Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal

UNIVERSIDADE DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO

Modelos de Programação Linear na Gestão

Florestal

Dissertação de Mestrado em Matemática e Ciências da Natureza

- Carla da Conceição dos Santos Pereira -

Vila Real, 2010

Modelos de Programação Linear na Gestão

Florestal

 

De:

Carla da Conceição dos Santos Pereira

Orientadora:

Professora Doutora Ana Paula Aires Borges Teixeira                     Vila Real, 2010 

                                                                     

Este trabalho foi elaborado como dissertação para efeito de obtenção do grau de Mestre em Matemática e Ciências da Natureza, sendo apresentado na Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro.

 

   

     

                                                 

Aos meus pais. Aos meus irmãos.

Ao Paulo Rodrigues, meu marido.

Agradecimentos

 

A realização desta investigação frutificou devido ao contributo de inúmeras pessoas, sem as quais não teria sido possível a sua concretização, e às quais quero deixar uma palavra de profunda gratidão e apreço:

À Professora Doutora Ana Paula Teixeira pela orientação e rigor científicos, apoio, e incentivos demonstrados ao longo da elaboração deste estudo.

À minha amiga e cunhada, Dr.ª Patrícia Carvalho, pelo apoio na formatação do texto e incansável incentivo dado na recta final deste projecto de investigação.

A todos os meus amigos e amigas, avós, irmãos e pais que de uma forma indirecta contribuíram para o reforço do meu entusiasmo em concluir esta dissertação.

Ao meu marido, Paulo Rodrigues, pelo apoio e incentivo constante, pela ajuda na formatação dos gráficos e pela companhia nos momentos menos bons.

Resumo 

O objectivo principal do presente trabalho é a análise de Modelos de Programação Linear aplicados à Gestão de Florestas de Eucaliptos. Para abordar este tema foi necessário começar por estudar não só algumas noções de Engenharia Florestal e de Matemática Financeira/Economia, mas também os conceitos fundamentais de Análise Convexa e de Programação Linear, essenciais à compreensão dos modelos matemáticos a explorar. De seguida, analisaram-se quatro modelos de Programação Linear que pretendem representar o problema genérico da Gestão Florestal.

A escolha da análise de modelos de Programação Linear aplicados à Gestão Florestal como tema a desenvolver nesta dissertação deveu-se ao facto de, por um lado, se pretender desenvolver um trabalho que envolvesse as áreas da Matemática e das Ciências da Natureza e, por outro, de as florestas serem a base de sustentação da indústria de madeira e terem um papel preponderante na economia Mundial. A preferência pela Floresta de Eucaliptos deu-se em virtude desta espécie ser uma das árvores mais cultivadas, devido ao seu rápido desenvolvimento e capacidade de adaptação, e por permitir cortes sucessivos para o aproveitamento da madeira e matéria-prima para diversos fins.

Palavras-chave: Programação Linear, Gestão Florestal, modelos matemáticos.

Abstract 

This work aims at analyzing Linear Programming models applied to Eucalyptus Forest Management. To address this issue, we had to begin studying not only some notions of Forestry and Financial Mathematics / Economics, but also the fundamental concepts of Convex Analysis and Linear Programming, necessary for understanding the mathematical models we intended to explore. Next, we analyzed four Linear Programming models that aim to represent the general problem of forest management. The analysis of Linear Programming models applied to forest management as a theme to develop in this dissertation was a choice made not only due to the fact that this was a theme that involved both the area of mathematics and the area of natural sciences, but also because forests are the base for timber industry and have a preponderant role in the worldwide economy. The preference for Eucalyptus Forest occurred because this species is one of the most planted trees, due to their rapid development and adaptability, and it allows successive cuts providing wood and raw material for various purposes. Keywords: Linear Programming, Forest Management, mathematical models 

 

Índice 

  Agradecimentos ... iv  Resumo... v  Abstract ... vi  Notação ...ix   Introdução... 1   CAPÍTULO 1 ... 4  Noções de Análise Convexa ... 4  1.1 Conjuntos Convexos ... 4  1.2 Cones Convexos... 11  1.3 Funções Convexas... 13   CAPÍTULO 2 ... 18  Programação Linear ... 18 

2.1 Problemas de Programação Linear... 18 

2.2 Teoria da Dualidade ... 26

  CAPÍTULO 3 ... 36 

Aplicações da Programação Linear à Gestão Florestal ... 36 

3.1  Noções Preliminares... 36 

3.2 Modelos de Programação Linear na Gestão Florestal... 41

  Conclusão ... 55   Referências Bibliográficas ... 57   

 

          vii 

Índice de Imagens 

  Figura 1... 6  Figura 2... 6  Figura 3... 6  Figura 4... 6  Figura 5... 8  Figura 6... 12  Figura 7... 12  Figura 8... 15  Figura 9... 15  Figura 10... 15  Figura 11... 16  Figura 12... 16  Figura 13... 16 

Figura 14 ‐ Região admissível do problema (P1). ... 1 

Figura 15 ‐ Região admissível do problema (P1) com as rectas de nível Z1 =0e Z1 =1... 23 

Figura 16 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (P2). ... 24 

Figura 17 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (P3)... 24 

Figura 18 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (P4)... 25 

Figura 19 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (P5)... 26 

Figura 20 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (D7)... 33 

 

 

 

 

 

 

Notação 

IR conjunto dos números reais

+

IR conjunto dos números reais positivos

+ 0

IR conjunto dos números reais não negativos

n

IR espaço real dos vectores -dimensionais reais n

int

( )

S interior do conjunto S

fr

( )

S fronteira do conjunto S S fecho do conjunto S

cone

( )

S envolvente cónica do conjunto S

c

S complementar do conjunto S

( )

a,ε

B bola aberta centrada em e de raio a ε

n m

M , espaço das matrizes com m linhas e n colunas

ij

a entrada da linha ie da coluna j da matriz A=

[ ]

a_ij

T

A transposta da matriz A

(

S_i :i∈I

)

família dos conjuntos , sendo I o conjunto de índices S_i

min mínimo/minimizar max máximo/maximizar

PL Programação Linear

(P) problema de PL de maximização na forma matricial (D) dual do problema (P)

x* solução óptima do problema (P)/maximizante

Z* valor óptimo do problema (P)

u* solução óptima do problema (D)

W* valor óptimo do problema (D)

P

F conjunto das soluções admissíveis do problema (P)

D

F conjunto das soluções admissíveis do problema (D)

*

P

F conjunto das soluções óptimas do problema (P)

*

D

F conjunto das soluções óptimas do problema (D)

epi

( )

f epigráfico da função f

( )

f

L=_α conjunto de nível αda função f

( )

f

L≤_α conjunto de nível inferior a αda função f

( )

f

L≥_α conjunto de nível superior a αda função f

(

p,α

)

H hiperplano definido pelo vector p e pelo escalar α

(

p,α

H≥

)

  semi-espaço fechado superior definido pelo hiperplano

(

p,α

)

