Estatística descritiva
Também designada
Análise exploratória de dados ou
Análise preliminar de dados
Estatística descritiva vs inferencial
Estatística Descritiva: conjunto de métodos estatísticos que visam sumariar e descrever os atributos mais proeminentes aos dados.
Estatística Inferencial: conjunto de métodos
estatísticos que visam caracterizar (ou inferir
sobre) uma população a partir de uma parte
dela (a amostra).
Estatísticas ou medidas amostrais
Estatística ou medida amostral: uma medida numérica que descreve alguma característica de uma amostra.
É habitualmente representada por letras latinas. Por exemplo: x (média), s (desvio padrão), r (coeficiente de correlação)Amostra
xx
Parâmetros
Parâmetro: uma medida numérica que descreve alguma característica de uma população.
É habitualmente representado por letras gregas. Por exemplo: μ (média), σ (desvio padrão), ρ (coeficiente de correlação)População
Parâmetro
Ferramentas de Estatística Descritiva
Cálculo numérico de medidas amostrais.
Resumo e descrição global dos dados através da construção de tabelas e de gráficos.
Análise e interpretação dos resultados
Medidas amostrais
Tendência ou localização central:
média (mean),
mediana (median),
moda (mode),
média aparada (trimmed mean).
Medidas amostrais
Localização relativa:
Mínimo (minimum),
Máximo (maximum),
Quantil (quantile),
Quartil (quartile),
Percentil (percentile).
Medidas amostrais
Dispersão:
amplitude (range),
distância inter-quartil (inter-quartile range),
variância (variance),
desvio padrão (standard deviation),
Medidas amostrais
Assimetria:
Coeficiente de assimetria (skweness).
Tabelas de frequências
Tabelas que resumem a informação contida na amostra, ordenando os seus valores e agrupando-os em classes (de valores
repetidos ou de valores distribuídos por
intervalos).
Gráficos
Gráficos de frequências
Histogramas
Caixas de bigodes ou diagramas de extremos e quartis (boxplots)
Diagramas de caule-e-folhas (stem and leaf)
Diagramas de dispersão (scatterplot)
Descrição resumida das várias ferramentas de
Estatística descritiva
Ordenação e tabela de frequências
Tipos de frequências:
Frequência absoluta
Frequência relativa
Frequência absoluta acumulada
Frequência relativa acumulada
Uma tabela de frequências é uma tabela
onde figuram os valores de pelo menos um
destes tipos de frequências.
Tabela de frequências
Exemplo de uma tabela produzida pelo SPSS:
Durante um ano contabilizou-se diariamente o nº de golfinhos presos nas redes dos pescadores das águas Açoreanas.
nº de golfinhos presos num dia
37 14,4 14,4 14,4
45 17,5 17,5 31,9
84 32,7 32,7 64,6
52 20,2 20,2 84,8
23 8,9 8,9 93,8
11 4,3 4,3 98,1
2 ,8 ,8 98,8
1 ,4 ,4 99,2
1 ,4 ,4 99,6
1 ,4 ,4 100,0
257 100,0 100,0
0 1 2 3 4 5 6 8 9 13 Total Valid
Frequency Percent Valid Percent
Cumulative Percent
Medidas amostrais
Tendência ou localização central:
média (mean),
mediana (median),
moda (mode),
média aparada (trimmed mean).
Medidas de localização central: Média
Média: Numa amostra de n observações, x1, x2, …, xn
Se os dados estiverem agrupados (k valores distintos)
onde fi designa a frequência absoluta de xi* (ou a frequência absoluta da classe com marca xi* no caso de dados agrupados em classes)
n x n
x n
x x
x x
in i
i
n
1
2...
1n f x n
f x n
f x f
x f
x x i i
k i
i i n
n
* 1
*
* 2
* 2 1
*
1 ...
Medidas de localização central: Média
A média pode ser pensada como o centro de massa dos valores das observações, ie, o ponto de
equilibrio após dispormos as observações sobre uma régua.
Pontos afastados ou erros nas observações podem
A mediana á a observação central, depois de ordenada a amostra.
Se a amostra tiver dimensão ímpar, coincide com a observação central. Exemplo:
Na amostra 1.2; 1.7; 2.1; 2.2; 2.4 a mediana é .
Se a amostra tiver dimensão par, a mediana toma o valor da média das duas observações mais centrais.
Exemplo:
Na amostra 0.3; 0.7; 0.9; 1.1 a mediana é .
