Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 1 UMA ANÁLISE DOS CONTEÚDOS DE GEOMETRIA DE UMA DAS COLEÇÕES
DE LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO MAIS SOLICITADAS PELAS ESCOLAS PÚBLICAS BRASILEIRAS AO FUNDO NACIONAL DE
DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO
Guilherme Thomaz Morett SEE-RJ
Ana Maria M. R. Kaleff Universidade Federal Fluminense
Universidade Aberta do Brasil
Resumo: O estudo a ser apresentado trata da análise das constatações referentes aos conteúdos geométricos encontradas nos textos de uma das três coleções de livros didáticos do Ensino Médio, mais solicitadas pelas escolas públicas, ao Fundo Nacional de Desenvolvimento Escolar em 2008. A análise se fundamenta no Modelo de van Hiele do
desenvolvimento do pensamento geométrico e na observação dos desenhos e registros
gráficos, segundo a teoria sobre registros de representação semiótica proposta por Raymond Duval. O estudo partiu da percepção de que professores de Matemática dos ensinos fundamental e médio, com longa experiência profissional, apresentam dificuldades no domínio desses conteúdos e um quase total desconhecimento do Modelo. Analisou-se até que ponto as constatações encontradas apresentam a utilização do Modelo. Constatou-se que embora preencham as determinações curriculares dos Parâmetros Curriculares Nacionais, quanto à importância da geometria na formação da cidadania, o livro didático não menciona, nem sugere a utilização do Modelo.
Palavras-chave: Van Hiele; Ensino médio; Análise de livro didático.
INTRODUÇÃO
O presente estudo analisou uma das três coleções de livros didáticos mais solicitados pelas escolas públicas brasileiras, em 2008, ao Fundo Nacional de Desenvolvimento Escolar, referente aos três anos do Ensino Médio.
Partiu-se da análise do desenvolvimento dos conteúdos e exercícios de geometria frente ao Modelo de van Hiele do desenvolvimento do pensamento geométrico, encontrados em uma das coleções.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 2 No que se segue são apresentadas às motivações que levaram ao estudo, os seus pressupostos teóricos-metodologicos, os resultados e as conclusões.
JUSTIFICATIVA DO ESTUDO
O estudo aqui relatado partiu da importância do ensino da geometria e das grandes dificuldades encontradas por alunos e professores para a sua aprendizagem. O principal fator que o motivou, levando a elaboração de uma monografia de conclusão de um curso de especialização a distância lato sensu em novas tecnologias no ensino da matemática, foram as dificuldades frente aos conteúdos geométricos apresentadas por profissionais com larga experiência como professores de matemática.
Foi a abordagem introdutória ao Modelo de van Hiele do desenvolvimento do pensamento geométrico, apresentada em umas das disciplinas optativas na grade curricular do curso, que despertou o interesse do autor desse relato e da referida monografia. Apesar de sua formação acadêmica e da vivência de mais de 15 anos como professor de Matemática, no ensino básico e no técnico, esse autor nunca havia tido contato com o Modelo, nem ao menos tinha conhecimento de sua existência. Em sua vivência na pós-graduação, foi levado a observar a importância desse Modelo, tanto como referencial para o desenvolvimento do pensamento geométrico como ferramenta de análise dos conteúdos apresentados em um livro didático. Tal importância vem ao encontro daquelas relatadas por muitos autores, referentes às pesquisas holandesas relacionadas ao Modelo e quanto ao ensino da geometria, que muito se assemelham ao nosso contexto brasileiro de sala de aula. É nessa direção que também se pode destacar a importância do estudo da geometria diante da aritmética e da álgebra (LORENZATO, 2006).
Por outro lado, ao analisar os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNEM), no que se refere à presença da geometria no contexto escolar do Ensino Médio, observa-se o destaque na importância do seu ensino para formação do cidadão como um todo (BRASIL, 1999).
