Cristina Maria Marques Departamento de Matemática-UFMG 1999 ( com revisão em 2005)

(1)

Introdu¸cão à Teoria de Anéis

Cristina Maria Marques

Departamento de Matem´atica-UFMG

1999 ( com revis˜ao em 2005)

(2)

(3)

Pref´

acio

Esta apostila consta das notas de aula feitas para as disciplinas Álgebra I e Estruturas Algébricas, as quais que já lecionei várias vezes na UFMG. Ele tem por objetivo introduzir a estrutura algébrica dos anéis .

O pré requisito para a leitura desse livro é a disciplina Fundamentos de Álgebra, ou seja, uma introdu¸cão aos números inteiros. Fazemos uma recorda¸cão dessa disciplina no Cap´ıtulo 1.

Esta apostila foi escrita com o intuito de ajudar aos alunos na leitura de outros textos de ´

Algebra como por exemplo o excelente livro do Gallian [1]. Vários anéis são apresentados como os anéis quocientes, anéis de polinômios sobre anéis comutativos e outros. No Cap´ıtulo 7 é feita uma generaliza¸cão desses anéis, definindo dom´ınios euclidianos, dom´ınios de fatora¸cão única e dom´ınios de ideais principais. Tambem apresentamos o Teorema Fundamental dos Homomorfismos que permite a comparara¸cão de anéis.

Espero alcan¸car meu objetivo. Cristina Maria Marques. Belo Horizonte,9/3/99.

(4)

Sum´

ario

Pref´acio i

1 Inteiros 1

1.1 Propriedades b´asicas . . . 1

1.2 Teorema Fundamental da Aritm´etica . . . 5

1.3 Indu¸c˜ao matem´atica . . . 5

1.4 Rela¸c˜ao de equivalˆencia . . . 6

1.5 Exerc´ıcios do cap´ıtulo 1 . . . 8

2 Anéis 10 2.1 Defini¸cões e propriedades básicas . . . 10

2.2 Suban´eis . . . 13

2.3 Dom´ınios Integrais . . . 14

2.4 Corpos . . . 15

2.5 Caracter´ıstica de um anel . . . 16

2.6 Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 2 . . . 17

3 Ideais e an´eis quocientes 19 3.1 Ideais . . . 19

3.2 An´eis quocientes . . . 20

3.3 Ideais primos e ideais maximais . . . 22

3.4 Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 3 . . . 24

4 Homomorfismos de an´eis 26 4.1 Defini¸c˜ao e exemplos . . . 26

4.2 Propriedades dos homomorfismos . . . 28

4.3 O teorema fundamental dos homomorfismos . . . 29

4.4 O corpo de fra¸c˜oes de um dom´ınio . . . 31

4.5 Lista de exerc´ıcios do Cap´ıtulo 4 . . . 32

5 Anéis de Polinômios 34 5.1 Defini¸cão e exemplos . . . 34

5.2 O Algoritmo da divisão e conseqüências . . . 36

5.3 Lista de exerc´ıcios do Cap´ıtulo 5 . . . 39 ii

(5)

SUM ´ARIO iii

6 Fatora¸c˜ao de polinˆomios 41

6.1 Testes de redutibilidade . . . 41

6.2 Testes de irredutibilidade . . . 43

6.3 Fatora¸c˜ao ´unica em Z[x] . . . 46

7 Divisibilidade em dom´ınios 51 7.1 Irredut´ıveis e primos . . . 51

7.2 Dom´ınios de Fatora¸c˜ao ´unica . . . 53

7.3 Dom´ınios Euclidianos . . . 55

8 Algumas aplica¸cões da fatora¸cão única em dom´ınios 60 8.1 Introdu¸cão . . . 60

8.2 O anel Z[ω] . . . 61

8.3 A equa¸c˜ao X3 _{+ Y}3_{+ Z}3 _{= 0 . . . .} ₆₆

(6)

(7)

Cap´ıtulo 1

Inteiros

1.1 Propriedades b´

asicas

Vamos recordar aqui as principais propriedades dos inteiros Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} as quais ser˜ao consideradas como axiomas.Elas ser˜ao usadas em todo nosso curso.

• Fecho: Se a e b são inteiros então a + b e a.b também são.

• Propriedade comutativa: a + b = b + a e a.b = b.a para quisquer inteiros a e b.

• Propriedade associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c) para quaisquer inteiros a, b e c.

