Sumário. 2 Potenciação e Notação Científica Expoentes Inteiros (Exercícios)... 27

DISCIPLINA:MATEMÁTICA PROFESSOR:CIRLEI XAVIER SÉRIE:8º ANO ANO:2017 ALUNOS:xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Sumário

1

Conjuntos Numéricos

3

1.1 Números Naturais (Exercícios) . . . 3

1.2 Números Inteiros (Exercícios) . . . 5

1.3 Números racionais (Exercícios) . . . 7

1.4 Representação dos números racionais (Exercícios) . . . 9

1.5 Números Irracionais (Exercícios) . . . 13

1.6 Pi - um número irracional (Exercícios) . . . 15

1.7 Números Reais (Exercícios) . . . 17

1.8 Os números reais e as operações (Exercícios) . . . 19

2

Potenciação e Notação Científica

27 2.1 Expoentes Inteiros (Exercícios) . . . 27

Capítulo 1

Conjuntos Numéricos

1.1

Números Naturais (Exercícios)

1. Responda: Em quais situações a seguir (ver no livro) foram usados números naturais? a) 1 4 L, 1 2 L e 3 4 L .Números racionais b) 104 e 87. Números naturais c) −5◦C. Número inteiro d) 35. Número natural e) 1, 83 m. Número racional

Portanto, foram usados números naturais nas letras b e d. 2. Responda:

a) Qual é o sucessor de 48.999?

O sucessor de 48.999 é 49.000, pois 48.999 + 1 = 49.000 b) Qual é o antecessor de 72.000?

O antecessor de 72.000 é 71.999, pois 72.000 − 1 = 71.999 c) 8.000 é o sucessor de que número?

8.000 é sucessor de 7.999, pois 8.000 − 1 = 7.999 d) 3.640 é o antecessor de que número?

3.640 é antecessor de 3.641, pois 3.640 + 1 = 3.641 3. Escreva o número 35 como:

a) o produto de dois números naturais ímpares;

Sabemos que os número ímpares são todos números terminados por 1, 3, 5, 7 e 9. Então, o número 35 pode ser escrito como o produto dos números:

35 · 1 = 35 ou

5 · 7 = 35 b) a soma de dois números naturais consecutivos;

Chamando um dos dois números naturais de x, então o seu sucessor é x +1. Dessa forma, temos

x + (x + 1) = 35

2x + 1 = 35 ⇒ 2x = 34 ⇒ x = 34 2 = 17

Portanto, um número é 17 e o outro é x + 1 = 17 + 1 = 18, temos que 35 é a soma de dois números naturais consecutivos, 35 = 17 + 18.

Podemos resolver por tentativa até encontrar os dois números naturais consecutivos que a soma é 35.

c) a soma de cinco números naturais consecutivos.

Sabemos que 35 = 5 · 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7, ou seja, 35 pode ser escrito como a soma de cinco número 7. Podemos manipular os números 7, tirando uma ou duas unidades de um e somando a outro, de tal forma a conseguir obter uma soma de cinco números consecutivos, observe abaixo:

35 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 35 = 6 + 8 + 7 + 7 + 7 35 = 6 + 8 + 5 + 9 + 7 Colocando os números em ordem crescente, obtemos

35 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9

Portanto, conseguimos escrever o número 35 como a soma de cinco números naturais consecutivos, isto é, 35 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9.

Ou

Poderíamos pensar em um número, o primeiro por exemplo, e chama-lo de x, então, como devemos ter uma soma de cinco números consecutivos, temos a sequência x, (x+1), (x+ 2), (x + 3), (x + 4). A soma desse cinco números é 35, ou seja:

x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) = 35 x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 35

5x + 10 = 35

5x = 35 − 10 ⇒ 5x = 25 ⇒ x = 5 O primeiro algarismo é o número 5, então, temos

5 + (5 + 1) + (5 + 2) + (5 + 3) + (5 + 4) = 35 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35

4. Utilizando uma só vez cada um dos algarismos 2, 4, 6 e 7, escreva: a) o maior número natural;

1.2.

Números Inteiros (Exercícios)

5 Para formar o maior número com os quarto algarismos 2, 4, 6 e 7, devemos ordenar os algarismo do maior para o menor, ou seja, devemos colocar na posição unidade de milhar o maior algarismo, ou seja, o algarismo 7, depois na posição unidade de centena, o algarismo 6, na unidade de dezena o algarismo 4 e, por fim, na unidade o algarismo 2. Portanto, o maior número é 7.642 (sete mil seiscentos e quarenta e dois).

b) o maior número ímpar;

O número é ímpar quando ele tem os algarismos 1, 3, 5, 7, e 9 na unidade simples, isto é, devemos colocar o algarismo 7 na posição de unidade simples. Então, como pede o maior número ímpar, o algarismo 6 será colocado na posição unidade de milhar e os restante alga-rismos na ordem decrescente desse algaalga-rismos, ou seja: 6.427

c) o menor número par.

O menor número par, será construido da seguinte forma: para a unidade de milhar o algarismo 2, para a centena simples o algarismo 4, para a dezena simples o algarismo 7 e, por fim, para a unidade simples o algarismo 6. Assim, o menor número par é 2.476

5. O filho do senhor Paulo é sócio de um sindicato. O número de sua carteirinha é um milhão, três mil e noventa. (ver no livro)

a) Como se chama o filho do senhor Paulo?

O filho do senhor Paulo se chama Dimas Quirino, pois um milhão, três mil e noventa é o número 1.003.090.

b) Escreva como se lê o menor número representado nessas carteirinhas. O menor número é 103.090, que se lê cento e três mil e noventa.

c) Escreva como se lê o maior número representado nessas carteirinhas. O maior número é 1.030.090, que se lê um milhão, trinta mil e noventa.

d) A carteirinha do senhor Mauro, outro sócio desse sindicato, tem o número um milhão, duzentos e vinte. Represente-o usando algarismos.

Um milhão, duzentos e vinte é o número 1.000.220. 6. Dois irmãos são viajantes:

Carlos volta para casa nos dias 3, 6, 9, ... Luís volta para casa nos dias 4, 8, 12, ...

Em quais dias do mês você encontra os dois em casa?