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 3 Para realização do presente estudo, inicialmente foram buscadas informações junto ao Fundo Nacional de Desenvolvimento Escolar (FNDE), sobre o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) e sobre o Programa Nacional do Livro do Ensino Médio (PNLEM), ambos do Ministério da Educação (MEC). As informações fornecidas, na forma de planilhas, referem-se a todos os volumes relativos à Matemática, encaminhados pelos dois programas às escolas públicas do país, para 2009.
Para o presente estudo foi escolhida a terceira coleção mais solicitada, qual seja, a apresentada em um volume único, Matemática (DANTE, 2008), da qual, foram solicitadas 1.518.461 unidades. Essa coleção foi escolhida por ser uma das que o autor desse estudo vinha utilizando em sua prática escolar.
Inicialmente, cabe lembrar que, resumidamente, um desenvolvimento hierárquico está ligado ao pensamento geométrico e à sua aprendizagem, segundo o Modelo de van Hiele. Para tanto, o aluno poderia, partindo do nível da visualização de um conceito geométrico, seguindo pelo nível da análise de suas propriedades, prosseguindo pelo nível da ordenação informal das mesmas e, finalmente, pelo da sua ordenação formal, atingir o nível do rigor da conceituação do ente geométrico, quando passaria a ser capaz de entender e relacionar conceitos geométricos abstratos, inclusive àqueles relativos aos sistemas dedutivos geométricos não-euclidianos (VAN HIELE, 1986).
As questões que orientaram o presente estudo são as seguintes: Como o autor do livro didático em questão trata o desenvolvimento dos conteúdos geométricos? A apresentação dos conteúdos geométricos está relacionada a alguma proposta de metodologia para o ensino de geometria? Especificamente existe alguma relação com o desenvolvimento do pensamento geométrico proposto pelo Modelo de van Hiele? Os conteúdos e exercícios apresentados no livro seguem o Modelo? O autor menciona ou sugere a utilização do Modelo para o desenvolvimento de alguma tarefa proposta?
O estudo, de caráter qualitativo, foi desenvolvido segundo a orientação para as ações como apresentada por Lorenzato e Fiorentini (2007). Além disso, foi utilizada uma reconhecida fundamentação teórica relativamente aos conteúdos de geometria euclidiana plana (BARBOSA, 2004), enquanto que para o levantamento e análise dos dados frente ao Modelo de van Hiele lançou-se mão de um ferramental na forma de tabelas analíticas (KALEFF e FRANCA, 2008).
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 4 Em relação a se utilizar o Modelo de van Hiele como ferramental de análise dos dados colhidos, no presente estudo, buscou-se verificar como o autor do livro didático trabalha os níveis. Para o nível da visualização, analisou-se como o livro apresenta desenhos e gráficos, conjuntamente ao texto ou se também traz outros registros semióticos. Para o nível da análise, verificou-se se o autor leva o aluno a observar características relevantes e não-relevantes de um conceito geométrico. Para o nível da organização informal, se o autor leva o aluno a estabelecer e reconhecer relações informais entre os conteúdos (inclusive por meio de experiências com materiais didáticos concretos). Finalmente, para o nível da organização formal, foi considerado se o autor leva o aluno a reconhecer e a estabelecer demonstrações sobre os conteúdos por meio de inferências lógicas.
Por sua vez, a análise dos registros gráficos apresentados no livro, foi realizada segundo a teoria sobre registros de representação semiótica de Duval, a qual engloba uma análise cognitiva das conversões de registros semióticos (KALEFF, 2007). A título de esclarecimento, cabe lembrar que, segundo Duval, os registros semióticos deveriam aparecer em dois tipos de linguagens: uma linguagem discursiva constituída pela língua natural (no Brasil, o português), ou pelas linguagens simbólicas da matemática; enquanto que uma linguagem não-discursiva seria representada pelas formas gráficas e desenhos. Duval, no entanto, pondera que, nos livros didáticos, geralmente aparece uma linguagem
discursiva mista, apresentando características de ambigüidade de linguagem entre a língua
natural e os símbolos matemáticos (DUVAL, 2003).