H

(

p,α

H≤

)

semi-espaço fechado inferior definido pelo hiperplano

(

p,α

)

H L  função Lagrangeana 2 . norma euclideana em _IR n   0

V   capital inicial/valor presente

nt

V valor futuro

i  taxa de juro anual em decimal VET Valor Esperado da Terra

VET* VET do ciclo economicamente óptimo RLT Receita Líquida Total

MGFGI Modelo de Gestão Florestal Genérico do Tipo I MGFGII Modelo de Gestão Florestal Genérico do Tipo II

Introdução  

Esta dissertação foi realizada no âmbito do Mestrado em Matemática e Ciências da Natureza e versa a aplicação de modelos de Programação Linear à Gestão de Florestas. A escolha deste tema foi consequência deste curso ter duas vertentes principais, a de Matemática e a de Ciências da Natureza; e de se pretender desenvolver um trabalho que envolvesse estas duas áreas do conhecimento. Assim, vão ser estudados quatro modelos de Programação Linear aplicados à Gestão Florestal, mais propriamente ao caso da Floresta de Eucaliptos.

O tema da Gestão Florestal suscitou interesse em virtude das florestas serem a base de sustentação da indústria de madeira e terem um papel preponderante na economia mundial. Os países do Mundo com maior área florestal são o Brasil, o Canadá, a Rússia, os Estados Unidos, o Congo, a China e a Indonésia. Sabendo que o Brasil é considerado o “pulmão” do Mundo e tendo em conta a ligação histórica que Portugal tem com este país, pensou-se que a análise da Gestão Florestal levada a cabo neste país poderia ser uma boa escolha para dar início ao estudo do tema. Por outro lado, a particularização deste estudo à Floresta de Eucalipto deveu-se ao facto de esta estar presente nos cinco continentes e, em particular, em todos os estados Brasileiros [3,8].

O eucalipto foi descoberto na Austrália e a disseminação das suas sementes no Mundo começou no século XIX, tendo proliferado no Brasil no início do século XX, devido ao aumento da população e à procura de madeira. Esta espécie desenvolve-se com muita rapidez, possui uma grande capacidade de adaptação, permite cortes sucessivos para o aproveitamento da madeira, para além de fornecer matéria-prima para diversos fins, sendo, por isso, uma das árvores mais cultivadas. O eucalipto pode ter como finalidades: a produção de celulose, papel, postes, energia, aglomerados, carvão vegetal, derivados para a indústria da madeira, óleos; entre outros. Além disso, as suas folhas libertam essências que perfumam a natureza para além de serem constituintes de medicamentos, produtos de higiene e perfumes [3].

Dada a importância da indústria na sociedade actual, não é surpreendente que sejam investidas grandes quantias de dinheiro na gestão florestal. Como tal, a aplicação de critérios de análise económica a esta área é fundamental para se decidir qual a melhor alternativa de gestão a ser adoptada. A utilização de simulações baseadas nos critérios técnico-económicos permite, assim, tomar decisões com maior segurança [16].

A Investigação Operacional é um ramo da Matemática Aplicada que tem por objectivo o desenvolvimento de um conjunto de métodos/algoritmos e modelos matemáticos que podem ser aplicados à resolução de problemas existentes na indústria e na economia, entre outros. A Programação Linear, PL, é um dos ramos mais desenvolvidos e utilizados da Investigação Operacional. O termo "programação" significa planeamento e resolução de actividades, enquanto o "linear" traduz o facto do modelo matemático envolver apenas funções/condições lineares.

Embora a PL tivesse origem em 1826, nos estudos de Fourier sobre sistemas de inequações lineares, apenas em 1939 Kantarovich mostra a importância prática destes problemas quando desenvolve um algoritmo para os solucionar. O seu auge deu-se na década de 1940, durante a 2ª Guerra Mundial, quando George Dantzig desenvolveu o Algoritmo Simplex para resolver problemas de optimização formulados a partir de questões logísticas da Força Aérea dos E.U.A.. As inovações tecnológicas da última metade de século XX fomentaram a eficiência dos algoritmos de PL na resolução de uma grande variedade de problemas envolvendo questões de decisão em vários domínios, nomeadamente: planeamento da distribuição e produção, planeamento a curto prazo em aproveitamentos hidroeléctricos, decisões ligadas às políticas micro e macroeconómicas, entre outros [7].

A PL tem sido aplicada à resolução de problemas de Exploração e Gestão Florestal desde o início da década de 1960, pois permite a construção de modelos que representam total ou parcialmente os problemas reais desta área [5,11,13].

Dado que a formação de base dos candidatos a este curso de mestrado não contempla conceitos de PL nem conhecimentos suficientes de Análise Convexa e que ambos os temas não foram abordados na parte curricular do referido curso, houve a necessidade de proceder ao seu estudo no decorrer deste trabalho de investigação. Assim, esta dissertação é composta por três capítulos, cujo conteúdo se passa a descrever.

No primeiro capítulo, abordam-se algumas noções de Análise Convexa, nomeadamente as relativas a Conjuntos Convexos, Cones Convexos e Funções Convexas, essenciais ao desenvolvimento do restante trabalho. Demonstram-se, ainda, resultados relacionados com estes conceitos e que se consideram importantes.

No segundo capítulo introduz-se o problema de PL, constrói-se o seu dual e apresentam-se alguns dos principais conceitos e resultados relativos à PL e à Teoria da Dualidade, necessários ao estudo dos modelos de PL aplicados à Gestão de Florestas. Tal como no Capítulo 1, também se provam os resultados apresentados.

No terceiro capítulo descrevem-se quatro modelos de PL aplicados à Gestão Florestal. Apresentam-se, ainda, alguns conceitos e nomenclaturas referentes às áreas de Engenharia Florestal e de Matemática Financeira/Economia, indispensáveis à compreensão dos modelos estudados.

CAPÍTULO 1 

Noções de Análise Convexa 

Neste capítulo, apresentam-se alguns conceitos de Análise Convexa fundamentais no estudo da Programação Linear, PL.

1.1 Conjuntos Convexos

Comece-se por lembrar alguns conceitos de Álgebra Linear.

Definição 1 Um elemento diz-se uma combinação linear dos elementos se existirem n IR x∈ ,...,k i , IR x n

i ∈ =1 λi∈IR,i=1,...,k _{tais que}

∑

= = k i i ix λ x 1 .

Adicionando restrições aos coeficientes λ_i obtêm-se dois casos particulares de combinações lineares.

Definição 2

(i) Um elemento _{diz-se uma combinação linear afim dos elementos} se existirem , tais que

n IR x∈ ,...,k i , IR x n i ∈ =1 λi ∈IR ,i=1,...,k . 1 com , 1 1

∑

∑

= = = = k i k i i i ix λ λ x

(ii) Um elemento _{diz-se uma combinação linear convexa dos elementos} se existirem , tais que

n IR x∈ ,...,k i , IR x n i ∈ =1 λi∈IR0+,i=1,...,k . 1 com

∑

∑

= = k λx, k λ x

Associadas às noções de combinação linear afim (convexa) surgem as noções de conjunto afim (convexo).

