Exercicios_Resolvidos_de Sinais_e_Sistemas

(1)

ESCOLA DE COMUNICAÇÃO, ARTES E TECNOLOGIAS

DE INFORMAÇÃO

Licenciatura em Engenharia Informática

Processamento de Sinal e Sinais e Sistemas

Colectânea de Exercícios Resolvidos

Prof. Doutor João Canto

( 1)

Prof. Doutor Marko Beko

( 1)

(2)

(3)

3

Prefácio

1

Este documento destina-se a alunos do curso de Engenharia Informática da Escola de Comunicação, Arquitectura, Artes e Tecnologias de Informação, da ULHT, mais concretamente, àqueles que frequentam as disciplinas de Processamento de Sinal e de Sinais e Sistemas, respectivamente leccionadas no segundo semestre do primeiro ano e no primeiro semestre do segundo ano. Os exercícios que constam desta colectânea, são retirados dos livros que constituem a bibliografia da cadeira, e serão doravante referidos como: (i) I. M. G. Lourtie, Sinais e Sistemas, 2ed, Escolar Editora, Lisboa, 2007: IML; (ii) H. P. Hsu, Signals and Systems, McGraw-Hill, 1995: Hsu. Pontualmente, serão também aqui recordados alguns exemplos, previamente apresentados nos acetatos das aulas teóricas (doravante definidos como AT).

Este texto representa a primeira edição, da componente de exercícios resolvidos, da sebenta que engloba a matéria das cadeiras de sinais. Sendo assim pedimos desculpa por eventuais incorrecções e agradecemos o vosso feedback. Doravante, a designação

 

x n representa um sinal definido em instantes de tempo discretos (onde n pertence ao conjunto dos números inteiros), e x t um sinal definido no tempo contínuo (onde t

 

pertence ao conjunto dos números reais).

Não obstante, este documento representa apenas um conjunto de alguns exercícios resolvidos, sobre tópicos considerados fundamentais. Não poderá nunca substituir a frequência das aulas teórico-práticas e prático-laboratoriais, bem como o estudo dos livros referenciados na bibliografia.

1

Os autores são doutorados em Engenharia Electrotécnica e de Computadores pelo Instituto Superior Técnico

(4)

(5)

5

Índice

Prefácio ... 3 Índice ... 5 Capítulo 1. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais Discretos ... 11

(IML 1.8) Classifique quanto à paridade os seguintes sinais discretos. Problema 1.1.

... 11 (HSU 1.48c) Determine as componentes par e ímpar dos seguintes Problema 1.2.

sinais. ... 14 (IML 1.16) Considere dois sinais discretos, x n e

 

y n , tais que ... 17

 

Problema 1.3.

(HSU 1.23) O sinal discreto x n está desenhado na Figura 1.5.

 

Problema 1.4.

Represente cada um dos seguintes sinais. ... 21 (HSU 1.16g) Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Problema 1.5.

Caso sejam calcule o período. ... 24 (HSU P1.51e) Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Problema 1.6.

Caso sejam calcule o período. ... 25 (IML 1.11b,c,d) Determine quais dos sinais seguintes são periódicos. Problema 1.7.

Para os sinais periódicos indique o período fundamental. ... 26 (IML 1.23a,d,h,i) Um sistema discreto pode ser classificado segundo Problema 1.8.

as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade. ... 29

Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Caso sejam Problema 1.9.

calcule o seu período. ... 34 (IML 1.23b,k) Um sistema discreto pode ser classificado segundo as Problema 1.10.

seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade. ... 36

Capítulo 2. Representação no Domínio do Tempo para Sistemas LIT Discretos... 39

(HSU 2.30) Avalie y n

     

h n x n , onde x n e

 

h n estão

 

Problema 2.1.

representados na Figura 2., usando: a) Uma soma ponderada de impulsos unitários; b) A expressão para a soma de convolução. ... 39

(HSU 2.28) Considere o SLIT com resposta impulsional Problema 2.2.

 

n

 

h n  u n para 0  1 e o sinal de entrada x n

 

u n

 

. Determine a resposta do sistema através de: (a) y n

 

x n

   

h n ; (b) y n

     

h n x n . .... 45

(HSU 2.32) A resposta ao escalão unitário, de um determinado sistema Problema 2.3.

LIT é dada por: y n_u

 

nu n

 

para 0  1. Determine a resposta impulsional do sistema. ... 50

(HSU 2.38) Considere um sistema LIT com a seguinte resposta Problema 2.4.

impulsional: h n

 

nu n

 

. Classifique este sistema quanto à: a) causalidade; b) Estabilidade. ... 51

(6)

6

(HSU 2.56) A resposta impulsional de um sistema LIT é dada por: Problema 2.5.

     

1 2 n

h n  u n . Calcule y

 

1 e y

 

4 para o sinal de entrada

 

2

  

3



x n   n  n . ... 53 (IML 2.25) Considere um sistema LIT com a seguinte resposta Problema 2.6.

impulsional: h n

 

2nu n



4



. Classifique este sistema quanto à: a) causalidade; b) Estabilidade; c) Determine ainda a saída para o sinal de entrada

 

2

 

4



1



x n   n   n . ... 54 (IML 2.26) Considere um sistema LIT cuja resposta ao escalão unitário Problema 2.7.

é dada por: ... 56

Capítulo 3. Transformada Z ... 59

(HSU 4.10) Calcule a transformada do Z dos sinais: a) x n

   

 u n ; Problema 3.1.

b) x n

 



 

n . ... 59 (AT Ex. 4, Cap. 3) Calcule a transformada do Z do sinal Problema 3.2.

 

j 0n

 

x n e u n . Encontre também os pólos, zeros e a região de convergência ... 63 (AT Ex. 5, Cap. 3) Discuta a existência da transformada Z do seguinte Problema 3.3.

sinal x n

 

n. ... 65 (AT Ex. 7, Cap. 3) Calcule a transformada inversa de ... 66 Problema 3.4.

