ENE0004 – Controle de Processos Aula: graus de liberdade, vari´aveis de desvio e lineariza¸c˜ao Prof. Eduardo Stockler Tognetti

(1)

ENE0004 – Controle de Processos

Aula: graus de liberdade, vari´ aveis de desvio e lineariza¸c˜ ao

Prof. Eduardo Stockler Tognetti

Departamento de Engenharia El´etrica Universidade de Bras´ılia – UnB

1

^o

Semestre 2020

E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos

(2)

Sum´ ario

1 Graus de liberdade

2 Lineariza¸c˜ao de sistemas com uma vari´avel

3 Vari´aveis de desvio

4 Lineariza¸c˜ao de processos multivari´aveis

5 Espa¸co de estados

(3)

An´ alise de graus de liberdade

Os graus de liberdade de um processo são as variáveis independentes que devem ser especificadas para definir o processo completamente (resposta do conjunto de equa¸cões que representam a dinâmica do sistema).

O controle do processo nos pontos fixos especificados s´o ´e obtido se, e somente se, todos os graus de liberdade tiverem sido especificados.

Graus de liberdade

no. graus de liberdade = no. vars. independentes - no. eqs. independentes Nf =NV −NE

Casos

1 Nf = 0: processo exatamente especificado

2 Nf >0: processo sub-especificado (infinitas solu¸c˜oes)

3 Nf <0: processo super-especificado (sem solu¸c˜ao)

(4)

An´ alise de graus de liberdade

Observa¸c˜oes:

Determina¸cão incorreta se informa¸cões relevantes forem desprezadas ou equa¸cões redundantes inclu´ıda.

Lei de controle introduz equa¸c˜ao adicional entre as vari´aveis medidas e manipuladas e reduz por 1 os graus de liberdade do processo.

Manipula¸c˜ao dos graus de liberdade

Em geralNf >0. H´a duas formas de se diminuirNf (aumentarNE):

1 Ambiente externo (variáveis de distúrbio): d(t) =g(t) Nf =Nf0−Nd, Nd: no. vars. distúrbio

2 Objetivos (leis) de controle (vari´aveis manipuladas): mv(t) =g(yi) Nf =Nf₀−Nmv, Nmv : no. vars. manipuladas

Graus de liberdade de controle (Nf_c): vari´aveis que podem ser controladas de forma independente Nfc=Nf−Nd.

Usualmente, mas n˜ao sempre,Nf_c=Nmv

(5)

Balan¸co de energia em sistemas abertos

Exemplo: Tanque com aquecimento

Equa¸c˜oes diferenciais que descrevem o processo:









 d

dth(t) = 1

A(fe(t)−f(t)) d

dtT(t) = fe(t)

Ah(t)(Te(t)−T(t)) + Q(t)˙ ρcpAh(t) An´alise dos graus de liberdade

N´umero de equa¸c˜oes: NE= 2

N´umero de vari´aveis: NV = 6 h(t),T(t) (vars. de estado/ sa´ıdas) fe(t), f(t), Te(t), Q(t) (entradas)˙

Graus de liberdade: Nf = 4

Para determinar precisamenteh(t) eT(t) ⇒ Nf = 0

Atribuindo como dist´urbio: fe(t), Te(t) (espec. pela unidade precedente) Atribuindo como vari´avel manipulada: f(t), Q(t) (leis de controle)˙ Por exemplo,f(t) poderia ser utilizado para controlarh(t) e ˙Q(t) para controlarT(t).

