RENATA DA SILVA MATOS

RENATA DA SILVA MATOS

A UTILIZAÇÃO DOS VALORES EXTREMOS DAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS

JUSSARA – GO 2008

RENATA DA SILVA MATOS

A UTILIZAÇÃO DOS VALORES EXTREMOS DAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS

Monografia aprovada como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática na Universidade Estadual de Goiás – UEG, pela Banca Examinadora:

________________________________________________________ Orientador: Prof. Ms. Márcio Lemes de Sousa – UEG

________________________________________________________ Prof. Dr. Romildo da Silva Pina - UFG

________________________________________________________ Profa. Esp. Rejane Alves de Souza Tiago - UEG

Dedico aos meus pais João e Divina, à minha irmã Patrícia e ao meu orientador Márcio.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus pela dádiva da vida, e pelas inúmeras bênçãos que a mim foram concedidas não somente nessa etapa, como em toda minha vida.

Aos meus pais João da Silva Matos e Divina Antônia de Matos, por serem a razão da minha vida e a motivação dos meus estudos. Por me apoiarem durante todo o tempo. E principalmente, por me concederem as bases para que eu me tornasse a pessoa que sou.

À minha irmã Patrícia da Silva Matos, que mesmo distante durante esse ano de pesquisa, esteve sempre com apoio constante, e presente durante todas as outras etapas da minha vida acadêmica.

Ao meu orientador Márcio Lemes de Sousa, que sempre demonstrou seu profissionalismo e dedicação durante todo o trabalho. E principalmente, pela amizade e apoio durante cada etapa dessa pesquisa, contribuindo significativamente para meu desenvolvimento.

À minha amiga Andréia Cardoso pelo companheirismo, auxílio e por passar comigo os momentos mais difíceis da graduação.

Ao professor Álvaro Moreira Neto que no início deste curso me fez compreender os meus valores de forma a me encontrar nessa ciência apaixonante chamada Matemática.

À coordenadora do curso de Matemática da UEG - Unidade de Jussara, profa. Rejane Alves de Souza Tiago

Aos professores e colegas de curso, com os quais compartilhei momentos inesquecíveis da minha vida, momentos de felicidade e dificuldade, porém essenciais para a concretização desta etapa. Todos estarão sempre no meu coração.

A toda minha família e amigos que direta ou indiretamente colaboraram para a conclusão desta pesquisa.

A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens.

RESUMO

Num mundo capitalista, buscam-se sempre as melhores ofertas, onde se gaste menos e lucre mais. Busca-se sempre o melhor, mais rápido, mais eficiente. Mas, às vezes para conseguir chegar a esses valores deve-se lançar mão de algumas ferramentas importantes para que se tenha êxito na resolução de problemas. São exatamente estas as ferramentas que buscaremos nesse trabalho, visando sempre unir teoria e prática, levando a matemática às situações mais corriqueiras da vida quotidiana e mostrando assim a amplitude do Cálculo Diferencial e Integral.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Definição da derivada 22

Figura 2 - Valores extremos 25

Figura 3 - Pontos de máximo e mínimo locais 26

Figura 4 - Valor mínimo 26

Figura 5 - Valores extremos inexistentes 27

Figura 6 - Valores extremos em intervalo fechado 29

Figura 7 - Teorema de Fermat 30

Figura 8 - Ponto crítico 32

Figura 9 - Extremos inexistentes em um ponto crítico 33 Figura 10 - Extremos absolutos em intervalo fechado 35 Figura 11 - Pontos Críticos

Figura 12 - Teorema do Valor Médio

37

Figura 13 - Intervalos de crescimento e decrescimento 42

Figura 14 - Extremos relativos 44

Figura 15 - Concavidade 47

Figura 16 - Valores extremos absolutos 48

Figura 17 - Distância de um ponto à parábola 51

Figura 18 - Maior área de um retângulo inscrito em um semicírculo 52 Figura 19 - Maior área de um retângulo inscrito em um semicírculo

Figura 20 - Campo retangular

53 54

Figura 22 - Lucro máximo 60

Figura 23 - Galpão e área retangular 61

Figura 24 - Receita máxima 63

Figura 25 - Soma mínima Figura 26 - Área de piquenique

66 67

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 10

1 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – HISTÓRIA E CONCEITOS FUNDAMENTAIS

12

1.1 – Um pouco de História 12

1.2 – Alguns conceitos fundamentais 20

2 - VALORES EXTREMOS DAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL 27

2.1 – Valores máximos e mínimos 27

2.2 - Aplicação de derivadas em construção de gráficos 39

INTRODUÇÃO

Há milhares de anos o homem já via na Matemática a chave para que fossem resolvidos seus problemas da vida quotidiana. Esse pode ter sido o principal motivo para o desenvolvimento dessa ciência sabendo que a busca por melhora é constante em qualquer área. Foi pensando desta forma que muitos estudiosos se dedicaram durante anos, décadas e até mesmo durante uma vida inteira para que fossem acrescidos os conhecimentos matemáticos. Alguns se destacaram, outros nem tanto, mas o importante é que cada um desempenhou o seu papel e deu sua contribuição para que o progresso acontecesse.

Nessa pesquisa procura-se trazer as contribuições do Cálculo Diferencial e Integral em diversas áreas, tentando colocá-lo mais próximo das pessoas, de forma a torná-lo um aliado na resolução de vários problemas. Para isso buscar-se-á o estudo do Cálculo Diferencial e Integral de forma prazerosa e que levem-nos a resultados realmente eficazes.

Os valores extremos das funções de uma variável real serão trabalhados na resolução de problemas que envolvam máximos e mínimos, sendo então indispensável o estudo de importantes Teoremas que darão o suporte necessário durante o trabalho e serão de fundamental importância no estudo do comportamento das funções, sendo esta uma forma clara de se verificar os resultados obtidos numa aplicação.

No primeiro capítulo tem-se a trajetória dos principais precursores do Cálculo Diferencial e Integral, onde será feita uma abordagem de suas importantes contribuições no âmbito das derivadas, que é o foco dessa pesquisa. Também no primeiro capítulo faz-se necessário a apresentação de alguns conceitos que serão de fundamental importância para o bom entendimento dos capítulos posteriores.

O capítulo dois baseia-se no estudo de vários Teoremas e métodos que serão ferramentas essenciais durante a resolução dos problemas apresentados nas aplicações, dos quais destacam-se pela extrema importância, o Teorema de Weierstrass e o Teorema de Fermat que serão fortes aliados na busca dos resultados esperados. Estes e todos os outros Teoremas elencados no trabalho virão acompanhados de demonstrações e exemplos, visando sempre uma forma clara de se trabalhar o Cálculo Diferencial e Integral.

Ainda no capítulo dois será reservada uma seção para trabalhar mais profundamente as aplicações das derivadas nas construções de gráficos, o que será de grande importância durante as aplicações.

O capítulo três traz situações naturais, do dia-a-dia e também puramente matemáticas, onde o principal objetivo será a utilização dos métodos explorados nos capítulos um e dois desta pesquisa, para uma resolução eficiente.

CAPÍTULO 1 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – HISTÓRIA E CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Neste primeiro capítulo abordaremos, a trajetória de alguns matemáticos que deram grandes contribuições no que diz respeito ao estudo do Cálculo Diferencial e Integral, contaremos um pouco da história de cada um deles e quais foram suas principais contribuições no desenvolvimento dessa área. Em seguida, teremos a exposição de alguns conceitos que nos serão de fundamental importância durante toda a pesquisa.

1.1 Um pouco de história

Durante toda a História, muitos estudiosos contribuíram para que a matemática fosse desenvolvida. Em cada fase vivida aperfeiçoaram-na um pouco mais, e ainda hoje continuam trilhando novos caminhos através do que já foi desenvolvido. Portanto, é de fundamental importância que conheçamos um pouco melhor essa história, e principalmente, os precursores dessa ciência.

No entanto, não podemos citar o criador, ou mesmo o pai do Cálculo. Veremos que cada um deles contribuiu grandemente para o aperfeiçoamento dessa ciência, deixando sua marca na História da Matemática.

