Relatório Preliminar Experimento Camada Limite EQ601 - Laboratório de Engenharia Química I Turma A

Universidade Estadual de Campinas

FEQ – Faculdade de Engenharia Química

Relatório Preliminar

Experimento 6.5 - Camada Limite

EQ601 - Laboratório de Engenharia Química I

Turma A

Grupo E

Integrantes RA

Andrey Seiji Higashi 090419 Cinthia May Shimizu 095648 Eduardo A. Novais Gomes 090970 Patrícia Gomide Ferreira 092557 Thaís Maldonado Konishi 082879 Victor de Lima Bellia 093174

1 Objetivo

O experimento tem por objetivo o estudo da Camada Limite em placa plana (lisa e rugosa) e na presença de obstáculo.

2 Introdução Teórica

2.1 Princípio da Aderência

O Princípio da Aderência diz que “Os pontos de um fluido em contato com uma superfície sólida possuem a mesma velocidade dos pontos desta com os quais estão em contato.” [Ref 1] , é um princípio de não escorregamento.

2.2 Taxa de Deformação

A condição citada a cima, juntamente com a tensão de cisalhamento, gera um gradiente de velocidade do fluido, uma vez que, a uma distância suficientemente longe da superfície, a velocidade do fluido é a mesma em caso de escoamento externo (sem limitação de uma fronteira sólida) ou plenamente desenvolvido e quanto mais próximo da superfície, mais próxima ela se torna da velocidade em que a superfície se encontra. A tensão de cisalhamento (τ) é uma função que depende uma taxa de deformação (∂u/∂y) e da viscosidade do fluido (μ) dada por:

τ = μ (∂u/∂y) [Ref 1]

[I]

O gradiente de velocidade, em uma placa plana, se dá segundo a imagem 1.2.1 :

Imagem 1.2.1 : Perfil de Velocidade [Placa Plana][ref 2]

Sendo u0 a velocidade do fluido em “escoamento externo” e u(y) a velocidade em

função da distância da placa, sendo que:

2.3 Camada Limite

A imagem 1.2.1 explicita que na medida em que há um afastamento em relação a barra , a velocidade u(y) cresce até que se atinja o escoamento

plenamente desenvolvido. A região onde há um perfil de velocidade no escoamento (devido à tensão de cisalhamento com a parede) é denominada Camada Limite. Sua espessura é definida como a distância da placa ao ponto no qual a velocidade do fluido possui magnitude igual a 99% da velocidade de corrente livre ( u0 ). [ Ref 1]

A Camada Limite possui diferentes regiões nas quais ocorrem escoamentos laminar, turbulento, de transição e podendo até haver formação de vórtices.

Imagem 1.3.1 : Regiões da Camada Limite [ Ref 3]

O ponto no qual o fluido entra em contato com a placa, a velocidade é zero, porém a medida que o fluido passa sobre um maior comprimento da placa, mais fluido é desacelerado devido ao atrito entre as camadas do mesmo, ocasionando um aumento na espessura ( δ ) da camada.

 Reginão 1: Escoamento Laminar, sendo assim, a Lei de Viscosidade de Newton válida.

 Região 2: Região de Transição, onde há tanto escoamento laminar quanto escoamento turbulento.

 Região 6: Região na qual se desenvolve um Escoamento Turbulento, este possui uma camada denominada “Sub camada Laminar”, representada por 3. Ela é uma pequena região na qual o escoamento é Laminar.

 Região 5: Região em que há uma inversão na direção da velocidade ocasionada pela pressão negativa gerada por um desnível na placa ( ponto 4 ), é uma região passiva de formação de vórtices.

2.4 Número de Reynolds

O número de Reynolds ( ReL = ρ u∞ l /µ ) representa a relação entre os efeitos

de inércia e os efeitos viscosos.