• Propriedade distributiva: (a + b).c = a.c + b.c para quisquer inteiros a, b e c. • Elementos neutros: a + 0 = a e a.1 = a para todo inteiro a.

• Inverso aditivo: Para todo inteiro a existe um inteiro x que é solu¸cão da equa¸cão a + x = 0. Tal x é denominado inverso aditivo e tem a nota¸cão _−a.

Obs: a nota¸c˜ao b− a significa b + (−a).

• Cancelamento: Se a, b e c s˜ao inteiros com a.c = b.c com c 6= 0 ent˜ao a = b Tais axiomas nos permitem provar outras propriedades de Z bastante comuns. Exemplo 1.1.1. Para todo a, b e c em Z temos a.(b + c) = a.b + a.c

Com efeito, como sabemos que o produto ´e comutativo em Z segue que a(b + c) = (b + c).a

Pela propriedade distributiva temos que

(b + c).a = b.a + c.a

Finalmente usando a propriedade comutativa do produto segue o resultado. 1

(8)

Exemplo 1.1.2. Podemos provar que 0.a = 0. Para isto, observe que como 0 = 0 + 0

0.a = (0 + 0)a = 0.a + 0.a Somando de ambos os lados_{−0.a teremos que}

0 = 0.a = a.0 pela comutatividade do produto.

Exerc´ıcio 1.1.3. Prove que para todo a, b e c em Z temos: 1. (a + b)2 _{= a}2 _{+ 2ab + b}2

2. (_{−1)a = −a} 3. −(ab) = a(−b) 4. (_{−a)(−b) = ab}

5. −(a + b) = (−a) + (−b)

A ordem em Z ´e definida usando os inteiros positivos _{{ 1,2,3,...}.}

Defini¸cão 1.1.4. Se a e b são inteiros dizemos que a é menor que b, e denotamos por a < b quando b_{− a for positivo.}

Se a < b escrevemos tamb´em b > a.

As principais propriedades da ordem dos inteiros s˜ao :

• Fecho dos inteiros positivos: a soma e o produto de dois inteiros positivos s˜ao positivas. • Tricotomia : para todo inteiro a, temos que ou a > 0, ou a < 0 ou a = 0.

Outras propriedades da ordem de Z podem ser obtidas atrav´es dessas.

Exemplo 1.1.5. Suponha que a, b e c s˜ao inteiros com a < b e c > 0. Vamos provar que ac < bc. Por defini¸c˜ao a < b significa que

b_{− a > 0} Pela propriedade do fecho

(b_{− a)c > 0.}

Pela propriedade distributiva e o exerc´ıcio anterior, segue o resultado. Exerc´ıcio 1.1.6. Prove que se a, b e c _{∈ Z, a < b e c < 0 ent˜ao ac > bc.}

(9)

1.1. PROPRIEDADES B ÁSICAS 3 Uma propriedade muito importante de Z é o princ´ıpio da boa ordena¸cão :

Princ´ıpio da boa ordena¸c˜ao (PBO) Todo subconjunto n˜ao vazio de inteiros positivos possui um menor elemento.

O PBO diz que se S é um subconjunto não vazio dos inteiros positivos então existe um s0 ∈ S

tal que s_{≥ s}0 para todo s em S.

O conceito de divisibilidade é muito importante na teoria dos números e será estendido na teoria de anéis em geral. Dizemos que um inteiro não nulo t é divisor de um inteiro s se existe um inteiro u tal que s = tu. Escrevemos neste caso que t|s ( lemos t divide s )

Quando t não é um divisor de s, nós escrevemos t_{6 | s. Um primo é um inteiro positivo maior que} 1 cujo únicos divisores positivos são 1 e ele mesmo.

Como nossa primeira aplica¸cão do PBO temos uma propriedade fundamental do inteiros: Teorema 1.1.7 (Algoritmo de Euclides (AE)). Sejam a e b inteiros com b > 0. Então existem inteiros q e r tais que a = bq + r onde b > r_{≥ b. Tais q e r são únicos.}

Demonstra¸c˜ao :

Existˆencia: Considere o conjunto S =_{{a − bk | k ∈ Z e a − bk ≥ 0}.}

Se 0_{∈ S, existe q ∈ Z tal que a − bq = 0. Fazendo r = 0 o algoritmo est´a provado.} Se 06∈ S vamos aplicar o PBO.

