LISTA DE GRAFOS LISTA DE GRAFOS
1. Construa um exemplo de grafo simples direcionado e um não direcionado. 1. Construa um exemplo de grafo simples direcionado e um não direcionado.
2. Construa um grafo simples conexo, com as seguintes sequências de graus: 2. Construa um grafo simples conexo, com as seguintes sequências de graus: (A) (1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 6)
(A) (1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 6)
(B) (3, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5) (B) (3, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5)
3. Para o grafo a seguir, responda: 3. Para o grafo a seguir, responda:
(A) é um grafo simples? (A) é um grafo simples?
Como não laços nem arcos paralelos, o grafo é simples. Como não laços nem arcos paralelos, o grafo é simples. (B) é um grafo completo?
(B) é um grafo completo?
Grafo completo se para cada vértice do grafo existe uma aresta conectando este vértice a Grafo completo se para cada vértice do grafo existe uma aresta conectando este vértice a cada um dos demais. Não é um grafo completo.
cada um dos demais. Não é um grafo completo. (C) é um grafo conexo?
(C) é um grafo conexo? Grafo conexo se
Grafo conexo se possível estabelecer um caminho de qualquer vértice para qualquer outropossível estabelecer um caminho de qualquer vértice para qualquer outro vértice. É um grafo conexo.
vértice. É um grafo conexo.
(D) existem dois caminhos entre os vértices 3 e 6? (D) existem dois caminhos entre os vértices 3 e 6?
Existem dois caminhos do vértice 3 para o 6 sem que as arestas
Existem dois caminhos do vértice 3 para o 6 sem que as arestas sejam repetidas.sejam repetidas. Caminho 1:
Caminho 1: 3, e, 3, e, 5, f, 5, f, 6 6 Caminho 2: Caminho 2: 3, c, 3, c, 4, d, 4, d, 5, f, 5, f, 66 (E) o grafo possui algum ciclo?
(E) o grafo possui algum ciclo?
Ciclo em um grafo é um caminho de algum nó n para ele mesmo tal que nenhum arco Ciclo em um grafo é um caminho de algum nó n para ele mesmo tal que nenhum arco
aparece mais de uma vez, a não ser ele mesmo nas extremidades. O grafo tem um ciclo de 3 aparece mais de uma vez, a não ser ele mesmo nas extremidades. O grafo tem um ciclo de 3 para 3.
para 3.
(F) o grafo possui algum arco cuja remoção o tornaria um grafo acíclico? (F) o grafo possui algum arco cuja remoção o tornaria um grafo acíclico? Possui sim. O arco e.
Possui sim. O arco e.
(G) o grafo possui algum arco cuja remoção o tornaria desconexo? (G) o grafo possui algum arco cuja remoção o tornaria desconexo? Sim. Removendo o arco “a” seria o
4. Esboce uma figura para cada
4. Esboce uma figura para cada um dos seguintes grafos:um dos seguintes grafos: (A) Um grafo simples com 3 vértices de grau 2.
(A) Um grafo simples com 3 vértices de grau 2.
Os vértices 4, 5 e 6 são de grau 2. Os vértices 4, 5 e 6 são de grau 2.
(B) Um grafo de 4 vértices, com ciclos de tamanho 1, 2, 3 e (B) Um grafo de 4 vértices, com ciclos de tamanho 1, 2, 3 e 4.4.
(C) Um grafo não completo com 4 vértices, de grau 4. (C) Um grafo não completo com 4 vértices, de grau 4.
5. Construa todos os grafos completos com até 8 vértices. Quantas arestas tem cada um 5. Construa todos os grafos completos com até 8 vértices. Quantas arestas tem cada um desses grafos? E se tiver n v
desses grafos? E se tiver n vértices?értices?
Vértices arestas Vértices arestas 2 2 11 3 3 33 4 4 66 5 10 5 10 6 15 6 15 7 21 7 21 8 28 8 28
A quantidade de aresta é dada pela formula da combinação 2 a 2. A quantidade de aresta é dada pela formula da combinação 2 a 2.
6. Explique porque é que a sequência ACEDBCA não é um circuito Hamiltoniano para o grafo a 6. Explique porque é que a sequência ACEDBCA não é um circuito Hamiltoniano para o grafo a seguir. Este grafo admite um circuito Hamiltoniano?
seguir. Este grafo admite um circuito Hamiltoniano?