 Sem os efeitos viscosos (µ = 0), o número de Reynolds é infinito.  Por outro lado, na ausência de todos os efeitos de inércia (ρ = 0) o

número de Reynold é nulo. [ Ref 4 ]

O número de Reynolds em uma placa plana é dada por :

Rex = ρ u∞ x /µ [II]

Sendo x a medida da distância do início da placa. As regiões da Camada Limite são determinadas pelo valor assumido por Rex, assim, para:

 Rex < 2 . 105 : Camada Limite Laminar;

 2 . 105 < Rex < 3 . 106 : Região de Transição;

 Rex > 3 . 106 : Camada Limite Turbulenta . [ Ref 1 ]

O número de Reynolds também é utilizado no cálculo de δ ( espessura da Camada Limite ). Para região de Escoamento:

 Laminar : ( δ / x ) = 4.64 / (Rex)1/2 [III]

 Turbulento : ( δ / x ) = 0.376 / (Rex)0.2 [IV]

Além disso: v = u∞ ( y / δ )1/7 [ Ref 1 ] [V]

2.5 Rugosidade X Coeficiente de Atrito

Como explicitado em 2.2 , a deformação do fludo é dada pela presença de uma Tensão de cisalhamento (τ). Segundo [I], “conhecendo a distribuição de velocidades na camada limite, pode-se determinar a força de cisalhamento, devido ao escoamento que está atuando sobre a superfície sólida. Como a equação anterior não é muito prática para aplicações de Engenharia define-se a tensão de cisalhamento e/ou força de atrito como função do coeficiente de atrito Cf/Cd” [ Ref 4 ]. Este é dado por:

τ = ( Cf ρ u∞2 ) /2 [VI]

Sendo Cf dada por:

Cf = ( 2 ν / u∞ 2 ) * (∂u/∂y) |y=0 = ( Fk / A ) / ( ρ u∞2 /2) [VII]

Sendo Fk a força de arraste ( devida à tensão inicial ) na superfície da placa.

O Coeficiente de Atrito também pode ser escrito em função do número de Reynolds segundo a tabela 2.6.1 [ Ref 1 ] em anexo. Quando considera-se o Escoamento Laminar e Turbulento, a fórmula do coeficiente é:

Cf.l = ( 0.074 / Re L1/5 ) – ( 1742 / ReL ) [ Ref 1] [VIII]

2.6 Tubo de Pitot

Um dos equipamentos utilizados para se avaliar a velocidade de um fluido em escoamento é o Tubo de Pitot. O princípio básico de seu funcionamento consiste em opor um obstáculo estreito ao escoamento. Por diferenças de pressão, o tubo fornece uma diferença de altura num fluido manométrico, indicando a pressão dentro do tubo. Assim, utilizando a Equação de Bernoulli, se obtém a vazão/velocidade do fluido em questão.

Imagem 2.6.1 : Esquema de Tubo de Pitot

3.1 Camada Limite Laminar

O perfil de velocidade da camada limite varia de u = 0 em uma distancia muito pequena até u = 0,99Uinfinito em y = δ (a espessura da camada limite). Partindo-se

do pressuposto de que o perfil da velocidade é conhecido, as equações integrais de continuidade e de quantidade de movimento nos permite prever a espessura da camada limite e o cisalhamento na parede, e portanto o arrasto.

(1)

Usando-se a integral de Von Karman (1), obtida a partir da equação da quantidade de movimento, é possível obter uma aproximação para a camada limite laminar em uma placa plana com gradiente de pressão zero. Para isso, tem-se 6uarto condições que um perfil de velocidade proposto deve satisfazer:

u = 0 em y = 0

u = Uinfinito em y = δ

∂u/∂y = 0 em y = δ

∂2_u/∂y2

= 0 em y = 0

Um polinômio cúbico pode satisfazer as 6uarto condições acima, supondo que

u/Uinfinito = A = By + Cy2 + Dy3 (2)

em que A, B, C e D podem ser funções de x.