Para isto temos que provar que S_{6= ∅.} Se a > 0, a_{− b0 = a > 0 e ent˜ao S 6= ∅.}

Se a < 0, a− b2a = a(1 − 2b) > 0 e ent˜ao S 6= ∅.

Pelo PBO, S possui um menor elemento que chamaremos de r. Assim, existem q, r _{∈ Z tais que} a_{− bq = r , r ´e o menor elemento de S e r > 0. S´o falta provar que r < b.}

Se r = b

a_{− bq = r = b} a_{− bq = b} a_{− b(q + 1) = 0} Isto indica que 0_{∈ S, o que n˜ao acontece neste caso.} Se r > b

a− bq = r > b a− bq − b > 0 a− b(q + 1) > 0

Isto indica que a− b(q + 1) pertence a S o que é um absurdo pois é menor que r = a − bq e r é o menor elemento de S.

Unicidade

Suponha que existam q, q′_{, r, r}′ _{tais que}

(10)

com 0_{≤ r, r}′ _{< b. Como}

r′_{− r = b(q}′_{− q)}

temos que b | (r′_{− r). Mas como r}′_{− r < b concluimos que r}′_{− r = 0, r}′ _{= r e q = q}′_.

Nota¸cão : q será chamado de quociente e r será chamado de resto da divisão de a por b. Exemplo 1.1.8. Se a = 34 e b = 7 o algoritmo diz que 34 = 7.4 + 6; para a = −49 e b = 6, o algor´ıtmo de Euclides diz que _{−49 = 6.(−9) + 5.}

Defini¸cão 1.1.9 (Máximo divisor comum). O máximo divisor de dois inteiros a e b não nulos é o maior de todos os divisores comuns de a e b. Ele será denotado por mdc(a, b) ou quando não causar dúvidas simplesmente por (a, b). Quando mdc(a, b) = 1 dizemos que a e b são relativamente primos.

Podemos definir mdc(a, b) da seguinte forma: mdc(a, b) = d se e somente se 1. d > 0

2. d|a e d|b.

3. se existir um inteiro c tal que c_{|a e c|b ent˜ao c|d.}

Temos de provar que as duas defini¸cões são equivalentes. Para isto precisamos do próximo teorema que diz que o mdc(a, b) é uma combina¸cão linear de a e b. Esta é nossa segunda aplica¸cão do PBO. Teorema 1.1.10 (mdc é uma combina¸cão linear). Se a e b são inteiros não nulos então existem inteiros s e r tais que mdc(a, b) = sa + tb

Demonstra¸c˜ao Considere o conjunto S =_{{am + bn | m, n ∈ Z e am + bn > 0}.}

S _{6= ∅ porque se você achar uma combina¸cão am + bn < 0 então multiplique por −1 e terá uma} combina¸cão positiva.

Pelo PBO, S possui um menor elemento. Seja d o menor elemento de S. Assim existem s, t _{∈ Z} tais que d = sa + tb .

Afirma¸c˜ao : d = mdc(a, b)

Com efeito, pelo algoritmo de Euclides, existem q, r_{∈ Z tais que a = dq + r e 0 ≤ r < d. Se r > 0,} então 0 < r = a_{− dq = a − (as + tb)q = a(1 − s) + (−tq)b ∈ S . Isto é um absurdo pois d é o menor} elemento de S, Assim r = 0 e d|a. Analogamente, d|b

Seja agora d′ _{outro divisor comum de a e b. Assim a = d}′_{k e b = d}′_{h para certos k e h em Z,}

d = as + bt = d′_{ks + d}′_{ht = d}′_{(ks + ht) e portanto d}′_|d.

Logo d = mdc(a, b).

Defini¸cão 1.1.11 (M´ınimo múltiplo comum ). O m´ınimo múltiplo comum de dois interos não nulos é o menor múltiplo comum positivo de a e b.

Nota¸c˜ao : mmc(a, b)

Podemos definir o mmc(a, b) na forma : mmc(a, b) = m se e somente se 1. m > 0

2. a_{|m e b|m}

3. Se existir m′ _{inteiro tal que a}_|m′ _{e b}_|m′ _{ent˜ao m}_|m′

(11)

1.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITM ´ETICA 5

1.2 Teorema Fundamental da Aritm´

etica

O teorema fundamental da aritmética é um resultado importante o qual mostra que os números primos são os construtores dos inteiros.