(6)

Sum´ ario

(7)

Sistema linear

Um sistema ´e dito linear se satisfaz as propriedades:

1 Aditividade:

L[u1+u2] =L[u1] +L[u2]

2 Homogeneidade:

L[ku] =kL[u]

L[·]: operador matem´atico que representa o sistema u: entrada

k: escalar

Princ´ıpio da superposi¸c˜ao

L[k1u1+k2u2] =k1L[u1] +k2L[u2]

Um sistema que não verifique qualquer uma destas propriedades é dito não-linear

(8)

Sistema linear

x g(x)

(0,0) Curva linear

x g(x)

Curva n˜ao-linear

Fun¸c˜oes lineares:

g(x) =ax g(x,u) =ax+bu

Fun¸c˜oes n˜ao-lineares:

g(x) =ax+b (fun¸c˜ao afim) g(x) = 1

x +ax g(x) =ax² g(x,u) =xu+u

(9)

Lineariza¸c˜ ao de sistemas com uma vari´ avel

Lineariza¸c˜ao deg(x) no pontox₀:

linha tangente g(x)

x0 x

¯ x x^∗

g(x0) g(x)≃g(x0) +

∂g

∂x

x0

(x−x0)

Problema: x^∗6= 0 (fun¸c˜ao afim)

x₀: ponto de lineariza¸c˜ao

¯

x: ponto em queg(¯x) = 0 (pto. eq.) x^∗:cruzamento da reta tang. c/g(x) = 0 Necess´ario deslocar reta tangente para a origem mudan¸ca de vari´avel

˜

x,x−x^∗

(10)

Lineariza¸c˜ ao de sistemas com uma vari´ avel

Em sistemas dinˆamicos usualmente deseja-se linearizar a dinˆamica em torno do ponto de equil´ıbrio, ou seja, um ponto ¯x tal queg(¯x) = 0(_dt^dx(t) =g(x) = 0)

g(x)

¯ x x

g(x)≃ ∂g

∂x

¯ x

(x−x¯)

g(x)

˜ 0 x

g(x)≃ ∂g

∂x

¯ x

| {z } cte.

˜ x

O ponto de equil´ıbrio ´e o ponto em que o sistema pode operar em regime permanente (ponto de opera¸c˜ao)

Nesse caso: x₀= ¯x =x^∗

Necess´ario ainda mudan¸ca de vari´avel ˜x,x−x¯para deslocar reta tangente para a origem

(11)

Lineariza¸c˜ ao de sistemas com uma vari´ avel

Seja o processo

dx dt =g(x) Ponto de lineariza¸c˜ao: x₀

Expansão da fun¸cão não-linearg(x) em série de Taylor em torno dex0: g(x) =g(x0) +

dg dx

x₀

(x−x0)+

d²g dx²

x₀

(x−x₀)² 2! +· · ·+

dⁿg

∂xⁿ

x₀

(x−x₀)ⁿ n!

Negligenciando termos de ordem maior ou igual a dois g(x)≃g(x0) +

dg dx

x₀

(x−x0) = dg

dx

x₀

x+ (termos constantes) A equa¸cão ainda não é linear devido a presen¸ca de termos constantes.

A aproxima¸cão é exata somente no ponto de lineariza¸cão (x0).

(12)

Sum´ ario

(13)

Vari´ aveis de desvio

Seja o valor em regime permanente ¯x que pode ser determinado por dx

dt = 0 ⇔ g(¯x) = 0 (1)

Considere ¯x o ponto de lineariza¸c˜ao do sistema ˙x=g(x), ou seja,x0= ¯x. Ent˜ao, em ¯x tem-se

dx

dt =g(¯x) + dg

dx

¯ x

(x−x¯) (2)

Considere a defini¸c˜ao da vari´avel de desvio abaixo.

Vari´avel de desvio

˜ x,x−¯x

A vari´avel de desvio descreve a magnitude do deslocamento do sistema do ponto de opera¸c˜ao desejado.

(14)

Vari´ aveis de desvio

Observe que dx

dt = d(x−¯x) dt =d˜x

dt, pois d¯x dt = 0 Da defini¸c˜ao da vari´avel de desvio eg(¯x) = 0,

dx dt =g(¯x)

| {z }

=0

+ dg

dx

¯ x

(x−¯x)

| {z }

˜ x

tem-se o seguinte sistema linear dx˜ dt =

dg dx

¯ x

˜ x

Obs.: O mesmo resultado ´e obtido subtraindo (1) de (2).