(AT Ex. 8, Cap. 3) Calcule a transformada inversa de ... 71 Problema 3.5.

(HSU 4.19a) Calcule a transformada inversa de ... 75 Problema 3.6.

(HSU 4.32) Um sistema LIT causal é descrito por ... 77 Problema 3.7.

(HSU 4.38a) Considerando o sistema LIT causal descrito por ... 81 Problema 3.8.

(HSU 4.38b) Considerando o sistema LIT causal descrito por ... 84 Problema 3.9.

(HSU 4.58) Considerando o sistema LIT causal descrito por ... 86 Problema 3.10.

(HSU 4.59a) Considerando o sistema LIT causal descrito por ... 88 Problema 3.11.

(HSU 4.59b) Considerando o sistema LIT causal descrito por ... 90 Problema 3.12.

(HSU 4.60) Determine o valor final e o valor inicial de x n para

 

Problema 3.13.

cada uma das funções de transferência e o ganho estático do sistema: ... 93 (AT Ex. 15) Encontre a resposta completa quando a equação às Problema 3.14.

diferenças ... 95

Capítulo 4. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais Contínuos ... 97

Seja ... 97 Problema 4.1. Seja ... 98 Problema 4.2. Seja ... 99 Problema 4.3. Sejam ... 100 Problema 4.4. Sabe-se que ... 103 Problema 4.5.

(IML 1.2d) Considere o sinal representado na Figura 4.5. ... 104 Problema 4.6.

(7)

7

(IML 1.3a) Considere os sinais contínuos representados na Figura 4.7. Problema 4.7.

Escreva a expressão que os relaciona. ... 105 (IML 1.6a) Esboce graficamente as componentes par e ímpar do sinal Problema 4.8.

representado na Figura 4.8. ... 106 (IML 1.7) Sejam dois sinais contínuos relacionados por ... 108 Problema 4.9.

(IML 1.9) Seja x t um sinal contínuo considere-se ... 109

 

Problema 4.10.

(IML 1.11a,f) Determine quais dos seguintes sinais são periódicos. Problema 4.11.

Para os sinais periódicos determine o período fundamental. ... 111 (IML 1.12) Determine o período fundamental de ... 112 Problema 4.12.

(IML 1.13) Seja ... 113 Problema 4.13.

(IML 1.14) Considere os sinais contínuos: ... 114 Problema 4.14.

(IML 1.18) Esboce graficamente os seguintes sinais contínuos: .... 117 Problema 4.15.

(IML 1.20a,b,g) Exprima analiticamente os sinais representados .. 120 Problema 4.16.

(IML 1.22c,k) Um sistema contínuo pode classificar-se como: ... 123 Problema 4.17.

Capítulo 5. Representação no Domínio do Tempo de Sistemas LIT Contínuos ... 127

(IML 2.4) Considere um sistema LIT, cuja resposta impulsional é dada Problema 5.1.

por ... 127 (AT Ex. 1, Cap. 2) Considere o seguinte circuito RLC ... 130 Problema 5.2.

(HSU 2.5) Considere um sistema LIT, cuja resposta impulsional é dada Problema 5.3.

por ... 133 (IML 2.13) Considere o seguinte sistema ... 136 Problema 5.4.

(IML 2.19) Seja ... 139 Problema 5.5.

Capítulo 6. Transformada de Laplace ... 141

(AT Ex. 2, Cap. 3) Determinar a transformada de Laplace do sinal: Problema 6.1.

 

eat

 

x t   u t . ... 141 Determine a transformada de Laplace do sinal ... 147 Problema 6.2.

(AT Ex. 2, Cap. 3) Determine a transformada de Laplace do sinal: Problema 6.3.

 

j 0t

 

x t e u t . ... 148 (HSU 3.5c) Determine a transformada de Laplace do sinal: Problema 6.4.

 

2t

 

3t

 

x t e u t e u t . ... 149 (IML 3.2a,b,d) Determine a função no tempo, x t , cuja transformada

 

Problema 6.5.

de Laplace é: ... 150 (IML 3.3a,d) Seja ... 154 Problema 6.6.

(IML 3.7a,b) A Figura 6.4 representa o mapa pólos/ zeros da função de Problema 6.7.

transferência de um SLIT. ... 155 (IML 3.14) Considere o SLIT causal cujo mapa pólos/zeros se Problema 6.8.

(8)

8

(IML 3.8) Classifique quanto à estabilidade e à causalidade os SLITs Problema 6.9.

cujo mapa palas/zeros se representam na Figura 6.6. Justifique a resposta. ... 162

(HSU 3.38) Resolva a seguinte equação diferencial de segunda ordem Problema 6.10. ... 164

(IML 3.10) Seja ... 166

Problema 6.11. (IML 3.18) Considere o sistema causal descrito pela equação Problema 6.12. diferencial de coeficientes constantes... 170

Capítulo 7. Transformada de Fourier ... 177

(IML 3.26) Determine a transformada de Fourier de cada uma das Problema 7.1. seguintes funções no tempo: ... 177

Encontre x t , sabendo que... 183

 

Problema 7.2. Determine uma representação em séries de Fourier para os seguintes Problema 7.3. sinais ... 185

Calcular x t sabendo que ... 189

 

Problema 7.4. (IML 3.31) Considere o sinal x t cujo espectro de frequência está

 

Problema 7.5. representado na Figura 7.3 ... 191

(IML 3.32) Sejam x t e

 

y t , respectivamente, os sinais de entrada

 

Problema 7.6. e de saída de um sistema contínuo, cujas transformadas de Fourier se relacionam pela seguinte equação: ... 193