Usando-se as 6uarto condições, avalia-se que A = 0, B = 3/2δ, C = 0 e D = -1/2δ3

Chega-e a uma boa aproximação para o perfil de velocidade em escoamento laminar:

(3)

τ0= d/dx (∫0 δ

ρ(3y/2δ - y³/2δ³)(1 - 3y/2δ – y³/2δ³)(Uinf.)²dy (4)

Sabendo-se que na parede T0 = µ∂u/∂y |y=0, ou usando o perfil cúbico (2), tem-se que

τ0 é

τ0= (5)

Igualando-se 4 e 5 para τ0(x) encontra-se:

(6)

Usando δ = 0 em x = 0 (a borda frontal), a equação 6 é integrada para fornecer

(7)

Em que Rex é o numero de Reynolds local. Substituindo de volta na equação 5

obtém-se o cisalhamento na parede como:

A tensão de cisalhamento é feita adimensional mediante sua divisão por (1/2).ρU2infinito. O coeficiente de atrito superficial local cf é obtido; O coeficiente de

atrito em placa plana é tal que

(9)

Então, fazendo-se os arranjos necessários chega-se a

(10)

Logo,

(11)

3.2 Camada Limite Turbulenta : Forma da Lei de Potencia

No método a ser apresentado, primeiramente deve-se ajustar os dados do perfil de velocidade a uma equação da lei de potência. A forma da lei de potência é:

u/ Uinfinito = (y/δ)1/n (12)

n= 7 Rex < 107

9 108 < Rex < 109

Em que

(13)

A equação de Von-Kármán pode ser aplicada seguindo os passos usados para o escoamento laminar, exceto quando a tensão de cisalhamento na parede é calculada. A forma da lei de potência (12) fornece (∂u/∂y)y=0 = ∞. Dessa forma o perfil fornece

resultados ruins próximo à parede, especialmente para a tensão de cisalhamento, portanto para facilitar os cálculos usa-se uma relação empírica, a fórmula de Blasius , que relaciona o coeficiente de atrito superficial local à espessura da camada-limite é

Cf = 0,046 (ν/Uinfinitoδ)1/4 (14)

Ou associando τ0 a cf usando a definição cf na equação (10), a relação da tensão de

cisalhamento é

(15)

A equação de Von Karman nos fornece uma segunda expressão para τ0. Substitua o

perfil de velocidade de (12) com Rex < 107 na equação 1 e obtenha

(16)

Combinando essa equação com a equação de Blasius (14) e integrando de maneira que em δ = 0 tenha-se x = 0, chega-se :

Substituindo essa expressão para δ de volta na equação t, encontra-se

Cf = 0,059/Rex1/5 Rex < 107 (18)

E executando a integração requerida, obtemos, com n = 7,

Cf = 0,073/ReL1/5 ReL < 107 (19)

Se L não for muito maior que xt, digamos L = 3xt, então há uma porção laminar

significativa na parte frontal de uma placa plana e o coeficiente de atrito superficial pode ser modificado como

Cf = 0,073ReL-1/5 – 1700ReL-1 ReL < 107

(20)

4 Rotina de Cálculo

O primeiro passo para a realização de cálculos coerentes é calibrar o micrômetro anexado ao Tubo de Pitot. Para tal utilizamos um paquímetro e fazemos uma relação linear entre os valores indicados no paquímetro e no micrômetro. A relação linear feita obedece à forma de y = ax + b , onde y serão as medidas do paquímetro e x as do micrômetro.

Após calibrado o micrômetro, serão realizadas diversas medidas de pressão pela variação da posição do tubo de pitot no eixo y. Serão realizadas medições até o valor de △h se manter constante. A partir deste se encontra o valor da

velocidade de corrente livre.

A partir das pressões medidas é utilizada a relação

A próxima etapa será a determinação do valor de Reynolds para cada valor de x a partir da equação [13]. Os valores de X variam no intervalo [0; 0,265m].

A partir dos valores encontrados caracterizaremos o escoamento em laminar ou turbulento. Para valores de Reynolds menores que 2.105 _{o escoamento é laminar,}

para valores de Reynolds maiores que 3.106 _{o escoamento é turbulento. Tal}

classificação é importante para obtermos o valor da espessura δ da camada limite e o coeficiente de atrito decorrente do escoamento.