A sequência dos dias que Carlos volta para casa é 3, 6, 9, 12, 15, ... ou seja, são múltiplos positivos de 3. Já a sequência dos dias que Luís volta para casa é 4, 8, 12, 16, 20, ..., ou seja, são múltiplos positivos de 4. Os dias do mês que os dois vão se encontrar em casa são os múltiplos positivos comuns de 3 e 4, ou seja, são números que posso escrever como o produto deM(3, 4) = 12, 24, 36, ... . Portanto, eles irão se encontrar nos dias 12 e 24 do mês.

1.2

Números Inteiros (Exercícios)

7. Responda.

a) Se −15 significa 15 metros para a esquerda, o que significa +15? O número +15 significa 15 metros para a direita.

b) Se −70 significa um lucro de R$70, 00, o que significa −70? O número −70 significa um prejuízo de R$70, 00.

c) Se −6 significa 6 anos mais novo, o que significa +6? O número +6 significa 6 anos mais velho.

8. Responda.

a) Existe o menor número inteiro? Não! Existe o infinito negativo (−∞) b) Existe o maior número inteiro? Não! Existe o infinito positivo (+∞) c) Quantos números inteiros existem? Infinitos números

9. Responda.

a) Sou um número inteiro e o meu sucessor é -999. Quem sou? Eu sou o número -1.000! Pois, o meu sucessor é -1.000+1=-999.

b) Sou um número inteiro. Não sou positivo. Não sou negativo. Quem sou? Eu sou o número 0 (zero)! Pois, não sou negativo e nem positivo.

c) Sou um número inteiro maior que -15 e menor que -13. Quem sou? Eu sou o número -14! Pois, o meu antecessor é -15 e o meu sucessor é -13.

10. A formiga só pode deslocar-se nas linhas indicadas e para um número maior. Que trajeto ela tem de seguir até encontrar o doce (ver no livro)?

Observando a figura no livro, vemos que a formiga deve seguir a sequência crescente: -10, -6, -4, 0 e 4.

11. O saldo bancário de Douglas passou de -173 reais para +919 reais. Quanto foi depo-sitado em sua conta?

Inicialmente o saldo de Douglas é negativo -173, ou seja, ele deve o valor de R$173, 00. Se o saldo dele, depois de um depósito, pousou para +919, significa que ele tem um saldo positivo de R$919, 00. Então, temos a operação

x − 173 = 919 ⇒ x = 919 + 173 = 1.092

Portanto, Douglas depositou em sua conta R$1.092, 00.

12. Rafael jogou quatro vezes um jogo novídeo game. Aconteceu o seguinte: ganhou 7,

perdeu 4, ganhou 6 e perdeu 8.

Qual foi a pontuação final de Rafael?

ganhou 7 ⇒ +7 perdeu 4 ⇒ −4 ganhou 6 ⇒ +6 perdeu 8 ⇒ −8

A pontuação final é 7 − 4 + 6 − 8 = +1, ou seja, ganhou um ponto. 13. Observe o quadro.

Cidade Europeia A B C

Temperatura Máxima +3◦C +5◦C −₂◦_C Temperatura Mínima −₁₀◦_{C x} −₈◦_C a) Qual das temperaturas é a mais baixa? −₁₀◦_C

b) Qual das temperaturas é a mais alta? +5◦C

c) Qual foi a variação da temperatura na cidade A? E na cidade C? Na cidade A:+3 − (−10) = 3 + 10 = 13 ⇒ 13◦C

Na cidade C: −2 − (−8) = −2 + 8 = +6 ⇒ 6◦C

1.3.

Números racionais (Exercícios)

7 d) Se na cidade B a variação da temperatura foi de 6◦C, qual é o valor da temperatura

que falta no quadro?

Temos +5 − x = 6 ⇒ x = +5 − 6 = −1 ⇒ x = −1◦C

14. Copie e complete o quadrado mágico. -2 3 -4

a b 1

c d e

A soma dos números de qualquer linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma.

Como a soma dos números de qualquer linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma, então da primeira linha, temos que a soma é −2 + 3 − 4 = −3. Dessa forma, somando as linhas, colunas e a diagonal, temos as equações:

Segunda linha: a + b + 1 = −3 Terceira linha: c + d + e = −3 Primeira coluna: −2 + a + c = −3 Segunda coluna: 3 + b + d = −3 Terceira coluna: −4 + 1 + e = −3 ⇒ e = 0 Diagonal: −2 + b + e = −3 ⇒ b = −1

Observe acima que já encontramos o valor de e e de b. Então, substituindo esses valores nas outras equações, obtemos:

Segunda linha: a − 1 + 1 = −3 ⇒ a = −3 Primeira coluna: −2 − 3 + c = −3 ⇒ c = 2 Segunda coluna: 3 − 1 + d = −3 ⇒ d = −5 O quadrado mágico fica:

-2 3 -4 -3 -1 1 2 -5 0

1.3

Números racionais (Exercícios)

15. Veja os números que aparecem nas frases a seguir. A jarra tem capacidade para 3

4 de litro. Numa cidade há 8.049 bicicletas.

O saldo de gols de um time de futebol é -6. Leandro tem 17 anos.

A velocidade de um carro é de 92,75 km/h. A temperatura atingiu −2, 8◦C

Responda.

a) Quais deles representam números naturais? Os números são 8.049 e 17 b) Quais deles representam números inteiros? Os números são 8.049, 17 e -6 c) Quais deles representam números racionais? Todos!

16. Observe apizza cortada em fatias iguais (ver no livro) e responda.

a) Duas fatias representam que fração dapizza? E três?

Apizza foi dividia em 8 partes iguais, então duas fatias representam a fração 2

8 = 1 4, um quarto, do total. Já três fatias é 3

8, três oitavo, do total.

b) Qual é o número de pedaços que representada meiapizza?

A metade dapizza é 4 pedaços, pois a pizza foi divida em oito partes iguais.

17. O que você pode dizer sobre estes números?

− 5 10 − 1 2 −0, 5 − 13 26 São todos iguais:

− 5 10= − 1 2= −0, 5 = − 13 26 18. Copie e complete. a) 3 4 = 9 = 20 = 30 = 80⇒ 3 4 = 9 12= 15 20 = 30 40 = 60 80 b) 12 42 =7 = 4 = 84 = 30 _⇒ 12 42= 2 7 = 4 14 = 24 84 = 30 105

19. Indique, pelas letras, os pacotes com a mesma quantidade (ver no livro). Os pacotes A e F são iguais, pois 1

2 = 0, 5 kg. Os pacotes B e E são iguais, pois 0, 25 = 1

4 kg. Os pacotes C e H são iguais, pois 3

2= 1, 5 kg. Os pacotes D e G são iguais, pois 1, 75 = 13

4 kg.