Teorema 1.2.1 (Teorema Fundamental da Aritm´etica (T F A) ). Todo inteiro maior que um se escreve de maneira ´unica como um produto de primos.

Para provarmos este teorema temos de provar algumas propriedades dos primos.

Lema 1.2.2 (Lema de Euclides). Se p é um primo que divide a.b então p divide a ou p divide b. Demonstra¸cão :

Suponha que p é um primo que divide ab mas que p_{6 |a.Como p é primo podemos afirmar que p e} a são relativamente primos .Assim existem inteiros r e s tais que ra + sp = 1. Então rab + rpb = b. Como p_{|ab e p|rpb temos que p|b.}

Note que o Lema de Euclides falha se p não for primo ; por exemplo 6_{|4.3 ,6 6 |4 e 6 6 |3} Demonstra¸cão do Teorema Fundamental da Aritmética

Unicidade Suponha que exista duas fatora¸c˜oes em primos de n: n = p1p2...pr = q1q2...qs.

Pelo Lema de Euclides p1|qi para algum qi e como p1 e qi s˜ao primos temos que p1 = qi para

algum i_{∈ {1, 2, ..., s}. Analogamente p}2 = qj para algum j ∈ {1, 2, ..., s} e assim por diante . Pela

propriedade do cancelamento teremos 1 = qi1...qik se s > r. Mas isto ´e um absurdo pois nenhum

primo ´e invert´ıvel. Analogamente se r < s chegamos num absurdo. Logo s = r e os primos s˜ao os mesmos.

Existência: Séra feito depois do segundo princ´ıpio da indu¸cão matemática na próxima se¸cão .

1.3 Indu¸c˜

ao matem´

atica

Existem dois tipos de prova usando indu¸cão matemática. Ambas são equivalentes ao PBO e vêm do século XVI.

Primeiro princ´ıpio da indu¸c˜ao matem´atica (1o_{P IM )}

Seja S um subconjunto de Z contendo a. Suponha que S tem a propriedade de possuir n+1 sempre que S possuir n com n≥ a. Ent˜ao S contem todo inteiro maior ou igual a a.

Assim, para provarmos que uma afirma¸cão é verdadeira para todo inteiro positivo, nós devemos primeiro verificar que a afirma¸cão é verdadeira para o inteiro 1. Nós então supomos que a afirmativa é verdadeira para o inteiro n e usamos esta afirmativa para provar que a afirmativa é válida para n + 1.

(12)

Exemplo 1.3.1. Podemos usar o (10_{P IM ) para provar que n!}_{≤ n}n _{para todo inteiro positivo n.}

A afirmativa é válida para n = 1 pois 1! = 1 ≤ 11 _{= 1. Agora suponha que n!} _{≤ n}n _{; esta é a}

hipótese de indu¸cão .Temos de provar que (n + 1)!_{≤ (n + 1)}(n+1)_{. Usando a hipótese de indu¸cão}

(n + 1)! = (n + 1).n! (n + 1)! _{≤ (n + 1).n}n (n + 1)! ≤ (n + 1).(n + 1)n

(n + 1)!_{≤ (n + 1)}(n+1) Isto completa a prova.

Segundo princ´ıpio de indu¸c˜ao matem´atica.(2o_{P IM )}

Seja S um subconjunto de Z contendo a. Suponha que S tenha a propriedade de sempre conter n quando S contiver todos os inteiros menores que n e maiores que a. Ent˜ao S contem todo inteiro maior ou igual a a.

Para usar esta forma de indu¸cão , nós primeiro provamos que a afirmativa é válida para a. Depois mostramos que se a afirmativa é verdadeira para todos os inteiros maiores ou iguais a a e menores que n então ela é verdadeira para n.

Exemplo 1.3.2 (Existˆencia do TFA). N´os usamos o 2o_{P IM com a = 2 para provar a parte da}

existência do TFA. Seja S ⊂ Z formado de inteiros maiores que 1 que são primos ou um produto de primos. Claramente 2 _{∈ S. Agora nós assumimos que para algum inteiro n, S contém todos} os inteiros k com 2 _{≤ k < n. Nós devemos mostrar que n ∈ S. Se n é primo, então n ∈ S por} defini¸cão . Se n não for primo, n poderá ser escrito na forma n = ab onde 1 < a < n e 1 < b < n. Como estamos assumindo que a e b pertencem a S, nós sabemos que eles são primos ou produto de primos. Assim, n também é um produto de primos. Isto completa a prova.