Começaremos por Pierre Fermat, que nasceu em 17 de agosto de 1601, na França, filho de um bem sucedido vendedor de peles, teve boa educação, provavelmente estudou no mosteiro franciscano de Gandselve, próximo à Beaumont-de-Lomagne, sua cidade natal. Estudou em duas Universidades, primeiramente na Universidade de Toulouse, mudando-se depois para Bordeaux, onde iniciou seus estudos matemáticos, que apesar de não terem sido publicados na época, foram de grande relevância para estudos posteriores.

Anos depois, Fermat se deslocou para Orleans, onde estudou direito, atuou como advogado e também no parlamento, como oficial do governo, o que o levou a mudar seu nome de Pirre Fermat para Pierre de Fermat, devido aos cargos que ocupava.

Mas mesmo se ocupando de outros afazeres, Fermat, sempre estudava matemática em suas horas vagas. Portanto, seu trabalho em Orleans não influenciou seu gosto por essa ciência, não perdendo também os contatos matemáticos que havia deixado em Bordeaux.

“Fermat foi verdadeiramente “o príncipe dos amadores” em matemática . Nenhum matemático profissional de seu tempo fez maiores descobertas ou contribuiu mais para o assunto, no entanto Fermat era tão modesto que quase nada publicou.” (BOYER, 2002, p. 259.)

Com tamanha inteligência para a matemática, Fermat, perdeu muito não publicando suas obras, posto que assim, outros matemáticos que tinham conhecimento de suas pesquisas e apresentavam um pouco mais de organização nos trabalhos acabavam melhorando os estudos de Fermat e publicando-os.

Em Toulouse encontrou Carcavi, um amigo advogado, que compartilhava com ele o gosto pela matemática e a quem Fermat contou suas descobertas. Carcavi auxiliou-o a entrar

em contato com a sociedade científica da época. Assim ele teve o primeiro contato com os estudos sobre queda livre, apesar de não se interessar muito por aplicações físicas.

A comunicação entre esses matemáticos era feita basicamente através de cartas, e em uma delas Fermat enviou aos matemáticos de Paris dois problemas sobre máximos e mínimos, a fim de que eles pudessem resolvê-los. Era o que ele gostava de fazer. Desafiar os outros matemáticos a chegar aos resultados que ele já havia alcançado.

Em Paris, não conseguiram descobrir os meios que fizeram com que Fermat desenvolvesse esse estudo, e acharam aqueles problemas muito complexos e sem solução levando-se em consideração o quanto a matemática havia sido desenvolvida até aquela época.

“Evidentemente Fermat não tinha o conceito de limite, mas por outro lado seu método para máximos e mínimos se assemelha ao usado no Cálculo hoje, só que agora se usa em geral o símbolo h ou ∆x em lugar do E de Fermat.” (BOYER, 2002, p.255.)

Foi então que Fermat enviou seu Método para determinar máximos e mínimos e tangentes à linhas curvas e alguns outros estudos já desenvolvidos por ele.

É possível que Fermat desde 1629 estivesse de posse de sua geometria analítica, pois por essa época ele fez duas descobertas significativas que se relacionam de perto com seu trabalho sobre lugares. A mais importante dessas foi descrita alguns anos depois em um tratado, também não publicado durante sua vida, chamado Método para achar máximos e mínimos.(BOYER, 2002, p.255.)

Para a publicação de seus trabalhos Fermat teve muita dificuldade, pois estes, quase nunca estavam apresentáveis, por sua falta de organização. Estas publicações foram feitas nas obras de outros estudiosos, que os incluíam em suplementos intitulados métodos de Fermat.

O fato de Fermat sempre desafiar os outros matemáticos, fez com que ele contraísse várias inimizades. Uma delas com Descartes, porque fez um comentário não muito agradável sobre um de seus trabalhos. Ao que Descartes, mais que rapidamente contra-atacou Fermat,

afirmando que seu método para determinar máximos e mínimos e tangentes à linhas curvas não era eficaz. No entanto Descartes só fez isso, porque percebeu que Fermat poderia ofuscar o La Geométrie, trabalho que estava sendo desenvolvido por ele. Mas, outros estudiosos interviram nessa discussão, para que Fermat comprovasse que estava realmente correto. O que levou Descartes a afirmar que depois de ter visto o último método usado por Fermat para encontrar tangentes à linhas curvas, só poderia avaliá-lo de uma única maneira: realmente o método era muito eficaz. Descartes reconheceu seu erro e disse que nunca o teria contradito se soubesse como ele funcionava desde o início.

Por anos Fermat se manteve afastado de Paris mesmo depois de todo o equívoco entre ele e Descartes ter sido solucionado O seu afastamento se deu por motivos de saúde que o deixou tão debilitado que chegaram a anunciar sua morte.

Mesmo doente ele não poderia perder tempo, aproveitou-se, então, desse momento em que esteve se recuperando para estudar. Foi quando fez grandes descobertas com relação à Teoria dos Números e o Teorema de Fermat, de grande importância nessa pesquisa. Além disso, sua contribuição para com a Física e a Geometria foi de extrema importância para aqueles que herdaram suas teorias e também para nós matemáticos, que nos valemos delas ainda hoje.

Isaac Newton foi um dos mais célebres seguidores de Fermat. Apesar dele não ter nascido com o dom matemático, desde muito cedo foi detectado nele um talento incomum para a matemática. Ele próprio não se interessava por esse assunto mas não abria mão de seu gosto pela Química, ciência a qual ele se aprofundou e deixou marcas indeléveis.

Foi justamente devido ao seu interesse pela Química que ele conheceu e começou a se interessar pela Matemática. Arithmetica infinitorum de Wallis foi provavelmente a mais

importante de suas leituras, a partir daí o interesse por Galileu, Fermat, Huygens e outros foi crescente.

Durante alguns anos e com o auxílio de seu mestre Isaac Barrow – que havia sido indicado à cadeira Lucasiana de Matemática em Cambridge – Newton estudou muito o que já se havia desenvolvido em matemática, chegando então a alcançar as fronteiras do conhecimento. Nesse momento, já poderia dar sua própria contribuição nessa área.

É de Newton o mérito da descoberta das séries infinitas, algo que até então amedrontava muitos matemáticos da época. Porém, esse estudo já estava sendo feito, na Itália, por Gregory, apesar de que, dificilmente Newton tivesse algum conhecimento disso. Outra de suas contribuições foram as taxas de variação, unindo os problemas das séries infinitas e das taxas de variação, e chamando de meu método.

Foi justamente durante o tempo em que o colégio onde Newton estudava teve de estar fechado por causa de uma epidemia é que ele, assim como Fermat, mesmo em casa, não se deu ao luxo de parar com suas investigações o que resultou em quatro de seus mais significativos trabalhos: o teorema binomial, o cálculo, a lei de gravitação e a natureza das cores.

Com a saída de Barrow da Cadeira Lucasiana de Cambridge, Newton foi nomeado para ocupá-la como um prêmio pelos trabalhos feitos em Cálculo, onde já havia desenvolvido um método para se calcular áreas de uma região delimitada por uma curva.

Isaac Newton fez grandes contribuições no desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral, motivo pelo qual passou a ser conhecido como “pai do Cálculo”. No entanto, muito já havia sido desenvolvido por Fermat, e muito ainda se desenvolveu após Newton.

Newton não foi o primeiro a diferenciar ou integrar, nem a ver a relação entre essas operações no teorema fundamental do cálculo. Sua descoberta

consistiu na consolidação desses elementos num algoritmo geral aplicável a todas as funções, sejam algébricas, sejam transcendentes. (BOYER, 1994, p. 292).

Como professor lucasiano1, ele desenvolveu trabalhos sobre óptica e mecânica celeste, entre outros. Nessa época desvendou vários fenômenos do universo, publicando-os mais tarde em Philosophiae naturalis principia mathematica ou Principia, como ficou conhecida.

Além dos estudos já realizados sobre o movimento dos corpos celestes, Newton, a partir da ação da força centrípeta, demonstrou que os planetas foram atraídos pelo Sol, análise que legou a seu inventor um grande prestígio.