20. Procure entre os cartões aquele que corresponde a cada condição.

A: 20 8 B: 30 5 C: 10 3 a) Representa um número inteiro. B, pois 30

5 = 6 b) Representa um número entre 3 e 4. C, pois 10

3 = 3, 33...

1.4.

Representação dos números racionais (Exercícios)

9 c) Representa um número fracionário entre 2 e 3. A, pois 20

8 = 5 2 = 2, 5

21. Se um pacote de café pesar 125 g, quantos pacotes com esse peso poderão ser feitos com 1 kg de café?

O número de pacotes de 125 g que devem ser feitos com 1 kg (1.000 g) de café é dado pela razão: 1.000 125 = 103 53 = ₁₀ 5 3 = 23= 8 Portanto, devemos fazer 8 pacotes de 125 g cada.

1.4

Representação dos números racionais (Exercícios)

22. Dividindo R$41, 00 igualmente entre 4 pessoas, quanto receberá cada uma?

R$41, 00 4 = R$10, 25 23. Qual é o maior: a) 5 4 ou 1, 2?Temos 5 4= 1, 25, então 5 4> 1, 2, pois 1, 25 > 1, 2 b) 7

9 ou 0, 777...?São iguais, pois 7 9 = 0, 777... c) 125 8 ou 15, 7? Temos 125 8 = 15, 625, então 15, 7 > 125 8 , pois 15, 7 > 15, 625 d) 220 9 ou 24, 4?Temos 220 9 = 24, 444..., então 220 9 > 24, 4, pois 24, 444... > 24, 4

24. No jogo "Encontrando Números Iguais´´ são lançados 5 dados especialmente prepa-rados para isso. Observe esta jogada:

dado 1: 3 2 dado 2: 7 4 dado 3: 1, 50 dado 4: 1 1 2 dado 5: 1 5 Os dados com números iguais são:

a) 1, 2 e 4 χb) 1, 3 e 4 c) 2, 3 e 5 d) 3, 4 e 5

Sabemos que 3

2= 1, 50 = 1 + 0, 5, portanto, os dados com números iguais são 1, 3 e 4. 24. (Livro 3ª Edição)Coloque em ordem crescente os seguintes números:

0 2 −_{2 4} −₄ 1 2 − 1 2 1 4 − 1 4 −_{4, −2, −}1 2, − 1 4, 0, 1 4, 1 2, 2, 4

25. Copie escrevendo os algarismos que faltam para completar a igualdade. 4 + 1 10+ 3 100 = 4, ... 4 + 0, 1 + 0, 03 = 4 + 0, 13 = 4, 13

25. (Livro 3ª Edição) Indique os números inteiros consecutivos que são representados pelas letras A e B (ver no livro).

Temos que saber onde se encontra o número −125

30 na reta numérica. Sabemos que −125

30 = −4, 1666..., então o inteiro que representa A é −5 e B é −4. 26. Encontre um número entre:

a) 1,862 e 1,864

O número é 1,863, pois 1,862 é antecessor e 1,864 é o sucessor de 1,863. b) 0,50001 e 0,50002

O número é 0,500015, pois 0,500010 é antecessor e 0,500020 é o sucessor de 0,500015. 27. Cem bombons custaram R$37, 00. Qual é o preço de 150 bombons? E de 210? Quantos bombons se pode comprar com R$92, 50?

Se cem bombons custam R$37, 00, então cada bombom custa R$37, 00

100 = R$0, 37. Dessa forma, o preço de 150 bombons é R$150 · 0, 37 = R$55, 50. E 210 bombons é R$210 · 0, 37 =

R$77, 70. Agora, com R$92, 50 podemos comprar 92, 50

0, 37 = 250 bombons.

28. Use a calculadora para expressar as frações na forma decimal e indique quais são dízimas periódicas. a) 27 2 ⇒ 27 2 = 13, 5 b) 3 8 ⇒ 3 8= 0, 375 c) −41 6 ⇒ − 41 6 = −6, 8333... d) 1 20 ⇒ 1 20= 0, 05 e) 47 99 ⇒ 47 99= 0, 4747... f) 8 3 ⇒ 8 3 = 2, 666... As frações dos itens c, e e f são dízimas periódicas.

29. Escreva estes números sob a forma de fração irredutível: a) 0,3⇒_{0, 3 =} 3 10 b) 0,03⇒_{0, 03 =} 3 100 c) -4,5⇒ −_{4, 5 = −}45 10= − 9 2 d) 13,7⇒_{13, 7 =} 137 10 e) 2,002⇒_{2, 002 =} 2.002 1.000 = 1.001 500 f) 0,0007⇒_{0, 0007 =} 7 10.000 30. Verdadeiro ou falso? a) 0, 25 · 36 = 2, 5 · 3, 6⇒_{0, 25 · 10 ·}36 10= 2, 5 · 3, 6, Verdadeiro!

1.4.

Representação dos números racionais (Exercícios)

11 b) 100 · 0, 2 = 100 ·1 5 ⇒100 · 0, 2 = 100 · 2 10= 100 · 1 5, Verdadeiro!

30 (Livro 3ª Edição)Escreva sob a forma de fração as seguintes dízimas periódicas: a) -0,888 ... ⇒ −_{0, 888... = −}8 9 b) 0,3737 ... ⇒_{0, 3737... =} 37 99 c) -1,2121 ... ⇒ −_{1, 2121... = −1 − 0, 2121... = −1 −}21 99= −1 21 99 d) 0,0505 ... ⇒_{0, 0505... =} 5 99

31. O terreno retangular maior foi dividido inicialmente em quatro partes iguais. Esse processo foi repetido mais duas vezes, conforme mostra a figura (ver no livro).

O senhor Farias, por enquanto, só cultivou 22,5 m2 do seu terreno, a parte colorida da figura (ver no livro). Qual é a área do terreno do Sr. Farias?

