DET ) ) I A (( DET ) I A ( DET 0 ) I A ( DET : A para . Carac . Eq T T T λ λ λ λ λ λ − = − − = − = − = − Demonstração

A é matriz (n x n), então A e AT _{têm os mesmos Autovalores.}

Corolário 2.13a.1 Demonstração . iguais ) ,..., . e . i ( raízes com polinômios ) I A ( DET ) I A ( DET −λ = T −λ ⇒ λ₁ λ_n

A é matriz (n x n), então os Autovetores de A são Ortogonais aos

de AT _{que correspondem a Autovalores Distintos. Teorema 2.13b}

j j j T i i i T j j j i i i T j i j i T j i T Y Y A , Y Y A , X X A , X X A : é isto ; A de e A de s autovetore s respectivo os são Y , Y , X , X A e A de os int dist s autovalore ésimo j e ésimo i são . s autovalore mesmos têm A e A , a 13 . 2 . Teor Pelo λ λ λ λ λ λ = = = = − − ≠ Demonstração

A é matriz (n x n), então os Autovetores de A são Ortogonais aos

de AT _{que correspondem a Autovalores Distintos. Teorema 2.13b}

j j j T i i i T j j j i i i T j i j i T j i T Y Y A , Y Y A , X X A , X X A : é isto ; A de e A de s autovetore s respectivo os são Y , Y , X , X A e A de os int dist s autovalore ésimo j e ésimo i são . s autovalore mesmos têm A e A , a 13 . 2 . Teor Pelo λ λ λ λ λ λ = = = = − − ≠ Demonstração 0 Y X ) ( Y X Y X Y X Y A X Y X Y A X X A X X X A j T i i j j T i i j T i j j T i i j T T i j T i i j T T i Y . mult pós T i i T T i . Transp i i i j = − ⇒ = ⇒ = =      →  =    →  = − λ λ λ λ λ λ λ λ ) j i ( 0 Y X 0 Y X ) (λ_j −λ_i T_{i j} = λ →j≠λi T_{i j} = ≠ X _i ⊥ Y _j (i ≠ j )