(15)

Lineariza¸c˜ ao de sistemas com uma vari´ avel

Exemplo:

Seja _dt^dx(t) =g(x),g(x) =x²−9. Lineariza¸c˜ao emx₀= 2:

g(x)≃g(x0)+

dg dx

x0

(x−x0) =−5+4(x−2) = 4x−13 N˜ao ´e linear! (3) Achando o ponto de equil´ıbrio ¯x∈ {x : g(x) = 0}:

d

dtx(t) = 0 ⇔ g(¯x) = ¯x²−9 = 0 ⇒ x¯= 3 Lineariza¸c˜ao emx₀= ¯x = 3:

g(x)≃g(x0) + ∂g

∂x

x0

(x−x0) =0+ 6(x−3) = 6x−18 Não é linear! (4) Definindo avariável de desviox˜,x−3, tem-seg(x)≃6˜x. Observe que

d

dt˜x(t) = d

dt(x(t)−3) = d

dtx(t)− d dt3 = d

dtx(t) =g(x)

∴ d

dt˜x(t) = 6˜x Eq. diferencial linear!

(16)

Lineariza¸c˜ ao de sistemas com uma vari´ avel

Exemplo:

Observe que ambas as equa¸c˜oes (3) e (4), ou seja,

g(x)≃4x−13, x em torno de x0= 2 e

g(x)≃6x−18, x em torno de x0= ¯x = 3

podem ser transformadas de afim para linear introduzindo variáveis de desvio. Con- tudo, em sistemas dinâmicos faz mais sentido obter o comportamento linear no ponto de opera¸cão em regime permanente, ou seja, no ponto de equil´ıbrio (x˙= 0).

(17)

Lineariza¸c˜ ao de sistemas com uma vari´ avel

Exemplo: dinˆ amica do n´ıvel de um tanque

fe

f(t)

Assuma fe constante Adh(t)

dt =fe−f(t) dh(t) dt = fe

A−f(t) A

Sef(t) =αh(t) (αconstante):

dh(t)

dt =g(h), g(h) = fe

A−αh(t)

A (sist. afim) Sef(t) =βp

h(t):

g(h) = fe

A−βp h(t)

A (sist. n˜ao-linear)

(18)

Lineariza¸c˜ ao de sistemas com uma vari´ avel

Expandindog(h) em s´erie de Taylor em torno deh₀: g(h) = 1/A(fe−βp h(t)):

g(h)≈g(h0) + dg(h)

dh (h(t)−h0) g(h)≈

fe

A−β√ h0

A

− β 2A√

h0

(h(t)−h0)

Logo, o sistema resultante ´e afim devido a presen¸ca de termos constantes dh(t)

dt = fe

A −β√ h0

| {zA } termo constante

− β 2A√

h0



h(t)− h₀ termo constante|{z}





(19)

Lineariza¸c˜ ao de sistemas com uma vari´ avel

Observe que o resultado seria o mesmo expandindo-se apenas o termo n˜ao linear βp

h(t) em torno deh₀

βp

h(t) =β√

h₀+ d(βp h(t)) dh

!

h(t)=h0

(h(t)−h₀) +· · ·

βp

h(t)≈β√

h0+ β 2√ h0

(h(t)−h0)

e substituindo no sistema n˜ao-linear Adh(t)

dt =fe−

β√ h₀+ β

2√ h0

h(t)− β 2√ h0

h₀

dh(t) dt =

fe

A−β√ h₀

A + β

2A√ h₀h0

| {z }

termo constante

− β 2A√

h₀h(t)

(20)

Vari´ aveis de desvio

Considere agora a lineariza¸c˜ao em torno do ponto de opera¸c˜ao em regime permanente ¯hdeterminado por

g(¯h) = 0 ⇔ fe−βp

h¯= 0 (5)

Definindo a vari´avel de desvio ˜h(t) =h(t)−¯h, tem-se d˜h(t)

dt =g(¯h)

| {z }

=0

+dg(¯h)

dh (h(t)−h) =¯ dg(¯h)

dh ˜h(t) =− β 2A√h¯

h(t)˜ (6)