1.4 Rela¸c˜

ao de equivalˆ

encia

Em matem´atica objetos diferentes num contexto podem ser vistos como iguais noutro. Por exemplo, como i2 ₌_{−1, i}3 ₌_{−i, i}4 _{= 1 temos que para efeito de achar potencias de i os n´}_{umeros s˜ao iguais}

se tiverem o mesmo resto na divis˜ao por 4. Assim, aqui 5 = 1, 240 = 0, 243 = 3.

O que é necessário fazer para que estas distin¸cões fiquem claras, é uma generaliza¸cão apropriada da no¸cão de igualdade; isto é, nós necessitamos de mecanismo formal para especificar quando ou não duas quantidades são iguais numa certa coloca¸cão . Tais mecanismos são as rela¸cões de equivalencia. Defini¸cão 1.4.1 (Rela¸cão de Equivalência). Uma rela¸cão de equivalência num conjunto S é um conjunto R de pares ordenados de elementos de S de modo que:

1. (a, a) _{∈ R para todo a ∈ S ( propriedade reflexiva )} 2. (a, b) _{∈ R implica (b, a) ∈ R ( propriedade sim´etrica ).}

(13)

1.4. RELAÇ ÃO DE EQUIVAL ÊNCIA 7 Quando R for uma rela¸cão de equivalência num conjunto S, escrevemos aRb ao invés de (a, b)∈ R. Também como uma rela¸cão de equivalência é uma generaliza¸cão de igualdade, s´ımbolos sugestivos são_{≈, ≡, ou ∼.}

Se_{∼ for uma rela¸cão de equivalência num conjunto S e a ∈ S , então o conjunto [a] = {x ∈ S | x ∼} a} é chamado de classe de equivalencia de S contendo a .

Exemplo 1.4.2 ((a_{≡ b mod n)). Em Z definimos a rela¸c˜ao de equivalˆencia:} a≡ b mod n ⇔ n|(a − b)

´

E fácil ver que _{≡ modn é uma rela¸cão de equivalência ;} 1. a≡ a mod n pois n|0

2. Se a_{≡ b mod n ent˜ao b ≡ a mod n pois se n|(a − b) ent˜ao n|(b − a).}

3. Se a_{≡ b mod n e b ≡ c mod n temos que n|(a − b) e n|(b − c) e ent˜ao n|(a − c). Isto mostra} que a≡ c mod n

As classes de equivalencia de Z mod n serão as classes dos restos da divisão por n. Com efeito, dado a em Z pelo algor´ıtmo de Euclides temos a = qn + r com 0 _{≤ r < n. Isto mostra} que a ≡ r mod n. Denotaremos por Zn o conjunto das classes de equivalencia de Z módulo n.

Usaremos a nota¸c˜ao ¯a para [a].Assim

Zn={¯0, ¯1, ..., n − 1}

.

Defini¸cão 1.4.3 (Parti¸cão de um conjunto S). Uma parti¸cão de um conjunto S é uma cole¸cão de subconjuntos não vazios disjuntos de S cuja união é S.

Teorema 1.4.4. As classes de equivalencia de um conjunto S formam uma parti¸cão de S. Reci-procamente, para toda parti¸cão P de um conjunto S, existe uma rela¸cão de equivalencia em S cujas classes de equivalencia são os elementos de P .

Demonstra¸c˜ao :

Seja _{≡ uma rela¸cão de equivalencia em S. Para todo a ∈ S temos que a ∈ [a] pela propriedade} reflexiva. Assim [a]6= ∅ e a união de todas as classes de equivalencia de S é S. Vamos agora provar que duas classes de equivalencia distintas são disjuntas . Com efeito, suponha que [a] e [b] possuem um elemento x em comum. Isto implica que x _{≡ a e x ≡ b. Pela propriedade transitiva a ≡ b e} portanto [a] = [b].

A rec´ıproca ´e deixada como exerc´ıcio.

(14)

1.5 Exerc´ıcios do cap´ıtulo 1

1. Se a e b são inteiros positivos então ab = mdc(a, b).mmc(a, b) 2. Suponha que a e b são inteiros que dividem o inteiro c.

Se a e b s˜ao relativamente primos, mostre que ab_|c.

Mostre com um exemplo, que se a e b não são relativamente primos então ab não necessita dividir c.