Para a análise dos registros semióticos, no nível da visualização, buscou-se ver quais os registros o autor utiliza, se apresenta registros gráficos (euclidianos, cartesianos, vetoriais etc.) além do português, bem como se apresenta conversão de registros para a linguagem discursiva mista (mesclando duas linguagens). Para as observações relativas ao nível da análise, foram utilizadas as seguintes perguntas orientadoras: o livro apresenta exemplos e não-exemplos ou parte de definições e contra-exemplos, por meio gráficos e recursos discursivos? Para o nível da organização informal verificam-se respostas às seguintes questões: o texto didático relaciona características de exemplos e não-exemplos dos conceitos a serem construídos pelo aluno ou apresenta relações de inclusão de classes entre os conteúdos? Finalmente, para o nível da organização formal, as perguntas foram:
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 5 apresenta provas e demonstrações para serem seguidas pelo aluno? Sugere que o aprendiz realize (sozinho, sem auxílio do livro ou do professor) provas e demonstrações?
APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DAS CONSTATAÇÕES
As constatações encontradas no volume objeto do presente estudo foram garimpadas por meio de cuidadosa leitura do texto em todas as unidades que contém conceitos relacionados à geometria.
Após a compilação das constatações, para cada uma delas, foi criada uma tabela analítica. Essa apresenta duas colunas, na primeira a identificação (capítulo e tópico do livro) e o texto referente à constatação. A segunda coluna exibe a descrição da constatação, o levantamento, a análise, observações importantes e um resumo dos níveis de van Hiele em uma provável movimentação para a elaboração da aprendizagem. A partir dessas tabelas, analisou-se como o livro apresenta a citação e trabalha o ensino e a aprendizagem dos níveis de van Hiele frente aos registros semióticos.
Mais a seguir, a guisa de ilustração, apresenta-se a Tabela 1, a qual é a tabela analítica de uma das constatações. Essa foi encontrada no capítulo Geometria espacial: de
posição e métrica. Cabe salientar que essa tabela está apresentada integralmente e é uma
das mais simples das elaboradas no presente estudo.
No livro foram encontradas e analisadas 91 constatações referentes a conteúdos geométricos. A Tabela 2 evidencia os prováveis movimentos a serem realizados pelo aluno entre os níveis de van Hiele verificados em cada constatação. Nela, resumidamente, apresentam-se quantificadas as citações encontradas de mesmo nível e as referentes às mudanças entre níveis. Observa-se que somente uma citação é do nível da visualização, enquanto que nenhuma apresenta o da análise isoladamente. Por sua vez, o nível da organização informal ocorre em 43 citações sem estar ligado a outros e o da organização formal não ocorre independente dos demais níveis.
Na mesma tabela, pode-se constatar que as mudanças entre os níveis foram muito variadas e nem sempre seguiram a ordem hierárquica proposta pelo Modelo. Como pode ser observado em diversas constatações, pois, por exemplo, oito delas passam diretamente da visualização para a organização informal, sem buscar levar o aluno a uma análise
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 6 intermediária. É interessante se observar que sete citações visam a percorrer os três primeiros níveis, e que somente uma considera o conteúdo em todos os níveis. É importante se perceber que mais da metade das citações encontram-se no nível da organização informal, ou partem dele, havendo inclusive retrocessos para o nível da visualização.
Por outro lado, quanto aos registros semióticos, concluiu-se que o autor nem sempre apresenta o desenvolvimento dos conteúdos geométricos por meio de uma explícita conversão de registros. Embora sejam utilizados dois ou mais registros, em geral, o texto nem sempre induz o aluno partir o seu raciocínio de considerações visuais por meio de desenhos, ainda que, algumas vezes, o leve a analisar os conteúdos geométricos de maneira informal, a estabelecer e a reconhecer características relevantes e não-relevantes de um conteúdo por meio de exemplos de figuras.