Portanto o sistemalinear´e dado por d˜h(t)

dt =− β 2A√h¯

˜h(t)

(21)

Lineariza¸c˜ ao de sistemas com uma vari´ avel

Resumo: Caso monovari´avel Sistema n˜ao-linear: dx

dt =g(x), x ∈R

Ponto de opera¸c˜ao em regime permanente: ¯x g(¯x) = 0 Ponto de lineariza¸c˜ao: x0

Expans˜ao truncada em Taylor em torno dex0: dx

dt =g(x0) + dg

dx

x₀

(x−x₀)

| {z }

˜ x

Sex0= ¯x ⇒ g(x0) = 0 ⇒ d˜x dt =

dg dx

x₀

˜ x

(22)

Sum´ ario

(23)

Lineariza¸c˜ ao de processos multivari´ aveis

Caso multivari´avel

dx

dt =g(x), x ∈Rⁿ g(x) =



 g₁(x)

... gn(x)



, x=



 x₁

... xn





Exemplo: x ∈R²









 dx1

dt =g1(x1,x2) dx2

dt =g2(x1,x2)

(24)

Lineariza¸c˜ ao de processos multivari´ aveis

Linearizando em torno dex₀= x10

x20

:

g1(x1,x2) =g1(x10,x20) + ∂g1

∂x1

x0

(x1−x10) +

∂g1

∂x2

x₀

(x2−x₂₀)+ ∂²g1

∂x₁²

x₀

(x1−x10)² 2!

+ ∂²g₁

∂x₂²

x0

(x2−x₂₀)²

2! +

∂²g₁

∂x1, ∂x2

x0

(x1−x10)(x2−x20) +· · ·

Idem parag2(x1,x2).

Seja o sistema em estado estacion´ario (regime permanente) (g1( ¯x1,x¯2) = 0

g2( ¯x1,x¯2) = 0

(25)

Lineariza¸c˜ ao de processos multivari´ aveis

Considerando o ponto de lineariza¸c˜ao como sendo o ponto de opera¸c˜ao ¯x, ou seja, x₁₀ = ¯x₁ e x₂₀= ¯x₂

e definindo ˜x1=x1−x¯1e ˜x2=x2−x¯2, tem-se o sistema linear









 dx˜₁

dt = ∂g1

∂x₁

¯ x

˜ x₁+

∂g1

∂x2

¯ x

˜ x₂

dx˜₂ dt =

∂g2

∂x1

¯ x

˜ x1+

∂g2

∂x2

¯ x

˜ x2

ou na forma matricial

dx˜

dt =A˜x, A= ∂g

∂x

¯ x

=





 ∂g1

∂x1

¯ x

∂g1

∂x2

¯

x

∂g2

∂x1

¯ x

∂g2

∂x2

¯ x







| {z } matriz Jacobiana

, ˜x= x˜₁

˜ x2

(26)

Vari´ aveis de desvio

Exemplo: dinˆ amica de n´ıvel de um tanque com fluxo de entrada vari´ avel

Sejafe(t) vari´avel, dh(t)

dt =g(h,fe), g(h,fe) = 1/A(fe(t)−βp

h(t)) (7)

Em regime permanente g(¯h,f¯e) = ¯fe−βp

¯h= 0 (8)

Sistema linearizado, em que ˜h(t) =h(t)−¯he ˜fe(t) =fe(t)−¯fe

d˜h(t)

dt =g(¯h,¯fe) +∂g(h,fe)

∂fe

(fe(t)−¯fe) +∂g(h,fe)

∂h (h(t)−¯h) (9) Comog(¯h,¯fe) = 0, tem-se o sistema linear

dh(t)˜ dt = 1

Af˜e(t)− β 2A√

h¯

˜h(t) (10)

(27)