3. O conjunto dos racionais positivos satisfaz o PBO ?

4. Mostre que mdc(a, bc) = 1⇔ mdc(a, b) = 1 e mdc(a, c) = 1

5. Se existem inteiros a, b, s e t de modo que at + bs = 1 mostre que mdc(a, b) = 1. 6. Seja d = mdc(a, b). Se a = da′ e b = db′ mostre que mdc(a′, b′) = 1

7. Sejam p1, p2, ..., pn primos distintos.

Mostre que p1p2...pn+ 1 n˜ao ´e divis´ıvel por nenhum desses primos.

8. Mostre que existem infinitos primos. Sug: Use 7. 9. Prove que para todo n, 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2

10. Para todo inteiro positivo n, prove que um conjunto com n elementos tem exatamente 2n

subconjuntos(contando com o vazio e o todo).

11. Prove o Lema generalizado de Euclides: Se p ´e um primo e p_|a1...an, prove que p|ai para

algum i, i = 1, 2, ..., n.

12. Seja S um subconjunto de R.

Se a e b pertencem a S, defina a_{∼ b se a − b é um inteiro.} Mostre que∼ é uma rela¸cão de equivalência em S.

13. Seja S = Z.

Se a, b∈ S defina aRb se ab ≥ 0.

R ´e uma rela¸c˜ao de equivalencia em S ?

14. Uma rela¸cão num conjunto S é um conjunto de pares ordenados de elementos de S. Ache um exemplo de uma rela¸cão que seja simétrica, reflexiva mas não transitiva.

15. Ache um exemplo de uma rela¸cão que seja reflexiva , transitiva mas não simétrica. 16. Ache um exemplo de uma rela¸cão que seja simétrica, transitiva e não reflexiva.

17. Sejam n e a inteiros positivos e d = (a, n). Mostre que a equa¸c˜ao ax _{≡ 1 mod n tem uma} solu¸c˜ao⇔ d = 1.

(15)

1.5. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 1 9 19. Seja (x0, y0) uma solu¸cão de ax + by = c com a, b e c inteiros. Mostre que todas as solu¸cões

de ax + by = c tˆem a forma x = x0+ t(b/d), y = y0− t(a/d) onde d = mdc(a, b) e t ∈ Z.

20. Se u e v s˜ao positivos, mdc(u, v) = 1 e uv = a2_{, mostre que u e v s˜ao quadrados onde u, v e}

a pertencem a Z.

21. Prove por indu¸c˜ao sobre n , que n3_{+ 2n ´e sempre divis´ıvel por 3.}

22. Se n ´e um natural ´ımpar, prove que n3_{− n ´e sempre divis´ıvel por 24.}

23. Seja n um natural composto. Ent˜ao n tem um divisor primo p tal que p_≤√n. 24. Prove que existe um n´umero infinito de primos da forma 4n− 1.

(16)

Cap´ıtulo 2

An´

eis

2.1 Defini¸c˜

oes e propriedades b´

asicas

Um anel é um conjunto A, cujos elementos podem ser adicionados e multiplicados ( isto é, são dadas duas opera¸cões (x, y)_{→ x + y e (x, y) → x.y aos pares de elementos de A em A) satisfazendo} as seguintes condi¸cões :

1. Para todo x e y ∈ A n´os temos a comutatividade da soma, a saber x + y = y + x

2. Para todo x e y ∈ A n´os temos a associatividade da soma, a saber, (x + y) + z = x + (y + z)

3. Existe um elemento e em A tal que x + e = x para todo x_{∈ A.} Not: e = 0. Este ´e chamado elemento neutro da adi¸c˜ao .

4. Para todo elemento x∈ A existe um elemento y em A tal que x + y = 0. Not: y =_{−x Este é também chamado de simétrico de x.}

5. Para todo x, y, z ∈ A n´os temos a associatividade da multiplica¸c˜ao , a saber (x.y).z = x.(y.z)

6. Para todo x, y, z _{∈ A nós temos a distributividade da multiplica¸cão à direita e esquerda , a} saber

x(y + z) = x.y + x.z e

(y + z).x = y.x + z.x

Observa¸cões : 1) Observe que a multiplica¸cão não necessita ser comutativa. Quando isto ocorrer, dizemos que A é um anel comutativo

(17)

2.1. DEFINIÇ ÕES E PROPRIEDADES B ÁSICAS 11 2) Um anel não necessita ter elemento neutro da multiplica¸cão (isto é, um elemento y tal que xy = yx = x para todo x ∈ A). Este elemento é chamado de unidade do anel e denotado por 1. Quando um anel A possui o elemento neutro da multiplica¸cão dizemos que A é um anel com unidade. 3) Os elementos não nulos de um anel não necessitam ter inversos multiplicativos (isto é, y é inverso multiplicativo de x se e somente se xy = yx = 1). Os elementos de um anel A que possuem inverso multiplicativo são chamados de invert´ıveis de A ou unidades de A.