Cabe salientar que o livro contempla as determinações curriculares dos Parâmetros Curriculares Nacionais, quanto a dar ênfase à importância da geometria para a formação do cidadão e a temas interdisciplinares.
Cabe enfatizar ainda que, o autor do livro pressupõe que o aluno já tenha estudado as noções básicas de geometria no Ensino Fundamental, o que talvez não aconteça, como por exemplo, no caso do aluno que tenha visto os conceitos geométricos em livros didáticos de outros autores, fato que ocorre com frequência. Basta ser lembrado que, como apontam os números divulgados pelo FNDE, não há coerência seqüencial nas escolhas das coleções didáticas e nas solicitações realizadas pelas escolas, pois os autores mais solicitados para o Ensino Fundamental nem sempre são os mesmos para o Ensino Médio (KALEFF e FRANCA, 2008).
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 7 Tabela 1
Exemplo de uma Tabela Analítica de uma Constatação
Apresentação da Constatação Análise No capítulo 29, intitulado “Poliedros: prismas e pirâmides”, no
tópico, “A relação de Euler” o autor cita: “O matemático suíço
Leonhard Euler (1707-1783) descobriu uma importante relação entre o número de vértices(V), o número de arestas (A) e o número de faces(F) de um poliedro convexo. (...) Observe estes exemplos:
Figura 1: DANTE, 2008, p. 361.
Para Refletir: No cubo, temos 8-12+6=2. Escreva a relação de Euler para as outras figuras. Observe que, para cada um dos poliedros, o número de arestas é exatamente 2 unidades menos do que a soma do número de faces com o número de vértices. Essa relação pode ser escrita assim: V-A+F=2 (relação de Euler). O valor 2 é uma característica de todos os poliedros convexos. Note a relação de Euler em mais um poliedro convexo: V=6 F=5
V-A+F=2 6-9+5=2 A=9
Observações:1) Em alguns poliedros (não em todos) não convexos vale também a relação de Euler. Examine um exemplo dessa afirmação no poliedro não-convexo abaixo:
V=7 F=7 V-A+F=2, 7-12-7=2 A=12
2) A expressão V-A+F pode assumir valores diferentes de 2 quando o poliedro não é convexo. Examine o poliedro abaixo,
que é um exemplo dessa situação. Neste caso: V-A+F 2
16-32+16=0 V-A+F ,2 16-32+16=0
3) Dados três números V,A e F tal que V-A+F=2, nem sempre existe poliedro que tenha V vértices, A arestas e F faces. Por exemplo, V=1, A=3 e F=4” (DANTE, 2008, p. 361 e 362).
Descrição: A constatação trata da relação de
Euler, enfatizando que todo poliedro convexo satisfaz a relação, porém nem todo poliedro que satisfaz é convexo, e que satisfazer a relação de Euler não é garantia para a existência de um poliedro. Apresentam-se exemplos em desenhos, registros algébricos e numéricos conjuntamente; não incentiva o aluno a analisar as características relevantes quanto ao número de vértices, arestas e faces do poliedro, bem como as não-relevantes quanto à forma dos poliedros apresentados, pois, com exceção do cubo, não leva o aluno a refletir sobre a relação de Euler para os demais poliedros citados. Leva o aluno a estabelecer e reconhecer relações informais entre o número de vértices, arestas e faces e a relação de Euler por meio de experiências visuais e cálculos.
Sobre registros semióticos: Foram utilizados
conjuntamente registros geométricos euclidianos, registros simbólicos (algébricos e numéricos), ou seja, a língua natural e linguagem discursiva mista e a euclidiana. Apresenta a conversão do registro euclidiano para o da linguagem discursiva mista..