Infelizmente, ele teve que abandonar a pesquisa devido a um colapso nervoso; então ele teve que tornar-se guardião da Casa da Moeda Real, em Londres, onde terminou seus dias.

No entanto, para continuar desenvolvendo seus estudos e aperfeiçoando seus métodos estava Gottfried Wilhelm von Leibniz, que nasceu em primeiro de julho de 1646, em Leipzig, na Alemanha. Filho de Friedrich Leibniz e Catharina Schmuck, Leibniz, foi criado praticamente pela mãe, pois seu pai, um professor de filosofia, morreu antes que ele completasse sete anos de idade.

Ingressou na escola aos sete anos, e por causa do interesse em ler os livros do pai, Leibniz foi autodidata em Latim e Grego até os doze anos. Aos quatorze entrou na Universidade de Leipzig onde estudou filosofia, teologia, direito e matemática, graduando-se bacharel em 1663.

Durante suas férias de verão, após graduar-se, conheceu o professor de matemática Erhard Weigel, que muito o influenciou com seus estudos sobre lógica e filosofia.

1

Voltando para Leipzig, seguiu em direção ao doutorado. Recebeu o grau de Mestre em Filosofia, e sua mãe faleceu logo após a apresentação de sua dissertação.

Aos vinte anos de idade, lhe foi recusado o grau de doutor em direito, por causa de sua idade. Por esse motivo, Leibniz deixou Leipzig e se deslocou para Nuremberg, onde na Universidade de Altdorf obteve seu doutorado. Lá recusou o cargo de professor de direito, entrando então no serviço diplomático.

Leibniz em 1672, já havia começado a construir uma máquina de calcular, e pretendia então ir à Paris para fazer contatos científicos e continuar desenvolvendo sua máquina. Nesta visita à Paris, feita no mesmo ano, encontrou-se com Christiaan Huygens que o indicou algumas obras, caso quisesse se tornar um matemático.

Não tardou para que Leibniz comprasse alguns exemplares e fizesse seu estudo, melhorando assim sua máquina de calcular. Nessa mesma época, visitou a Royal Society2 _e mostrou sua calculadora ainda incompleta. Conversou também com alguns matemáticos e expôs a eles seu estudo sobre séries, descobrindo assim que tal estudo já estava sendo desenvolvido. Ouviu também na Royal Society alguns comentários desfavoráveis a respeito de sua máquina. Tais comentários fizeram com que Leibniz se dedicasse ainda mais em seus estudos, pois percebeu que ainda não possuía o conhecimento necessário. Ingressou na Royal Society no mesmo ano, porém com a incumbência de terminar sua calculadora, o que não aconteceu tão rapidamente.

Mas foi em 1675, que, para ele, o Cálculo Diferencial tomou forma, começando pelo estudo de séries infinitas, assim como Newton, o que muito o auxiliou no desenvolvimento de

2

A Royal Society de Londres — ou Sociedade Real de Londres — é uma instituição destinada à promoção das ciências fundada em 1660.

novos conhecimentos. No entanto, ainda trabalhou bastante para desenvolver uma notação adequada, que ajudasse o raciocínio.

“Leibniz sempre teve uma percepção aguda da importância de boas notações como ajuda ao pensamento, e sua escolha no caso do cálculo foi particularmente feliz.”( BOYER, 1994, p. 295). Leibniz desejava continuar em Paris, mas não recebeu nenhum convite da Academia de Ciências, motivo pelo qual, passou a trabalhar como bibliotecário na corte de Hanover. Lá viveu até o fim de sua vida.

Mas seus estudos não pararam. Uma de suas conquistas foi o desenvolvimento do sistema binário de aritmética. Fez também um estudo aprofundado dos sistemas de equações lineares, o que o levou a desenvolver bastante o conhecimento a respeito dos determinantes.

Em 1684, foram publicados os detalhes do Cálculo Diferencial desenvolvidos por Leibniz, e dois anos mais tarde, do Cálculo Integral, aparecendo então pela primeira vez a notação usual de integral.

No entanto, existia uma disputa entre Newton e Leibniz a respeito da descoberta do Cálculo. Em 1711, Leibniz foi até mesmo acusado de plágio numa das obras de Keill, que afirmou que algumas cartas trocadas entre Newton e Leibniz, continham informações suficientes para que Leibniz chegasse aos seus resultados.

Nessa época, Leibniz visitou a Royal Society para pedir retificações do que foi dito na obra de Keill, porém não obteve êxito, afinal, nunca fora chamado para dar a sua versão a respeito dos fatos ocorridos, e o relator da Royal Society era o próprio Newton.

A partir de 1715, Leibniz continuou a estudar, tendo nesse momento, contato com o patrocinador de Newton, Samuel Clarke, que o auxiliou com informações a respeito do espaço e atração gravitacional, entre outros.

Leibniz estudou e fez grandes descobertas até 1716, quando adoeceu e chegou a falecer.

Muitos foram os matemáticos que auxiliaram no desenvolvimento do Cálculo, porém, para nosso trabalho, as mais significativas contribuições vieram de Fermat, Newton e Leibniz, motivo este que nos leva a tê-los como condutores nesta pesquisa.

1.2 Alguns Conceitos Fundamentais

Serão expostos nesta seção, alguns conceitos de fundamental importância durante todo o trabalho, tais como: derivada, pontos de máximos e mínimos locais e globais.

Definição 1.2.1 - Derivada - Sejam f uma função real e a um ponto de seu domínio. O limite da razão incremental

(

)

( )

h a f h a f + −

quando existe e é finito, denomina-se derivada

de f em a.

Seja f uma função, f: U → ℜ onde U é um conjunto aberto contido nos reais ℜ_, e

sejam o ponto P = (x, f(x)), e o ponto Q = (x + h, f(x + h)) dois pontos quaisquer do gráfico de f. Consideremos então a reta que passa pelos pontos P e Q. Temos que o coeficiente angular de PQ é dado por:

(

)

( )

h x f h x f + −

(

x h

)

f

( )

x f + − h 2 Q 1 Q

( )

x f h x + x

(

x h

)

f + Q P 3 Q Figura 1 chamada de razão incremental.

Quando (x + h) tende a x, isto é, quando o ponto Q aproxima-se de P passando pelos pontos Q1, Q2, etc. (como mostra a figura 1), a razão incremental aproxima-se de um valor finito que denotaremos por m, ou seja, quando h tende a zero, a razão incremental aproxima-se desaproxima-se valor m e escrevemos m como o limite da razão incremental quando h tende a zero, ou seja,

(

)

( )

h x f h x f m h − + = →0 lim

m é chamada de derivada de f, ou inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P, e denotada por f’(x). Podemos então reescrevê-la como:

( )

(

)

( )

h x f h x f x f h − + = →0 ' _lim x y

Dizemos que a função f é derivável ou diferenciável se f for derivável em cada ponto de seu domínio.

Exemplo 1.2.1

Seja f(x) = x². Calcule f’(x).

Solução: Pela definição 1.2.1, temos:

f’(x) =

(

+

)

−

( )

= → _h x f h x f h 0 lim

(

)

h x h x h ² ² lim 0 − + → Como

(

)

h x h x+ ² − ² = + = h h xh ² 2 , 2x +h h ≠0 Segue que f’(x) = lim(2 ) 2 . 0 x h x h = + → Portanto, se f(x) = x², então f’(x) = 2x.

Então, é fácil visualizar que f’(x) é também uma função de x, e, dessa forma podemos considerar sua derivada, chamada de derivada segunda de f caso exista e indicada pelo símbolo f” e assim por diante.

Definição 1.2.2 - Intervalos de crescimento e decrescimento

Sejam f(x), uma função, I um intervalo contido no domínio de f. Temos:

f(x) é dita crescente em I se e somente se, para quaisquer dois valores a e b no intervalo I, verifica-se que:

Se a < b, então f(a) < f(b).

Uma função é dita crescente se for crescente em todo o seu domínio.

f(x) é dita estritamente crescente em I se e somente se, para quaisquer dois valores a e b no intervalo I, verifica-se que:

Se a < b, então f(a) < f(b).

f(x) é dita decrescente se e somente se, para quaisquer dois valores a e b no intervalo I, verifica-se que:

Se a < b, então f(a) > f(b).