(IML 3.33) Considere o sistema cuja resposta de frequência é ... 194

Problema 7.7. (IML 3.34) Seja ... 195

Problema 7.8. Anexo A. Fundamentos Matemáticos ... 197

A.1. (IML Anexo A) Noções de trigonometria ... 197

A.2. (IML Anexo A) Definição de número complexo. ... 199

A.3. (IML Anexo A) Prova de relações trigonométricas ... 202

A.4. (IML Anexo A) Séries Geométricas ... 203

A.5. Expresse os seguintes números complexos na forma cartesiana e determine o seu módulo, inverso e conjugado. ... 205

A.6. Expresse os seguintes números complexos na forma polar, determine o seu módulo, inverso e conjugado, e represente-o no plano complexo. ... 208

A.7. Expresse os seguintes números complexos na forma cartesiana. ... 211

A.8. Determine as soluções das seguintes equações. ... 213

A.9. Calcule as seguintes expressões... 215

A.10. Mostre que as seguintes expressões são verdadeiras. ... 218

Anexo B. Fundamentos Matemáticos: Parte 2 ... 219

B.1. Integrais. Mostre que as seguintes expressões são verdadeiras. ... 219

B.2. Expanda em fracções simples as seguintes funções racionais. ... 223

(9)

9

C.1. Processamento de Sinal: Teste 1. ... 227

C.2. Processamento de Sinal: Teste 2. ... 237

C.3. Sinais e Sistemas: Teste 1. ... 243

C.4. Sinais e Sistemas: Teste 2. ... 250

Anexo D. Formulários ... 259

D.1. Formulário para processamento de sinal. ... 259

(10)

(11)

11

Capítulo 1. Fundamentos

de

Sinais

e

Sistemas:

Sinais

Discretos

(IML 1.8) Classifique quanto à paridade os seguintes Problema 1.1.

sinais discretos.

Para avaliar a paridade de um determinado sinal, é necessário considerar as definições respectivas dos sinais pares e ímpares

   

x  n x n , (1.1)

 

x   n x n . (1.2) a)

 

1 ; 0 0 ; 0 n x n n n  _     _ 

Para avaliar a paridade de a), é necessário verificar se respeita as definições (1.1) – (1.2) , ou seja, é necessário calcular x

 

n e verificar se este se relaciona com x n , através

 

de uma relação de paridade. Directamente da definição de x n e (1.2) obtém-se

 

1 ; 0

 

0 ; 0 n x n n x n n     _    _  . (1.3)

O sinal é ímpar porque respeita a condição (1.2), como pode ser observado pela Figura 1.1a. b)

 

2 1 ; 0 2 3 ; 0 0 n n x n n    _        _  

(12)

12

 

2 2 1 1 _; ₀ _; ₀ 2 2 3 3 ; 0 ; 0 0 0 n n n n x n x n n n   _{ } _{  }    _{ } _{  }  _ _{ } _{  }        . (1.4)

O sinal é par porque verifica a relação (1.1), como pode ser observado pela Figura 1.1b.

c)

 

3



1



; 0 ; 0 0 n n x n n      _ 

Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se

 

3



1



; 0 ; 0 0 n n x n n        _  . (1.5)

O sinal não é par nem ímpar porque não verifica nenhuma das condições de paridade, como pode ser observado pela Figura 1.1c.

d)

 

4

 

1 ; 0 ; 0 0 n n x n n       _ 

Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se

 

1 4 ; 0 ; 0 ; 0 4 1 4 1 1 ; 0 ; 0 ; 0 0 0 0 n n n n n n x n x n n n n            _   _ _ _         _  . (1.6)

(13)

13 Figura 1.1. Representação de x n

 

.

 

a

 

b

 

c

 

d

(14)

14

(HSU 1.48c) Determine as componentes par e ímpar dos Problema 1.2.

seguintes sinais.

Para obter as componentes par e ímpar de um determinado sinal, é necessário considerar as seguintes definições

 

1

   

2 p x n  _x n  x n _, (1.7)

 

1

   

2 i x n  _x n  x n _, (1.8)

que correspondem respectivamente às componentes par e ímpar de um sinal. Estas relações podem ser facilmente demonstradas através dos seguintes passos

 

1

   

1

   

 

2 2 p p x  n _x  n x n _ _x n  x n _x n , (1.9)

 

1

   

1

   

1

   

 

2 2 2 i i x  n _x  n x n _ _x n  x n _  _x n  x n _ x n . (1.10) c) _{x n}

 

_ej 0n 2

O primeiro passo na resolução é a aplicação da fórmula de Euler, que resulta em

 

 0 2 0 0 cos sin 2 2 j n x n e    _ n  _ j _ n _    . (1.11)

Através do círculo trigonométrico é possível identificar

 

cos sin 2 x  x  _ _{ }     , sin x 2 cos

 

x   _ _     , (1.12)

que aplicado em (A.67) permite obter

 

sin



0



cos



0



x n    n  j  n . (1.13)

A partir deste ponto, é possível resolver o problema de duas formas distintas:

i) Por inspecção: Sabendo que a função seno é ímpar, e a função co-seno é par, é possível afirmar que (1.13) já se encontra escrita na forma

(15)

15

 

i

 

p

 

x n x n x n , (1.14) onde

 

sin



0



i x n    n , (1.15)

 

cos



0



p x n  j n , (1.16)

são respectivamente as componentes ímpar e par do sinal.

ii) Pela definição (1.7) podemos então obter



0





0





0





0



1

sin cos sin cos

2

p

x  _  n  j  n    n j  n _. (1.17)

Finalmente, considerando o resultado sobre a paridade das funções seno e co-seno

 

cos  x cos x , sin

 

  x sin

 

x , (1.18) facilmente se chega a



0





0





0





0





0



1

sin cos sin cos cos

2

p

x  _  n  j  n  n  j n _ j n . (1.19)

Analogamente, para a componente ímpar, utilizando as definições (1.8) e (1.18) chega-se a





































0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

sin cos sin cos

2 1

sin cos sin cos sin

2 i x n j n n j n n j n n j n n  _          _  _        _   . (1.20)

(16)

16

(17)

17

(IML 1.16) Considere dois sinais discretos, x n e

 

y n ,

 

Problema 1.3. tais que

 



2 3



y n x n . (1.21)

Um sinal discreto diz-se periódico, quando existe um inteiro N0, tal que respeita a condição

 





x n x nN ,  n . (1.22)

O período fundamental N define-se como o menor inteiro positivo que verifica (1.22). ₀ Qualquer inteiro positivo e múltiplo de N é também um período de ₀ x n .

