f ( t) e F( z) dz, t

Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 46 Fórmula Complexa de Inversão

Agora possuímos o ferramental matemático necessário para obtermos a inversão efetiva da transformada de Laplace. A inversão é obtida através da Fórmula Integral de Bromwich. Definição: Se F(s) =L [f (t)](s), então 1 2

( )

_i i zt

( )

,

0

i

f t

_ 

e F z dz

t

    



_

 

_(FI)

OBS: Tem-se que

0

( )

st

( )

F s





 

e

f t dt

.

“Complexificando” a variável independente, ou seja, fazendo s = z = x+iy, obtem-se que

( ) 0 0 0 0

( )

( )

(

cos

sen

) ( )

( )

cos

( )

sen

( , )

( , )

x iy t xt xt xt xt

F z

e

f t dt

e

yt

ie

yt f t dt

f t e

ytdt

i

f t e

ytdt

u x y

iv x y

 _{ }  _{ }  _  _























Como f E então ∃C > 0,∃α ∈  tq. 0 _{( )} 0 0

( )

cos

( )

,

0

,

.

( )

sen

xt t x t xt

f t e

ytdt

C

f t

Ce

t

C

e

dt

x

x

f t e

ytdt

 

_



 _     _







  

_





 













Logo, u e v estão bem definidos na faixa e(z) > α. Por outro lado, usando Leibniz

0 0 0 0 0 0 0

( , )

( )

cos

( )

cos

( , )

( )

cos

( )

sen

( , )

( )

sen

( )

sen

( , )

( )

sen

( )

cos

xt xt x xt xt y xt xt x xt xt y

u x y

f t e

ytdt

tf t e

ytdt

x

u x y

f t e

ytdt

tf t e

ytdt

y

v x y

f t e

ytdt

tf t e

ytdt

x

v x y

f t e

ytdt

tf t e

y

     _  _  _  _  _{ }































 





_



_

 

 

















0

ytdt





De modo que, ux,uy,vx e vy são contínuas em ]α,[ e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann. Portanto, F(z) é analítica em e(z) >α. 

Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 47

(FI) é o método direto para obtenção de L -1

[F(z)](t). A integração é efetuada ao longo da reta e(z) = , onde  é tal que as singularidades de F(z) estão à esquerda de e(z) = .

Origem da Fórmula (FI): Trata-se de uma generalização da Fórmula Integral de Cauchy para retas e(z) =  no caso em elas são a fronteira do semi-plano aonde f (z) é analítica. Para isso necessitaremos ter alguma informação sobre o comportamento de f (z) para  z  arbitrariamente grande.

Definição: f (z) é de ordem z k quando  z , se ∃M, r0 > 0 tais que; 0

( ) k , .

f z M z se z r

Notação: f (z) = O(z k).

Teorema: (Integral Imprópria de Cauchy)

Hip: f (z) analítica sobre o semi-plano e(z) e f (z) = O(z k), k > 0. Tese: Se e(z0) >  , então

1 1 0 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i f z f iy f z dz dy z z iy z   _ 





             





De modo que, se F(z) é analítica em e(z), F(z) = O(z k), k > 0,  z  >> 1, tem-se que

1 2

( )

( )

,

,

( )

.

(

)

i i i

F z

F

dz

e

z

  _











   



 







Prova:

Seja CR o arco: x  do círculo  z  = R, onde R >  e R >  z0 . De modo que, z0  int(CR∪{x =

 }). Definindo β=(R2 _–γ2

Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 48 Quando zCR tem-se que ; z z0  R- z0 e como f (z)<Mzk, então se  z  = R, R

suficientemente grande (R >> 1), obtem-se que

0 0 0 ( ) 1 1 ( ) k k f z M M zz  _z zz  R R z ,se R > r0,p/algum r0 >> 1.

Os integrandos em f (z0) na expressão acima são contínuos. O comprimento de CR é menor que

2R. Portanto, como 0 0 0

( )

2

( )

( )

2

0

(

)

(

)

(1

/ )

R k k C C C

f z

M

M

f z dz

f z dz

ML

dz

R

z

z

R R

z

R

z

R





























Quando R , pois k > 0. Além disso, como R2=2+2 a integral tb. converge para 0 quando

+. De modo que, tomando o limite + obtem-se que

1 1 0 2 2 0 0 0

( )

(

)

1

(

)

( )

lim

lim

(

)

(

)

2

(

)

i i i i

f z

f

iy

f

iy

f z

dz

dy

dy

z

z

iy

z

i

iy

z

    _  _{ }  











      





 

 

 



 

 









Então, procedendo formalmente, obtem-se que

1 1 1 1 1 2 2 1 2 ( ) 1 ( ) [ ( )]( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) L L L i i i i i i i zt i i F z f t F s t dz t F z t dz s z s z F z e dz    _  _   _                     