Definição 3

(i) Um conjunto _{S ⊆ R}ndiz-se afim se, para todo o _x,y∈S

e para todo o

(

)

y S x IR + − ∈ ∈ λ λ λ , 1 .

(ii) Um conjunto _{S ⊆ R}ndiz-se convexo se, para todo o _{x,y∈Se para todo o}

[ ]

x+

(

−

)

y ∈ S

∈ λ λ

λ 0,1, 1 .

Das definições anteriores é imediato concluir que qualquer conjunto afim é um conjunto convexo.

O resultado seguinte permite caracterizar um conjunto convexo (afim) através do conjunto de todas as combinações lineares convexas (afins) dos seus elementos.

Teorema 1 Um conjunto é convexo (afim) se, e só se, contiver todas as combinações lineares convexas (afins) dos seus elementos.

n

R S ⊆

Demonstração. Se contém todas as combinações lineares convexas (afins) dos seus elementos então também contém as combinações lineares convexas (afins) de quaisquer dois dos seus elementos, logo é convexo (afim).

S

S

O recíproco será demonstrado por indução matemática. No caso de considerar apenas um elemento é imediato. Suponha-se agora que qualquer combinação linear convexa de

k quaisquer elementos de S ainda é um elemento de S. Mostra-se de seguida que

qualquer combinação linear convexa de k+1 elementos arbitrários de S ainda pertence a

S. Considere-se

∑

+ = = 1 1 k i i i x x λ , com x_i∈ , 0S λ_i ≥ , i=1 ,...,k+1 e 1 1. 1 =

∑

+ = k i i λ

Como n>1, pelo menos um dos λ_i <1. Suponha-se que λk+1 <1. Então, pode escrever-se 1 1 + + + = y _k x_k x λ λ , (1) 5  Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 

com λy=

∑

k_i=1λ_ix_i e λ=

∑

_ik₌₁λ_i =1−λ_k+1 >0. Como λ>0 obtém-se

∑

= = k i i i _x y 1 λ λ . Dado que >0 λ λ_i ,  i=1,...,k, e 1 1 =

∑

= k i i λ λ

, conclui-se que é combinação linear convexa de k elementos de e, portanto,

y

S y∈S. Considerando que λ =1−λ_k+1 e (1), pode escrever-se

(

1− +1

)

+ +1 +1

= _k y _k x_k

x λ λ .

Como y,x_k+1∈S, 1−λ_k+1 >0, λ_k+1 >0,

(

1−λ_k+1

)

+λ_k+1 =1 e  é convexo, vem que .

S S

x∈

Logo se é convexo então contém todas as combinações convexas dos seus elementos.

S S

Observe-se que para o caso afim a demonstração é semelhante à apresentada e, como tal, é omitida. ■ As Figuras 1, 2, 3 e 4 fornecem exemplos de conjuntos convexos e não convexos em

2

IR .

 

As regiões das Figuras 1 e 2 representam conjuntos convexos enquanto as das Figuras 3 e 4 representam conjuntos não convexos E, F (G, H) pertencem à região da Figura 3 (4) mas a combinação linear convexa destes pontos não se encontra contida na região correspondente.

Seguem-se outros exemplos de conjuntos convexos.

Definição 4 Sejam α∈IR e p∈IRn \

{ }

0 . O hiperplano definido pelo vector p e pelo escalar α é o seguinte subconjunto de _IR n

{

x IR : p x α

}

p

H( ,α)= ∈ n T = .

Definição 5 Sejam α∈IR e p∈IRn\

{ }

0 . O hiperplano H(p, α) define, em IR , os n semi-espaços fechados

(

p

)

{

x IR : p x α

}

H≥ _,α = ∈ n T ≥ _{e H}≤

(

_p,α

)

₌

{

_x∈IRn _{: p}T_x≤α

}

_.

Definição 6 Sejamx₀∈IRn e d∈IRn\

{ }

0 . Um raio é um conjunto de elementos da forma

{

x₀ + λd:λ≥0

}

, onde d se designa por direcção do raio e x₀ por vértice do raio.

Define-se de seguida direcção de um conjunto convexo.

Definição 7 Seja um conjunto convexo. Um vector diz-se direcção de S se para todo o

n IR S ⊆ d_∈IRn\

{ }

0

{

x λd

}

S S x₀∈ ,oraio ₀ + :λ≥0 ∈ .

Introduzem-se agora as noções de ponto, direcção e raio extremos de um conjunto convexo.

Definição 8 Seja um conjunto convexo. Um elemento de diz-se ponto extremo de S se não puder ser escrito como combinação linear convexa de dois elementos distintos de S, , tais que

n IR S ⊆ x∈S 2 1, x x x≠ e x₁ x≠x₂. 7  Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 

Definição 9 Seja um conjunto convexo. Uma direcção de S diz-se direcção extrema se não for possível escrevê-la como

n IR S ⊆ 2 2 1 1d λ d λ + , com

direcções de S tais que não é um múltiplo positivo de .

2 1 2 1,λ IR e d ,d λ ∈ + 1 d d₂

Definição 10 Seja um conjunto convexo. Um raio em S diz-se um raio extremo se a sua direcção for uma direcção extrema.

n

IR S ⊆

Seguem-se alguns exemplos que têm por objectivo clarificar os conceitos anteriores. Na Figura 1, todos os pontos da circunferência são pontos extremos do conjunto, enquanto na Figura 2, os pontos extremos do conjunto são apenas A, B, C e D.

Considere-se agora a região da Figura 5. Neste caso, I, J e K são os pontos extremos. Os vectores e são as direcções extremas e qualquer outra direcção, que não seja múltiplo de e , pode representar-se como

1 d d₂ 1 d d₂ λ₁d₁ +λ₂d₂, com λ₁,λ₂ >0.   Figura 5 

Apresentam-se de seguida alguns resultados relativos a conjuntos convexos. Mas antes apresentam-se algumas noções topológicas gerais.

Definição 11

(i) Sejam n e

IR

a∈ ε >0. Chama-se bola aberta centrada em de raio a εao conjunto B

( )

a,ε =

{

x∈IRn : x−a ₂ <ε

}

_.

(ii) Um elemento _{a∈S ⊆IR}ndiz-se ponto interior de _Sse existe _{ε >0 tal que}

( )

a S

B ,ε ⊆ . O conjunto de todos os pontos interiores de designa-se por interior de e denota-se por .

S S int

( )

S

(iii) O conjunto _{S ⊆IR}n diz-se aberto se _{S int=}

( )

_{S .}

(iv) Seja . Um conjunto diz-se vizinhança de se existe um conjunto aberto U tal que e .

n

IR

a∈ _{V ⊆IR}n _a

U

a∈ U ⊆V

(v) Um elemento diz-se ponto aderente de se toda a vizinhança de contém, pelo menos, um ponto de , isto é, se qualquer que seja o

n

IR

a∈ _{S ⊆IR}n

a S ε >0

( )

a, ∩ S ≠0/

B ε . Ao conjunto de todos os pontos aderentes de chama-se fecho de e representa-se por

S

S S .