 

Pode ainda ser demonstrado que, para um sinal do tipo sin



₀n



, cos



₀n



ou _ej0n

, onde ₀ é a frequência fundamental, e M 2 , seja periódico, é necessário que se verifique

0

M

 _

, (1.23)

onde é o conjunto dos números racionais.

a) Se x n é par logo

 

y n é par?

 

Para averiguar a veracidade de a), é necessário verificar se (1.21) cumpre (1.7). Uma vez que

 



2 3



 

y     n x n y n , (1.24)

e sendo que x n é par vem ainda

 



2 3





2 3



 



2 3



x   n x n y n x n , (1.25)

pelo que a) é falso. Note-se que, um deslocamento, tipicamente, altera a paridade do sinal. No entanto, se x n for periódico, de período

 

N₀ 1, 2,3,6 , tem-se que

(18)

18



2 3





2 3



 

x n x n  y n , ou seja, a paridade do sinal seria mantida e y n seria

 

par.

b) Se x n é periódico logo

 

y n também o é? Se sim calcule o período de

 

y n .

 

(i) Resolução intuitiva

Por observação de (1.21) verifica-se que estão patentes duas operações: (a) Uma mudança de escala temporal, correspondente ao termo 2n ; (b) Um deslocamento temporal, correspondente ao termo 3. Note-se que, uma mudança de escala altera o período de um sinal, enquanto que, um deslocamento não. Represente-se o sinal periódico x n , de período

 

N , na forma ₀

 

0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 ... 1 1 ... 2 1 2 ... k ... k n N N N N N x n x x x x x x x x      . (1.26)

Torna-se então necessário separar os casos em que N é par ou ímpar. Quando ₀ N é ₀ par tem-se que

 

0 0 0 2 4 0 0 1 2 ... 2 2 0 2 4 ... ... n N x n x x x x N x x x x   , (1.27)

logo o período de x

 

2n é dado por N N₀ 2. Uma vez que a próxima operação, o deslocamento, não altera a periodicidade, o período de y n é

 

N_y  N₀ 2. Para o caso em que N é ímpar, ₀ N N₀ 2 não é inteiro, pelo que não pode ser um período de

 

y n . Para este caso, tem-se que

 

   



 







0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 1 3 0 1 1 3 0 1 2 ... ... 2 2 2 2 0 2 4 ... 1 1 3 ... 2 ... _k ... N N N n N x n x x x x N x N x N x N x x x x x x x         ,(1.28)

(19)

19

logo o período de x

 

2n é dado por N N₀. Novamente, o deslocamento não altera a periodicidade, e o período de y n é

 

N_y  N₀ . Ambas as componentes e a sua periodicidade podem ser observadas na Figura 1.3 e Figura 1.4.

(ii) Resolução pela definição

Aplicando (1.22) à definição do sinal, resulta imediatamente que n

  , y n



N_y



 y n

 

. (1.29) Desenvolvendo (1.29), esta ainda pode ser reescrita como

n

  , x



2



nN_y



3



x



2n2N_y3



x



2n3



. (1.30) Para que esta tenha solução, é necessário que

0 0 2 2 y y N N mN N m ,  m , (1.31)

onde N é o período fundamental de ₀ x n . O período fundamental de

 

y n é então o

 

menor inteiro positivo que cumpre (1.31), o que corresponde a

0 0 0 0 1 , par 2 2 , ímpar y N m N N m N N           . (1.32)

Note-se que, uma vez que o período tem de ser um inteiro positivo, apenas no caso em que N é par é que ₀ Ny N0 2 é inteiro. Para o caso em que N é ímpar apenas se 0

(20)

20

Figura 1.3. Representação do caso N par0 .

(21)

21

(HSU 1.23) O sinal discreto x n está desenhado na

 

Problema 1.4.

Figura 1.5. Represente cada um dos seguintes sinais.

A representação de x n e

 

u n pode ser observada na Figura 1.5.

 

Figura 1.5. Representação de x n .

 

a) x n u

  

1n



Para calcular este resultado, comece-se por identificar que ao sinal escalão unitário, se aplicaram duas operações: (i) Inversão; (ii) Deslocamento. Pelo que, partindo da definição analítica do escalão unitário, e aplicando sucessivamente as operações referidas, é possível chegar a

 





( ) ( ) 1 ; 0 1 ; 0 1 ; 1 1 0 ; 0 i 0 ; 0 ii 0 ; 1 n n n u n u n u n n n n       _   _   _       . (1.33)

Este sinal está representado na Figura 1.6. Efectuando finalmente a multiplicação, ponto por ponto, dos dois sinais chega-se ao resultado também apresentado na Figura 1.6.

(22)

22 b) x n

  

_u n2



u n

 

_

Para o primeiro membro da soma, pode então identificar-se uma operação de deslocamento, pelo que, se obtém a partir da definição de escalão unitário que

 

1 ; 0



2



1 ; 2 0 ; 0 0 ; 2 n n u n u n n n      _   _      . (1.34)

Efectuando a operação de subtracção vem que



2

  

1 ; 2 1

0 ; outros

n u n u n      

 . (1.35)

Multiplicando os sinais ponto por ponto chega-se ao resultado da Figura 1.7.