Uma função é dita decrescente se for decrescente em todo o seu domínio.

f(x) é dita estritamente decrescente se e somente se, para quaisquer dois valores a e b no intervalo I, verifica-se que:

Se a < b, então f(a) > f(b).

f(b) f(a)

f(a) f(b) a b a b

Função crescente Função decrescente

Definição 1.2.3 - Máximos e mínimos: Sejam f uma função, A contido no Df e p ∈ A. Dizemos que f(p) é o valor máximo de f em A ou que p é um ponto de máximo de f em A se

f(x) ≤ f(p) para todo x em A. Se f(x) ≥ f(p) para todo x em A, dizemos então que f(p) é o valor mínimo de f em A ou que p é um ponto de mínimo de f em A.

y P1 P2 x A Figura 2 f(p1) é o valor máximo de f em A;

f(p2) é o valor mínimo de f em A (como mostra a figura 2).

Definição 1.2.4: Sejam f uma função e p ∈ Df. Dizemos que f(p) é o valor máximo global de f ou que p é um ponto de máximo global de f se, para todo x em Df, f(x) < f(p). Se, para todo x no Df, f(x) ≥ f(p), diremos então que f(p) é o valor mínimo global de f ou que p é um ponto de mínimo global de f.

Definição 1.2.5: Sejam f uma função e p ∈ Df. Dizemos que p é um ponto de máximo local de f se f(x) ≤ f(p) para todo x em algum intervalo aberto contendo p. Por outro lado, dizemos que p é ponto de mínimo local de f se f(x) ≥ f(p) para todo x em algum intervalo aberto contendo p.

y

P1 P2 P3 P4 P5 P6 x Figura 3

p1, p3 e p5 são pontos de máximo local; f(p5) é o valor máximo global de f;

p2, p4 e p6 são pontos de mínimo local; f(p2) é o valor mínimo global de f (como mostra a figura 3).

Exemplo 1.2.2: Seja f(x) = x², temos que:

O gráfico da função f é uma parábola. O ponto mais baixo dessa parábola está na origem (0,0) e sua concavidade está voltada para cima. Essa função tem valor mínimo absoluto em x = 0. Não há valor máximo absoluto de f (como mostra a figura 4).

Figura 4

Observando o gráfico da função f, podemos ver que essa função não possui um valor máximo absoluto nem um valor mínimo absoluto. Essa função não possui nenhum extremo local (como mostra a figura 5).

Figura 5

Um exemplo claro dos problemas que serão resolvidos durante nossa pesquisa é o seguinte:

O departamento de estradas de rodagem está planejando construir uma área de piquenique para motoristas, à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com área de 5.000 metros quadrados, e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a obra?

CAPÍTULO 2 – VALORES EXTREMOS DAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

Daremos início ao nosso estudo enunciando alguns teoremas importantes durante a pesquisa. Estaremos expondo o Teorema de Fermat, o Teorema do Valor Médio, o Teorema de Rolle, entre outros. Estaremos também expondo métodos e testes que facilitam nosso trabalho, bem como a resolução de problemas relacionados a máximos e mínimos.

2.1 Valores Máximos e Mínimos

Interpretando geometricamente a derivada de uma função, podemos ver que ela é a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa função em um ponto qualquer. Por esse motivo, a derivada nos auxilia na construção de gráficos, o que nos ajudará na interpretação dos resultados encontrados durante a resolução de nossos problemas.

É através da derivada que encontramos os valores extremos locais de uma função. No entanto, para que nosso trabalho seja o mais eficiente possível, é necessário que tenhamos em mãos algumas ferramentas importantes.

Já definimos os valores máximos e mínimos de uma função no Capítulo I, definição 1.2.3, e vimos que nem todas as funções possuem esses valores. No entanto o Teorema a seguir nos dá condições que garantem a existência dos valores extremos.

Teorema 2.1.1 - Teorema do Valor Extremo ou Teorema de Weierstrass – Se f for contínua em um intervalo fechado [a,b], então f assume um valor máximo absoluto f(c) e um valor mínimo absoluto f(d), com c e d em [a,b].

O Teorema 2.1.1 nos afirma que existe um valor máximo e mínimo de uma função contínua em intervalo fechado, mas não afirma como encontrar esses valores. Esse teorema é um exemplo do que os matemáticos chamam de teorema de existência onde são fixadas condições para que algo exista, porém não se estabelecem métodos para encontrá-lo.

Exemplo 2.1.1 - A função f(x) = 4x + 2 é contínua e, portanto possui máximo e mínimo absoluto no intervalo fechado [0, 4]. Nesse intervalo ocorre um mínimo absoluto em x = 0, cujo valor mínimo é f(0) = 2, e um máximo absoluto em x = 4, cujo valor máximo é f(4) = 18 (como mostra o gráfico abaixo).

Figura 6

Porém, se pensarmos no intervalo semi-aberto [0, 4), a função passará a ter apenas um mínimo absoluto, levando-se em consideração que x = 4 foi retirado do intervalo e que f(x)

não pode ter o máximo absoluto em um ponto x0 menor que 4. Portanto f não tem máximo absoluto no intervalo [0, 4). Pelo mesmo motivo f não teria máximo nem mínimo absoluto, se fosse definida no intervalo aberto (0, 4).

Quando uma função contínua f é definida num intervalo fechado e finito, os extremos absolutos podem ocorrer nas extremidades do intervalo ou dentro dele. Se esses extremos ocorrem dentro do intervalo, então o Teorema de Fermat nos afirma que eles devem ocorrer num ponto c, onde f’(c) = 0.

Observe:

(c, f(c))

(d, f(d))

c d

Figura 7

Na figura 7, temos uma função f com máximo local em c e mínimo local em d. Nesses pontos as retas tangentes têm inclinação igual a zero.

Sabendo que a derivada é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f, segue o seguinte teorema:

Teorema 2.1.2 - Teorema de Fermat – Seja f uma função derivável num ponto c, onde c pertence ao domínio da função f. Uma condição necessária para que c seja ponto de máximo ou de mínimo local, é que f’(c) = 0.

Demonstração: Suponha que f tenha um máximo local em c. Logo, f(c) ≥f(x) se x estiver suficientemente próximo de c, o que implica que se h estiver suficientemente próximo de 0, h sendo positivo ou negativo tal que c + h esteja próximo de c, então

f(c) ≥ f(c + h)

e, portanto,

f(c + h) – f(c) < 0 (i)

Podemos dividir ambos os lados de uma equação por um número positivo. Assim, se h>0 e h for suficientemente pequeno, temos:

0 ) ( ) ( ≤ − + h c f h c f

Tomando o limite à direita de ambos os lados dessa desigualdade, obtemos:

0 0 lim ) ( ) ( lim 0 0 ≤ = − + = + → + → h h _h c f h c f

Mas, uma vez que f’(c) existe, temos:

h c f h c f h c f h c f c f h h ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( ' 0 0 − + = − + = + → →

Assim mostramos que f’(c) < 0.

Se h < 0, então inverte-se o sentido da desigualdade (i) quando dividimos tudo por h:

0 0 ) ( ) ( < ≥ − + h h c f h c f

0 ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( ' 0 0 ≥ − + = − + = − → → _h c f h c f h c f h c f c f h h

Assim, mostra-se que f’(c) > 0 e também que f’(c) < 0. Porém, se ambas as desigualdades devem ser verdadeiras, temos que a única possibilidade é que f’(c) = 0.

▄

O Teorema 2.1.2 foi demonstrado para o caso de máximo local. O caso de mínimo local tem demonstração análoga.

Definição 2.1.1: Dado um ponto c pertencente ao domínio da função f, onde f’(c) = 0 é chamado de ponto crítico ou ponto estacionário de uma função f.

Exemplo 2.1.2 – Seja a função f(x) = 3x² + 2x + 1.

Sua derivada, f’(x) = 6x + 2, anula-se em x = -1/3, que é o único ponto crítico da função.

Observe o gráfico:

Figura 8

Vimos então que a função tem mínimo absoluto igual a 2/3 no ponto crítico x = -1/3.