(vi) O conjunto _{S⊆ IR}ndiz-se fechado se

S S = .

(vii) Um elemento diz-se um ponto fronteiro de se não for ponto interior de nem ponto interior do complementar de , isto é, se para todo o

n IR a∈ _{S ⊆ IR}n S S 0 > ε B

( )

a,ε ∩ S ≠0/ e _B

( )

_a,_ε ∩_Sc ≠0/_{, onde é o complementar de . O} conjunto de todos os pontos fronteiros de diz-se fronteira de e denota-se

por . c S S S S

( )

S fr

Pode verificar-se facilmente que uma outra forma de obter o fecho de é S

( )

S

( )

S S =int ∪fr .

Definição 12

(i) O conjunto _{S ⊆IR}n diz-se limitado se existir uma bola aberta de _{IR que} n

contém . S

(ii) O conjunto _{S⊆ IR}n é compacto se, e só se, for limitado e fechado.

O resultado seguinte mostra que quando se intersectam conjuntos convexos o conjunto resultante mantém a propriedade original.

Teorema 2 A intersecção finita de conjuntos convexos (fechados) em IR é ainda n um conjunto convexo (fechado).

Demonstração. Seja I um conjunto de índices e

(

S_i :i∈I

)

uma família de conjuntos convexos em _{IR . Considerem-se} n _x,y

(

_{S i I}

)

i ∈

∩

∈ : . Então, x,y∈ , para cada S_i . Como cada um destes conjuntos é convexo, qualquer combinação linear convexa de x e

y pertence a , para cada . Assim sendo, pertence a

I i∈ i S i∈I ∩

(

S_i :i∈I

)

. Logo, é convexo.

(

S_i i∈I ∩ :

)

Como a intersecção de conjuntos fechados é ainda um conjunto fechado, no caso de cada S_i ,i∈I ser fechado a sua intersecção também é um conjunto fechado. ■

Definição 13 A intersecção finita de semi-espaços fechados em IR designa-se por n conjunto poliédrico.

O Teorema 2 permite concluir que um conjunto poliédrico é um conjunto convexo fechado. As regiões representadas nas Figuras 2 e 5 são exemplos de conjuntos poliédricos.

Definição 14 Um conjunto é um politopo se for um conjunto poliédrico limitado.

n

IR S ⊆

Definição 15 Seja S ⊆ IRn.Designa-se por envolvente convexa de S a intersecção de todos os conjuntos convexos que contêm S.

Como exemplo, pode observar-se que a região representada na Figura 2 não só é um politopo, mas também é a envolvente convexa da região apresentada na Figura 4.

Krein e Milman [23] mostraram que todo o subconjunto de _{IR convexo e compacto é a} n

envolvente convexa dos seus pontos extremos. Tendo em consideração este resultado, o próximo teorema obtém-se de forma imediata.

Teorema 3 Seja um politopo. Então S é a envolvente convexa dos seus pontos extremos.

n

IR S ⊆

Demonstração. Como por hipótese é um politopo, S é um conjunto compacto em

n

IR S ⊆

n

IR . Então, pelo Teorema de Krein-Milman, S é a envolvente convexa dos seus

pontos extremos. ■

1.2 Cones Convexos

 

Nesta secção estuda-se um novo tipo de conjunto, bem como algumas das suas propriedades.

Tal como na Secção 1.1, começa-se por apresentar uma outra combinação linear.

Definição 16 Um elemento x∈IRné combinação linear cónica dos elementos

∑

= + _{= =} ∈ = ∈ n _{i i}k _{i i} i IR , i ,..,k λ IR ,i ,..,k x λx

x 1 seexistirem ₀ 1 taisque ₁ .

Definição 17 Um conjunto diz-se um cone se para todo o e para todo

o , . n IR S ⊆ x∈S + ∈IR0 λ λx∈S

Definição 18 Um conjunto S ⊆IRn é um cone convexo se for cone e for convexo.

Teorema 4 Um conjunto é um cone convexo se, e só se, contiver todas as combinações lineares cónicas dos seus elementos.

n

IR S ⊆

Demonstração. Seja Sum cone convexo. Considerem-se agora x₁ ,x₂∈S e λ ,μ≥0 arbitrários.

Se λ+μ =0, então λ =μ =0 e λx₁+μx₂ =0x₁ +0x₂ =0∈S.

Se λ+μ >0, então, como é convexo, S S x x ∈ + + + 1 _{λ μ} 2 μ μ λ λ . Como é cone, S

(

)

x x S x x _⎟⎟∈ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + = + _{2 1 2} 1 _{λ μ} μ μ λ λ μ λ μ λ .

Assim, qualquer combinação linear cónica dos elementos de S pertence-lhe.

Reciprocamente, considerem-se x₁ ,x₂∈ e S λ ,μ≥0, com λ+μ=1, arbitrários. Então, dado que por hipótese contém todas as combinações lineares cónicas dos seus elementos,

S S x x₁ +μ ₂ ∈

λ . Como tal, é convexo. Além disso, por hipótese, S S

x x

x₁ =λ ₁ +0 ₁∈

λ . Portanto é cone. S ■

Apresenta-se agora a noção correspondente às envolventes afim e convexa para cones. Definição 19 Chama-se envolvente cónica de , e representa-se por cone , à intersecção de todos os cones convexos que contêm .

n

IR S ⊆

( )

S S

De seguida apresentam-se dois exemplos de cones em _{IR , um convexo, Figura 6, e} 2

outro não convexo, Figura 7.

      Figura 6   Figura 7

Tal como acontece com os conjuntos afins e convexos, a propriedade de ser cone (cone convexo) permanece invariante sob a intersecção.

Teorema 5 A intersecção finita de cones (convexos) em IRn é ainda um cone (convexo) em _{IR .} n

Demonstração. Seja I um conjunto de índices e

(

S_i :i∈I

)

uma família de cones em

n

IR . Considere-se x∈∩ .

(

S_i :i∈I

)

Então, x∈ , para cada S_i i∈ . Como cada um I

destes conjuntos é um cone, λx∈S_i, para todo o λ≥ 0, i∈I . Logo, para todo o

(

S i I

)

λx∈∩ , _i : ∈

I i

λ≥ 0, ∈ e, como tal, ∩

(

Si :i∈I

)

é cone.

Se for uma família de conjuntos convexos então, pelo Teorema 2,

também é convexo. ■

(

S_i :i∈I

)

)

(

S_i i∈I

∩ :

Introduz-se, agora, a noção de cone poliédrico.

Definição 20 Um conjunto em IR diz-se cone poliédrico convexo se resulta da n intersecção finita dos semi-espaços H (p, ), com p IRn\

{ }

, i , ,m

i

i0 ∈ 0 =1L

≤ _.