Usaremos a nota¸c˜ao U (A) ={x ∈ A| x ´e uma unidade de A}.

Exemplo 2.1.1. O conjunto dos inteiros Z com a adi¸cão e multiplica¸cão usuais é um anel.

Exemplo 2.1.2. Os conjuntos Q, R, C com as opera¸cões usuais são exemplos de anéis. Observe que U (Q) = Q_{− {0}, U(R) = R − {o}, U(C) = C − {0}.}

Exemplo 2.1.3 (O anel Zn). J´a definimos Zn no cap´ıtulo 1.

Zn={¯0, ¯1, ..., n − 1}

Vimos também quando duas classes são iguais,isto é, ¯

a = ¯b _{⇔ n|(a − b)} Em Zn definimos as opera¸c˜oes :

Zn× Zn→ Zn Zn× Zn→ Zn

(¯a, ¯b) → a + b (¯a, ¯b) → a.b

Como estamos trabalhando com classes, as quais são conjuntos, temos de mostrar que estas opera¸cões estão bem definidas, isto é , se ¯a = a1 e ¯b = b1 então a + b = a1+ b1 e a.b = a1.b1.

Pela igualdade das classes temos que existem x, y∈ Z tais que a− a1 = xn e b− b1 = yn

Somando estas duas equa¸c˜oes temos que

(a + b)− (a1+ b1) = (x + y)n

Isto significa que

a + b = a1+ b1

Tamb´em ,

a.b = (xn + a1)(yn + b1) = xyn2 + xnb1+ a1yn + a1b1

e esta equa¸c˜ao indica que n_{|(ab − a}1b1) ou seja a.b = a1.b1 .

Como a soma e a multiplica¸cão de duas classes dependem essencialmente da soma e multiplica¸cão em Z, respectivamente, temos que várias propriedades dessas opera¸cões de Zn são herdadas de Z.É

o caso da comutatividade da soma, associatividade da soma e produto e distributividade. Observe que o elemento neutro da soma de Znvai ser a classe ¯0 que representa os m´ultiplos de n. O sim´etrico

(18)

Exemplo 2.1.4. O conjunto Z[x] de todos os polinômios na variável x com coeficientes inteiros com a multiplica¸cão e adi¸cão usuais é um anel comutativo com unidade. Recorde que se

f (x) = a0+ a1x + ... + anxn e g(x) = b0+ b1x + ...bmxm ent˜ao f (x) + g(x) = (a0+ b0) + (a1+ b1)x + ... + (ak+ bk)xk onde k = max{n, m} f (x).g(x) = c0+ c1x + ... + cn+mxn+m onde cj = aj.b0+ aj−1.b1+ ... + a0.bj

Agora verifique que Z[x] realmente um anel comutativo e a sua unidade ´e f (x) = 1

Exemplo 2.1.5. O conjunto M2(Z) das matrizes 2 × 2 com entradas inteiras ´e um anel n˜ao

comutativo com unidade 1 0 0 1

. Verifique isto!

Exemplo 2.1.6. O anel 2Z com a soma e produto usuais é um anel comutativo sem unidade. Exemplo 2.1.7. O conjunto das fun¸cões reais cont´ınuas a uma variável cujo gráfico passa pelo ponto (1, 0) é um anel comutativo sem unidade com as opera¸cões : (f + g)(a) = f (a) + g(a) e (f g)(a) = f (a)g(a)

Exemplo 2.1.8. Se A1 e A2 são anéis , nós podemos definir um novo anel A1× A2 ={(a1, a2)|ai ∈

Ai} com as opera¸c˜oes componente a componente:

(a1, a2) + (b1, b2) = (a1+ b1, a2+ b2) e (a1, a2).(b1, b2) = (a1.b1, a2.b2)

Este anel ´e chamado de soma direta de A1 e A2.

Vamos ver agora como podemos operar com an´eis.