Figura 1.7. Representação de x n u

  

1n



.

c) x n

  

 n1



Para este caso, pode também identificar-se uma operação de deslocamento, pelo que, se obtém a partir da definição de impulso unitário que

 

1 ; 0



1



1 ; 1 0 ; 0 0 ; 1 n n n n n n  _     _      . (1.36)

(23)

23

(24)

24

(HSU 1.16g) Determine se os seguintes sinais são ou não Problema 1.5.

periódicos. Caso sejam calcule o período.

a) x n

 

ej4n

Para que x n seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). Substituindo

 

substituir n por nN em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação

  4 4 j n N j n e e     _         _  _. _(1.37)

Desenvolvendo o primeiro membro de (1.37) chega-se a

4 4 4 j n N j n e e     _          _  _. _(1.38)

Para que x n seja periódico, (1.38) tem de ter solução, pelo que é necessário garantir a

 

seguinte condição:

2 8

4 N m N m

 _ _ _ _

,  m . (1.39)

Atribuindo valores a m, obtém-se o menor inteiro positivo que verifica (1.39),

0

1 8

m N  . (1.40)

onde N₀ 8 é o período fundamental. Uma vez que (1.39) tem solução, e x n é uma

 

função exponencial complexa, a condição (1.23) é verificada

0 4 1 2 ₈ ₈ 1 M    _      . (1.41)

(25)

25

(HSU P1.51e) Determine se os seguintes sinais são ou Problema 1.6.

não periódicos. Caso sejam calcule o período.

a)

 

4 n j x n e   _      

Novamente, para que x n seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22).

 

Substituindo substituir n por nN em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação

4 4 n N n j j e e     _   _        _   _(1.42)

Desenvolvendo o primeiro membro de (1.42), chega-se a

4 4 4 n N n j j e e    _{ }   _        _   _(1.43)

 

condição: 2 8 4 N m N m      ,  m . (1.44)

Uma vez que  é irracional, qualquer múltiplo deste também será irracional, sendo impossível obter um período inteiro. Note-se ainda que, como (1.44) não tem solução, e

 

x n é uma função exponencial complexa, a condição (1.23) não é verificada

0 1 1 4 2 ₈ 1 M    _ _ _ . (1.45)

(26)

26

(IML 1.11b,c,d) Determine quais dos sinais seguintes são Problema 1.7.

periódicos. Para os sinais periódicos indique o período fundamental.

b)

 

sin 5 2

4

x n  _  n _

 

Note-se que, uma translação no tempo não afecta o período de um sinal, mas, uma mudança de escala sim. Uma vez que, o período fundamental da função seno é M 2

, verifique-se se após a mudança de escala, o sinal continua a ser periódico. Para calcular o período fundamental, substitua-se n por nN em b), e aplique-se (1.22) à definição do sinal obtendo a equação





sin 5 2 sin 5 2 4 n N 4n    _ _ _  _         . (1.46)

sin 5 2 5 sin 5 2 4n 4N 4n     _{ } _  _         . (1.47)

Para que x n seja periódico, (1.47) tem de ter solução. Então, os argumentos das

 

funções seno têm de estar relacionados, através de um múltiplo do período fundamental da função seno (M 2 ): 8 5 5 2 4 N mM 4 N m N 5m  _ _  _ _ _ _ ,  m . (1.48)

O menor número inteiro que verifique (1.48) é então o período fundamental, que neste caso, corresponde a m5 que resulta em N₀ 8. Novamente, uma vez que (1.39) tem solução, e x n é uma função seno, a condição (1.23) é verificada

 

0 5 5 5 4 2 ₈ ₈ 1 M    _      . (1.49) c)

 

cos 1 2 x n  _ n_  

(27)

27

Para calcular o período fundamental, substitua-se n por nN em c), e aplique-se (1.22) à definição do sinal, obtendo a equação





1 1 cos cos 2 n N 2n  _ _          . (1.50)

1 1 1 cos cos 2n 2N 2n  _ _          . (1.51)

Para que x n seja periódico, (1.51) tem de ter solução. Então, os argumentos das

 

funções co-seno têm de estar relacionados através de um múltiplo do período fundamental da função co-seno (M 2):

1

2 4

2N  mN  m,  m . (1.52)

Uma vez que  é irracional, qualquer múltiplo deste também será irracional, sendo impossível obter um período inteiro. Como (1.51) não tem solução, e x n é uma

 

função co-seno, a condição (1.23) não é verificada

0 1 1 2 2 ₄ 1 M       . (1.53) d) x n

 

cos 5



n2



Novamente, substituindo n por nN em d) e aplicando (1.22), chega-se a





2



₂



cos 5_  nN _cos 5n . (1.54)

Desenvolvendo o primeiro membro de (1.54) permite ainda obter



2 2





2



cos 5n 10nN5N cos 5n . (1.55) Novamente, de (1.55) obtém-se a condição

(28)

28 2 5 2 10 5 2 5 2 nN N m m nN N         ,  m . (1.56)

Uma vez que m é um número inteiro, o segundo membro de (1.56) também tem de ser inteiro. Desta forma, uma vez que 5nN já é um inteiro (n e N são inteiros) é necessário que 2 0 5 2 2N  N  . (1.57)

Tendo (1.57) solução, e sendo x n uma função co-seno, a condição (1.23) é verificada

 

0 5 5 5 1 2 ₂ ₂ 1 M    _      . (1.58)

(29)

29

(IML 1.23a,d,h,i) Um sistema discreto pode ser

Problema 1.8.

classificado segundo as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade.

Para classificar os seguintes sistemas, é necessário conhecer as propriedades gerais dos sistemas lineares. Estas podem ser definidas da seguinte forma:

1) Memória: Um sistema não tem memória quando, num instante de tempo, a saída

apenas depende da entrada nesse mesmo instante, i.e.,

 

1 1 1

n y n f x n

    _ _. (1.59)

e.g., y n

 

3x n

 

não tem memória, enquanto que y n

 

3x n



1



tem.