Temos que 22,5 m2foi obtido dividindo uma parte do terreno, desde o inicial, por quatro parte iguais fazendo esse processo por três vezes. Portanto, a área do terreno retangular é o produto: 4 · 4 · 4 · 22, 5 = 1.440 m2.

32. Calcule mentalmente e expresse o resultado na forma decimal: a) 2+0,1⇒_{2 + 0, 1 = 2, 1} b) 10 + 0,333 ... ⇒_{10 + 0, 333... = 10, 333...} c) 1 −3 4 ⇒1 − 0, 75 = 0, 25 d) 0,4 + 0,444 ... ⇒_{0, 4 + 0, 444... = 0, 8444...} e) 1,5 + 6 10 ⇒1, 5 + 0, 6 = 2, 1 f) 3 4+ 1 4− 1 2 ⇒0, 75 + 0, 25 − 0, 5 = 1, 00 − 0, 5 = 0, 5

33. Escreva sob a forma de fração irredutível as seguintes dízimas periódicas: a) -0,888 ... ⇒ −_{0, 888... = −}8 9 b) 0,3737 ... ⇒_{0, 3737... =} 37 99 b) 0,261261 ... ⇒_{0, 261261... =} 261 999 d) -1,2323 ... ⇒ −_{1, 2323... = −1 − 0, 2323... = −1 −}23 99 = −1 23 99 e) 0,0505 ... ⇒_{0, 0505... =} 5 99 d) 0,5444 ... ⇒_{0, 5444... = 0, 5+0, 0444... = 0, 5+}0, 444... 10 = 1 2+ 4/9 10 = 1 2+ 4 90= 45 + 4 90 = 49 90 34. Quando multiplicamos 1,5 por 0,555..., obtemos:

χa) 5 6 b) 6 5 c) 3 4 d) 4 3 1, 5 · 0, 555... = 3 2· 5 9= 3 · 5 2 · 9 = 5 6

35. Calcule e expresse o resultado na forma de fração irredutível. a) 1 − 0, 5 + 0, 222...⇒_{1 − 0, 5 + 0, 222... = 0, 5 + 0, 222... =}1 2+ 2 9 = 9 + 4 18 = 13 18 b) 0, 444... + 0, 4 −1 2 ⇒0, 444... + 0, 4 − 1 2 = 0, 444... + 0, 4 − 0, 5 = 0, 444... − 0, 1 = 4 9− 1 10 = 40 − 9 90 = 31 90

36. Indique os números inteiros consecutivos que são representados pelas letras A e B (ver no livro).

Temos que saber onde se encontra o número −125

30 na reta numérica. Sabemos que −125

30 = −4, 1666..., então o inteiro que representa A é −5 e B é −4.

37. Observe a reta numérica (ver no livro), na qual estão destacados os pontos S, B, C, A, R, P e M.

Os números racionais −12 3 e

4

3 estão representados na reta numérica, respectivamente, pelos pontos: a) B e A b) B e P c) R e P χd) S e R Sabemos que: −₁2 3= −1 − 2 3 = −1 − 6 9 = −1 − 0, 666... = −1, 666... e 4 3= 3 3+ 1 3= 1 + 0, 333... = 1, 333...

Então, analisando a reta numérica, percebemos que esses valores correspondem, respec-tivamente, os pontos S e R.

38. Na reta numérica dada (ver no livro), cada unidade de comprimento está dividida em quatro partes iguais.

O valor da expressão (C − A) : (B + A) é igual a:

a) 2 b) 2,5 χc) -1,2 d) -1,5

Percebemos na reta numérica que o ponto B representa o número −1, 50, A o número 0, 25 e C o número 1, 75. Então, a expressão (C − A) : (B + A) fica:

C − A B + A = 1, 75 − 0, 25 −_{1, 50 + 0, 25}= 1, 50 −_{1, 25}= − 150 125 = − 6 · 25 5 · 25 = − 6 5 = −1, 20

1.5.

Números Irracionais (Exercícios)

13

1.5

Números Irracionais (Exercícios)

39. Qual das afirmações é verdadeira? a) √ 10 é racional e √ 100 é racional. b) √ 10 é irracional e √ 100 é racional. c) √ 10 é racional e √ 100 é irracional. d) √ 10 é irracional e √ 100 é irracional. Temos √ 10 = √ 2 · 5 = 3, 162... é um número irracional e √ 100 = √ 102_{= 10 é um número} racional. Portanto, √ 10 é irracional e √ 100 é racional. Resposta letra b.

40. Em qual dos quadrados (ver no livro) encontramos somente números irracionais? No quadro A: √ 3, √ 6 e √ 12 = 2 √

3 são números irracionais e √ 9 = 3 é racional. No quadro B: √ 8 = 2 √ 2 e √ 12 = 2 √

3 são números irracionais e √ 4 = 2 e √ 16 = 4 são números racionais. No quadro C: √ 6, √ 8 = 2 √ 2, √ 10 e √ 12 = 2 √

3 são números irracionais. No quadro D: √ 12 = 2 √ 3 e √ 18 = 3 √

2 são números irracionais e √ 16 = 4 e √ 25 = 5 são números racionais. Resposta quadro C.

41. Alfredo está querendo obter uma representação decimal finita e exata para o número √

6. Você acha que ele conseguirá? Por quê? √ 6 =? O número √ 6 = √ 2 · 3 = √ 2 · √

3 = 2, 449... é um número irracional. Portanto, Alfredo não conseguirá representar esse número na forma decimal finita e exata, pois

√

6 é um número irracional.

42. Faça a atividade em seu caderno. Observe os números do quadro e atribua a cada número o valor 1 se ele for irracional e o valor 2 se racional.

1/4 5 + √ 2 √ 49 3,222 ... 0 0,5 3 √ 8 √ 100 √ 16 + 4 Qual é a soma dos valores atribuídos?

Números racionais: 0, 0, 5, 3 √ 8 = 2, 1 4 = 0, 25, 3, 222..., √ 49 = 7 e √ 100 = 10 Números irracionais: 5 + √ 2 = 6, 414... e √ 16 + 4 = √ 20 = 4, 472...

Temos sete números racionais e dois irracionais, então a soma dos valores atribuídos fica: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 7 · 2 + 2 · 1 = 14 + 2 = 16

43. Os números seguintes são valores aproximados de √

20. 4 4, 4 4, 48 4, 472

a) Calcule o quadrado de cada um desses números, indicando se é maior ou menor do que 20.