Vale lembrar que se uma função f possui extremos relativos em um intervalo aberto, então, os únicos pontos onde eles podem acontecer são nos pontos onde a derivada se anula. Porém, não basta a anulação da derivada para que este seja um ponto de máximo ou mínimo. Podem existir pontos nos quais f’(x) = 0 e, no entanto, este não ser um extremo da função f. Assim sendo, o Teorema 2.1.2 é condição necessária para que um ponto x seja um extremo relativo, mas não é suficiente. Podemos citar o seguinte exemplo:

Exemplo 2.1.3 – Seja a função f(x) = x³.

Sua derivada f’(x) = 3x², anula-se em x = 0, que é o único ponto crítico da função.

Figura 9

Porém, observando o gráfico de f acima, veremos que esse não é um ponto de máximo nem um ponto de mínimo. Mostramos dessa forma, que nem todo ponto crítico é extremo de uma função.

Devemos sempre buscar métodos que facilitem o nosso trabalho quando estamos lidando com funções contínuas em um intervalo fechado, de forma que nosso trabalho se

torne o mais claro possível. Para isso existe o método do intervalo fechado. São passos que devem ser seguidos para que cheguemos sem complicações aos resultados esperados.

Método do intervalo fechado

Para encontrar valores extremos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a,b]:

1. Encontre os valores de f nos números críticos de f em (a, b). 2. Encontre os valores de f nos extremos do intervalo.

3. O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto no intervalo fechado, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto no intervalo fechado.

Exemplo 2.1.4 – Ache os extremos absolutos de f em [-2, ½] se f(x) = x³ + 7x² - 5x.

1. f’(x) = 3x² + 14x – 5.

Portanto os números críticos de f são x = -5 e x = 1/3.

De modo que o único valor que nos interessa é x = 1/3. Pois x = -5 não faz parte do intervalo definido.

Em x = 1/3, f(x) = (1/3)³ + 7(1/3)² - 5(1/3) = -23/27.

2. Os extremos do intervalo são x = -2 e x = ½.

Em x = -2, f(x) = (-2)³ + 7(-2)² - 5(-2) = 30.

Em x = ½, f(x) = (1/2)³ + 7(1/2)² - 5(1/2) = -5/8.

3. Em x = -2, f assume o maior valor. Esse é o ponto de máximo absoluto de f no intervalo [-2, 1/2].

Em x = ½, f assume o menor valor. Esse é o ponto de mínimo absoluto de f no intervalo [-2, 1/2].

Observe o gráfico:

Figura 10

É correto afirmar que os valores encontrados com o auxílio do método do intervalo fechado estão em conformidade com o gráfico da função f(x). De modo que este se mostra um método eficaz.

Trataremos agora do Teorema de Rolle, que também é de grande importância no estudo dos valores extremos das funções.

Teorema 2.1.3 – Teorema de Rolle

Seja f uma função contínua em [a, b], diferenciável em (a, b) e f (a) = f (b). Então existe um número c em (a, b) tal que f’(c) = 0.

Demonstração: Existem três casos:

Caso 1 – f(x) é uma constante.

Caso 2 – f(x) > f(a) para algum x em (a, b).

Pelo Teorema 2.1.1 o qual podemos aplicar pela hipótese 1, f tem um valor máximo em algum ponto de [a,b]. Uma vez que f(a) = f(b) ela deve assumir esse valor máximo em um número c no intervalo aberto (a,b). Então f tem um máximo local em c e pela hipótese 2, f é diferenciável em c. Portanto, pelo Teorema 2.1.2. f’(c) = 0.

Caso 3 – f(x) < f(a) para algum x em (a,b)

Pelo Teorema 2.1.1, f tem um valor mínimo em [a,b] e como f(a) = f(b), ele assume esse valor mínimo em um número c em (a,b). Novamente, pelo Teorema 2.1.2. f’(c) = 0.

▄

Exemplo 2.1.5 – Dada f(x) = 4x³ - 9x comprove se as condições (1), (2) e (3) do Teorema 2.1.3 estão satisfeitas em cada um dos seguintes intervalos: [-3/2,0], [0, 3/2] e [-3/2, 3/2]. Ache então um valor de c em cada um desses intervalos para os quais f’(c) = 0 (caso possível).

Solução: Temos que f’(x) = 12x² - 9, então f’(x) existe para todos os valores de x, portanto, f é derivável em (-∞, +∞). Logo, as condições 1 e 2 do Teorema 2.1.3 são válidas em qualquer intervalo. Precisamos agora determinar os valores em que a condição 3 se verifica, para isso, tomamos f(x) = 0. Assim:

4x³ - 9x = 0 ou 4x(x² - 9/4) = 0

Resolvendo chegamos em:

x = -3/2, x = 0, x = 3/2

Sendo a = -3/2 e b = 0, verificamos que o Teorema 2.1.3 é válido em [-3/2, 0], e analogamente é válido em [0, 3/2] e [-3/2, 3/2]. Como mostra a figura 11.

Figura 11

Precisamos agora encontrar os valores de c tal que f’(c) = 0.

Tomando f’(c) = 0, temos: 12x² - 9 = 0 Resolvendo encontramos: 3 2 1 3 2 1 = − = e x x

Então, quando tomamos o intervalo [-3/2, 0], a escolha adequada para c é -1/2√3. Quando tomamos o intervalo [0, 3/2], a melhor escolha para c é ½√3. Já no intervalo [-3/2, 3/2] podemos tomar dois valores para c, que pode ser -3/2 ou 3/2.

Como conseqüência do Teorema de Rolle temos o Teorema do Valor Médio, que estudaremos a seguir:

Teorema 2.1.4 – Teorema do Valor Médio

Seja f uma função contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existirá pelo menos um número c em (a,b) tal que

a b a f b f c f − − = ( ) ( ) ) ( '

ou, de maneira equivalente,

) )( ( ' ) ( ) (b f a f c b a f − = −

Demonstração: Seja f uma função definida em [a,b]. Consideraremos a função S como

). ( ) ( ) ( ) ( ) ( x a a b a f b f a f x S − − − + =

O gráfico da função S é uma reta que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Como mostra a figura 12:

Figura 12

Utilizaremos aqui a função g(x) dada por

] , [ ), ( ) ( ) (x f x S x xem ab g = −

Sabemos que g é contínua em [a,b], derivável em (a,b) e g(a) = g(b), então, pelo Teorema 2.1.3, existe um c em (a,b) de forma que g’(c) = 0. Portanto:

) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' a b a f b f x S e x S x f x g − − = − = Substituindo, temos: ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( ' a b a f b f x f x g − − − = Daí 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( ' = − − − = a b a f b f c f c g Portanto, f(b)− f(a)= f'(c)(b−a) ▄

Exemplo 2.1.6 - Dada f(x) = x³ - 5x² - 3x comprove que as hipóteses do Teorema 2.1.4 estão satisfeitas para a = 1 e b = 3. Daí encontre os números c no intervalo (1, 3) tais que 1 3 ) 1 ( ) 3 ( ) ( ' − − = f f c f

Solução: A função f é contínua e derivável em todos os valores de x, pois f é uma função polinomial. Portanto, as hipóteses do Teorema 2.1.4 já estão satisfeitas para todo a e b. 27 ) 3 ( 7 ) 1 ( 3 10 ² 3 ) ( ' − = − = − − = f e f x x x f Então: 10 2 ) 7 ( 27 1 3 ) 1 ( ) 3 ( − = − − − = − − f f

Fazendo f’(c) = -10, temos: 0 7 10 ² 3c − c+ = E assim: 1 3 / 7 0 ) 1 )( 7 3 ( = = = − − c c c c

Porém, 1 não está no intervalo aberto (1, 3) e desta forma, o único valor possível para c é 7/3.

1.2 Aplicação de Derivadas em Construção de Gráficos.

É razoável falarmos sobre a ligação das derivadas, com o comportamento do gráfico de uma função, levando em consideração que a derivada da função f nos mostra a direção que a curva de f segue a cada ponto. Dessa forma, podemos perceber a relação entre f(x) e f’(x).

