1 Apostila – Capítulo 2 – Alguns Conceitos Matemáticos Necessários ao Estudo da Estatística
UNIP – Universidade Paulista
Curso Superior de Tecnologia em Gestão Unidades Pinheiros
Disciplina: Estatística Aplicada Prof.º Nilson Jorge Baldovinotti
Alguns Conceitos Matemáticos Necessários ao Estudo da Estatística
Razão, proporção e porcentagemVamos supor que foram entrevistados 150 turistas de uma agência e que foram obtidos os seguintes resultados, sobre a preferência por três destinos turísticos.
Tabela 1. Distribuição de 150 turistas segundo os destinos escolhidos
Destino No A 90 B 40 C 20 Total 150 a) Razão e Proporção A razão 90
150 indica que a cada 150 entrevistados, 90 preferem o destino A, ou seja, por
uma simplificação da fração, a cada 5 entrevistados, 3 preferem o destino A. Esta fração expressa assim uma comparação entre o número de pessoas que preferem o destino A e o número total de turistas entrevistados.
A razão entre dois números racionais a e b
b 0
é o quociente de a por b expresso ab
, onde a é o antecedente e b é o conseqüente, sendo que o significado é: para cada ”a” unidades correspondem “b” unidades.
Proporção é a igualdade entre duas razões. 180 disserem que preferem A, teríamos:
90 180
90 300 150 180 150300
(propriedade fundamental das proporções) Simplificando cada uma das razões, teremos:
90 9 3
150155 180 18 3 300 30 5
Encontra-se assim a constante de proporcionalidade 3 ou 0, 6 5
k .
Na tabela 1, observamos que em 150 turistas 90 preferem o destino A. Se o grupo de 300 entrevistados. Mantida essa proporção, em 300, quantos dirão que preferem A?
Se duas grandezas são proporcionais, então podemos observar dois tipos de relação: ou as duas variam no mesmo sentido, como no caso estudado acima, ou as duas variam em sentidos opostos. No primeiro caso diremos que elas são diretamente proporcionais, enquanto no segundo caso diremos que elas são inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Suponha oferecer uma recepção para um grupo de investidores de um determinado
empreendimento. Imaginamos sempre o consumo de cada participante para o cálculo do que será consumido no total. Quanto mais pessoas se desejar convidar, maior será o consumo. Nesse caso, temos uma relação entre grandezas diretamente
proporcionais. Por outro lado, quanto maior o número de pessoas na recepção, menor
será o espaço disponível no salão a ser utilizado, o que será determinante para o planejamento da distribuição de mesas e cadeiras. Temos assim uma relação entre grandezas inversamente proporcionais.
2) Imaginar o gerenciamento de um depósito de produtos manufaturados em uma
cooperativa. Quanto maior o número de cooperados participantes, menor é o custo de manutenção do depósito (grandezas inversamente proporcionais), enquanto que
quanto maior o número de cooperados, maior será o lucro de cada um deles (grandezas diretamente proporcionais).
b) Porcentagem
Quando uma razão é expressa por uma fração centesimal (denominador igual a 100), temos então uma porcentagem. Por exemplo, se quisermos expressar a razão ilustrada na Tabela 1, teremos 90 60
150100, ou seja, podemos dizer que 60% dos 150 entrevistados preferem o destino
A.
Vejamos agora um exemplo do uso de porcentagens na representação de dados coletados em uma pesquisa de opinião.
Tabela 2. Resultados da avaliação dos serviços de um hotel por 2350 turistas na cidade de Salvador, em 2002
Avaliação Higiene/limpeza Atendimento Preço
Excelente 34,65% 43,09% 32,67%
Bom 52,76% 50,40% 48,52%
Regular 9,45% 4,07% 16,83%
Ruim 3,14% 2,44% 1,98%
Total 100% 100% 100%
Se, por exemplo, um cartaz diz: “Liquidação! Descontos de 40%”, isso significa que em cada R$ 100,00 do preço houve redução de R$ 40,00. A razão estabelecida é 40
100.