Quadrado dos números:

42= 4 · 4 = 16 ⇒ 16 < 20 (16 é menor que 20)

4, 42= 4, 4 · 4, 4 = 19, 26 ⇒ 19, 26 < 20 ( 19,26 é menor que 20)

4, 482= 4, 48 · 4, 48 = 20, 0704 ⇒ 20, 0704 > 20 (20,0704 é maior que 20)

4, 4722= 4, 472 · 4, 472 = 19, 998784 ⇒ 19, 998784 < 20 (19,998784 é menor que 20) b) Qual desse números é a melhor aproximação de

√ 20? A raiz quadrada de vinte é irracional,

√

20 = 4, 472135.... Então, 4,472 é o valor que me-lhor aproxima de

√ 20.

44. É fácil descobrir números irracionais. Basta escrever dízimas que sejam infinitas e não periódicas. Por exemplo:

8, 010010001... e 1, 23242526...

Descubra um número irracional desse tipo que esteja entre os números racionais 2 e 3. Existem infinitos números irracionais entre 2 e 3. Por exemplos, temos:

2, 0103052... 2, 3123504... 2, 4183912...

...

2, 9124543... 45. Escreva os cinco termos seguintes da sequência:

√ 1, √ 2, √ 3, √ 4, √ 5, √ 6, ... Quais deles são irracionais?

Os termos seguintes da sequência são: √ 7, √ 8, √ 9, √ 10 e √ 11.

1.6.

Pi - um número irracional (Exercícios)

15 Observe: _√ 1, √ 2, √ 3, √ 4, √ 5, √ 6, √ 7, √ 8, √ 9, √ 10, √ 11, ...

Os números irracionais são: √ 2, √ 3, √ 5, √ 6 , √ 7, √ 8, √ 10 e √ 11. Os números √ 1, √ 4 e √

9 são racionais, observe: √ 1 = 1, √ 4 = 2 e √ 9 = 3 46. Identifique como número racional ou como número irracional: a) 4, 25⇒_{4, 25 =} 425 100 = 17 · 25 4 · 25 = 17 4 , é racional b) √ 81⇒ √ 81 = √ 34_{= 3}2_{= 9, é racional} c) √ 50⇒ √ 50 = 5 √ 2, é irracional d) −76⇒ −_{76, é racional} e) 1 3 ⇒ 1 3 = 0, 333..., é racional f) 0, 0061⇒_{0, 0061 =} 61 10.000, é racional g) − √ 18⇒ − √ 18 = −3 √ 2, é irracional h) 48.799⇒_{48.799, é racional} i) 71, 171771777...⇒_{71, 171771777..., é irracional} j) 8, 434343...⇒_{8, 434343... = 8 + 0, 434343... = 8 +}43 99, é racional

1.6

Pi - um número irracional (Exercícios)

Para os exercícios a seguir, use π = 3, 14

47. O diâmetro do aro de uma cesta de basquete mede 45 cm. Qual é o comprimento aproximado do aro?

Sabemos que a medida do comprimento de uma circunferência de diâmetro d é C = π · d. Se d=45 cm, então temos

C = π · d = 3, 14 · 45 = 141, 3 cm

Portanto, o comprimento aproximado do arco é de 141,3 cm

48. Uma pessoa que faz caminhada dá 8 voltas em torno de uma praça circular de 120 m de diâmetro. Qual é, aproximadamente, a distância percorrida por essa pessoa?

O comprimento da praça circular é dado por C = π · d, como a pessoa dá 8 voltas, então ela percorre uma distância D, aproximadamente, de

D = 8 · C D = 8 · π · d D = 8 · 3, 14 · 120

D = 3.014, 4 m

49. A medida do contorno de uma piscina circular é 50,24 m. Quanto mede, aproxima-damente, o raio dessa piscina?

Sendo a medida de contorno de uma piscina circular de 50,24 m, ou seja, C = 50, 24 m, então o seu raio mede, aproximadamente:

C = 2 · π · r ⇒ r = C 2 · π r = 50, 24 2 · 3, 14 = 50, 24 6, 28 ⇒r = 8 m

50. Uma pista de atletismo tem a seguinte forma (ver no livro): Qual é o comprimento aproximado dessa pista?

A pista têm dois semi-círculos de raio iguais a r = 50/2 = 25 m, então, juntando os comprimentos dos dois semi-círculos, temos um único comprimento igual a C = 2 · π · r = 2 · 3, 14 · 25 = 157 m. Ligando a esse dois semi-círculos temos um comprimento de 90 m, dessa forma, somando os dois comprimentos de ambos os lados resulta em 2 · 90 = 180 m. Portanto, o comprimento total aproximado dessa pista é 157 + 180 = 337 m.

51. Uma praça é circular e seu raio mede 64 m. Paulinho e Silvinho, partindo de um mesmo ponto, correram em torno dela em sentido contrário, e pararam ao se encontrar. Na-quele instante, Paulinho havia percorrido 182,92 m. E Silvinho, quanto havia corrido?

O comprimento da praça circular é C = 2π · r = 2 · 3, 14 · 64 = 401, 92 m. Se Paulinho, partindo de um mesmo ponto e parando quando encontrar Silvinho, percorreu 182,92 m, então Silvinho percorreu 401,92-182,92=219 m.

52. Quantas voltas deverá dar a roda da bicicleta a seguir para percorrer 1.099 m? Sabemos que a roda da bicicleta tem forma circular, então tem comprimento C = π · d, onde d é o diâmetro do aro e vale, na figura, 0,70 m. Dessa forma, uma volta que a roda dá percorre C = π · d = 3, 14 · 0, 70 = 2, 198 m. Daí, se a bicicleta percorre 1.099 m, a roda deu n voltas, ou seja:

n = 1.099

2, 198 = 500 voltas

1.7.

Números Reais (Exercícios)

17

1.7

Números Reais (Exercícios)

53. Copie a tabela e assinale a que conjuntos pertencem cada um dos números: Números 10 −₈ −3 4 − 6 2 0 √ 4 √ 7 π 1, 76 Naturais Inteiros Racionais Irracionais

Que nome pode ser dado a todos eles? Números 10 −₈ −3 4 − 6 2 0 √ 4 √ 7 π 1, 76 Naturais χ χ χ Inteiros χ χ χ χ χ Racionais χ χ χ χ χ χ χ Irracionais χ χ

Todos eles são números reais.