No entanto, para que possamos visualizar geometricamente essa relação, temos alguns teoremas e testes que nos levam a esboçar um gráfico com mais precisão, lembrando que o esboço de gráficos é uma ferramenta fundamental quando se quer resolver um problema aplicado a máximos e mínimos.

Utilizando-se do Teorema 2.1.4, podemos chegar a resultados que nos mostram o comportamento das funções. Como é o caso do Teorema a seguir, que nos ajuda a encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função.

Teorema 2.2.1 - Seja f uma função contínua no intervalo I e f’(x) > 0 para todo x interior a I, então f é estritamente crescente em I;

Demonstração: É necessário provar que quaisquer que sejam s e t em I, s < t => f(s) < f(t). Sejam então, s e t em I, com s < t.

Da hipótese, segue que f é contínua em [s, t] e derivável em (s, t); pelo Teorema 2.1.4 existe X pertencente a (s, t) tal que

). )( X ( ' ) ( ) (t f s f t s f − = −

De f’(X) > 0, pois X está no interior de I, e de t – s > 0 segue

) ( ) ( 0 ) ( ) (t f s ou f s f t f − > < Portanto,

Para qualquer s, t em I, s < t, então f(s) < f(t).

Observação: x interior a I significa que x pertence a I, mas x não é extremidade de I.

▀

Da mesma forma, podemos afirmar que se f’(x) < 0 para todo x interior a I, então f é estritamente decrescente em I.

A demonstração é análoga.

Exemplo 2.2.1:

Seja f(x) = 2x² + 3x + 2, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função.

Resolução:

Como f é continua em todo seu domínio, pelo Teorema 2.2.1, temos que onde f’(x) > 0 a função é crescente, e onde f’(x) < 0, a função é decrescente.

Portanto, f(x) é crescente para todo x > -3/4 e decrescente para todo x < -3/4. Observe o gráfico:

Figura 13

Seguindo o estudo da f’, temos o Teorema 2.2.2, que é uma conseqüência do Teorema 2.2.1 . Vejamos:

Teorema 2.2.2 - Seja f uma função contínua em (a, b) e c um ponto interior ao intervalo, tal que f’(c) = 0.

(a) Se o sinal de f’ mudar de positivo para negativo em c, então f tem um máximo local em c.

(b) Se o sinal de f’ mudar de negativo para positivo em c, então f tem um mínimo local em c.

(c) Se f’ não mudar de sinal em c, (isto é, se em ambos os lados de c o sinal de f’ for positivo ou negativo), então f não tem máximo ou mínimo locais em c.

Demonstração: a) Precisamos mostrar que f(c) > f(x), para qualquer que seja x em (a,b).

Temos por hipótese, que:

Podemos afirmar com a ajuda do Teorema 2.2.1, que, como f’ é crescente em (a, c] e decrescente em [c, b), logo: ). , [ ) ( ) ( ] , ( ) ( ) ( b c em x x f c f c a em x x f c f ∀ ≥ ∀ ≥

Portanto, podemos afirmar que x = c é ponto de máximo local.

A demonstração da parte b é análoga à da parte a.

c) Sem perder a generalidade, suponhamos que f’(x) > 0 para qualquer x em (a, b), com x ≠ c, pelo Teorema 2.2.1 f é crescente em (a, c) e (c, b)

Então temos: ) , [ ) ( ) ( ] , ( ) ( ) ( b c em x x f c f c a em x x f c f ∀ ≤ ∀ ≥

Daí, temos que f é crescente em (a, b). Logo, f não possui máximo nem mínimo local.

▀

Então, para utilizar esse Teorema, devemos achar f’(x), depois encontrar os números críticos de f e aplicar o Teorema 2.2.2.

Exemplo 2.2.2:

Dada f(x) = x² - 2x - 1, ache os extremos relativos de f (caso existam) utilizando o Teorema 2.2.2. ) , ( 0 ) ( ' ) , ( 0 ) ( ' 0 ) ( ' b c em x x f c a em x x f c f ∀ < ∀ > =

Resolução:

Sabemos que sua derivada é 2x – 2.

f’(x) = 2x – 2, ou 2(x – 1),

Assim sendo, f’(x) se anula em x = 1. A função é negativa à esquerda de x = 1 e positiva à direita de x = 1. Logo, utilizando o Teorema 2.2.2, fazemos a seguinte análise:

A reta tangente ao gráfico de f tem declive positivo para todo x > 1 e negativo para todo x < 1. Vimos então que o sinal de f’(x) é negativo até x = 1, passando então a ser positivo daí em diante, o que nos leva à conclusão de que x = 1 é ponto de mínimo absoluto, pois é o único ponto crítico.

Observe o gráfico:

Figura 14

Definição 2.2.1 - Se o gráfico de f está acima de todas as suas tangentes num intervalo I, então ele é chamado côncavo para cima em I. Se o gráfico de f estiver abaixo de todas as suas tangentes num intervalo I, então ele é chamado côncavo para baixo em I.

Definição 2.2.2 - O ponto p onde a curva de f deixa de ser côncava para baixo e passa a ser côncava para cima, ou vice-versa, chama-se ponto de inflexão.

Teorema 2.2.3 – Seja f uma função que admite derivada até a segunda ordem, no intervalo aberto I, se f”(x) > 0 para todo x em I, então o gráfico de f é côncavo para cima em I.

Demonstração: Seja p um número real qualquer em I. Precisamos provar que, para todo x em I, x ≠ p, f(x) > T(x), onde T(x) = f(p) + f’(p)(x – p).

Considerando a função g(x) = f(x) – T(x), com x pertencente a I, vamos provar que g(x) > 0 para todo x em I, x ≠ p. Portanto, temos:    = − = ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' p f x T x T x f x g Segue que, I x p f x f x g'( )= '( )− '( ), ∈

Como f”(x) > 0 em I, segue que f’ é estritamente crescente em I. Então,

   < < > > . 0 ) ( ' 0 ) ( ' p x para x g p x para x g

Segue que g é estritamente decrescente em todo x pertencente a I, tal que x < p, e estritamente crescente em todo x pertencente a I, tal que x > p. Como g(p) = 0, resultado

0 ) ( >x g para todo x em I, x ≠ p. ▀

Da mesma forma, se f”(x) < 0 para todo x em I, então o gráfico de f é côncavo para baixo em I.

A demonstração para esse caso é análoga.

Exemplo 2.2.3:

Seja f(x) = 4x³ - 12x² + 5, encontre os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima e os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para baixo com o auxílio do Teorema 2.2.3. Resolução: Sabemos que f’(x) = 12x² - 24x. Logo, f”(x) = 24x – 24, ou 24(x – 1). Fazendo f”(x) = 0, temos x = 1. Desta forma, f”(x) > 0 se x > 1, e f”(x) < 0 se x < 1.

Analisando essas informações e utilizando o Teorema 2.2.3, temos que o gráfico de f será côncavo para baixo até x = 1, daí em diante, passará a ser côncavo para cima. Logo, pela definição 2.2.2 podemos afirmar que x = 1 é o ponto de inflexão.

Figura 15

Teorema 2.2.4 – Sejam f uma função que admite derivada de 2ª ordem, contínua no intervalo aberto I e p pertencente a I, se f’(p) = 0 e f”(p) > 0, então f tem um mínimo local em p.

Demonstração: Como f” é contínua em I e f”(p) > 0, pelo Teorema da conservação de sinal ( Para maiores detalhes, ver Guidorizzi), existe r > 0 (tal r pode ser tomado de modo que ]p – r, p + r[ esteja contido em I, pois estamos supondo I intervalo aberto e p pertencente a I) tal que

f”(x) > 0 em ]p – r, p + r[.

Segue que f’ é estritamente crescente nesse intervalo; como f’(p) = 0, resulta:

   + > − < [. , ] 0 ) ( ' [ , ] 0 ) ( ' r p p em x f p r p em x f

Logo f é estritamente decrescente em ]p – r, p] e estritamente crescente em [p, p + r[. Portanto, p é ponto de mínimo local

▀ Podemos também afirmar que se f’(p) = 0 e f”(p) < 0, então f tem um máximo local em p.

A demonstração nesse caso é análoga.