Observe-se que o cone da Figura 6 é um cone poliédrico convexo em _IR2_.

1.3 Funções Convexas

A classe das funções convexas é importante na Programação Linear, dado que engloba as funções lineares. Nesta secção são apresentados alguns conceitos sobre esta classe de funções.

Definição 21 Seja S ⊆ IRn. O epigráfico de f:S→IR é um subconjunto de 1 + n IR definido por

{

( , ) : ( )

}

. ) (f = x α ∈S×IR f x ≤α epi 13  Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 

Definição 22 Sejam S ⊆ IRn, f:S →IRe α∈IR. Chama-se: (i) conjunto de nível αda função f em S ao conjunto definido por

( )

{

:

( )

α

}

.

α= f = x∈S f x =

L

(ii) conjunto de nível inferior a αda função f em S ao conjunto definido por

( )

{

:

( )

α

}

.

α = ∈ ≤

≤ _{f x S f x}

L

(iii) conjunto de nível superior a αda função f em S ao conjunto definido por

( )

{

:

( )

α

}

.

α = ∈ ≥

≥ _{f x S f x}

L

Definição 23 Seja S ⊆IRn convexo. Uma função f:S → IRdiz-se: (i) convexa em S se para todo o x₁ ,x₂∈Se para todo o λ∈[0,1]

(

)

(

x1 1 x2

)

f

( ) (

x1 1

) ( )

f x2

f λ + −λ ≤λ + −λ .

(ii) estritamente convexa em S se para todo o x₁,x₂ ∈S, x₁ ≠ x₂, e para todo o

] [

0,1

λ∈

(

)

(

x1 1 x2

)

f

( ) (

x1 1

) ( )

f x2

f λ + −λ <λ + −λ .

A partir da definição anterior é possível definir função côncava (estritamente côncava). Definição 24 Seja convexo. Uma função diz-se côncava (estritamente côncava) em S se -f for convexa (estritamente convexa) em S.

n

IR

S⊆ f:S → IR

Os exemplos que se seguem clarificam os conceitos anteriores. 

Exemplo 1 Considerem-se as funções f, g, h: IR→IR _{tais que f}

( )

_{x =x}2_{, e}

, cujas representações gráficas se apresentam nas Figuras 8, 9 e 10, respectivamente.

( )

_{x x}2

g =−

( )

_{x x}3

  Figura 8   Figura 9   Figura 10

A função f, Figura 8, é estritamente convexa enquanto a função g, Figura 9, é estritamente côncava. Finalmente, a função h, Figura 10, não é côncava nem convexa.

Há um tipo de funções, designadas por funções afins, que satisfazem simultaneamente as condições de concavidade e convexidade.

Definição 25 Dados , a função _{tal que}

designa-se por função afim.

IR b IR

a_∈ n _{e ∈ f:IR}n _{→IR f(x)=a}T_x+b

Se na definição anterior a=0, então f diz-se uma função constante. No caso de b=0, f designa-se por função linear. Assim sendo, a classe das funções afins é a classe das funções que se podem exprimir como a soma de uma função linear com uma função constante.

Os conjuntos de nível inferior a αduma função convexa são convexos.

Teorema 6 Seja convexo. Se é convexa, então é um conjunto convexo para todo o

n IR S ⊆ f :S → IR L≤_α

( )

f IR ∈ α .

Demonstração. Sejam x₁, x₂ dois elementos arbitrários de L_α≤

( )

f . Então . Como, por hipótese, é convexo

S x x₁, ₂ ∈

S λx₁+

(

1−λ

)

x₂ ∈ S, com λ∈

[ ]

0,1 . Assim, como é

convexa e , f

( )

f L x x₁, ₂ ∈ _α≤

(

)

(

x1 1 x2

)

f

( ) (

x1 1

) ( )

f x2 f λ + −λ ≤λ + −λ 15  Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 

(

λ

)

α α λ + − ≤ 1 α = .

Logo, λx₁+

(

1−λ

)

x₂ ∈ L_α≤

(

f

)

e, como tal, L≤_α

( )

f  é convexo. ■ Do Teorema 6 e da definição de função côncava pode concluir-se, de forma análoga, que os conjuntos de nível superior a αduma função côncava também são convexos. Note-se que o recíproco do Teorema 6 não é verdadeiro, isto é, não é suficiente mostrar que todos os conjuntos de nível inferior de uma função são convexos, para se poder concluir que é convexa. Basta tomar como contra-exemplo a função

definida por , Figura 10.

f

f h:IR→IR

( )

_{x x}3

h =

Considere-se novamente as funções f, g, h do Exemplo 1. As Figuras 11, 12 e 13 ilustram os epigráficos dessas funções.

    Figura 11     Figura 12     Figura 13

Os epigráficos das funções g e h, Figuras 12 e 13, respectivamente, não são convexos enquanto o epigráfico da função f, Figura 11, é convexo. Assim, a noção de epigráfico de uma função é muito importante, na medida em que, através deste conceito podem tirar-se conclusões acerca da convexidade dessa função.

Teorema 7 Seja convexo. Então, é convexa em se, e só se, o seu epigráfico for um conjunto convexo.

n

IR

S ⊆ f :S→ IR S

Demonstração. Suponha-se que f é convexa em . Considerem-se agora S λ∈

[

0,1

]

e

de epi( f), x₁,x₂∈S. Como, por hipótese, é convexo, f é convexa em S e S

(

x₁,α₁

)

,

(

x₂,α₂

)

∈ epi

(

f

)

, vem

(

)

(

λx1+ 1−λ x2

)

≤ λ f

( ) (

x1 + 1−λ

) ( )

f x2 ≤ λα1+

(

1−λ

)

α2 f . Ou seja,

(

)

(

)

(

λx₁+ 1−λ x₂, λα₁ + 1−λα₂

)

∈ epi

( )

f ,  isto é,

(

x₁,α₁

) ( )(

+ 1-λ x₂,α₂

)

∈ epi

( )

f λ . 

Logo, epi

( )

f é convexo.

Reciprocamente, suponha-se agora que epi

( )

f é convexo. Sejam elementos arbitrários de . Então ,

2 1, x

x

S

(

x₁,f

( )

x₁

)

(

x₂,f

( )

x₂

)

∈ epi

( )

f . Como, por hipótese, é convexo,

( )

f epi

(

)

( ) (

) ( )

(

λx₁+ 1−λ x₂, λ f x₁ + 1−λ f x₂

)

∈ epi

( )

f , com λ∈

[ ]

0,1 . Isto é,

(

)

(

x1 1 x2

)

f

( ) (

x1 1

) ( )

f x2 f λ + −λ ≤λ + −λ  

e, como tal, f é convexa. ■

     

Referências:  Neste  capítulo  utilizou‐se  como  material  de  consulta  fundamental  [1],  [2],  [7], 

[12], [14], [21] e [23]. 

