Cap4. Sistemas de equações lineares
• Sabemos que:
(1) Equação linear com uma variável (ou incógnita) : = , com , ∈ ℝ Ex: 2 = 7
solução:
Ex: equação não linear com uma variável:
(2) Equação linear com 2 variáveis e : + = , com , , ∈ ℝ Ex: + 2 = 10
soluções:
(3) Equação linear com variáveis , , … , : + + ⋯ + = , com , ∈ ℝ , = 1, … ,
Ex: − 2 − +
−3 +2 = −21
1
(4) Sistema com 2 equações lineares e 2 variáveis, e : Ex1:
+ 5 = −3
3 − 4 = 10 Ex2:
− 2 = 2
−2 + 4 = −4 Ex3:
+ 2 = 2 2 + 4 = −2
• Def: Um sistema de # equações lineares com variáveis é um conjunto de # equações lineares, todas nas mesmas variáveis , , … , , ou seja,
+ + ⋯ + =
+ + ⋯ + =
$+
$+ ⋯ + …
$=
$ %− segundo membro da % -ésima equação
%&− coeficiente da variável
&na equação %
Se = 0 e = 0 e … e
$= 0 , o sistema diz-se homogéneo.
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• Def: O vetor de constantes ((
, … , (
) é solução do sistema de equações se ( , … , ) = (( , … , ( ) satisfaz TODAS as equações do sistema.
• Ex: (0,0) é solução de
− 2 = 0
−2 + 4 = 0 ? E (2,1) ?
• Def: Classificação de sistemas
Sistema impossível: não tem nenhuma solução.
Sistema possível: tem uma ou mais soluções.
Sistema possível e determinado: uma única solução Sistema possível e indeterminado: infinitas soluções.
• Obs1: Um sistema classifica-se quanto ao número de soluções.
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• Obs2: Um sistema homogéneo é sempre …
• Ex: Classifique o sistema do ex anterior ( (0,0) é solução de
− 2 = 0
−2 + 4 = 0 ? E (2,1) ?)
• Objetivos:
discutir um sistema (classificar)
resolver um sistema (determinar todas as suas soluções).
• Sejam: a) + = 1 5 3 −4 , , = −3 10 e - =
. O que é +- = , ?
b)
+ = −4 51 −2 367 8 −9 e , = 1
−12 .O que é +- = ,?
(Comece por indicar - ) .
Tem
• Def: Seja +
$×uma matriz de constantes, ,
$×um vetor de constantes e -
×um vetor de variáveis. Então,
+- = , é a forma matricial do sistema de equações e
+
+ ⋯ +
=
+ + ⋯ + =
$+
$+ ⋯ + …
$=
$é a forma algébrica do mesmo sistema,
sendo +
$×matriz dos coeficientes das variáveis nas restrições, , vetor dos segundos membros,
- vetor das variáveis.
Ex: Escreva
+ 5 = −3
3 − 4 = 10 na forma matricial.
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• Def: Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se tiverem o mesmo conjunto de soluções.
• Prop: Num sistema de equações lineares,
() Se trocarmos as posições de 2 equações, obtemos um sistema equivalente;
() Se multiplicarmos uma equação por uma constante ≠ 0, obtemos um sistema equivalente;
() Se substituirmos uma equação pela sua soma com um múltiplo de outra, obtemos um sistema equivalente.
• Exerc 1) Resolva o sistema usando apenas as propriedades anteriores (resolução pelo método da adição ordenada)
+ 5 = −3
3 − 4 = 10
2) Sistematize as contas que fez, usando matrizes.
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• Prop: Seja + | , a matriz ampliada correspondente ao sistema + = , .
Se + | , ~ +′ | ,′ , então +- = , e +′- = ,′ são sistemas equivalentes.
• Conclusão : Começando com a matriz ampliada + | , , para resolver um sistema matricialmente o objetivo é
condensar a matriz ampliada até chegar a uma matriz em escada, reduzida (isto é, matriz em escada + pivots=1 + nas colunas com pivots, só pivot ≠ 0 )
• Ex: Resolva matricialmente os sistemas dos exemplos 2 e 3 do slide 2
Ex2:
− 2 = 2
−2 + 4 = −4 Ex3:
+ 2 = 2
2 + 4 = −2 Tem
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• Resolva matricialmente:
a) 7 + 48 = 1
−8 − 29 = 2 3 + 28 = 3
b) 7 −2 + 9 = 2 8 + 49 = 3 4 − 28 − 109 = 4
c) 7 − 48 + 29 = −1
−2 + 88 − 29 = −7
− + 48 = −8 Tem
• Prop: Seja o número de variáveis do sistema +- = , .
1) se :(+) < :(+ | ,), então +- = , é um sistema impossível 2) se : + = :(+ | ,) , então +- = , é um sistema possível.
2i) se : + = :(+ | ,) = , o sistema é possível e determinado 2ii) se : + = :(+ | ,) < , o sistema é possível e indeterminado.
• Def: Grau de indeterminação dum sistema possível é o nº de graus de liberdade ou seja, o nº de variáveis livres.
Grau de indeterminação = − :(+) (onde = nº de variáveis).
• Nota: Em todos os exercícios, qualquer resolução de um sistema de equações deve ser feita matricialmente.
• TPC: 50abc, 51, 53, 55 e só depois 56 e 59.
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• Observação final: Como resolver o sistema +- = , (com variáveis e # equações) 1) Começando com a matriz ampliada + | , , condensar a matriz até chegar a uma
matriz em escada, reduzida +′ | ,′
(isto é, matriz em escada + pivots=1 + nas colunas com pivots, só pivot ≠ 0 ) 2) se :(+) < :(+ | ,), então +- = , é um sistema impossível;
se : + = :(+ | ,) , então +- = , é um sistema possível e
2i) se : + = :(+ | ,) = , o sistema é possível e determinado (única solução - = ,′ ) 2ii) se : + = :(+ | ,) < , o sistema é possível e indeterminado,
com g.i. = − : + , ou seja, há − : + variáveis livres
(pode decidir-se que as variáveis livres são as das colunas sem pivot, e escrever as restantes variáveis em função das variáveis livres).
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