Contorno de Bromwich: Na prática a integral em (FI) é transformada numa integral de contorno 1 1 1 0 2 2 2 0 0 0 0 0 { }

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

R R R i i i i i C x C i C i

f z

f z

f z

f z

f z

f z

dz

dz

dz

dz

dz

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

                 





































_





_

_





_











Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 49 1 2

( )

( )

B zt i C

f t



_



e F z dz

onde CB= ∪{e z = γ}é o contorno de Bromwich;

Tem-se que T =(R2 _–γ2 )1/2 donde T se sé se R, donde 1 1 1 2 2 2

( )

lim

( )

lim

( )

( )

B iT zt zt zt i i i R iT R C

f t

_ 

e F z dz

_

e F z dz

_

e F z dz

     









_



_











OBS: Condição suficiente para que a integral sobre  convirja para zero quando R:

( )

(

k

)

F z



O z

 _(CS)

para algum k > 0. Esta condição sempre ocorre quando, por exemplo, F(z)=p(z)/q(z), para p e q polinômios com grau(p) < grau(q).

Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 50 Aplicação do teorema dos Resíduos à Inversão da Transformada de Laplace:

Se as singularidades de F(z) são pólos (ordem finita) à esquerda de uma reta e(z)= e, além disso, tivermos

( )

0,

.

zt

e F z dz

qdo R





 



no contorno de Bromwich, então

( )

Re (

zt

( ) :

_k

) ,

_k

( ).

k

f t





s e F z

z

z



pólo de F z

Exemplo: Calcule 1 1 [ ]( ) , . L t a s a  _ 

Tem-se que F(s) = p(s)/q(s) com a pólo simples e grau(p)=0 < 1=grau(q). Então F atende a condição suficiente (CS), donde

1 1

1

[

]( )

Re (

: )

( )

lim(

)

.

L

zt zt at z a

e

e

t

s

a

a

a

z

a

e

s a

z

a



z

a

  _



















Exemplo: Calcule 1 2

1

[

]( ).

(

1)(

2)

L

t

s

s







Tem-se que F atende (CS), donde

1 2 2

1

[

]( )

Re (

:

)

(

1)(

2)

(

1)(

2)

L

zt k k

e

t

s

z

s

s

z

z



_











Polos de ezt F(z): 1

1 (

1)

Re (

( ) : 1)

1

lim(

₁

1)

2

(

1)(

2)

9

zt t zt z

e

e

z

ordem

s e F z

a

z

z

z

  _

 



 











2 2 1 ₂ 2 2 2 2 2

2 (

2)

Re (

( ) : 2)

lim

[(

2)

]

(

1)(

2)

(

1)

1

lim

(

)

lim

(

)

1

(

1)

3

9

zt zt z zt zt zt t z z

d

e

z

ordem

s e F z

a

z

dz

z

z

d

e

te

z

e

t

e

dz z

z

 _  

















 







_

_







_



_

Assim,

Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 51 2 1 1 3 2

1

[

]( )

(

)

.

(

1)(

2)

3

L

t

e

t

t

s

s



_{ }





Exemplo: Calcule 1

[

_{3 2}

]( ).

(

1) (

1)

L

s

t

s

s







Polos de _{3 2}

:

(

1) (

1)

zt

ze

z



z



2 1 1 ₁2! 2 2 1 2 2 2 1 1 2 ₁ 4 2 ₁ 4 1 2 1

1 (

3)

Re (

( ) : 1)

lim

[

]

(

1)

(1

)

(

1)

2(

1)

(1

)

(

2

1)

(2

2 )

lim

[

]

lim

[

]

(

1)

(

1)

(

lim

[

zt zt z zt zt zt zt z z z

d

ze

z

ordem

s e F z

a

dz

z

d

tz e

z

ze

z

d

tz e

z

z

e

z

z

dz

z

dz

z

d

dz

    

 



 



















 















3 2 ₄ 2 2 4 2 2 3 1 2 ₁ 8 4 3 6 5 7 8 8

2

)

(1

)

]

(

1)

[(2

)(

1)

2

](

1)

[(1

)

(

1) ]4(

1)

lim

(

1)

1 [(2

)4

2

]2

[ 4 ]4( 2 )

1 2 (2

)

2

2

2

2

2

2

1 (2

)

2

zt zt zt zt zt z t t t t t t

z

z

z te

e

z

z

zt z

te

ze

z

e

z

tz z

z

z

t

te

e

e

t

t te

e

te

t

      









_



























_

_



































_

_



_

_













_{2 3 2} 2 _{3 4 2}

(

1

₄ 2₃

)

.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

t t t t t t t t

te

e

te

te

t e

e

te

t

e

       





























3 2 2 ₁ 3 ₁ 6 3 2 6 3 4 4

(

)(

1)

3

(

1)

1(

2)

Re (

( ) :1)

lim

[

]

lim[

]

(

1)

(

1)

2 (1

)

3.2

(1

)

3

(2

1)

.