CAPÍTULO 2   

Programação Linear 

A Programação Matemática, PM, e em particular a Programação Linear, PL, constitui um dos ramos mais desenvolvidos e mais utilizados da Investigação Operacional. O seu objecto pode ser qualquer actividade humana em que se pretenda satisfazer da melhor forma um determinado objectivo, tendo em consideração as limitações que existem no funcionamento dessa actividade.

Neste capítulo serão abordados alguns dos principais conceitos e resultados relativos à PL , necessários à abordagem ao tema da Gestão Florestal efectuada no Capítulo 3.

2.1 Problemas de Programação Linear

Tem-se um problema de PL quando se pretende optimizar (maximizar/minimizar) uma função linear sujeita a um conjunto de restrições lineares e às restrições de não negatividade das variáveis. Assim, qualquer problema de PL com n variáveis e m restrições pode ser formulado do seguinte modo:

, ,..., 1 , 0 ,..., 1 , . max 1 1 n j x m i b x a a s x c Z j i j n j ij j n j j = ≥ = ≤ =

∑

∑

= = (Pm) 

onde se designam aij,bi,cj∈IR, i=1,L,m, j=1,L,n por coeficientes técnicos,

termos independentes e coeficientes da função objectivo, respectivamente,

por variáveis de decisão,

,n , j , x_j =1L =

∑

n₌ j cjxj

Z ₁ por função objectivo, por restrições funcionais e

,m , i , b x a _i n j 1 ij j ≤ =1L

∑

= xj ≥0, j=1,L,n por condições

de não negatividade. A esta formulação dá-se o nome de forma típica de um problema

Analogamente, a forma típica de um problema de minimização é: . ,..., 1 , 0 ,..., 1 , . min 1 1 n j x m i b x a a s x c Z j i j n j ij j n j j = ≥ = ≥ =

∑

∑

= =     Observe-se que:

- Qualquer problema de minimização pode converter-se num problema de maximização, dado que

mínimo Z = - máximo (-Z).

- Qualquer restrição de desigualdade do tipo maior ou igual pode ser convertida numa restrição do tipo menor ou igual. Para tal, basta multiplicar ambos os membros da desigualdade por (-1), isto é,

. ) ( 1 1 j i n j ij i j n j ij b x a b x a ≥ ⇔

∑

− ≤−

∑

= =

- Qualquer restrição de igualdade pode ser sempre convertida em duas restrições de desigualdade que conjuntamente são equivalentes àquela, ou seja,

. 1 1 1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≥ ∧ ≤ ⇔ =

∑

∑

∑

= = = j i n j ij i j n j ij i j n j ijx b a x b a x b a

- Uma variável livre (sem restrição de sinal) pode ser sempre substituída pela diferença de variáveis não negativas, obtendo-se um novo problema, em termos das novas variáveis, equivalente ao anterior.

Tendo em consideração as observações anteriores, pode concluir-se que qualquer problema de PL pode escrever-se na forma (Pm). Assim, esta será a forma adoptada no

decorrer desta dissertação.

O problema (Pm) pode ser escrito, na forma matricial, do seguinte modo: (P) _max Z ₌cTx 0, . ≥ ≤ x b Ax a s

[

]

, com _{1 2} T n n IR c c c c= _K ∈

[

_{1 2}

]

T n, n IR x x x x= _K ∈

[

]

T m m IR b b b b= _{1 2K} ∈ e . ) ( ] [a M _, IR A= _ij ∈ _mn

Apresentam-se, de seguida, algumas definições e resultados relativos ao conjunto das soluções admissíveis do problema (P).

Represente-se por F =

{

x∈IRn :Ax≤b,x≥0

}

P o conjunto das soluções admissíveis do

problema (P). Então, (P) diz-se impossível se FP =∅ e ilimitado no caso de ter

soluções admissíveis com o valor da função objectivo tão grande quanto se queira. O conjunto constituído pelas soluções admissíveis do problema (P) que optimizam a sua função objectivo designa-se por conjunto de soluções óptimas do problema (P) e denota-se por . Ao valor que a função objectivo de (P) assume para uma sua solução óptima chama-se valor óptimo de (P). Representa-se uma solução óptima de (P) por e o respectivo valor óptimo por .

* P F * x * * _{c x} Z ₌ T

Teorema 8 O conjunto F_P é poliédrico.

Demonstração. Imediato a partir das Definições 5 e 13. ■

Teorema 9 Sejam um politopo e f uma função linear definida em S. Então, f atinge o óptimo num ponto extremo de S. No caso de f atingir o óptimo em mais de um ponto extremo, o valor de f também será óptimo para qualquer combinação linear convexa destes pontos extremos.

n

IR S ⊆

Demonstração. Apenas se demonstrará este resultado para o caso da maximização, dado que para a minimização a demonstração é semelhante.

Como S é um politopo, o número dos seus pontos extremos é finito. Sejam, então, os pontos extremos de S e x* um maximizante de f em S.

,k , , i x_i =1_L

Se para algum , então f atinge o máximo num ponto extremo de S. Caso contrário, i x x*= i=1,_L,k 1 e , , 1 , 0 com , * 1 1 = = ≥ =

∑

∑

= = k i i k i i i ix i k x λ λ _L λ .

Seja . Como f é linear e

{ }

{

f(x ) f _i k i m , , 1 max K ∈ =

}

∑

k₌₁ =1 i λi , obtém-se

∑

∑

= = = = = ≤ = k i k i m i m k i m i i if x f f f x f 1 1 1 ) ( *) ( λ λ

∑

λ . (2)

Mas, dado que por hipótese x* é maximizante de f em S, vem . O que, conjuntamente com (2), permite concluir que

m

f f(x*)≥

m

f

f(x*)= . Logo, f atinge o máximo num ponto extremo de S.

Suponha-se agora que f atinge o máximo em mais do que um ponto extremo de S. Sejam , com , esses pontos. Então,

p x_i*, i 1, , L = p≤k f(x_i*)= f_m , i=1,L,p. Considere-se, agora, 1 e ,..., 1 , 0 com , 1 1 * _{≥ = =} =

∑

∑

= = p i i i p i i ix i p x λ λ λ .

Assim sendo, como f é linear e

∑

p₌₁ =1, pode escrever-se

i λi

∑

∑

= = = = = p i p i m i m i if x f f x f 1 1 *_{) ,} ( ) ( λ λ

isto é, qualquer combinação linear convexa de pontos extremos de S que sejam maximizantes de f em S também é um maximizante de f em S. ■ Apresentam-se agora alguns exemplos de problemas de PL com duas variáveis de decisão que, como tal, podem ser resolvidos graficamente.