54. Qual dos números a seguir não é real?

1, 6 −₁3 4 0 3 √ −₄₉ √ 49 − √ 49 √ 0 O número que não é real é o

√

−_{49, pois} √

−_{49 = 7} √

−_{1, ou seja, não existe um número, x,} tal que x2= −49 ou x2= −1. 55. O valor da expressão √ 81 + √ 49 √ 81 − √ 49 a) é um número inteiro. χ b) é um número irracional.

c) não é um número real. d) não é um número racional. √ 81 + √ 49 √ 81 − √ 49= 9 + 7 9 − 7 = 16 2 = 8 56. Sejam os números: √ 37 √ 6 √ 72 √ 8 √ 98 √ 9 √ 121 Quais deles estão compreendidos entre 5 e 10? Temos: √ 36 < √ 37 < √ 47 ⇒ 6 < √ 37 < 7

√ 4 < √ 6 < √ 9 ⇒ 2 < √ 6 < 3 √ 64 < √ 72 < √ 81 ⇒ 8 < √ 72 < 9 √ 4 < √ 8 < √ 9 ⇒ 2 < √ 8 < 3 √ 81 < √ 98 < √ 100 ⇒ 9 < √ 98 < 10 √ 4 < √ 9 < √ 16 ⇒ 2 < 3 < 4 √ 100 < √ 121 < √ 144 ⇒ 10 < √ 11 < 12 Portanto, os números compreendidos entre 5 e 10 são:

√ 37, √ 72 e √ 98 57. Qual é o maior: a) √ 9 ou π? Sabemos que √

9 = 3 e π  3, 14. Então, π é maior do que √ 9, ou seja, π > √ 9. b) 10 ou √ 20? Sabemos que √ 16 < √ 20 < √ 25 ⇒ 4 < √

20 < 5 Portanto, 10 é maior do que √

20. Observe que 10 =

√

100, como o radicando 100 é maior do que o radicando 20, então 10 é maior do que √ 20. c) 7, 2 ou √ 50? Observe que √ 49 < √ 50 < √ 64 ⇒ 7 < √

50 < 8. Não serviu! Vamos fazer assim: 7, 2 = √

7, 22₌√_{51, 84, então, como 51, 84 > 50, temos que 7, 2 >}

√ 50. d) √ 15 ou π? Observe que 3 < √ 15 < 4 e 3 < π < 3, 2. Dessa forma, 3, 2 = √ 3, 22₌√_{10, 24, então, como} 3, 2 < √ 15, concluímos que √ 15 > π.

58. Quais são os números inteiros que estão entre − √ 10 e √ 10? Sabemos que 3 < √ 10 < 4 e −4 < − √

10 < −3. Então, os números inteiros entre − √

10 e √

10 são: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

59. Determine entre quais números inteiros consecutivos fica o valor correspondente a cada item. a) √ 108 2 Simplificando obtemos √ 108 2 = √ 4 · 27 2 = 2 √ 27 2 = √

27. Mas sabemos que √ 25 < √ 27 < √ 36 ⇒ 5 < √ 27 < 6. Portanto, √ 108 2 está entre 5 e 6. b) r 2 72 Simplificando obtemos r 2 72= r 1 36= 1 6⇒0 < 1 6< 1. Portanto, r 2 72 está entre 0 e 1. 60. Faça uma estimativa para cada uma das expressões.

1.8.

Os números reais e as operações (Exercícios)

19 a) 135, 6 + 63, 9⇒_{135, 6 + 63, 9 = 199, 5 ≈ 200} b) 753, 1 − 52, 8⇒_{753, 1 − 52, 8 = 700, 3 ≈ 700} c) 6, 9 · 5⇒_{6, 9 · 5 = 34, 5 ≈ 35} d) 4, 1 · 4, 01⇒_{4, 1 · 4, 01 = 16, 441 ≈ 16} e) 12, 9 · 5, 1⇒_{12, 9 · 5, 1 = 65, 79 ≈ 66} f) 99, 9 · 40, 02⇒_{99, 9 · 40, 02 = 3.997, 998 ≈ 4.000} g) 8.235 : 1.001⇒_{8.235 : 1.001 = 8, 226773... ≈ 8, 2} h) 79, 8 : 19, 2⇒_{79, 8 : 19, 2 = 4, 15625 ≈ 4} i) 691, 7 : 10, 02⇒_{691, 7 : 10, 02 = 69, 031936... ≈ 69} j) 49, 3 : 0, 99⇒_{49, 3 : 0, 99 = 49, 797979... ≈ 50}

Atenção: Operações com algarismos significativos: Ao efetuarmos uma multiplicação ou uma divisão, com algarismos significativos, devemos apresentar o resultado com um número de algarismos significativos igual ao do fator que possui o menor número de algarismos sig-nificativos. Assim, por exemplo, considere o produto: 2, 31 · 1, 4. Ao efetuarmos a operação, encontramos 3, 234. Como o primeiro fator tem três algarismos significativos e o segundo tem dois, apresentamos o resultado com dois algarismos significativos, ou seja, 3,2.

Note como se faz o arredondamento: sendo o primeiro algarismo abandonado menor do que 5, mantemos o valor do último algarismo significativo; ou, se o primeiro algarismo a ser abandonado for maior ou igual a 5, acrescentamos uma unidade ao último algarismo significativo. Considere, agora, o produto 2, 33 · 1, 4. Efetuando a operação encontramos 3,262. O resultado deve apresentar 2 algarismos significativos. Assim, temos: 3,3.

Na adição e na subtração, o resultado deve conter um número de casas decimais igual da parcela com menos casas decimais. Assim, por exemplo, considere a adição: 3, 32 − 3, 1. Ao efetuarmos a operação, encontramos como resultado 6,42. Como a primeira parcela tem duas casas decimais e a segunda somente uma, apresentamos o resultado com apenas uma casa decimal. Assim, temos: 6,4.