2) Causalidade: Um sistema é causal quando, para qualquer instante de tempo, a saída

depende da entrada apenas em instantes passados. Portanto, para dois sinais idênticos até ao instante n , as saídas são idênticas até ao mesmo instante, i.e., ₀

 

1 2 0 1 2 0

x n x n  n n  y n  y n  n n . (1.60) Por conseguinte, um sistema sem memória é necessariamente causal, e.g.,

 

3

 

y n  x n e y n

 

3x n



1



são causais, enquanto que y n

 

3x n



1



não.

3) Invariância no tempo: Um sistema diz-se invariante no tempo, quando uma

deslocação no sinal de entrada conduz à mesma deslocação no sinal de saída, i.e.,

 



0





0



x n y n  x n n y n n , n₀. (1.61)

4) Linearidade: Um sistema é linear quando uma combinação linear de sinais à

entrada conduz, na saída, à mesma combinação linear das saídas elementares para cada sinal de entrada, i.e.,

 

1 1 1 2 1 2 2 2 x n y n ax n bx n ay n by n x n y n   _ _ _ _    . (1.62)

(30)

30

5) Estabilidade: Um sistema diz-se estável de entrada limitada / saída limitada quando

qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada, i.e.,

 

0 : 0 :

x x y y

A x n A n A y n A n

           . (1.63)

6) Invertibilidade: Um sistema é invertível quando, sinais de entrada distintos resultam

em sinais de saída distintos (a aplicação da entrada na saída é injectiva), i.e.,

 

1 2 1 2

x n x n  y n  y n . (1.64)

a) y n

 

xn

 

n

Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema não tem memória. Pela propriedade (1.60) verifica-se que o sistema é causal.

Quanto à invariância no tempo, é necessário aplicar a propriedade (1.61). Considerando um sinal auxiliar x n₁

 

x n n



 ₀



resulta que

 





1 1 0

n n

y n  x n x n n . (1.65)

No entanto, uma vez que,





0





0 0

n n

y n n x  n n , (1.66)

é diferente de (1.65) o sistema é variante no tempo.

Quanto à linearidade, aplicando (1.62), tem-se que y n₁

 

x₁n

 

n ,

 

2 2 n y n x n pelo que

 

1 2 1 2 1 2 n ax n bx n _ax n bx n _ ay n by n , (1.67) logo o sistema é não linear. Por exemplo, escolhendo a b 1 no ponto n2, vem para quaisquer dois sinais de entrada x n e ₁

 

x n ₂

 

2

 

1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2

(31)

31

Neste caso, o sistema não é estável, o que pode ser provado por contra-exemplo. Considere-se o sinal de entrada limitado x n

 

2, n, pelo que vem

 

2n lim

 

n

y n y n



   , (1.69)

ou seja, para uma entrada limitada, a saída é ilimitada, pelo que o sistema é instável. Para provar a não invertibilidade recorrer-se-á, novamente, ao contra exemplo. Definam-se dois sinais diferentes tais que

 

1 1 2 2 1, 1 1, 1, 0 1 , 0 1, 2, 0 2 , 0 n n n x n n y n n n n x n y n n n n            _  _    _ _  _ . (1.70)

A partir de (1.70) verifica-se que,

 

1 2 1 2

x n x n  y n  y n , (1.71)

logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível. (Note-se que o sistema perde a informação do sinal de entrada no instante n0).

b) Esta alínea corresponde à resolução em paralelo dos problemas IML 1.23h, i, representando um grau de dificuldade interessante. Verifiquem-se as diferenças entre os dois sistemas semelhantes,

 





, 1 0 , 0 1 , 1 h x n n y n n x n n    _   _ _{ }  ,

 

, 1 0 , 0 , 1 i x n n y n n x n n    _   _{ }  . (1.72)

Note-se que, considerando a propriedade (1.59), se pode observar que y n tem _h

 

memória enquanto que y n não tem memória. Mais ainda, aplicando (1.60), pode _i

 

observar-se que y n é não causal enquanto que _h

 

y n é causal. Quanto à _i

 

invariância temporal, aplicando (1.61) resulta que, as saídas y n n



 ₀



são dadas por













0 0 0 0 0 0 , 1 0 , 1 , 1 h x n n n n y n n n n x n n n n       _   _ _ _ _  ,













0 0 0 0 0 0 , 1 0 , , 1 i x n n n n y n n n n x n n n n       _   _ _ _  . (1.73)

(32)

32

Considerando novamente sinais auxiliares do tipo x n

 

x n n



 ₀



resulta que,

 









0 0 , 1 0 , 0 1 , 1 h x n n n y n n x n n n      _   _{ } _{ }  ,

 









0 0 , 1 0 , 0 , 1 i x n n n y n n x n n n      _   _ _{ }  . (1.74)

Uma vez que os resultados (1.74) e (1.73) são diferentes, verifica-se que ambos os sistemas são variantes no tempo. Aplicando agora a propriedade (1.62), dos sistemas lineares verifica-se que, o sistema y n , _h

 









 

1 2 1 2 ,1 ,2 1 2 , 1 0 , 0 1 1 , 1 h h h ax n bx n n ax n bx n y n n ay n by n ax n bx n n       _     _{ } _ _{ }  , (1.75)

bem como o sistema y n _i

 

1 2 1 2 ,1 ,2 1 2 , 1 0 , 0 , 1 i i i ax n bx n n ax n bx n y n n ay n by n ax n bx n n       _     _ _{ }  , (1.76)

são lineares. Mais ainda, quanto à estabilidade, verifica-se que a condição (1.63) é sempre cumprida, para qualquer entrada limitada, para ambos os sistemas, pelo que estes são estáveis. Quanto à invertibilidade, note-se que, o sistema y n perde a _i

 

informação da entrada no instante n0 enquanto que o sistema y n não. Desta _h

 

forma, por contra-exemplo considerem-se os sinais

 

1 ,1 2 ,2 0 2 0 i i x n n y n x n n y n         , (1.77) ou seja,

 

1 2 i,1 i,2 x n x n  y n  y n , (1.78)

logo o sistema y n é não invertível. Pelo contrário, _i

 

y n é invertível, e o seu _h

 

sistema inverso é dado por

 





1 , 0 1 , 0 h h h h y n n y n z n y n n  _ _{ }     . (1.79)

(33)

33 d) y n

 

n x n

 

Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema não tem memória. Aplicando ainda (1.60), e uma vez que o sistema não tem memória, tem-se que o sistema é causal.