Exercícios Propostos
1. Com base nas informações da Tabela 1, determine: a) A porcentagem de turistas que preferem o destino B.
b) Considerando as mesmas proporções em 1.000 turistas, quantos podemos esperar que prefiram o destino B?
2. Qual o grau de ocupação de um hotel que possui 200 leitos, dos quais 120 já se encontram ocupados?
3. Um fabricante de pregos vende um de seus produtos em pacotes de 2 Kg, contendo 1.500 pregos em média. O responsável pelo controle da qualidade verifica que em cada 1.000 pregos 6 não têm cabeça e 4 não têm ponta. A fim de minimizar as reclamações dos consumidores finais, propõe acrescentar no pacote de 2 Kg a porcentagem média correspondente ao número de pregos defeituosos identificados. Quantos pregos a mais serão colocados no pacote, se essa sugestão for acatada?
A porcentagem é uma maneira clara de explicitar os resultados de uma pesquisa/observação e especialmente importante para comparar distribuições de conjuntos de dados de tamanhos diferentes. Observe nas Tabelas 3 e 4 a seguir, que em Natal foram pesquisadas 47 pessoas, das quais 27 consideraram o hotel excelente, enquanto em Recife foram pesquisadas 141 pessoas, das quais 81 o consideraram excelente. Se o interesse for comparar a representatividade do número de pessoas que consideraram o hotel excelente nas duas cidades, temos dificuldade em fazer essa análise, apenas observando a tabela.
Tabela 3. Distribuição das pessoas segundo o grau de satisfação com o atendimento do hotel A, nos anos de 2004 e 2005 Grau de Satisfação No pessoas 2004 % No pessoas 2005 % Excelente 27 57,4 23 48,9 Bom 15 32 17 36,2 Regular 5 10,6 6 12,8 Ruim 0 0 1 2,1 Total 47 100 47 100
Tabela 4. Distribuição das pessoas segundo o grau de satisfação com o atendimento do hotel A, em Recife, nos anos de 2004 e 2005
Grau de Satisfação No pessoas 2004 % No pessoas 2005 % Excelente 81 57,4 69 48,9 Bom 52 36,9 63 44,7 Regular 8 5,7 7 5 Ruim 0 0 2 1,4 Total 141 100 141 100
Índice, Coeficiente e Taxa
Índice (Número- índice): usado para medir quantitativamente variações ocorridas ao longo do
tempo. É uma medida estatística frequentemente usada por gestores das áreas de Turismo, Administração, Economia e por engenheiros, para comparar grupos de variáveis relacionadas entre si e obter um quadro simples e resumido das mudanças significativas em áreas relacionadas, como preços de matérias-primas, preços de produtos acabados, volume físico do produto etc. Mediante o emprego de números-índices, é possível estabelecer comparações entre: (a) variações ocorridas ao longo do tempo; (b) diferenças entre lugares; (c) diferenças entre categorias semelhantes, tais como produtos, pessoas, organizações etc.
Coeficiente: medida obtida pela comparação entre duas quantidades que expressam uma mesma
grandeza (relação parte/todo). Por exemplo, um coeficiente determinado pela razão entre o número de observações de um determinado fato estatístico e o número total considerado para a possibilidade de ocorrência desse fato.
Taxa: um tipo de razão que é expressa em frações cujo denominador é uma potência de 10,
como, por exemplo, uma porcentagem. Mede a velocidade com a qual alguma coisa acontece, ou número de vezes que alguma coisa acontece em um período de tempo bem determinado.