61. Qual é o valor da expressão a seguir?

0, 060606... 0, 121212... A expressão pode ser escrita como:

0, 060606... 0, 121212... = 6 99 12 99 = 6 99· 99 12= 6 12 = 1 2 = 0, 5

1.8

Os números reais e as operações (Exercícios)

62. Entre as expressões abaixo, a que apresenta resultado igual a 40 é: a) 5 · 0 · 8⇒_{5 · 0 · 8 = 0}

b) 10 + 10 · 2⇒_{10 + 10 · 2 = 10 + 20 = 30} c) 23 − 3 · 2⇒_{23 − 3 · 2 = 23 − 6 = 17} d) 40 + 0 : 40⇒_{40 + 0 : 40 = 40 + 0 = 40}

63. Copie e relacione cada número ao seu inverso, se existir.

A: 5

2 B: 0, 5 C: 0 D: 1 E: 1 5

I: 5 II: 10 5 III: 2 5 IV: 5 5 A: 5 2, inverso é 2 5 (A-III) B:0, 5 = 5 10 = 1 2, o inverso é 2 1 = 2 = 10 5 (B-II) C:0 = 0

x, x qualquer número diferente de zero, então o inverso não existe!

D:1 =5 5=

1

1, o inverso é o próprio 1. (D-IV) E: 1

5, o inverso é 5

1 = 5(E-I)

64. Utilizando a propriedade distributiva, calcule: a) 2 5·  −1 5+ 1 3  ⇒ 2 5·  −1 5+ 1 3  = 2 5· − 1 5+ 2 5· 1 3= − 2 25+ 2 15= −_{6 + 10} 75 = 4 75 b) 4 · (0, 25 + 0, 3 − 0, 1)⇒_{4 · (0, 25 + 0, 3 − 0, 1) = 4 · 0, 25 + 4 · 0, 3 − 4 · 0, 1 = 1 + 1, 2 − 0, 4 =} 1 + 0, 8 = 1, 8 c) ₃ 2− 1 8+ 5 4  ·₈⇒ ₃ 2− 1 8+ 5 4  ·_{8 =}3 2·8 − 1 8·8 + 5 4·8 = 12 − 1 + 10 = 21 65. Qual é o oposto do inverso de −37

52 O inverso do número −37 52 é o número − 52 37, assim, o oposto de − 52 37 é 52 37. 66. (Unifor-CE) Se o triplo de um número é 18

5 , então: a) seu quíntuplo é 18. b) seu dobro é 12 5 .χ c) sua metade é 2 5. d) sua terça parte é 1

5. O triplo de um número, x, é 18 5 , então temos: 3·x = 18 5 ⇒x = 18 15 = 6 5 = 1, 2. Dessa forma, temos: O quíntuplo de x é 5 ·6 5= 6 O dobro de x é 2 ·6 5 = 12 5 A metade de x é 6 5 2 = 6 5· 1 2 = 6 10 = 3 5 A terça parte de x é 6 5 3 = 6 5· 1 3 = 6 15 = 2 5 67. Copie e complete. Se (x − 2)(x − 3) = 0 e x , 2, então x =?.

1.8.

Os números reais e as operações (Exercícios)

21 O produto de dois números é zero quando um deles for zero, ou seja, a · b = 0, então a = 0 ou b = 0. Assim, temos: x − 2 = 0 ⇒ x = 2 ou x − 3 = 0 ⇒= 3. Como x , 2, concluímos que

x = 3.

68. Explique por que, se a · b , 0, então a , 0 e b , 0.

Se o produto de dois números é diferente de zero, isto é, a·b , 0, então esses dois números são diferentes de zero, a , 0 e b , 0, pois se um dos fatores for zero, o resultado será zero.

69. Qual é o número real cujo dobro é √ 6 3 ? O dobro de x é √ 6 3 , ou seja: 2 · x = √ 6 3 ⇒x = √ 6 6

70. (Obmep) Em qual das alternativas aparece um número que fica entre 19 3 e

55 7 ?

a) 4 b) 5 χc) 7 d) 9

Devemos colocar os dois números na forma decimal, isto é: 19

3 = 6, 3333... e 55

7 = 7, 8571...

Portanto, 6, 3333... < 7 < 7, 8571..., o número 7 é o número inteiro que está entre 19 3 e 55 7 . 71. Verdadeiro ou falso? a) 0, 4333... = 0, 1 + 0, 333...Verdadeiro!, pois 0, 1 + 0, 333... = 0, 4333... b) 0, 8666... = 0, 8 + 0, 666...Falso!, pois 0, 8 + 0, 666... = 1, 4666... c) 0, 1222... = −0, 1 + 0, 222...Verdadeiro!, pois −0, 1 + 0, 222... = 0, 1222... 72. (Obmep) Qual é o valor de 1 + 1

1 −2 3 ? a) 2 _b) 3 2 χc) 4 d) 4 3 1 + 1 1 −2 3 = 1 + 1 3 − 2 3 = 1 + 1 1 3 = 1 + 3 = 4

73. (CAp-Unicamp-SP) Quanto ao valor da expressão:

E = 2 3− 1 2 2 + 4 · 0, 5 + 1 6 é correto afirmar que:

a) E < 1 b) E > 13 c) E = 13 χd) 1 < E < 2 E = 2 3− 1 2 2 +4· 0, 5 + 1 6 = 4 − 3 6 2 +4· 1, 5 6 = 1 6 2+4· 3 2 6 = 1 6· 1 2+4· 3 2· 1 6 = 1 12+4· 3 12= 1 12+ 12 12= 13 12= 1, 08333...

74. (Cesgranrio-RJ) Se as frações representadas pelos pontos R e P forem multiplicadas, o ponto sobre a reta numérica da figura (ver no livro) que representará o produto será:

a) M χb) N c) S d) T

Observando a reta numérica, percebemos que: M < 0, 0 < N < P < R < S < 1 e 1 < T < 2. O produto do ponto R pelo ponto P , resultará o ponto N , pois ao multiplicar dois números que estejam entre 0 e 1, o resultado será um número menor do que os fatores desse produto. Não será M, pois R e P são positivos, então o produto é positivo. Por exemplo, se R = 0, 7 e

P = 0, 5, então 0, 7 · 0, 5 = 0, 35, ou seja, 0, 34 < 0, 5 < 0, 7. Portanto, a resposta é letra b.