Logo, segundo a classificação do escoamento obtemos a espessura da camada limite a partir das equações [7] e [17].

A partir dos valores de Reynolds e do tipo de escoamento ao qual nos referimos, torna-se possível determinar o valor do coeficiente de atrito para cada

espaçamento x adotado, segundo as equações [18] e [19].

EXEMPLO DE CÁLCULO

Tomemos como exemplo uma medida referente a partir de um Tubo de Pitot acoplado a uma plana lisa, plana, sem aletas.

Adotamos o valor de y = 1 mm, marcado pelo micrômetro já devidamente calibrado. Supomos que o valor da altura manométrica marcada é de 24 mm e que as propriedades do ar a 29 graus Celsius sejam =1,168kg/m³,

=996,2 kg/m³, sendo g = 9,81 m/s2. Logo, ₍ )

Obtém0se, então, a velocidade do ar na distância medida: v = 20,4 m/s . A partir da velocidade obtida caracterizamos o escoamento em laminar ou turbulento via número de Reynolds:

Assim, o valor de Reynolds é menor que 2.105_{, o que caracteriza um escoamento}

Sabendo-se o tipo de escoamento e o valor de Reynolds, calculamos o coeficiente de atrito Cfx e a espessura da camada limite:

√

√

√

√

5 Gráficos

A previsão do comportamento das variáveis a serem analisadas por meio de gráficos foi realizada a partir de dados experimentais obtidos por um grupo de alunos veteranos, os quais realizaram o mesmo experimento no ano anterior. Para isso, foram utilizadas as seguintes propriedades da água e ar a 25°C : =1,184kg/m³, =996 kg/m³, e µar=1,85x10-5 N.s/m. A partir dos

cálculos mostrados anteriormente, tornou-se possível obter os valores das variáveis necessários para a construção dos gráficos de Y x V, X x δ (espessura da camada limite), △h x Y e Cf,x x X. Assim, esperam-se os seguintes

comportamentos para cada uma das condições pedidas:

Obs: As curvas em azul representam as curvas montadas a partir dos pontos experimentais do grupo de veteranos, enquanto as escuras representam as linhas de tendência. Para o cálculo das espessuras da camada limite para os pontos em que o número de Reynolds indicou regime transiente, foi aplicada a mesma equação utilizada para o cálculo da espessura da camada limite em regime laminar. Não se obteve regime turbulento em momento algum do experimento deste grupo.

Condição 1 - Placa lisa sem aletas

Gráfico 1.1 – Distância em Y x Velocidade do ar.

Gráfico 1.2 - Distância em X x Espessura da camada limite.

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0 5 10 15 20 25 30 35 Y (m ) V (m/s)

Y x V

X x δ

Gráfico 1.3 – △h x Distância em Y.

Gráfico 1.4 – Coeficiente de atrito x Distância em X.

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 h (m ) Y (m)

h x Y

Coeficiente de atrito x X

Condição 2 - Placa rugosa sem aletas. Gráfico 2.1 - Distância em Y x Velocidade.

Gráfico 2.2 – Distância em X x Espessura da camada limite.

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0 5 10 15 20 25 30 35 Y (m ) V (m/s)

Y x V

X x δ

Gráfico 2.3 – △h x Distância em Y.

Gráfico 2.4 – Coeficiente de atrito x Distância em X.

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 h (m ) Y (m)

h x Y

Coeficiente de atrito x X

Condição 3 – Placa lisa com aletas.

Gráfico 3.1 – Distância em Y x Velocidade.

Gráfico 3.2 – Distância em X x Espessura da camada limite.

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 -20 -10 0 10 20 30 Y (m ) V (m/s)

Y x V

X x δ

Gráfico 3.3 – △h x Distância em Y.

Gráfico 3.4 – Coeficiente de atrito x Distância em X.