Observações: O autor apresenta exemplos do
cubo, tetraedro, dodecaedro, prisma de base pentagonal, pirâmide de base triangular e tronco de pirâmide de base retangular e dois contra-exemplos: polígono não-convexo que satisfaz a relação de Euler e outro que não satisfaz. Mostra que a relação não garante a existência do poliedro. Partindo da relação de Euler, relaciona as características de exemplos e contra-exemplos. Apresenta provas para serem seguidas pelo aluno e não sugere que as realize.
Prováveis movimentos entre níveis: Organização
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 8 Tabela 2
Quantificação das Constatações frente aos Prováveis Níveis e Movimentos entre Níveis
Prováveis Níveis e Movimentos entre Níveis Nº de Constatações
Visualização 01
Visualização Análise Organização informal 07
Visualização Análise Organização informal Organização formal 01
Visualização Análise Organização formal 01
Visualização Organização informal Organização formal 02
Visualização Organização informal 08
Análise Visualização 01
Análise Organização informal 03
Análise Organização informal Visualização Análise 01
Organização informal 43
Organização informal Visualização 09
Organização informal Visualização Organização formal 05 Organização informal Análise Organização informal 01
Organização informal Organização formal 07
Organização informal Análise Visualização Organização formal 01
CONCLUSÕES
Cabe inicialmente observar que, no livro analisado, apresentam-se poucas orientações que levem o aluno à manipulação e à criação de materiais concretos, como forma de valorizar a visualização e as reflexões propostas pelo texto. Tal ausência vem de encontro aos estudos sobre a visualização, que destacam a importância dessa manipulação para a compreensão dos conceitos geométricos.
Pode-se concluir das constatações verificadas que o nível da organização informal é privilegiado nas citações, portanto aquele nível que, segundo van Hiele, levaria o aluno a
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 9 uma definição geométrica. O texto, muitas vezes, apresenta diretamente a definição seguida de exemplos, exercícios e atividades envolvendo constatações visuais - como se em um retrocesso ao nível da visualização. Frente a estas considerações, pode-se dizer que livro dá ênfase a uma apresentação teórica tradicional. Nesta, o conteúdo é apresentado por meio de uma definição, seguida de exemplos e contra-exemplos ilustrativos na busca de facilitar o entendimento da definição pelo rebaixamento do nível. Existem extensos relatos sobre esse tipo de apresentação e do seu efeito didático, principalmente nas escolas da América do Norte (FUYS; GEDDES & TISCHLER, 1988). Esta maneira de tratar os conteúdos foi muito divulgada até a década de 1980 e tudo indica a sua continuidade em nossos dias. Como tem sido apontada por muitos educadores matemáticos, essa forma tradicional de apresentar os conteúdos pode levar o aluno a exercícios de memorização e a ter dificuldades de aprendizagem (LORENZATO, 1995; HERSHKOWITZ, R. & VINNER, 1983).
Pelo verificado, na maior parte das situações, o livro analisado apresenta os conteúdos geométricos na língua natural ou na linguagem mista, levando inicialmente o aluno a formar definições abstratas e, em um segundo momento, a estabelecer propriedades e suas interrelações, por meio de exemplos gráficos, visando a levá-lo a esclarecer as definições e a acompanhar provas com alguma formalização. No entanto, poucas vezes, as atividades sugerem ao aluno a construção de provas um pouco mais elaboras e que realize (de maneira independente do texto ou do professor) demonstrações sobre os conteúdos, por meio de inferências lógicas (chegando ao nível da organização formal).
Em resumo, pode-se concluir que o livro embora apresente uma razoável preocupação didática quanto à metodologia a ser empregada para o ensino da geometria - de forma a estimular a reflexão e a resolução de problemas, com o objetivo de permitir uma aprendizagem dos conteúdos com certo significado e dentro de uma visão construtivista-, porém, não contempla os níveis de maneira seqüencial como proposto pelo Modelo de van Hiele. O autor não menciona ou sugere a sua utilização para o desenvolvimento dos conteúdos e exercícios propostos, tanto no corpo do livro didático quanto no do Manual do Professor.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 10 REFERÊNCIAS
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