75. Indique dois números:

a) inteiros que sejam naturais;1 e 2

Existem infinitas possibilidades de respostas, já que todos números inteiros positivos e o zero são naturais.

b) inteiros que não sejam naturais;-1 e -2

Existem infinitas possibilidades de respostas, pois todos números inteiros negativos não são naturais.

c) racionais que sejam inteiros;-1 e -2 ou 1 e 2

Existem infinitas possibilidades de respostas, pois todos números inteiros são racionais. d) racionais que não sejam inteiros;-1,2 e -2,5 ou 1,2 e 2,5

Existem infinitas possibilidades de respostas, pois todos números escritos na forma de-cimal finita ou infinitas e periódica são racionais.

e) reais que sejam racionais;0,444... e -5,4

Existem infinitas possibilidades de respostas, pois todos números racionais são reais. f) reais que sejam irracionais.

√ 2 e π ou √ 3 e √ 5

Existem infinitas possibilidades de respostas, pois todos números infinitos que não sejam dízima periódica são números irracionais.

76. É correto afirmar que toda dízima periódica é um número racional?

Sim, pois qualquer dízima periódica podemos escreve-la na forma de fração. Exemplos: 0, 444... = 4 9 , −_{0, 555... = −}5 9 , 0, 2323... = 23 99 , 0, 157157... = 157 999

1.8.

Os números reais e as operações (Exercícios)

23 77. Responda.

Não sou um número natural, não sou inteiro, não sou racional, mas sou real. Quem seu eu?Um número irracional

78. Sendo 1

3 = 0, 333..., calcule na forma de dízima: a) 2 3 sabendo que 2 3 = 2 · 1 3 2 3 = 2 · 1 3 = 2 · 0, 333... = 0, 666... b) 3 3 sabendo que 3 3 = 3 · 1 3 3 3 = 3 · 1 3 = 3 · 0, 333... = 0, 999... = 1 c) 5 3 sabendo que 5 3= 1 + 2 3 5 3 = 1 + 2 3 = 1 + 0, 666... = 1, 666...

79. Qual é o número racional na forma decimal que está escondido (ver no livro)?

x +8

5= 0 ⇒ x = − 8

5 = −1, 6

80. Sabendo que 41 · 271 = 11.111, calcule mentalmente: a) 123 · 271= 3 · 41 · 271 = 3 · 11.111 = 33333

b) 22.222 : 271= 2 · 11.111 : 271 = 2 · 41 · 271 : 271 = 82

81. Sabendo que 345 : 15 = 23, escreva o valor dos seguintes quocientes, sem efetuar cálculos: a) 34, 5 : 15= 34, 5 15 = 34, 5 · 1 15= 345 10 · 1 15= 345 15 · 1 10 = 23 10= 2, 3 b) 34, 5 : 1, 5=34, 5 1, 5 = 34, 5 1, 5 · 10 10= 345 15 = 23 c) 3, 45 : 1, 5=3, 45 1, 5 = 3, 45 1, 5 · 100 100 = 345 15 · 1 10= 23 · 1 10= 2, 3 d) 345 : 0, 15= 345 0, 15 = 345 0, 15· 100 100 = 345 15 ·100 = 2.300

82. Entre as marcas 0 e 12, que indicam quilômetros numa pista de corrida, foram colo-cadas outras. Os intervalos indicados por duas marcas consecutivas têm o mesmo compri-mento (ver no livro). Descubra os números.

As divisões são: I o intervalo mede 6, II o intervalo mede 3 e III o intervalo mede 12 8 = 3

2= 1, 5.

a) Dados os números racionais 10,5 e 12, encontre os menos um número racional entre eles.

Existem vários números racionais entre 10,5 e 12, por exemplo: 10,7, 11,1, 11,5, 11,75 b) Entre dois números racionais existe sempre outro número racional?

Sim, observe:

12, 23 < 12, 24 < 12, 25 12, 237 < 12, 238 < 12, 239

12, 24 < 12, 245 < 12, 25 c) O conjunto dos números racionais é infinito?

Sim, pois temos o infinito positivo e o infinito negativo. 83. Você sabe que

√

25 = 5 e que √

36 = 6. Indique cinco números irracionais situados entre 5 e 6.

84. Escreva da dízima correspondente a cada um dos números. a) −13 9 b) 25 33 c) 114 45 d) 17 400

Confirme os resultados com uma calculadora. 85. Escreva em ordem crescente os números reais.

1 3, 6 20, 0, 3222..., 4 2, 3 2

86. Num supermercado, os DVDs estavam em promoção: Leve 5 pague 4 R$42, 00. Quanto se pagaria pelos 5 se não estivessem em promoção?

87. (Obmep) O gráfico (ver no livro) mostra o resumo completo do último jogo disputado pelos oito jogadores da seleção de basquete da escola.

a) Quantos pontos fez Ramon?

b) Qual jogador fez o maior número de pontos?

c) Qual foi o número total de pontos marcados pela equipe? 88. O que você pode dizer sobre estes números?

√ 16 5 , 8 10, 4 5, 0, 8

89. Efetue e expresse o resultado na forma de fração irredutível. a) 1 4·0, 5 + 1 2 b) 9 + 2 · 0, 5 3 − (−1) c)  2, 5 +1 3  : 0, 75 d) 0, 111... +4 3

1.8.

Os números reais e as operações (Exercícios)

25 90. Dê o valor da expressão: ₁ 5+ 1 3  : ₃ 5− 1 15  + 0, 999...

91. Julieta tirou dofreezer uma refeição que estava a dois graus negativos. Aqueceu a

refeição e a temperatura subiu 27 graus. A que temperatura ficou a refeição?

92. Três garotos, Paulo, Rui e Ari, jogam pinguepongue. Após cada partida, quem perde sai. Sabe-se que Paulo jogou 17 partidas, Rui jogou 13 e Ari jogou 12 partidas. Quantas partidas foram disputadas?

93. (Fuvest-SP) Estão construindo um anel rodoviário circular em torno da cidade de São Paulo, distando aproximadamente 20 km da Praça da Sé. Quantos quilômetros deverá ter essa rodovia?

94. Um pneu anda 21,98 metros para a frente quando dá 7 voltas. Qual é o diâmetro do pneu?

Capítulo 2

Potenciação e Notação Científica

2.1

Expoentes Inteiros (Exercícios)

1.