Exemplo 2.2.4:

Vamos analisar a função f(x) = x³ - 3x, no intervalo [-2,2].

f’(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x + 1)(x – 1)

Sua derivada se anula em x = -1 e x = 1. Esses são os pontos críticos da função.

Como f”(x) = 6x, vemos que f”(-1) < 0 e f” (1) > 0.

Logo, pelo Teorema 2.2.4, podemos chegar à conclusão que x= -1 é ponto de máximo local e x = 1 é ponto de mínimo local. Podemos também afirmar, pelo Teorema 2.2.1 que estes são pontos de máximo e mínimo absolutos.

Observe o gráfico:

Figura 16

Vale lembrar que a função tem pontos de máximo e mínimo se considerada num intervalo fechado. A mesma função considerada em toda a reta não possui pontos de máximo ou mínimo, pois ela tende a ± ∞ quando x tende a ± ∞.

CAPÍTULO 3 – APLICAÇÕES

Em nossa vida estamos sempre buscando os maiores lucros, os menores custos ou mais ainda, buscando obter o máximo de lucro com o mínimo de esforço. Existem também situações naturais, onde podemos nos utilizar dos valores máximos e mínimos para resolver nossos problemas. Essas e outras situações serão expostas neste capítulo, que visa mostrar de forma bem clara, como o Cálculo Diferencial e Integral pode nos auxiliar na resolução de nossos problemas quotidianos.

Aplicações

Antes de iniciar nossos problemas, é interessante que tenhamos uma idéia de como resolvê-los para sabermos de que forma os teoremas e métodos vistos anteriormente podem nos ajudar. Assim, temos aqui uma série de procedimentos que nos auxiliam na resolução desses problemas e nos levaram de maneira mais eficiente ao resultado esperado.

Aqui montaremos um esquema para solução de problemas relacionados à máximos e mínimos.

1 Ler o problema cuidadosamente várias vezes, meditando sobre os fatos e as quantidades incógnitas que devem ser determinadas.

2 Se possível, esboçar um diagrama para identificar as quantidades dadas e pedidas. Expressões, tais como “o que”, “determine”, “quanto”, “quão”, “longe” ou “quando” devem alertar o leitor para as quantidades incógnitas.

3 Fazer uma lista de fatos conhecidos juntamente com quaisquer relações que envolvam as variáveis. Uma relação em geral pode ser escrita por uma equação de um certo tipo.

4 Após analisar a lista no 3º item, determinar a variável que deve ser extremada, e exprimir essa variável em função de uma das outras variáveis.

5 Determinar os valores críticos da função obtida no 4º item e testá-los quanto a máximos e mínimos.

6 Verificar se ocorrem máximos ou mínimos nos pontos extremos do intervalo de domínio da função obtida no 4º item.

7 Não se desencorajar se não conseguir resolver determinado problema. A proficiência na resolução de problemas aplicados exige considerável esforço e prática. Continuar tentando!

Observação: Não é necessário seguir a risca cada uma das etapas expostas aqui. Um problema pode ser resolvido da forma mais conveniente.

Vamos agora para a prática!

Aplicação 3.1

Encontre o ponto sobre a parábola y² = 2x mais próximo de (1, 4).

Solução: Podemos escrever a distância entre o ponto (1, 4) e o ponto desconhecido (x, y) como: )² 4 ( )² 1 ( − + − = x y d Veja a figura 17:

Figura 17

Sabemos que o ponto (x, y) está sobre a parábola, e então x = y²/2. Sendo assim, podemos reescrever a expressão acima da seguinte forma:

)² 4 ( ² 1 ² 2 1 − +       − = y y d

Observação: Poderíamos sem nenhum problema obter d em termos somente de x. Teríamos então y = 2x.

No entanto, temos agora a distância d em função somente de y. Mas não minimizaremos d, mas sim seu quadrado. E reescrevemos:

)² 4 ( ² 1 ² 2 1 ) ( ²  + −      − = = f y y y d Derivando temos: 8 ³ ) ( ' ) 4 ( 2 1 ² 2 1 2 ) ( ' − = − +       − = y y f y y y y f

Portanto, é fácil notarmos que f’(y) = 0 quando y = 2.

Certificamo-nos de que f’(y) < 0 quando y < 2 e f’(y) > 0 quando y > 2. Logo, pelo Teorema 2.2.2, o mínimo absoluto ocorre quando y = 2, sendo que seu valor correspondente em x é x = y²/2 = 2. Desta forma, o ponto da parábola mais próximo de (1, 4) é (2, 2).

Vale lembrar que a natureza geométrica do problema nos permite afirmar que existe um ponto mais próximo, porém não existe um ponto mais distante.

Aplicação 3.2

Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um semicírculo de raio r. Solução:

Considerando este semicírculo como a metade superior do círculo x² + y² = r² com centro na origem, para o retângulo estar inscrito nele, é necessário que ele tenha dois vértices sobre o semicírculo e dois vértices sobre o eixo x, como mostra a figura 18:

Figura 18

Tomando o ponto (x, y) como o vértice que se encontra no primeiro quadrante, temos que o retângulo terá lados de comprimento 2x e y. Desta forma, sua área (A) é:

A = 2xy

É necessário obtermos a área em função apenas de x ou de y. Como o ponto (x, y) está sobre o círculo x² + y² = r², podemos utilizar esse fato para expressar y em função de x. E obtemos:

² ² x r

y= −

Agora podemos reescrever a área como:

² ²

2x r x

Analisando o domínio da função podemos ver que é 0 ≤ x ≤ r. E que a derivada da função área é: ² ² ²) 2 ² ( 2 ' ² ² ² 2 ² ² 2 ' x r x r A x r x x r A − − = − − − =

Daí podemos ver que A’ será 0 quando 2x² = r², ou seja, quando:

2 ² ² 2 r r y e r x= = −

Esse valores de x dá um valor máximo de A, pois A(0) = 0 e A(r) = 0. Portanto a área do maior retângulo inscrito é:

² 2 ² ² 2 2 2 r r r r r A = − =     

Outra solução mais simples mais simples é obtida quando usamos um ângulo como uma variável, como mostra a figura 19:

Figura 19

Seja θ o ângulo mostrado na figura acima. Logo, podemos escrever a área do retângulo como: ) )( cos 2 ( ) (

θ

r

θ

rsen

θ

A =

O que resulta, que a área do retângulo é

θ

θ

) ² 2

( r sen

Sabemos que sen 2θ pode assumir o valor máximo de 1, e que esse valor ocorre quando 2θ = π/2. Assim, A(θ) tem um valor máximo de r², que ocorre quando θ = π/4.

Utilizamos aqui apenas conhecimentos de trigonometria, tornando assim, mais simples a resolução do problema.

Aplicação 3.3

Um campo retangular à margem de um rio deve ser cercado, com exceção do lado ao longo do rio. Se o custo do material for de R$. 12,00 por metro linear no lado paralelo ao rio e de R$. 8,00 por metro linear nos dois extremos, ache o campo de maior área possível que possa ser cercado com R$. 3.600,00 de material.

Solução:

Chamaremos de x o comprimento de cada extremidade do campo, e de y o comprimento do lado paralelo ao rio. Contudo a área a ser cercada será A.

Veja a figura 20:

Figura 20 Assim sendo, temos que

A = xy. (3.1) Sabemos que o custo do material em cada extremidade é de R$. 8,00 por metro linear, e que o comprimento de cada extremidade é x. Logo, o custo de cada uma das extremidades da cerca será de R$. 8x. Da mesma forma, o custo da cerca para o lado paralelo ao rio será R$. 12y. Então temos:

8x + 12y + 8x = 3.600 (3.2) Obtendo y em função apenas de x, temos:

x x y 3 4 300 12 16 3600 − = − = (3.3) Substituindo (3.3) em (3.1), obtemos:       − = x x x A 3 4 300 ) ( (3.4)

De (3.2), se y = 0, x = 225 e se x = 0, y = 300. Como ambos, x e y devem ser não negativos, o valor de x que irá tornar A um máximo absoluto está no intervalo fechado [0, 225]. Como A é contínua em [0, 225], podemos afirmar pelo Teorema 2.1.1 que A terá um máximo absoluto nesse intervalo. De (3.4) temos:

x x A 3 8 300 ) ( ' = −

Como A’(x) existe para todo x, podemos encontrar os pontos críticos de A, fazendo A’(x) = 0. E obtemos:

x = 112,5

Sendo este o único número crítico de A que está no intervalo [0, 225]. Dessa forma, o valor máximo absoluto deve ocorrer em 0, 112,5 ou 225. Como A(0) = 0 e A(225) = 0 e A(112,5) = 16875, então tal valor ocorre em [0, 225] quando x = 112,5. Assim, y = 150.