2

2

2

2

zt zt zt zt zt z z t t t t t

d

ze

e

tze

z

ze

z

z

ordem

s e F z

dz

z

z

t e

e

t

e

e

e

t

 







































De modo que, 1 2 3 2 3 4

1 1

1

[

]( )

(

)

(2

1) .

(

1) (

1)

2

2

2

L

s

t t

t

t e

t

e

s

s



_

_



_

_





Exemplo: Calcule 1 2 2

1

[

]( ).

(

1)

L

t

s





OBS: 2 2 2 2

1

1

(

s



1)



(

s i



) (

s i



)

■

Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 52 Pólos de _{2 2}

(

) (

)

zt

e

z i



z i



: 2 1 2 4 4

(

)

2

(

)

(

2)

Re (

( ) :

)

lim

[

]

lim[

]

(

)

(

)

4

4

(cos

sen )

(cos

sen )

(

cos

)

(cos

sen )

2

zt zt zt zt z i z i it it

d

e

te

z i

e

z i

z

i ordem

s e F z

i

dz

z i

z i

te

ie

t

t

i

t

i

t

i

t

t

t

sent

i

t

t

t

   







 



 













 







 







2 2 2 4 2

(

)

2

(

)

(

2)

Re (

( ) : )

lim

[

]

lim[

]

(

)

(

)

4

4

1

1

[ (cos

sen )

(cos

sen )]

[( cos

sen )

( sen

cos )]

4

4

4

zt zt zt zt z i z i it it

d

e

te

z i

e

z i

z

i ordem

s e F z

i

dz

z i

z i

te

ie

t

t

i

t

i

t

i

t

t

t

t

i t

t

t

 













































Logo, 1 2 2

1

1

[

]( )

[sen

cos ].

(

1)

2

L

t

t

t

t

s



_

_



Funções Plurívocas e Pontos de Ramificações: Dado

z



0

, a função

2 2

( )

(cos

sen )

,

Arg

f z



z



z





i







z

associa a cada z dois valores distintos

 

1

,

2;

1

z

1

(cos

2

i

sen ) ,

2

2

z

1

[cos(

2

)

i

sen(

2

)]

   





















De modo que, √ não é uma função unívoca (ou seja, univalente). Ela é uma função multívoca a dois valores (bivalente).

Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 53 plano z plano w

Definição: Um ramo de uma função multivalente f é uma função univalente que é analítica em alguma região e cujos valores em cada ponto dessa região coincidem com os valores de f. Exemplo: A função

1

( )

(cos

2

sen )

2

,

f z



z





i



  

  

é um ramo da função f z( ) z. A região de analiticidade de

f

₁ é

{

:

0}

i

z

re



r

 



Tem-se que no eixo-real negativo ] , 0[,

f

1 nem sequer é contínua uma vez que ;

1

( )

,

,

1

( )

,

.

i

se











f z



i r e se



 







f z

 

i r

 

z

re

 De modo que, 1

lim

( ) ,

0.

z

f









 

Definição: O eixo-real negativo

{

:

0}

i

z



re



r



_{é denominado um corte da ramificação de}

f(z)=√ e a origem é um ponto de ramificação de f(z)=√ .

OBS: Todo os pontos do semi-eixo

{

:

0}

i

z



re



r



_{são pontos singulares de √ , e portanto}

são pontos singulares não são isolados. A função





2

( )

cos

2

sen

2

,

3 ,

0

f z



z





i



 

 



z



Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 54









2 2 2 1 2 2 ( 2 ) ( 2 )

( ) cos sen cos( ) sen( )

2 2 cos sen ( ) f z z i z i z i f z    













_

_

   _  _          

Na verdade, existe um número infinito (enumerável) de ramos dados por





1

( )

cos

2

sen

2

, (2

1)

(2

1) ,

.

k

f

_

z



z





i



k



 

 

k





k



OBS: Pode-se usar qualquer outra semi-reta

{

:

0}

i

z



re



r



_{como corte de ramificação. Neste}

caso, os ramos podem ser dados por





1

( )

cos

2

sen

2

, (2

1)

(2

1)

,

.

k

f

_

z



z





i



k



  

  

k



 



k



Vamos relembrar a seguinte

Definição:

 

z

0

,o k-ésimo ramo da função logaritmo de z é dado por

log

_k

z



log

z



i

arg

z

, (2

k



1)





arg

z



(2

k



1) .