Exemplo 2 Considere-se o problema (P1) max Z₁ =−3x1+x2 . x , x x x 0 1 s.a 2 1 2 1 ≥ ≤ + −

Este problema pode ser resolvido graficamente da seguinte forma: começa-se por esboçar a região admissível, que não é mais do que a representação gráfica do conjunto das soluções admissíveis do problema (P1),

(

)

{

, 2 _{1 2} 1, ₁ 0, ₂ 0

}

. 2 1 1= x x ∈IR : −x +x ≤ x ≥ x ≥ FP

Figura 14 ‐Região admissível do problema (P1).

De seguida traçam-se duas rectas de nível da função objectivo, por exemplo Z₁ =0e Z₁ =1.  

  Figura 15 ‐ Região admissível do problema (P1) com as rectas de nível Z1 =0e Z1 =1. A solução óptima de (P1), (x₁*,x*₂)= (0,1), obtém-se interceptando FP1 com a recta de nível da função objectivo mais afastada da origem (a que corresponde a um valor mais elevado da função objectivo), como se observa na Figura 15. O valor óptimo de (P1) é Z1* =1.

Um problema de PL pode ter apenas uma solução óptima, como no Exemplo 2, ou um número infinito de soluções óptimas. Neste último caso, o conjunto das soluções óptimas pode ser a combinação linear convexa de dois pontos extremos do conjunto das soluções admissíveis, tal como já foi referido no Teorema 9, ou um raio extremo, cujo vértice é um dos pontos extremos do conjunto das soluções admissíveis. Os Exemplos 3 e 4 ilustram estes dois casos.

Exemplo 3 Seja (P2) o problema

(P2) max Z2 =−x1

(

)

.

s.a x₁,x₂ ∈F_P1

O conjunto das soluções óptimas de (P2) é constituído pela combinação convexa dos pontos extremos (0,0) e (0,1), Figura 16, ou seja

(

)

(

)

( ) (

)( )

[ ]

{

, , 0,0 1 0,1, 0,1

}

* 2 * 2 * 1 2 * 2 * 1 ∈ = + − ∈ = x x IR :x x λ λ λ P F , 23  Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 

Figura 16 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (P2). e o seu valor óptimo é _Z2* =0.

Exemplo 4 Considere-se agora

(P3) max Z3 =−x1 +x2

(

1 2

)

1. s.a x ,x ∈F_P    

Figura 17 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (P3).

O conjunto das soluções óptimas de (P3) é o raio extremo com vértice no ponto (0,1) e cuja direcção é o vector (1,1). Deste modo, o conjunto das soluções óptimas de (P3) é

{

}

e o seu valor óptimo é _Z3* =1.

Para além destes casos, e como também já foi referido anteriormente, um problema de PL pode ser ilimitado ou impossível. Como os Exemplos 5 e 6 pretende-se exemplificar ambas as situações, respectivamente.

Exemplo 5 Seja (P4) o problema

(P4) max Z4 = x1+x2

(

)

.

s.a x₁,x₂ ∈F_P1

  Figura 18 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (P4).

Como se pode observar pela Figura 18, dada qualquer recta de nível da função objectivo de (P4) que intercepte FP1, com , é sempre possível encontrar outra recta de nível

com que ainda intercepte F

k

Z₄ = k ≥0

l

Z₄ = l>k P1. Assim sendo, a função objectivo de (P4) pode assumir valores arbitrariamente elevados e, consequentemente, não existe um valor máximo finito para Z₄. Tal permite concluir que (P4) é ilimitado.

Exemplo 6 Considere-se agora

(P5) max Z₅ =−3x₁+x₂

(

)

. 3 s.a 1 2 1 2 1 P F x , x x x ∈ ≥ + − 25  Universidade de Trás‐os‐Montes e Alto Douro 

  Figura 19 ‐ Representação gráfica relativa ao problema (P5).

A região admissível do problema (P5) é vazia, isto é FP5 =∅, Figura 19. Assim sendo, (P5) é impossível.

2.2 Teoria da Dualidade

Considere-se o problema (P) definido na Secção 2.1. (P) _max Z ₌cTx 0, s.a ≥ ≤ x b Ax com

[

_{1 2}

]

T n, n IR c c c c= _K ∈

[

_{1 2}

]

T n, n IR x x x x= _K ∈

[

]

T m m IR b b b b= _{1 2K} ∈ e . ) ( ] [a M _, IR A= _ij ∈ _mn

O dual de (P) construir-se-á utilizando a dualidade Lagrangeana [12,21]. Comece-se por escrever a função Lagrangeana, L, que resulta da associação de um peso, a cada restrição, do problema (P) e da sua introdução na função objectivo de (P). Assim, para , i u , 1, ,m i = _L m n _{(IR )} ) (IR x,u)_∈ + _× + 0 0 (

(

b Ax

)

u x c L(x,u)₌ T ₊ T _{− .}

A função dual em m é ) (IR u∈ 0+

(

)

{

}

⎩ ⎨ ⎧ ∞ + ≤ − = − + = = ≥ ≥ _{casocontrário.} 0 se max ) , ( max ) ( 0 0 A u c u b x A u c u b u x L u T T T T T T x x θ

Finalmente, o dual de (P) obtém-se considerando

L(x,u) θ(u) x u u 0 min0 max0 min ≥ ≥ ≥ = , do qual resulta (D) _min W ₌bTu , 0 s.a u c u AT ≥ ≥

com c IR , b,u IR e A Mm,n(IR). m

n _{∈ ∈}

∈

Pode mostrar-se, de forma idêntica à anterior, que (P) é o seu bidual, isto é, que o dual Lagrangeano de (D) é o próprio (P).

Para formular o dual de qualquer problema de PL é sempre possível seguir o procedimento descrito anteriormente. No entanto, o dual pode obter-se directamente usando as regras sumariadas na Tabela 1 [1,15].

Problema de maximização ←→ Problema de minimização ≤ i-ésima restrição ≥ ═ ≥0 ≤0 i-ésima variável livre ≤0 j-ésima variável ≥0 livre ≤ ≥ j-ésima restrição ═

matriz dos coeficientes técnicos A matriz dos coeficientes técnicos AT coeficientes da função objectivo termos independentes

termos independentes coeficientes da função objectivo Tabela 1 – Regras para a construção do problema dual.

A um par de problemas constituído por um problema de PL e pelo seu dual dá-se o nome de par de problemas primal-dual.

Apresentam-se de seguida alguns conceitos relativos ao problema (D), semelhantes aos já introduzidos na Secção 2.1 para o problema (P).

Represente-se por F =

{

u∈IRm:ATu≥c,u≥0

}

D o conjunto das soluções admissíveis

do problema (D). Então, (D) diz-se impossível se F_D =∅ e ilimitado no caso de ter soluções admissíveis com o valor da função objectivo tão pequeno quanto se queira. O conjunto constituído pelas soluções admissíveis do problema (D) que optimizam a sua função objectivo designa-se por conjunto de soluções óptimas do problema (D) e denota-se por . Ao valor que a função objectivo do problema (D) assume para uma sua solução óptima chama-se valor óptimo de (D). Representa-se uma solução óptima de (D) por e o respectivo valor óptimo por .