Circuito Hamiltoniano em Teoria dos Grafos é um caminho em um grafo não dirigido que Circuito Hamiltoniano em Teoria dos Grafos é um caminho em um grafo não dirigido que visita cada vértice apenas uma única vez. Essa sequência não é um circuito Hamiltoniano visita cada vértice apenas uma única vez. Essa sequência não é um circuito Hamiltoniano porque o vértice C aparece duas vezes. Esse grafo admite sim um circuito Hamiltoniano: porque o vértice C aparece duas vezes. Esse grafo admite sim um circuito Hamiltoniano: ABCDE.
ABCDE.
7. Um dígrafo admite ordenação topológica se e somente se for acíclico. Falso ou verdadeiro? 7. Um dígrafo admite ordenação topológica se e somente se for acíclico. Falso ou verdadeiro? Justifique.
Justifique.
Uma ordenação topológica de um grafo G=(V,E) é uma ordenação linear de to
Uma ordenação topológica de um grafo G=(V,E) é uma ordenação linear de to dos os vértices,dos os vértices, tal que se G contém uma aresta (u,v) então u aparece antes de v na ordenação. Se o grafo tal que se G contém uma aresta (u,v) então u aparece antes de v na ordenação. Se o grafo não é acíclico então não é possível nenhuma ordenação linear. Ou seja, tendo um ciclo não é acíclico então não é possível nenhuma ordenação linear. Ou seja, tendo um ciclo poderia ocorrer que com uma aresta (u, v) pode-se ter outra aresta (v, u). Isso impossibilita poderia ocorrer que com uma aresta (u, v) pode-se ter outra aresta (v, u). Isso impossibilita uma ordenação linear.
uma ordenação linear.
Há um processo chamado de relaxamento de aresta (u, v) que consiste em testar se Há um processo chamado de relaxamento de aresta (u, v) que consiste em testar se podemos melhorar o caminho mais curto para “v” encontrado até agora pela passagem podemos melhorar o caminho mais curto para “v” encontrado até agora pela passagem através de “u”. O caminho será mínimo se algoritmo tiver como otimizar os percursos através de “u”. O caminho será mínimo se algoritmo tiver como otimizar os percursos através do relaxamento. O algoritmo na questão ao conseguir encontrar um caminho através do relaxamento. O algoritmo na questão ao conseguir encontrar um caminho necessariamente não será mínimo.
necessariamente não será mínimo.
Considerando que profundidade de saída seja o tempo de término em uma busca em Considerando que profundidade de saída seja o tempo de término em uma busca em profundidade e ordem inversa sendo a ordem decrescente, temos sim uma ordenação profundidade e ordem inversa sendo a ordem decrescente, temos sim uma ordenação topológica. A ordenação topológica é depois da execução da busca em profundidade pois topológica. A ordenação topológica é depois da execução da busca em profundidade pois precisa do tempo de termino. Assim é realizada a ordenação linear dos vértices.
--- A--- B --- A--- B --- A--- B --- C --- A--- B --- C --- A--- B --- C --- A--- B --- C --- D--- D --- A--- B --- E --- A--- B --- E --- A--- F --- A--- F --- A--- G --- A--- G --- B--- A --- B--- A --- B--- C --- B--- C --- B--- C --- D --- B--- C --- D --- B--- E --- B--- E --- B--- A --- F --- B--- A --- F --- B--- A --- G --- B--- A --- G --- C--- B --- A --- C--- B --- A --- C--- B --- C--- B --- C--- D --- C--- D --- C--- B --- E --- C--- B --- E --- C--- B --- A --- F --- C--- B --- A --- F --- C--- B --- A --- C--- B --- A --- G--- G