Para averiguar se o sistema é invariante no tempo, aplique-se (1.61), considerando x n₁

 

 x n n



 ₀



, pelo que se tem

 





1 1 0

y n n x n n x n n . (1.80) No entanto, uma vez que



0

 

0

 

0



y n n  n n x n n  , (1.81) tem-se que (1.81) é diferente de (1.80) pelo que o sistema é variante no tempo.

Quanto à linearidade, aplicando (1.62), tem-se que y n₁

 

n x n₁

 

e

 

2 2 y n n x n , pelo que

 



 



 

1 2 1 2 1 2 1 2 ax n bx n n ax n bx n an x n bn x n ay n by n , (1.82) logo o sistema é linear.

A estabilidade pode ser novamente comprovada por contra exemplo, i.e., se

 

3 x n  , n, verifica-se que,

 

3 lim

 

n y n n y n     , (1.83)

ou seja, para uma entrada limitada, a saída é ilimitada, pelo que o sistema é instável. Novamente, note-se que o sistema perde a informação do sinal de entrada em n0. Considerando os dois sinais seguintes,

 

1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 3 3 3 0 0 0 x n n y n n n x n n y n n n                     . (1.84)

A partir de (1.84), verifica-se que,

 

1 2 1 2

x n x n  y n  y n , (1.85)

(34)

34

Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Problema 1.9.

Caso sejam calcule o seu período.

a)

 

tan 2 3 x n  _ n_

 

 

Substituindo n por nN em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação





2 2 tan tan 3 n N 3n  _ _          , (1.86)

2 2 2 tan tan 3n 3N 3n  _ _          , (1.87)

 

seguinte condição:

2 2 3

3N Mm3N mN  2m,  m . (1.88)

O menor número inteiro que verifique (1.88) é então o período fundamental, que neste caso, corresponde a m2 que resulta em N₀ 3. Note-se que, o período fundamental da função tangente é M  .

b)

 

sin 3 tan 2

2 3

x n  _ n_ _ n_

   

 

No entanto, uma vez que x n é dado pela soma de dois sinais distintos, é necessário

 

primeiro averiguar qual a periodicidade de ambas as componentes. Assim, substituindo

(35)

35









1 2 3 3 sin sin 2 2 2 2 tan tan 3 3 n N n n N n      _ _            _ _           . (1.89)

Analogamente à alínea anterior chega-se a duas condições:

1 1 1 2 2 2 3 4 2 4 2 3 2 3 3 3 2 N m N m N N N m N m      _  _      _ _    _   _  _     ,  m . (1.90)

O período fundamental do sinal é o mínimo múltiplo comum entre os períodos fundamentais N e ₁ N das duas componentes, i.e., ₂ N₀ 12.

(36)

36

(IML 1.23b,k) Um sistema discreto pode ser classificado Problema 1.10.

segundo as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3)

Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 6)

Invertibilidade.

b) y n

 

n ex n 

Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema não tem memória. Pela propriedade (1.60) verifica-se que o sistema é causal.

 

x n n



 ₀



resulta que

 

1   0

1

x n x n n

y n n e n e  . (1.91)



 



 0

0 0

x n n

y nn  nn e  , (1.92)

é diferente de (1.91) o sistema é variante no tempo.

Quanto à linearidade, aplicando (1.62), e considerando duas entradas/saídas elementares

 

1  1 x n y n n e e

 

2  2 x n y n n e tem-se que

 

1  2  1  2 

_{ }

1 2 1 2 ax n bx n ax n bx n ax n bx n n e  n e e a y n b y n , (1.93) logo o sistema é não linear.

A estabilidade, pode ser comprovada por contra exemplo, i.e., se x n

 

2, n, verifica-se que,

 

2

 

lim n y n n e y n     , (1.94)

ou seja, para uma entrada limitada, a saída é ilimitada, pelo que o sistema é instável. Note-se que o sistema perde a informação do sinal de entrada em n0. Considerando os dois sinais seguintes,

(37)

37

 

  1 2 1 1 2 3 2 2 , 0 1 0, 0 2 , 0 2 0, 0 3 n n n n x n n y n n e n n n x n n y n n e n          _{ }        _{ }   , (1.95)

a partir de (1.95), verifica-se que,

 

1 2 1 2

x n x n  y n  y n , (1.96)

logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível.

k) y n

 

x

 

5n 4

Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema tem memória. Pela propriedade (1.60) verifica-se que o sistema é não causal.

 

x n n



 ₀



resulta que

 





1 1 5 4 5 0 4

y n x n  x n n  . (1.97)



0



5



0



4

y n n x_ n n _ , (1.98) é diferente de (1.91) o sistema é variante no tempo.

Quanto à linearidade, aplicando (1.62), e considerando duas entradas/saídas elementares y n₁

 

x₁

 

5n 4 e y n₂

 

x₂

 

5n 4 tem-se que

 

1 2 1 5 2 5 4 1 2

ax n bx n ax n bx n  a y n b y n , (1.99) logo o sistema é não linear.

A estabilidade, pode ser comprovada considerando que x n

 

A_x , n , é possível obter

 

5 4

 

5 4 _x 4 _y

(38)

38

ou seja, para uma entrada limitada a saída é limitada, pelo que o sistema é estável. Para provar que o sistema não é invertível , considerem-se os dois sinais seguintes:

 

1 1 2 2 1, 5 4 5 1, múltiplo de 5 5 4 5 0, c.c. x n n y n x n n x n y n x n n        _      . (1.101)

Note-se que, qualquer inteiro multiplicado por 5 resulta necessariamente num múltiplo de 5 . A partir de (1.101), verifica-se que,

 

1 2 1 2

x n x n  y n  y n , (1.102)

(39)

39

Capítulo 2.Representação no Domínio do Tempo para Sistemas

LIT Discretos

(HSU 2.30) Avalie y n

     

h n x n , onde x n e

 

h n

 

Problema 2.1.

estão representados na Figura 2., usando: a) Uma soma ponderada de impulsos unitários; b) A expressão para a soma de convolução.