A função valor principal de log z é dado por

log

Arg

Logz



z



i

z

onde Arg z é o argumento principal de

0; Arg

z  



z



OBS:

log

z



log(

re

i

) log



r



log(

e

i

) log



r i





.

Definição: A função multivalente Logaritmo de um número complexo z é uma família infinita enumerável de funções dada por todos os ramos;

og

{log

:

} {log

arg

2

:

}.

L

k

z



z k





z



i

z i k





k



Propriedades:

(P1) Logz é descontínua sobre o corte

{

:

0}

i

z



re



r



_. (P2) Logzé analítica

{

:

0}

i

z

z

re



r

  



_e 1 log_k , . d z k dz  z  

Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 55 Com isto podemos definir a seguinte função que esclarecerá porque a função √ não pode ser definida em

z



0

.

Definição:    z 0,



, defini-se a função

z

como sendo a coleção infinita enumerável de todos os ramos

log

(

)

kz

, (2

1)

arg

(2

1) ,

.

k

z



e



k







z



k





k



O valor principal de

z

é dado pela função

Log

,

0.

z

z





e



z



Propriedades:



 

₁

,

₂



e um particular ramo

log

_k

z

;

(P1)

z

é analítica onde

log

_k

z

é analítica.

(P2) d z z 1 dz  _

_

 . (P3) _z 1 2 _{z z} 1 2_. (P4) ( _{1 2}) _{1 2} (2k i) , p/ algum . z z  z z e    k (P5) z 1 z    _ .

Aplicação ao calculo de integrais:

Exemplo: Calcule a família de integrais impróprias 1 0

( )

, 0

1.

1

p

x

I p

dx

p

x

 



 





Complexificando o integrando obtem-se a função

1 1

1

( )

, 0 1

1.

1

(1

)

p p

z

f z

p

z

z z

 





  





Então, sobre o semi-eixo

2

{

z



re

i

:

r



0}

(1 )[log 2 ] (1 )log 1 (1 )log (1 )2

,

0, 1, 2,

p z i k p z p p z i p k

z





e





e

  



e



e

 

k

  

De modo que,

z



0

é ponto de ramificação. Tomando como corte de ramificação o semi-eixo

2

Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 56 Tem-se que o integrando possui um pólo simples em z  1 int( )C com

1 1 1 ( 1) 1

Re ( ( ) : 1)

lim(

1)

( 1)

(

)

(

1)

p p i p i p z

z

s f z

z

e

e

z

      

 



 







Aplicando o Teorema dos Resíduos, obtem-se que

1 ( 1)

2

.

1

p i p C

z

dz

ie

z





 







Por outro lado, tem-se que

1 1 1 1 1

1

1

1

1

1

p p p p p AB BC CD DA C

z

z

z

z

z

dz

dz

dz

dz

dz

z

z

z

z

z

    





























OBS: Sobre 2 {   : 0} i z re r

tem-se que, arg ₂

,sobre

,sobre

i z i

x

AB

z

xe

xe



CD





_{ }



■

Sendo assim, obtem-se que

1 ₂ 1 2 1 ₀ 1 ( 1) 2 0 2

( e )

(

)

(

)

2

1

1

1

1

p i p i p i p R r i i p i i i i r R

x

R

xe

re

dx

iRe d

dx

ire d

ie

x

Re

xe

re

    _{  } 



 _ 





    

























OBS:

Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 57 ( 1) ( 1) log ( 1) log ( 1) ( 1) 1 e ( e ) e 1 1 e 1 e 1 1 , para , 1. 1 p p R i p i R i p i i p i p p i i i i p e iR e e R ie R iR R R R e R R Re R M M R M R M                                 ■ Como se tem 1 0 0 2 2

(

)

;onde 1

1 (

)

1

,se

1.

1

1

i p i ip p i i i i

re

ire

e

d

ir

d

re

re

r

r

re

re

       













  

 











Então 1 2 2 1 1 0 0

(

)

2

0,

.

.

1

i p i i p p

Re

iRe

M

M

d

d

qdo R

Re

R

R

    







  







 







e 0 2 2 2 2 0 0 0 1 1 2 2 , . 0 . 1 1 1 1 1 ip ip i i i ie ie d d d d qdo r re re re r r  _  _{ }    





_



_



_



_{ }



_      









De modo que, passando os limites

r

0 ,

R





 

_{, obtém-se que} 1 ₀ 2 ( 1) 1 ( 1) 0

₁

₁

2

p i p p p i

x

e

x

dx

dx

ie

x

x

 



    _ 













Ou seja 1 1 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) (1 ) ( 1) 0 0 1 0 2 2 (1 ) 2 1 1 (1 ) 2 2 1 sen p p i p i p i p i p i p i p p i i p i i p i p i p x x ie i e dx ie dx x x e e e x i i dx x e e e e e e p            















                               