Diversas áreas utilizam estes três tipos de números com objetivos de gestão e planejamento. Algumas dessas razões são muito utilizadas nos meios turísticos. Veja alguns exemplos:
Índice espacial de freqüência turística (STI – Spatial Tourist Intensity):
Número de turistas (dia/estação/ano) Hectare
Obs. 1 hectare equivale a 10.000 m2, ou seja, 1 há = 10.000 m2
Coeficiente de rotação:
Tempo disponível para visitação Duração média das visitas
Taxa de desempenho turístico (Defert 1972) (HTR – Hospitality Tourist Rate);
Número de leitos 100 Número de habitantes Alta: 10 Baixa: 1 (Ruschmann, 2008)
Tabela 5. Dados relativos às cidades de Sorocaba, São Paulo e Porto Feliz
Cidade População Área
Sorocaba (A) 578.068 hab. 456 km2 São Paulo (B) 10.434.252 hab. 1.525 km2 Porto Feliz (C) 45.514 hab. 558 km2
Considere os dados da cidade de Sorocaba: a) O que é densidade demográfica?
b) Qual é a densidade demográfica dessa cidade?
c) Esse número representa uma taxa, um índice ou um coeficiente?
d) Qual é o índice de freqüência turística de Sorocaba, na Feira de Artesanato, sabendo-se que 1.653 turistas estiveram presentes?
e) Qual é a Taxa de desempenho turístico de Sorocaba, sabendo-se que a cidade tem 2.500 leitos?
Critérios de Arredondamento
Muitas vezes, é necessário arredondar os dados obtidos nos levantamentos estatísticos para diminuir ou eliminar o número de casas decimais, visando facilitar os cálculos ou mesmo estabelecer um padrão de representação dos resultados obtidos nesses cálculos. Alguns critérios, recomendados pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) em consonância com a
Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), resultam em erros menores em relação a
outros critérios utilizados por diversas áreas do conhecimento.
Critério estabelecido pela Resolução 886/66 do IBGE
Leva-se em conta o último algarismo a permanecer e o primeiro a ser abandonado na representação decimal.
Se o primeiro algarismo a ser abandonado for menor ou igual a 4, o último a permanecer fica inalterado.
Se o primeiro algarismo a ser abandonado for maior ou igual a 5, o último a permanecer é acrescido de uma unidade.
Por exemplo, na representação de um valor em porcentagem, costuma-se utilizar duas casas decimais. Assim a terceira casa decimal será arredondada para a segunda casa decimal.
O arredondamento para inteiro, bem como a escolha do número de casas a ser deixado após a vírgula, requer uma análise da conveniência, de acordo com a característica do objeto em estudo ou com a necessidade do pesquisador. Por exemplo, se no final do semestre a média das notas obtidas por um aluno for 9,75, ela será arredondada para 10, pois não existe no critério da escola a nota 9,75. Mas se 9,75 for o valor do troco em dinheiro por um lanche comprado na cantina, certamente o caixa devolverá 9,75 sem arredondamentos.
Exercícios Complementares
1. Use o critério do IBGE citado anteriormente e arredonde para o inteiro mais próximo:
b) 89,01 c) 54,489 d) 30,7 e) 62,68 f) 81,909
2. Use o critério do IBGE e arredonde com uma casa depois da vírgula.
a) 16,426 b) 31,572 c) 30,99
3. Use o critério de arredondamento para arredondar com duas casas decimais:
a) 5,9739 b) 2,9065 c) 2,9997
d) Aceitação popular de certo projeto do governo.
Somatório
Para indicar a soma de todos os valores atribuídos a uma variável em estudo, é comum utilizar a letra grega sigma maiúscula
, que significa soma. Por exemplo, se quisermos representar a somado quadrado de três termos de uma sequência, podemos escrever:
3 2 2 3 2 1 2 3 1 i i x x x x
Generalizando:
2 12 22 32 2 1 n i n i x x x x x
Referências
DIVA, V. N.; COUTINHO, C. Q. S. Estatística para Educação Profissional. São Paulo: Atlas, 2009.
DOWNING, D.; CLARK, J. 2. ed. Estatística Aplicada. São Paulo: Saraiva, 2006.
FONSECA, J. S.; MARTINS, G. A.; TOLEDO, G. L. Estatística Aplicada. São Paulo: Atlas, 1995.
GUERRA, M. J.; DONAIRE, D. Estatística Aplicada. São Paulo: Ciência e Tecnologia, 1991. MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. 2a ed. São Paulo: IME-SP, 2000. 375 p.
MEDEIROS, E. et al. Estatística para os cursos de economia, administração e ciências