*

D

F

*

u _W* _=bT_u*

Nos Exemplos 7 e 8 apresentam-se dois problemas de PL e o respectivo dual.

Exemplo 7 Considere-se o problema do Exemplo 2 (P1) max Z₁ =−3x1+x2 . x , x x x 0 1 s.a 2 1 2 1 ≥ ≤ + −

Neste caso, c=

[

−3 1

]

T, b=

[ ]

1 e A=[−1 1]. Utilizando as regras da Tabela 1, obtém-se o dual do problema (P1), (D1) min W1 =u1 . 0 1 3 s.a 1 1 1 ≥ ≥ − ≥ − u u u

Exemplo 8 Considere-se agora o problema: (P6) min Z6 =−x1+2x2 . 0 2 2 15 5 3 1 s.a 2 1 2 1 2 1 2 1 ≥ ≥ + = + ≤ − x , x x x x x x x

As regras da Tabela 1, conjuntamente com a informação

[

1 2

]

T, c= −

[

]

T b= 1 15 2 _{e ,} T A _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 5 1 1 3 1

permitem construir o dual de (P6)

(D6) max W6 =u1+15u2 +2u3 . 0 0 2 2 5 1 3 s.a 3 1 3 2 1 3 2 1 ≥ ≤ ≤ + + − − ≤ + + u , u u u u u u u

Exemplo 9 Seja o problema:

(P=) max Z =cTx 0. s.a ≥ = x b Ax

Usando as regras da Tabela 1, é simples verificar que (D=) min W =bTu c u AT _≥ s.a é o seu dual.

Note-se que, tendo em consideração as observações presentes na Secção 2.1, o problema (P=), do Exemplo 9, pode ser escrito na forma (P). Deste modo, e à

semelhança do que acontece com o par de problemas primal-dual (P) e (D), também pode utilizar-se o par de problemas primal-dual (P=) e (D=) para representar qualquer

problema de PL e o respectivo dual.

Dado um par de problemas primal-dual para o qual é conhecida uma solução admissível de cada um dos problemas, o valor da função objectivo associado à solução do problema de maximização é não superior ao valor da função objectivo associada à solução do problema de minimização. No caso particular da igualdade as soluções admissíveis são soluções óptimas dos respectivos problemas.

Teorema 10 (Dualidade Fraca) Sejam x~∈F_P e u~∈F_D. Então cTx~ ≤bTu~.

Demonstração. Como x~∈F_P e u~∈F_D, vem que A~x ≤b e u~≥0. Logo,

. De forma idêntica se tem , o que implica ,

que, por sua vez, é equivalente a . Assim sendo, .

Logo, . ■ b u x A u~T ~_≤~T _AT_u~_{≥c e} ~_{x ≥0} ~_xT_AT_u~_{≥ x}~T_c x c x A u~T ~_≥ T~ _cT~_{x ≤u}~T_A~_{x ≤u}~T_b u b x cT~ ≤ T~

Teorema 11 Sejam x~∈F_P e u~∈F_D tais que cT~ =x bTu~. Então x~ é solução óptima de (P) e u~ é solução óptima de (D).

Demonstração. A hipótese e o Teorema 10 permitem concluir que

para todo o e para todo o . Logo,

u b x cT~ = T~ x c u b x cT~₌ T~_≥ T P F x∈ bTu~₌cTx~_≤bTu D F u∈ x~

é solução óptima de (P) e u~ é solução óptima de (D). ■ O resultado seguinte, conhecido por Teorema da Dualidade Forte, não só fornece uma condição suficiente para a existência de uma solução óptima de um dos problemas do par de problemas primal-dual, mas também relaciona os valores óptimos de ambos os problemas.

Teorema 12 (Dualidade Forte) Considere-se um problema de par de problemas primal-dual. Se um dos problemas possui solução óptima, então o outro também possui e os respectivos valores óptimos são iguais.

Demonstração. Considere-se o par de problemas primal-dual (P=) e (D=), Exemplo 9.

Suponha-se que m≤n e que as m restrições de (P=) são linearmente independentes, isto

é que a característica da matriz A é m. Seja B uma submatriz quadrada de A constituída por m colunas de A linearmente independentes e N a submatriz de A constituída pelas

[

T

]

T, N T B x x x=

[

T

]

T, N T B c c c= _e A=

[

B N

]

e reescrever-se o problema (P=) como

(P=) N T N B T Bx c x c Z = + max _0. 0 s.a ≥ ≥ = + N B N B x x b Nx Bx

Suponha-se agora que (P=) é o problema que possui solução óptima e que esta é

. Mostra-se que [14,15]

[

_T T N T B x x x_*= * *

]

b B

x_B* ₌ −1 _{, sendo B a inversa da matriz} −1 _{B; (3)} * * B T Bx c Z = ; (4) 0 1 _≤ −_{c B}− _A c T B T _{. (5)} Considere-se 1 * _{=c B}− u T B T _{. (6)}

Substituindo (6) em (5), obtém-se , que é equivalente a . Logo, é solução admissível de (D 0 * _≤ −u A cT T _AT_u* _≥c * u =). Além disso, * * * 1 * * _{c x c B b u b b u W} Z T T T B B T B = = = = = − _.

Assim sendo, pelo Teorema 11, conclui-se que _u* é solução óptima de (D

=).

De modo semelhante se prova que no caso de (D=) possuir solução óptima então (P=)

também possui e os respectivos valores óptimos são iguais. ■

O próximo teorema indica condições necessárias e suficientes para a existência de soluções óptimas de cada um dos problemas do par de problemas primal-dual.

Teorema 13 Os problemas (P) e (D) têm solução óptima se, e só se, . e ≠∅ ∅ ≠ _D P F F

Demonstração. Se (P) e (D) têm solução óptima, então é imediato que . e ≠∅ ∅ ≠ _D P F F

Reciprocamente, sejam F_P ≠∅ e F_D ≠∅. Então são finitos. Como, é finito e, pelo Teorema 10, , o valor óptimo de (P), , existe e satisfaz a condição , sendo por isso finito. Logo (P) tem solução óptima.

u b x cT~ _e T~ _bT_u~ u b x cT~ ≤ T~ _cT_x* u b x* cT _≤ T~

Pelo Teorema 12, a existência de solução óptima para (P) garante a existência de

solução óptima para (D). ■

Como já foi referido anteriormente, nem sempre os problemas de PL admitem solução óptima, ou mesmo qualquer solução admissível. No resultado seguinte é caracterizada uma dessas situações.

Teorema 14 Considere-se um problema de PL (P) e o seu dual (D). Se um destes problemas é ilimitado, então o outro é impossível.

Demonstração. Seja (P) o problema ilimitado. Suponha-se que u~∈ F_D ≠∅. Então, pelo Teorema 10, u b x cT~ ≤ T~_{, para todo o} P F x∈ ~ _,

o que contradiz a hipótese de (P) ser ilimitado. Logo, F_D =∅ e, como tal, (D) é impossível.