Figura 2.1. Representação de x n e de

 

h n .

 

Para um dado sistema linear e invariante no tempo, caracterizado pela sua resposta impulsional h n , designe-se por

 

x n o sinal de entrada e por

 

y n o sinal de saída

 

(Figura 2.2).

Figura 2.2. Sistema LIT, com resposta impulsional h n , entrada

 

x n e saída

 

y n .

 

Como é conhecido, a resposta deste sistema a qualquer sinal de entrada pode ser obtida através da soma de convolução da seguinte forma

 

  



   

k y n x k h n k x n h n   



   . (2.1)

Para obter a saída do sistema, é necessário efectuar os seguintes passos, para cada instante n:   h n   y n   x n

(40)

40

1. Determinar a reflexão em relação à origem da resposta impulsional h k do

 

SLIT, obtendo: z k

 

h

 

k .

2. Atrasar o sinal z k de

 

n unidades (correspondentes ao instante n) obtendo a sequência: w k

  

z kn



h n k







3. Multiplicar ponto a ponto a sequência w k pela entrada:

 

x k h n

  

k



.

4. Somar todos os pontos da sequência resultante, de modo a obter a soma de

convolução correspondente ao instante n.

Este processo é então repetido para todos os instantes n. A soma de convolução goza ainda das seguintes propriedades:

1) Comutatividade:

       

x n h n h n x n . (2.2) 2) Associatividade:

 

1

 

2

 

   

1 2

 

x n _h n h n _{ }  x n h n _h n . (2.3) 3) Distributividade:

 

1

 

2

 

     

1 2

 

x n _h n h n _ x n h n x n h n . (2.4)

Destas propriedades consegue deduzir-se que a resposta impulsional de dois SLITs em série é dada pela convolução das respostas impulsionais de cada um dos SLITs. Da mesma forma se pode demonstrar que a resposta de dois SLITs em paralelo é a soma das respostas impulsionais de cada um. Este resultado encontra-se esquematizado na Figura 2.3.

Figura 2.3. Respostas impulsionais de: (a) SLITs em série; (b) SLITs em paralelo.

    1 2 h n h n   1 h n h n₂    a     1 2 h n h n   1 h n   2 h n   b

 

a

 

b

(41)

41

Note-se ainda que, a função impulso unitário exibe uma propriedade interessante face á convolução,

  

0





0



x n  n n x n n . (2.5)

a) Para resolver este problema, considerando uma soma de impulsos unitários, é necessário escrever o sinal de entrada, bem como a resposta impulsional, na forma

 

  

1

 

2

 

3



x n  n  n  n  n , (2.6)

 

  

1

 

2



h n  n  n  n . (2.7)

Torna-se então possível obter a convolução x n

   

h n através da aplicação das propriedades (2.2) – (2.5). Indicando a convolução

   

 



1





2



x n h n x n _ n  n  n _, (2.8) e aplicando (2.4) é possível escrever

   

      

1

   

2



x n h n x n  n x n  n x n  n . (2.9) Recorrendo a (2.5) ainda se pode obter

   

  

1

 

2



x n h n x n x n x n . (2.10)

Substituindo x n em (2.10), após alguma álgebra, obtem-se

 

2



1



3



2



3



3



2



4

 

5



y n  n   n   n   n   n  n . (2.11) A forma do sinal de saída encontra-se representada na Figura 2.7.

b) Para facilitar a compreensão desta resolução vão ser apresentados graficamente todos os passos. Atendendo aos passos acima descritos, que indicam a forma de calcular explicitamente uma soma de convolução, é necessário obter a reflexão em relação à origem da resposta impulsional z k

 

h

 

k do sistema. Em seguida, é necessário atrasar z k de

 

n unidades e multiplicá-lo por x k . Através da Figura 2.4 e Figura 2.5

 

(42)

42

verifica-se que h n



k



não se sobrepõe com x k para

 

n0 e n5. Assim,

  



x k h n k e consequentemente a resposta y n são nulos neste intervalo.

 

Figura 2.4. Representação de x k ,

 

h k ,

 

x k h n k

  





e h n k







para n 2.

Figura 2.5. Representação de x k h n k

  





e h n k







para n6.

Para o intervalo 0 n 5, onde x k h n k

  





não é nulo, o seu valor é representado na Figura 2.6.

(43)

(44)

44

Figura 2.6. Representação de x k h n k

  





e h n k







para 0 n 5.

Finalmente, para obter a resposta y n , é necessário, para cada instante

 

n, somar as contribuições dex k h n

  

k



, o que resulta na resposta representada na Figura 2.7.

(45)

45

(HSU 2.28) Considere o SLIT com resposta impulsional Problema 2.2.

 

n

 

h n  u n para 0  1 e o sinal de entrada x n

 

u n

 

. Determine a

resposta do sistema através de: (a) y n

 

x n

   

h n ; (b)

     

y n h n x n .

a) y n

 

 x n

   

h n

Considerando a definição da soma de convolução (2.1) primeiro é necessário obter a reflexão em relação à origem da resposta impulsional z k

 

h

 

k . Em seguida, é necessário deslocar z k de

 

n unidades e multiplicar ponto a ponto pela entrada x k .

 

Note-se que, tal como representado na Figura 2.8, quando se obtém h n



k



ocorrem duas situações possíveis para a multiplicação x k h n

  

k



: (i) Para n0 não existe sobreposição entre x k e

 

h n



k



; (ii) Para n0, x k e

 

h n



k



encontram-se sobrepostos entre 0 k n.