A mediana é mais robusta que a média a erros ou a observações afastadas.
Medidas de localização central:
Mediana
2.1
0.8
Medidas de localização central:
Média aparada
Uma média aparada não é mais do que uma
“mistura” entre os conceitos de média e mediana por forma a combinar as qualidades de ambas.
Uma média aparada é uma média que é calculada excluindo uma certa proporção de observações em cada extremo da amostra
.
Medidas de localização central: Moda
A moda é o valor mais frequente de uma amostra.
Ao contrário do que acontece com a mediana e a média, uma amostra pode possuir mais do que uma moda.
Moda
Medidas de localização central: Moda
A moda é a única medida de localização central que pode ser utilizada para dados numa escala nominal.
A moda pode não ter significado, especialmente em dados de natureza contínua ou em dados discretos com poucas observações repetidas!
Quando os dados estão agrupados em classes
podemos falar da classe modal, ou seja, da classe com maior frequência.
Medidas amostrais
Localização relativa:
Mínimo (minimum),
Máximo (maximum),
Quantil (quantile),
Quartil (quartile),
Percentil (percentile).
Medidas de localização
relativa: Mínimo e Máximo
Mínimo – é o valor mais reduzido da amostra
Máximo – é o valor mais elevado da amostra
Medidas de localização relativa:
Quartis
Quartis – são os valores (Q
1, Q
2e Q
3) que dividem a amostra, depois de ordenada, em quatro partes iguais (ou o mais iguais
possível).
Q2 coincide com a mediana.Medidas de localização relativa:
Quantis e Percentis
Quantil de ordem p (0≤ p ≤ 1)– é um valor, x
p, que divide a amostra em duas partes, tal que à esquerda de x
pestá a proporção p da
amostra e à direita a proporção 1-p.
Percentil de ordem p (p vai de 1 a 100) - é o mesmo que um quantil mas em que a
proporção é dada em percentagem.
Medidas amostrais
Dispersão:
amplitude (range),
distância inter-quartil (inter-quartile range),
variância (variance),
desvio padrão (standard deviation),
Medidas de dispersão:
Amplitude
A amplitude de uma amostra é a diferença entre o máximo e o mínimo.
Exemplo: Na amostra 1.2; 1.7; 2.1; 2.2; 2.3 a amplitude é . 2.3 - 1.2 = 1.1
Medidas de dispersão: Distância inter-quartil
Distância inter-quartil – é a diferença entre o 3º e o 1º quartis, Q
3- Q
1.
No intervalo que vai de Q
1a Q
3encontram-se
50% das observações (as mais centrais).
Medidas de dispersão:
variância
A variância é a média dos quadrados dos desvios das observações em relação à média da amostra.
Habitualmente considera-se uma versão corrigida da variância
Medidas de dispersão: desvio padrão
A variância não vem representada na mesma unidade das observações. Se tomarmos a raiz quadrada da variância obtemos o desvio padrão que também é uma medida de dispersão e vem na mesma unidade das observações.
Nos programas de estatística e nas máquinas de calcular o que aparece são as versões corrigidas da variância e do desvio padrão.
O desvio padrão e a variância podem ser fortemente afectados por erros ou observações muito afastadas.
Medidas amostrais:
assimetria
Coeficiente de assimetria – é uma medida que assume o valor zero quando a distribuição de frequências da amostra é completamente
simétrica e assume valores diferentes de zero
(positivos ou negativos) quando a distribuição não é simétrica.
Atenção que numa amostra é quase impossível observar simetria pura. Por isso o coeficiente de assimetria assume valores quase sempre diferentes de zero. Para termos uma ideia se a assimetria é relevante devemos comparar o valor do coeficiente com o erro associado. Se o coeficiente não exceder 2 ou 3 vezes o erro, o seu valor não será muito
Medidas amostrais:
assimetria
Uma distribuição possui assimetria positiva(alternativamente negativa) quando existe uma concentração de valores na zona de valores mais reduzidos (alternativamente elevados) da amostra.