-0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 h (m ) Y (m)

h x Y

Coeficiente de Atrito x X

Condição 4 – Placa Rugosa com aletas.

Gráfico 4.1 – Distância em Y x Velocidade.

Gráfico 4.2 – Distância em X x Espessura da camada limite.

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 -30 -20 -10 0 10 20 30 Y (m ) V (m/s)

Y x V

X x δ

Gráfico 4.3 – △h x Distância em Y.

Gráfico 4.4 – Coeficiente de atrito x Distância em X.

-0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0 0,005 0,01 0,015 h (m ) Y (m)

h x Y

Coeficiente de Atrito x X

Análise dos Gráficos

Os gráficos 1.1, 2.1 , 3.1 e 4.1 indicam que a velocidade do fluido tende a uma constante (velocidade de corrente livre) conforme aumenta-se a distância da placa no eixo Y, ao mesmo tempo em que se tem uma redução do gradiente de velocidade em relação a Y, já que há uma redução da tensão de cisalhamento. No caso em que não se têm aletas, prevê-se que a velocidade para Y=0 seja nula, já que se assume uma condição de não-escorregamento. Como o atrito entre o fluido e a parede é menor para a placa lisa, espera-se que a velocidade de corrente livre seja atingida mais próxima à parede neste caso, conforme se percebe ao se comparar os gráficos 1.1 e 2.1. Já em relação à situação em que se têm aletas, provavelmente haverá um descolamento da camada limite, já que com o aumento da pressão e diminuição da velocidade (gradiente de pressão desfavorável), gera-se um escoamento reverso nas proximidades da parede. Com o aumento da distância em Y, o escoamento volta a apresentar um perfil laminar, porém com uma velocidade de corrente livre inferior ao caso de ausência de aletas.

Pelas equações que possibilitam o cálculo de Rex e δ,percebe-se que se

devem esperar valores maiores da espessura da camada limite ao longo do eixo X para os casos de presença de aletas. Isso se justifica pelo fato de δ ser

inversamente proporcional a Rex , que por sua vez é diretamente proporcional à

velocidade de corrente livre, a qual é menor na presença de aletas. No entanto, pela comparação entre os gráficos 1.2 , 2.2 , 3.2 e 4.2 , nota-se que tal diferença deve aparecer de maneira bastante sutil.

Do mesmo modo que a velocidade do ar tende a uma constante, a altura manométrica também o faz, afinal, pela análise do funcionamento do Tubo de Pitot, sabe-se que a estabilização da velocidade do fluido com o aumento da distância em Y implica a estabilização da altura manométrica △h, e vice-versa. Assim, a partir dos gráficos 1.3, 2.3 , 3.3 e 4.3, espera-se que a altura

manométrica se estabilize a um valor de Y menor nos casos de presença de aletas do que nos casos de ausência.

Os gráficos 1.4, 2.4, 3.4 e 4.4 mostram que os coeficientes de atrito de todas as situações representadas possuem um comportamento similar. No entanto, deve-se ressaltar que as equações a partir das quais se obtiveram os valores dos coeficientes são válidas, a princípio, somente para placas lisas. Como não se encontrou na literatura uma fórmula para placas rugosas, cabe ao grupo buscar uma maneira de se obterem os coeficientes de atrito para estas e, assim, concluir se, de fato, tais equações podem ser aplicadas a paredes rugosas.

Referências Bibliográficas

[1] Potter, M. C., Wiggert, D. C., Mecânica dos Fluidos, terceira edição, editora Thompson, 2004

[2] http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Laminar_boundary_layer_scheme.svg , acessado em 17/08/11

[3]http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Grenslaag.svg/30 0px-Grenslaag.svg.png , acessado em 17/08/11

[4]

http://www.feng.pucrs.br/lsfm/MaqFluxo/Maq-Fluxo/MECFLU%20Cap10-Conceitos%20de%20Camada%20Limite.pdf , acessado em 15/08/11

[5] -Fox, R. W., McDonald, A. T., Pritchard, P. J., Introdução à mecânica dos