--- D--- C --- B --- D--- C --- B --- A--- A --- D--- C --- B --- D--- C --- B --- D--- C --- D--- C --- D--- E --- D--- E --- D--- E --- F --- D--- E --- F --- D--- DD--- E D--- F -- E --- F --- G--- G --- E--- B --- A --- E--- B --- A --- E--- B --- E--- B --- E--- B --- C --- E--- B --- C --- E--- D --- E--- D --- E--- F --- E--- F --- E--- F --- G --- E--- F --- G --- F--- A --- F--- A --- F--- A --- B --- F--- A --- B --- F--- FF--- A - A --- B --- C--- B --- C --- F--- E --- D --- F--- E --- D --- F--- E --- F--- E --- F--- G --- F--- G --- G--- A --- G--- A --- G--- A --- B --- G--- A --- B --- G--- A --- B --- C --- G--- A --- B --- C --- G--- F --- E --- D --- G--- F --- E --- D --- G--- F --- E --- G--- F --- E --- G--- F --- G--- F
i i pi pi d d ff A A NULL NULL 1 1 1414 B A 2 13 B A 2 13 C B 3 12 C B 3 12 D C 4 11 D C 4 11 E E D D 5 5 1010 F E 6 9 F E 6 9 G F G F 7 7 88 PRIM
PRIM ENLACES ENLACES DE DE COMUNICAÇÃOCOMUNICAÇÃO Nó
Nó origem origem Nó Nó destino destino CUSTOCUSTO
EE A A 3,0 3,0 --- --- E--- E--- D D --- --- AA B B 3,5 3,5 --- --- E--- E--- D D --- --- A A --- --- BB C C 4 4 --- --- E--- E--- D D --- --- A A --- --- CC D D 1,5 1,5 --- --- E--- E--- DD F F 1 1 --- --- E--- E--- FF G G 1 1 --- --- E--- E--- GG H H 5 5 --- --- E--- E--- F F --- --- HH I I 6 6 --- --- E--- E--- F F --- --- H H --- --- II J J 7 7 --- --- E--- E--- F F --- --- H H --- --- I I --- --- JJ
KRUSKAL
KRUSKAL ENLACES ENLACES DE DE COMUNICAÇÃOCOMUNICAÇÃO Nó
Nó origem origem Nó Nó destino destino CUSTOCUSTO
EE A A 3,0 3,0 --- --- E--- E--- D D --- --- AA B B 3,5 3,5 --- --- E--- E--- D D --- --- A A --- --- BB C C 4 4 --- --- E--- E--- D D --- --- A A --- --- CC D D 1,5 1,5 --- --- E--- E--- DD F F 1 1 --- --- E--- E--- FF G G 1 1 --- --- E--- E--- GG H H 5 5 --- --- E--- E--- F F --- --- HH I I 6 6 --- --- E--- E--- F F --- --- H H --- --- II J J 7 7 --- --- E--- E--- F F --- --- H H --- --- I I --- --- JJ
OBS: RODANDO O GRAFO NOS DOIS ALGORITMOS AS RESPOSTA DERAM IGUAIS OBS: RODANDO O GRAFO NOS DOIS ALGORITMOS AS RESPOSTA DERAM IGUAIS
arestas sombreadas: arestas sombreadas: (A, B) (A, B) (B, C) (B, C) (E, D) (E, D) (F, E) (F, E) (A, F) (A, F) (A, G) (A, G) arestas sombreadas: arestas sombreadas: (A, B) (A, B) (D, C) (D, C) (E, D) (E, D) (F, E) (F, E) (A, F) (A, F) (A, G) (A, G)
Na Técnica de ordenaçã topológica tem-se como resultado uma ordenação linear dos Na Técnica de ordenaçã topológica tem-se como resultado uma ordenação linear dos vértices tal que se um grafo tem uma aresta (u,v) então u aparece antes de v. O grafo da vértices tal que se um grafo tem uma aresta (u,v) então u aparece antes de v. O grafo da questão anterior é não direcionado portanto não
questão anterior é não direcionado portanto não é possível.é possível.
O algoritmo Bellman-Ford resolve o problema de
O algoritmo Bellman-Ford resolve o problema de caminhos mais curtos de uma caminhos mais curtos de uma única origemúnica origem no caso mais geral, no qual os pesos das
no caso mais geral, no qual os pesos das arestas podem ser negativos. Este algoritmo retornaarestas podem ser negativos. Este algoritmo retorna um valor booleano indicando se existe ou
um valor booleano indicando se existe ou não um ciclo de peso negativo acessível a não um ciclo de peso negativo acessível a partir dapartir da origem. Se existir esse ciclo, o algoritmo alerta que não tem solução. Caso contrário o origem. Se existir esse ciclo, o algoritmo alerta que não tem solução. Caso contrário o algoritmo produz os caminhos mais curtos e seus pesos.