Assimetria positiva Quase simetria Assimetria negativa Coef.ass. >0 Coef.ass. ~ 0 Coef.ass. <0
Medidas amostrais:
assimetria
A assimetria também pode ser avaliada comparando os valores da média, mediana e moda (desde que esta última faça sentido).Assimetria positiva:
moda < mediana < média
Medidas amostrais:
assimetria
Assimetria negativa: média < mediana < moda Simetria pura: média = mediana = moda Simetria aproximada: média ~ mediana ~ moda
Gráficos
Gráficos de frequências
Histogramas
Caixas de bigodes ou diagramas de extremos e quartis (boxplots)
Diagramas de caule-e-folhas (stem and leaf)
Diagramas de dispersão (scatterplot)
Histogramas
O histograma é um gráfico que reflecte a forma da distribuição de frequências da amostra. Também
procura reflectir a estrutura (forma) da população de onde foi retirada a amostra.
Para construir um histograma é necessário primeiro repartir os dados por classes e depois calcular as respectivas frequências. O histograma é um gráfico de frequências construído a partir desta tabela de frequências (por classes). Os histogramas são
particularmente úteis para variáveis contínuas ou variáveis com poucos valores repetidos.
Histogramas
A apresentação do histograma depende muito do número de classes considerado.
Um número muito grande de classes produz um histograma com demasiada
irregularidade, enquanto um histograma com um número demasiado reduzido de classes oculta a forma da distribuição (perde-se
demasiada informação).
Histogramas
Poucas classes Muitas classes
Gráficos de frequências
Gráficos de frequências são gráficos de barras que traduzem graficamente o conteúdo da tabela de
frequências. Os mais habituais são os gráficos de frequências absolutas ou relativas, mas também podemos construir gráficos de frequências
absolutas ou relativas acumuladas.
Os gráficos de frequências (não acumuladas) são apropriados para dados qualitativos ou numéricos discretos (ou que se comportam como tal). Quando as frequências absolutas são reduzidas e a gama de valores da amostra é dispersa os gráficos de
Gráficos de frequências
Chama-se função de distribuição empírica à função cuja imagem gráfica é o gráfico de frequências
relativas acumuladas.
Exemplo:
25%
50%
75%
100%
Caixas de bigodes
Pode ser encarada como a representação gráfica de algumas medidas de localização:
mediana
Q1 Q3
outliers e
extremos
Caixas de bigodes
Mínimo da amostra mas não menos de Q1-1.5(Q3-Q1)
Máximo da amostra mas não mais de Q3+1.5(Q3-Q1)
Caixa de bigodes
Algumas caixas têm os bigodes até ao
mínimo e máximo e não têm representados outliers.
As caixas de bigodes dão informação sobre
A localização central: mediana
Outras localizações: 1º e 3º quartis e mínimo e máximo.
Dispersão: amplitude e distância inter-quartil
Assimetria: posição relativa da mediana na caixa,
Caixas de bigodes
Assimetria positiva Simetria Assimetria negativa
Caixa de bigodes comparativas
As caixas de bigodes também são úteis para comparar várias amostras num mesmo
gráfico, caixas de bigodes comparativas.
Diagramas de caule e folha
Representa os dados, separando cada valor em duas partes: o caule (valor à esquerda do traço vertical) e a folha (algarismo à direita do traço vertical)
Exemplo:
(10.5 10.7 10.8 11.0 11.0 11.1 11.2 11.3 11.4 11.4 11.7 12.0 12.9 12.9 13.3 13.7 13.8 14.0 14.1)
diametro Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 3,00 10 . 578
8,00 11 . 00123447 3,00 12 . 099
3,00 13 . 378 2,00 14 . 01 Stem width: 1,00 Each leaf: 1 case(s)
Diagramas de caule e folha
Outro exemplo:
(63 64 65 66 66 69 71 71 72
………
…....85 86 87)
Devemos multiplicar cada
altura Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 2,00 6 . 34
4,00 6 . 5669 6,00 7 . 112244 8,00 7 . 55566789 9,00 8 . 000001123 3,00 8 . 567
Stem width: 10,00 Each leaf: 1 case(s)
Formas de distribuições
Os gráficos de frequências, histogramas,
diagramas de caule-e-folhas (e em parte as caixas de bigodes) dão-nos informação
quanto à forma da distribuição dos dados (e consequentemente da população de onde foram retirados)
Existem distribuições de vários tipos:
unimodais, bimodais e multimodais
Formas de distribuições
Exemplo:
unimodal bimodal
Diagramas de dispersão
Os diagramas de dispersão são gráficos que permitem relacionar duas variáveis entre si.
Representam-se pares de dados (x,y), onde
no eixo horizontal marcam-se os valores de x
e no eixo vertical os valores de y
Diagramas de dispersão
Exemplo: pesos e comprimentos de 414 recém- nascidos.
Matrix de diagramas de dispersão