Portanto, a maior área possível que poderá ser cercada com R$. 3.600,00 de material será 16.875 m², o que é obtido quando as extremidades do terreno tiverem 112,5m cada um, e o lado paralelo ao rio tiver 150 m.

Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 por 30 cm, destacando-se quadrados iguais dos cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o maior volume?

Solução:

Chamaremos de x o comprimento dos lados dos quadrados que serão cortados, e de V o volume da caixa

Para a confecção da caixa é necessário que se retire quadrados de seus lados, e dessa forma, cada lado do papelão terá dimensões (16 – 2x) por (30 -2x) por x. Observe a figura 21:

Figura 21

Sendo estas as dimensões da caixa, podemos afirmar que seu volume será:

V(x) = (16 – 2x).(30 – 2x) x = 480x – 92x² + 4x³ (3.5) Porém, como a variável x está representando comprimento, não pode ser negativa, e como a largura do papelão é de 16 cm, não se pode também cortar quadrados com lados maiores que 8 cm de comprimento. Dessa forma, os valores de x estão restritos entre 0 e 8, e então, reduzimos o problema a fim de encontrar o valor em x para os quais o volume (V) da caixa é máximo.

Derivando a equação (3.5), temos:

480 184 ² 12 ) ( ' x = x − x+ V

Devemos agora equacionar V’(x) = 0, para descobrir o(s) candidato(s) a extremos. Fazendo isso, obtemos:

12 3 10 0 120 46 ² 3 ) 120 46 ² 3 ( 4 480 184 ² 12 = = = + − + − = + − x e x x x x x x x

Devemos nos lembrar que x = 12 está fora do intervalo e que portanto, o valor máximo de V ocorre quando x = 10/3, ou em um dos extremos dos intervalo [0, 8]. Substituindo esses valores de x em (3.5), obtemos o seguinte:

V(0) = 0, V(10/3) = 726 e V(8) = 0.

Observando esses valores, podemos ver que o maior volume ocorre quando x = 10/3. Dessa forma, o volume será máximo se cortarmos quadrados com 10/3 cm de lado.

Aplicação 3.5

Quando uma pessoa tosse o raio da traquéia diminui, afetando a velocidade do ar na traquéia. Se r0 é o raio normal da traquéia, a relação entre a velocidade v do ar e o raio da

traquéia é dada por uma função da forma v(r) = ar2(r0 – r), onde a é uma constante positiva.

Determine o raio r para o qual a velocidade do ar é máxima. Solução:

Lembrando que o raio da traquéia contraída não pode ser menor que zero, nem maior que r0, temos como objetivo encontrar o máximo absoluto de v(r) no intervalo 0 < r < r0.

Como a função v(r) já foi dada no problema, devemos primeiramente derivar esta função e logo em seguida fatorar o resultado convenientemente. (Não esquecendo que a e r0

são constantes.)

Utilizando o Teorema 2.1.2, igualamos a derivada à zero, e obtemos os pontos críticos da função.

Assim:

ar(2 r0 – 3r) = 0, então r = 0, ou r = 2/3r0.

Os dois valores estão no intervalo 0 < r < r0, sendo que um deles é o extremo do

intervalo. Calcularemos então v(r) para os pontos críticos e também para o valor correspondente ao outro extremo do intervalo, donde chegamos ao seguinte:

0 ) v(r ³ r 27 4 r 3 2 0 ) 0 ( 0= 0 0 =      = v a v

Analisando os resultados, podemos afirmar que a velocidade do ar é máxima quando o raio da traquéia contraída é igual a 2/3 do raio normal da traquéia.

Aplicação 3.6

Um fabricante produz uma fita de vídeo virgem a um custo de R$. 2,00 a unidade. As fitas vêm sendo vendidas a R$. 5,00 a unidade; por esse preço, são vendidas 4.000 fitas por mês. O fabricante pretende aumentar o preço da fita e calcula que para cada R$.1,00 de aumento no preço, menos 400 fitas serão vendidas por mês. Qual deve ser o preço de venda das fitas para que o lucro do fabricante seja máximo?

Solução:

Chamaremos de x o novo preço de venda e P(x) o lucro correspondente. Nosso objetivo é maximizar o lucro.

Como 4.000 fitas são vendidas por mês quando o preço é R$. 5,00 e menos 400 fitas são vendidas para cada R$. 1,00 de aumento no preço, temos:

Número de fitas vendidas por mês= 4.000 – 400 (número de aumentos de R$. 1,00) (3.7) O número de aumentos de R$. 1,00 no preço é a diferença entre o preço novo e o antigo, logo: x – 5.

Portanto:

Número de fitas vendidas = 4.000 – 400 (x – 5), ou seja Número de fitas vendidas = 400 (15 – x)

O lucro por fita vendida é a diferença entre o preço de venda e o custo, assim:

Lucro por fita = (x – 2) (3.8) Substituindo (3.7) e (3.8) em (3.6), teremos:

Lucro = P(x) = [400 (15 – x)] (x – 2), isto é P(x) = -x² + 17x – 30

Queremos encontrar o máximo absoluto dessa função de lucro. Para isso precisamos reconhecer o intervalo relevante para o problema.

Temos que x é o novo preço de venda, e sabemos que o novo preço de venda será maior que o antigo, então, x > 5.

Temos também que o número de fitas vendidas é 400 (15 – x), que se torna negativo para x > 15.

Agora, determinaremos os pontos críticos, derivando a função lucro: P’(x) = -2x + 17

Tal derivada anula-se em x = 8,5.

Vamos agora comparar os valores da função de lucro nos extremos do intervalo e no ponto crítico:

P(5) = 12.000 P(8,5) = 16.900

P(15) = 0

Logo, podemos afirmar que o lucro máximo ocorre quando x = 8,5.

Então, o fabricante terá lucro máximo se as fitas forem vendidas a R$. 8,50, totalizando um lucro de R$. 16.900,00. Como mostra a figura 22:

Aplicação 3.7

Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100m2. A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25m na frente, 20m atrás e 12m em cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão.

Solução:

Figura 23

Observando a figura 23, e sabendo que a área de um retângulo é dada por h

b A= .

Onde b = base e h = altura, podemos perceber que: A = 12.100m² = x . y. Logo:

x y=12.100

(3.9) A função que define a área do lote é

ou seja,

S = (x + 24) (y + 45) Substituindo o valor de y dado na equação 3.9, teremos:

      + + = ( 24). 12.100 45 ) ( x x x S

Encontrada a função que queremos minimizar, iremos agora encontrar os pontos críticos dessa função. Assim:

² 400 . 290 ² 45 ) ( ' x x x S = −

Igualando S’(x) a zero, temos que:

3 30 44 = x

Este é o ponto crítico dessa função. Sabemos que S’(x) também se anula num ponto negativo. Pela natureza do problema, consideraremos apenas x positivos.

Sabemos que este é um ponto crítico da função, mas não sabemos se ele é um ponto de máximo ou de mínimo. Para descobrir, usaremos então Teorema 2.2.4.

Temos que: 0 3 30 44 " ³ 800 . 580 ) ( " >         = S e x x S

Portanto, fazendo 62 , 150 3 30 44 100 . 12 33 , 80 3 30 44 ≅ = ⇒ ≅         = y x

Logo, a área mínima será obtida quando as dimensões do lote forem: x = 80,33m e y = 150,62m.

Aplicação 3.8

Uma empresa apurou que sua receita total (em dólares) com a venda de um produto admite como modelo R = -x3 + 450x2 + 52.500x, onde x é o número de unidades produzidas (e vendidas). Qual é o nível de produção que gera receita máxima?

Solução: