a) 3a -2b c) a+b-c b) a+2(b-4c) d) 4(a+b-c)

1 Exercícios de Álgebra Linear

Cap1. Vetores

1. Sejam a = (−1,3, −2), b = (4,0, −1) e c = (−3, −1,2). Calcule

a) 3a -2b c) a+b-c

b) a+2(b-4c) d) 4(a+b-c)

2. Sejam a=(5,-1) e b=(-2,4). Calcule a+b, -b/2 e ilustre geometricamente com vetores com origem em (0,0). Calcule também (a,b).

3. Sendo 3(x,y,z)+5(-1,2,3)=(4,1,3), determine x,y e z.

4. a) Se x+0=0, o que pode afirmar sobre as componentes de x?

b) Se 0x=0, o que pode afirmar sobre as componentes de x?

5. Resolva a equação vetorial 4x – 7a = 2x + 8b – a em ordem a x.

6. Sejam a=(1,2,2), b=(0,0,-3) e c=(-2,4,-3).

a) Calcule a.b, b.a, (a+b).c, a.c+b.c, a.(3b) e 3a.b;

b) Calcule ∥a∥, ∥ ∥, ∥ ∥ e (a,b).

c) Verifique a desigualdade de Cauchy-Schwarz para a e b.

7. Sejam a e b vetores de dimensão n. Demonstre a desigualdade triangular

∥a + b ∥ ≤ ∥ a ∥ + ∥ b ∥

(sugestão: comece com ∥a + b ∥²=(a + b).(a + b) e use a desigualdade de Cauchy-Schwarz).

8. i) Averigue quais dos seguintes pares de vetores são ortogonais

a) (1,2) e (2,-1) b) (1,-1,1) e (-1,1,-1) c) (a,-b,1) e (b,a,0) ii) Nas alíneas a) e b), calcule a distância entre os vetores.

9. Determine os valores de x para os quais (x, x-1, 3) e (x, x, 3x) são vetores ortogonais.

10. a) Mostre que a equação vetorial

x1(3,-4)+x2(-2,3)=(-1,2) representa um sistema de 2 equações com 2 incógnitas, x1 ex2; b) Resolva-o;

c) Traduza o resultado obtido usando a expressão ‘combinação linear’.

11. a) Mostre que não existem escalares x1 ex2 tais que x1(2,-3)+x2(4,-6)=(1,0);

b) Traduza o resultado usando a expressão ‘combinação linear’.

12. Seja a=(8,4) e b=(-4,8). Seja x=(1-λ)a+ λb.

a) Calcule x, para λ=0, ¼, ½, ¾ e 1. Ilustre geometricamente;

2 b) Quando λ percorre todos os valores entre 0 e 1, o que acontece a x? E se percorrer todos os

valores reais?

13. Estude a independência linear dos seguintes vetores

a) (1,3) e (2, −4) b) (1,3) e (−2, −6) c) (2,3), (1,0) e (0,1) d) (0, −3,1), (2,4,1) e (−2,8,5) e) (−1,2,1) e (2, −4, −2)

Cap2. Matrizes

14. Construa as matrizes A2x3 e B2x3 tais que aij=i+j, bij=(-1)^i+j.

15. Para as matrizes do exercício anterior, calcule A+B, A-B, 5A-3B, A^T e B^T. Quais destas são simétricas?

16. Calcule, se possível, , , , , () e (), sendo = 1 2−1 0 e

a) 







=−

4 2

0

A 1 ,

















−

=

2 0

1 1

1 3

B b)

















= −

1 4 2 0

A , B =

[

]

17. Determine todas as matrizes B que são permutáveis com A= 



 



 3 2

2 1 .

18. Se Anxn e Bnxn , mostre que

(A + B)(A – B) ≠ AA – BB e que (A – B)(A – B) ≠ AA – 2AB + BB excepto em casos especiais.

Determine uma condição necessária e suficiente para que se dê a igualdade em cada caso.

19. Uma matriz diz-se idempotente se = . a) Mostre que a matriz

















−

−

−

−

−

3 2 1

4 3 1

4 2 2

é idempotente;

b) Mostre que se as matrizes A e B são tais que AB=A e BA=B, então A e B são idempotentes;

c) Determine uma matriz A de ordem 2 tal que A²=A³=O mas A≠O.

20. Complete a matriz, de modo a obter uma matriz simétrica

1 −1 . 5

. . . 8

2 −7 −1 . . . 6 3

21. Determine os valores de a para os quais a matriz

− 1 −3

+ 1 2 + 4

−3 4 −1 " é simétrica.

22. O produto de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica?

3 23. i) Calcule a característica das seguintes matrizes e indique quais são invertíveis

















−

−

















−

−

−

−

−

−



 



 



 





2 2 1 1

1 0 4 2

0 0 3 1 ) 2

1 2 1

7 4 4 2

3 1 2 1 1 )

0 2

4 3 ) 2 16

8 2

) 1 b c d

a

e)

















−

11 5 2 3

1 3 4 1

7 3 1 2

f)





















−

−

−

−

−

−

−

0 2 5 2

3 1 1 1

2 1 1 2

1 1 2 1

g) 2 03 4 h)

0 6 6 3 1 2 1 1 4 1 −3 4 1 3 2 0

ii) Usando o cálculo da característica das matrizes anteriores, diga o que pode concluir sobre a independência linear do conjunto de vetores

a) (1,2), (2,6) b) (2,3,4), (2,0,1)

c1) (1,2,-1,3), (2,4,-4,7), (-1,-2,-1,-2) c2) (1,2,-1), (2,4,-2), (-1,-4,-1), (3,7,-2) d1) (1,3,0,0), (2,4,0,-1), (1,-1,2,2) d2) (1,2,1), (3,4,-1), (0,0,2), (0,-1,2) e1) (2,1,3,7), (-1,4,3,1), (3,2,5,11) e2) (2,-1,3), (1,4,2), (3,3,5), (7,1,11)

f1) (1,-2,-1,1), (2,1,1,2), -1,1,-1,3), (-2,-5,-2,0) f2) (1,2,-1,-2), (-2,1,1,-5), (-1,1,-1,-2), (1,2,3,0) h1) (0,6,6,3), (1,2,1,1), (4,1,-3,4), (1,3,2,0) h2) (0,1,4,1), (6,2,1,3), (6,1,-3,2), (3,1,4,0).

24. Para a matriz da alínea f) do exercício anterior, matriz #, calcule ∑' %&

&() e ∑' %*&%&*

&() . 25. Determine a característica das seguintes matrizes, para todos os valores dos parâmetros

































+

−

−

− +

















−

− 0 1

0 1

1 0

0 1

) 4

1 1

6 3 1

6 5 3 ) 1

1

1 1 0

0 )

2

w z

y x

w z

y x c t

t t b x

x x x

a

26. Usando a definição de característica de uma matriz, a) Resolva de novo o exercício 13

b) Averigúe se (1, −3,2), (2, −5,3), (4,0,1) são linearmente independentes;

c) Averigúe se (1, −4,3), (3, −11,2), (1, −3, −4) são linearmente independentes.

4 27. Determine os valores de para os quais os conjuntos de vetores sejam linearmente independentes

a) {(1,0,1), (2, , 3), (2,3,1)} b) {(1,0,1), (2, , 3), (1, − , 0)}

28. Mostre que 3 02 −1 é a inversa de 51/3 0

2/3 −17 e que 1 1 −3

2 1 −3

2 2 1 "é a inversa de

−1 1 0

8/7 −1 3/7

−2/7 0 1/7".

29. Determine os escalares a e b que tornam A na inversa de B, sendo

= 2 −1 −1

1/4 8

1/8 1/8 −1/8" e = 1 2 4 0 1 6 1 3 2". 30. Calcule a inversa de cada matriz, ou conclua que não existe

a) 1 10 1 b)3 63 8 c) 3 64 8 d)1 23 4 e) 1 0 1 0 1 1 0 0 −1"

f) 2 1 4 3 2 5

0 −1 1" g)1 0 2 2 −1 0

0 2 −1" l) 1 1 −1 2 0 3

−3 1 −7" m) 1 0 0

−3 −2 1 4 −16 8"

31. Seja =⁾5−1 −√3

√3 −17. Mostre que A³=I e use essa propriedade de A para determinar A^-1.

32. Seja = 0 1 0 0 1 1 1 0 1".

a) Calcule |A|, A², A³ e mostre que A³-2A²+A-I=O;

b) Sem calcular A^-1, mostre que A^-1=(A-I)²;

c) Determine uma matriz P tal que P²=A. Há outras matrizes com esta propriedade?

33. Seja Dnxn e tal que D²=2D+3I. Mostre que existem escalares a e b tais que D³=aD+bI.

Cap3. Determinantes

34. Calcule os determinantes das seguintes matrizes

a)−1 3 5 0 b)21 −410 7 c)1 4 −2 5 13 0

2 −1 3" d)

1 2 3 4 0 −1 0 11 2 −1 0 3

−2 0 −1 3

5 e)

2 1 3 3 3 2 1 6 1 3 0 9 2 4 1 12

f)

2 0 3 −1 0 4 0 0 0 1 −1 2 3 2 5 −3

g)

−2 0 3 −1 1 0 8 10

−1 0 −1 2 3 0 5 −3

h)

2 −4 3 −1 1 23 8 10

−1 55 −1 2

−6 12 −9 3

35. Use a regra de Laplace para calcular

a);

1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4

; b);

0 0 0 0 0 8 0 0 < 0 0 0 0 0

; c);

1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 8 <

; d);

1 0 0 2 0 1 0 − 3 0 0 1 4 2 3 4 11

;

e);;

0 0 0 0 1 0 0 0 5 1 0 0 3 1 2 0 4 0 3 4 6 2 3 1 2

;;

36. Após resolução dos dois exercícios anteriores, o que pode concluir sobre a característica de cada uma das matrizes envolvidas?

37. Sejam = 1 23 4 e = 3 45 6. Calcule ||, ||, ||, ||, || e ||.

38. Sejam = 2 1 01 2 5 , = 0 2 0

2 1 1 e = . Calcule o determinante da matriz .

39. Sejam = 1 0 00 2 1 e = 2 30 1

1 0". Calcule o determinante de = ().

40. Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das seguintes afirmações:

a) O determinante duma matriz , ||, está definido para qualquer matriz ; b) O determinante de uma matriz quadrada é uma matriz quadrada;

c) Se c for um scalar e uma matriz quadrada de ordem n, então |<| = <||;

d) Se trocarmos duas linhas e duas colunas duma matriz quadrada, o determinante troca o sinal;

e) Para qualquer matriz quadrada , || = ||; f) Se || = 2 e || = 3 então | + | = 5;

g) Se || = 2 e || = 3 então || = 6.

41. Seja uma matriz 3 × 3 com || = 2. Calcule o valor do determinante de

a) b)3 c)^?) d)^@ e)

6 42. Seja =

2 3 4 6 2 0 −9 6 4 1 0 2 0 1 −1 0

.

a) Calcule os cofatores de _' e de _'*; b) Calcule ||.

43. Prove que as seguintes matrizes têm determinante zero.

a)1 2 3 2 4 5

3 6 8" b)1 8 + <

1 8 < +

1 < + 8" c)AB − C B − C B− C

1 1 B + C

C 1 B D

44. Determine os valores de para os quais E 1 2 0 1 −

0 3 0E = −12.

45. Use as operações elementares sobre as linhas da matriz e a regra de Laplace para calcular o determinante de , sendo

a) =

1 1 3 3 3 2 1 6 1 3 1 9 2 4 1 7

b) = FG GG

H1 2 2 −1 2 6 13 8 1 14 4 2 1 2 2 4 5 4 5 1 1 2 4 −1 2IJJJK

46. Mostre que as seguintes matrizes são invertíveis, calculando os respetivos determinantes.

a)1 2 3 0 4 5

0 0 8" b)A1 0 0 5 3 0

3 −2 1 4L D c)1 3 3 1 3 4 1 4 3"

47. Determine os valores de M que tornam a matriz invertível.

a)1 − M 2

3 2 − M b)−M 5

2 3 − M c)2 − M 0 0 0 1 − M 4

0 1 1 − M" d)1 − M 0 2 0 4 − M 3 0 4 −M"

48. Mostre que

a) Se for invertível então |^?)| = ||^?).

b) Se e forem matrizes de ordem N e se for invertível então || = |^?)|.

7 49. Uma matriz , quadrada de ordem N diz-se involutiva se = O.

a) Mostre que a matriz = 5 1 − 1 − 7 é involutiva, para qualquer valor de ; b) Mostre que é involutiva se e só se (O − )(O + ) = P;

c) Mostre que o determinante de uma matriz involutiva é 1 ou -1.

NOTA: Mais exercícios de determinantes, para quem ainda precise de praticar Exercício extra1. Calcule os seguintes determinantes

a)

2 0 3

4 1 1

1 2 5

− b)

1 4 1

2 1 0

4 2 3

c)

1 0 5

1 1 4

6 0 1

− d)

1 2 1

0 1 3

2 1 4

−

−

e)

5 0 0

1 4 0

1 2 6

f)

0 1 1 0

2 0 1 4

6 9 0 2

6 4 3 2

−

− g)

2 0 1 4

0 1 2 8

4 0 1 6

7 1 0 2

−

−

h)

0 0 0 4 3

0 0 2 3 5

0 0 1 2 0

3 0 2 0 0

1 3 0 0 0

−

−

−

−

i)

8 2 0 0 0

4 1 0 0 0

0 0 6 2 5

0 0 4 1 0

0 0 3 1 2

−

−

−

j)

3 1 0 0 0

4 2 3 0 0

2 1 1 4 0

0 0 2 1 3

0 0 0 1 2

−

−

−

−

Cap4. Sistemas de equações lineares

50. Averigue quais dos seguintes sistemas são possíveis. Para esses, indique o número de graus de liberdade e determine todas as suas soluções

a) Q−2B − 3C + R = 34B + 6C − 2R = 1 b) Q−2B − 3C + R = 04B + 6C − 2R = 0 c) S B − C + R = 1 B + 2C − R = 0 2B + C + 3R = 0 d) S B − C + R = 0

B + 2C − R = 0

2B + C + 3R = 0 e) T

B − C + 2R + U = 1 2B + C − R + 3U = 3 B + 5C − 8R + U = 1 4B + 5C − 7R + 7U = 7

f) T

B − C + 2R + U = 0 2B + C − R + 3U = 0 B + 5C − 8R + U = 0 4B + 5C − 7R + 7U = 0

8 51. Discuta os sistemas, para os diferentes valores dos parâmetros a e b,

a)Q2B + 3C = B + 8C = 1 b) S B + 2C + 3R = 1

−B + C − 21R = 2 3B + 7C + R = 8 .

52. Seja V = W um sistema de equações lineares. Prove que se X e Y forem soluções do sistema, então V = (1 − M)Z + MY também é solução do sistema, para qualquer M real.

Use este facto para provar que um sistema possível ou tem uma única solução ou tem infinitas soluções.

53. Considere o sistema S B + C + R = 2 2B − 3C + 2R = 4

3B − 2C + 8R = .

a) Discuta-o, para todos os valores dos parâmetros a e b;

b) Determine todos os vetores ortogonais a (1,1,1), (2, −3,2) e (3, −2, 8), simultaneamente.

54. Sejam [, \ e ] ∈ ℝ^` e linearmente independentes.

a) Prove que [ + \, \ + ] e [ + ] também são linearmente independentes.

b) O mesmo acontece com [ − \, \ + ] e [ + ]?

55. a) Mostre que se || ≠ 0 então a solução do sistema V = W é V = ^?)W.

b)Resolva o sistema de equações b2B + 3C = 33B − 45 = 5 usando a propriedade da alínea anterior.

56. Mostre que o vetor (0, −1,2)

a) pode ser escrito como combinação linear de (1,1,1), (2,1,0) e (3,1,4);

b) não pode ser escrito como combinação linear de (1,1,1), (3,1,4) d (−1, −3,0).

57. Se possível, escreva o vetor

a) (1,2) como combinação linear de (1,2), (1, −1) e (−1,1);

b) (1,0,1,1) como combinação linear de (1, −1,1,1), (1,1,2,4) e (1,1,0,2).

58. Mostre que as proposições seguintes são falsas

a) Um sistema de equações lineares com o número de equações igual ao número de variáveis é sempre possível e determinado;

9 b) Um sistema de equações lineares com o número de equações igual ao número de variáveis tem pelo

menos uma solução;

c) Um sistema de equações lineares com mais equações do que variáveis é impossível;

d) Um sistema de equações lineares com mais variáveis do que equações é possível e indeterminado.

59. Determine, caso existam, os valores dos parâmetros e 8 para os quais

a) o vetor (0,0,1) é combinação linear dos vetores (8, 1, 8), (1,0,0) e (0, , ); b) o vetor ( , 2,1) é combinação linear dos vetores (1,2,1), (2, 8, 1) e (−1,0,1).

NOTA: Se ainda precisa de praticar resolução de sistemas, faça algumas das alíneas dos exercícios seguintes.

Exercício extra2. Resolva os sistemas (para os indeterminados, indique também o grau de indeterminação)

a)T

B + C + R = 1 B − C + R = 0 C + 2R = 1 2B + C + 4R = 1

b) T

B + C + R = 0 B − C + R = 0 C + 2R = 0 2B + C + 4R = 0

c)S B + C + R + U = 0 B + 3C + 2R + 4U = 0

2B + C − U = 1

d) S B + C + R + U = 0 B + 3C + 2R + 4U = 0

2B + C − U = 0 e)Q B + C − R + U = 22B − C + R − 4U = 1 f)Q B + C − R + U = 02B − C + R − 4U = 0

g)T

B − C + R + 2U = 1

−B + 2C + R − U = 1 C + 2R + U = 2 2B − 3C + 3U = 0

h) T

B − C + R + 2U = 0

−B + 2C + R − U = 0 C + 2R + U = 0 2B − 3C + 3U = 0

Exercício extra3. Discuta os sistemas, para os diferentes valores dos parâmetros a e b.

a) S B + C + R = 3 B − C + R = 1

2B − 2C + R = 2 b)e B + C = B + 2C =

B + 3C = ^* c)S B + R = 2 B + C + R = 2 3B + C + 3R = 6 d)SB + C + R = 1

B − C + 2R =

2B + 8R = 2 e)S 2B + C = 8 3B + 2C + R = 0

B + C + R = 2 f)S8C + R = 1 C + R = 0 B + 8C = 0

10 Cap5. Formas quadráticas

60. Classifique as seguintes formas quadráticas, definidas em ℝ, a) f(B, C) = 4B+ 8BC + 5C

b) f(B, C) = −B+ BC − 3C c) f(B, C) = B− 6BC + 9C d) f(B, C) = 4B− C e) f(B, C) =^gh− BC +ⁱ_'^h f) f(B, C) = 6BC − 9C− B g) f(B, C) = B+ 2BC + C h) f(B, C) = B+ 2BC + 3C

61. Classifique as seguintes formas quadráticas, definidas em ℝ^*, a) f(B, C, R) = 3B− 2BC + 3BR + C− 4CR + 3R

b) f(B, C, R) = B+ 2C+ 8R c) f(B, C, R) = C+ 8R

d) f(B, C, R) = −3B+ 2BC − C+ 4CR − 8R e) f(B, C, R) = B+ 2BC + 3C

62. Para cada uma das formas quadráticas do exercícios anterior, indique o valor lógico da proposição

∃(B, C, R) ≠ (0,0,0): f(B, C, R) = 0.

63. Classifique as formas quadráticas a) f(B, C) = B+ C

b) f(B, C) = 2BC

c) f(B, C) = B+ 2BC + C d) f(B, C) = −B− C e) f(B, C) = B− 2BC + C f) f(B, C) = 3B− 4BC + 3C g) f(B, C) = 3B+ 16BC + 3C h) f(B, C, R) = B− 4BC + 4BR − R

i) f(B, C, R) = B2BC + 3BR + 5C+ 4CR + 6R

11 64. Classifique as formas quadráticas f(B, C, R) = [B C R] nB

CRo, onde

a) = 1 2 −1 2 7 0

−1 0 −3" b) = 0 0 0 0 4 0

0 0 −4" c) = 1 2 −1

2 7 −5

−1 −5 4 "

d) = −1 1 1

1 −3 0

1 0 −2" e) = −1 0 1 0 0 0 1 0 −2"

65. Classifique as seguintes matrizes (DP, DN, SDP, SDN ou IND)

a) = −1 2 0 2 −4 0

0 0 2" b) = −1 2 0 2 −4 0

0 0 −2" c) =

1 0 1 3 0 0 0 0 1 0 2 7 3 0 7 4

d) =

3 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 7

66. Determine os valores do parâmetro real p para os quais a matriz 2 0 0 0 p 3

0 3 p" é definida positiva.

67. Classifique a forma quadrática f(B, C, R) = BR − R através da sua matriz simétrica.