Exemplo

Seja o sistema n˜ao-linear









 dx₁

dt =g1(x1,x2,m1,m2,d1) dx2

dt =g2(x1,x2,m1,m2,d2)

Assumindo que o ponto de lineariza¸cãop0= (x10,x20,m10,m20,d10,d20) corres- ponde ao ponto de estado estacionário ¯p = ( ¯x1,x¯2,m¯1,m¯2,d¯1,d¯2) e definindo as variáveis de desvio, tem-se o sistema linearizado









 dx˜1

dt =a₁₁x˜₁+a₁₂x˜₂+b₁₁m˜₁+b₁₂m˜₂+e₁d˜₁ dx˜2

dt =a₂₁x˜₁+a₂₂x˜₂+b₂₁m˜₁+b₂₂m˜₂+e₂d˜₂ em queaij=

∂gi

∂xj

¯ p

,bij = ∂gi

∂mj

¯ p

,ei = ∂gi

∂di

¯ p

(28)

Sum´ ario

(29)

Representa¸c˜ ao em espa¸co de estados

Para o exemplo anterior considere ainda que as variáveis medidas são represen- tadas pory, as manipuladas porme os distúrbios pord e os estados porx,









 dx1

dt =g1(x1,x2,m1,m2,d1) dx₂

dt =g2(x1,x2,m1,m2,d2)

y =s(x1,x2,m1,m2,d2)

Sistema linearizado na representa¸c˜aoespa¸co de estadosem torno de ¯p= (¯x,¯u,w¯) com ¯x = (¯x1,¯x2), ¯u= ( ¯m1,m¯2) e ¯w = (¯d1,d¯2):

d˜x1/dt d˜x₂/dt

| {z }

˙˜

x

=

a11 a12

a₂₁ a₂₂

| {z }

A

x˜1

˜ x₂

| {z}

˜ x

+

b11 b12

b₂₁ b₂₂

| {z }

B

m˜1

˜ m₂

| {z }

˜ u

+ e1

e₂

|{z}

E

˜d1

˜d₂

| {z }

˜ w

Em que

˜ x=

x₁−x¯₁ x2−x¯2

, u˜=

m₁−m¯₁ m2−m¯2

, w˜=

d₁−d¯₁ d2−d¯2

(30)

Representa¸c˜ ao em espa¸co de estados

Em forma compacta







˙˜

x =A˜x+Bu˜+Ew˜

˜

y =C˜x+D˜u+Fw˜ em que as matrizes jacobianas s˜ao dadas por A=

∂g

∂x

¯ p

, B= ∂g

∂u

¯ p

,E = ∂g

∂w

¯ p

,C = ∂s

∂x

¯ p

,D= ∂s

∂u

¯ p

, F= ∂s

∂w

¯ p

Pode-se tamb´em considerar











˙˜

x =A˜x+h B E

i"

˜ u

˜ w

#

˜

y =Cx˜+h

D Fi"

˜ u

˜ w

# ⇒

(x˙˜=A˜x+Bˆˆu

˜

y=Cx˜+Dˆˆu

(31)

Resposta no espa¸co de estados

Seja um sistema linear invariante no tempo (x˙(t) =Ax(t) +Bu(t)

y(t) =Cx(t) +Du(t) x0=x(0)

A sa´ıda do sistema para uma condi¸c˜ao inicialx(0) e uma entradau(t) ´e dada por

x(t) =e^Atx(0) + Zt

0

e^A(t−^τ⁾Bu(τ)dτ y(t) =Cx(t) +Du(t)

A resposta de um sistema com entrada nula ˙x(t) =Ax(t) para uma condi¸c˜ao inicialx(0) ´e dada por

x(t) =e^Atx(0)

A exponencial de matrizeÂt tem termos que são combina¸cões lineares de seus autovalores e respectivas derivadas. Se A tem um autovalor λ1 com ´ındice n₁, então as entradas deeÂtsão combina¸cões lineares de{e^λ¹^t, te^λ¹^t,· · ·,tⁿ¹⁻¹e^λ¹^t}.