Teorema 2.1.9 (Regras da soma e do produto). Sejam a, b e c elementos de um anel A. Então: 1. Vale a lei de cancelamento para a soma, isto é, se a + b = a + c então b = c.

2. O elemento neutro aditivo é único. 3. O inverso aditivo é único.

4. a.0 = 0.a = 0

5. a(−b) = (−a)b = −(ab) 6. (−a)(−b) = ab

7. a(b− c) = ab − ac e (b − c)a = ba − ca. Se A tem unidade 1 ent˜ao

(19)

2.2. SUBAN ´EIS 13 8. (_{−1)a = −a}

9. (_{−1)(−1) = 1}

10. O elemento neutro da multiplica¸cão é único. 11. O inverso multiplicativo é único.

Demonstra¸c˜ao

1. Basta somar a ambos os lados da igualdade o inverso aditivo de a.

2. Suponha que existam dois elementos neutros, a saber, e e e1. Usando a defini¸c˜ao de elemento

neutro temos e = e + e1 = e1.

3. Suponha que o elemento a possui dois inversos aditivos: a1 e a2. Ent˜ao a + a1 = a + a2 = 0.

Segue ent˜ao pelo cancelamento provado em 1 que a1 = a2.

4. Utilizando a distributividade temos a.0 = a(0 + 0) = a.0 + a.0. pelo cancelamento em 1 temos que a.0 = 0. Analogamente 0.a = 0.

5. Queremos provar que a(_{−b) é o simétrico de ab. Para isto basta somar a(−b) + ab e ver se o} resultado é zero. Como a(−b) + ab = a(−b + b) = a.0 = 0, segue o resultado. Analogamente para (_{−a)b é o simétrico de ab.}

6. (_{−a)(−b) = −[a(−b)] = −[−ab] pelo ´ıtem anterior. ´E f´acil ver que −(−a) = a para todo a} em A.

7. a(b_{− c) = a(b + (−c)) = ab + a(−c) = ab + (−ac) = ab − ac pelas propriedades anteriores.} 8. (_{−1)a = −(1a) = −a por 5.}

9. Direto de 6.

10. Suponha que existam duas unidades em A: 1 e b . Pela defini¸c˜ao de unidade teremos 1 = 1.b = b.

11. Suponha que o elemento a de A tenha dois inversos multiplicativos : b e c. Assim ba = ab = ac = ca = 1 e b = b1 = bac = 1c = c utilizando a associatividade da multiplica¸c˜ao .

2.2 Suban´

eis

Um subconjunto S de um anel A é um subanel de A se S for um anel com as opera¸cões de A. Exemplo 2.2.1. Z é um subanel de Q, Q é um subanel de R e R é um subanel de C.

Teorema 2.2.2 ( Teste para saber se ´e um subanel). Um subconjunto S de um anel A ´e um subanel de A se:

(20)

1. S _{6= ∅}

2. Para todo a e b em S, a_{− b ∈ S e ab ∈ S.} Demonstra¸c˜ao

Como as propriedades comutativa, associativa,distributiva são válidas para A, em particular, para S. Então faltam apenas verificar se as opera¸cões são fechadas, se o elemento neutro aditivo está em S e se o inverso aditivo de cada elemento de S está em S. Por hipótese, se a e b_{∈ S então ab ∈ S.} Como S _{6= ∅, tome x em S.Por hipótese x − x = 0 ∈ S. Também, por hipótese 0 − a = −a ∈ S} para todo a∈ S Logo, se a e b ∈ S ,a + b = a − (−b) ∈ S por hipótese e o teste está provado. Exemplo 2.2.3. _{{0} e A são subanéis de A.}

Exemplo 2.2.4. _{{¯0, ¯2, ¯4} ´e um subanel de Z}6. Construa as tabelas para verificar isto.

Exemplo 2.2.5. Os suban´eis de Z s˜ao da forma nZ .

Exemplo 2.2.6 (Inteiros de Gauss). Z[i] ={a + bi | a e b ∈ Z} ´e um subanel de C. Com efeito, Z[i]_{6= ∅.}

(a + bi)(c + di) = (ac_{− bd) + (ad + bc)i ∈ Z[i]} (a + bi)_{− (c + di) = (a − c) + (b − d)i ∈ Z[i]} Pelo teste, Z[i] ´e um subanel de C.

2.3 Dom´ınios Integrais

O anel Z tem propriedades que em geral um anel qualquer n˜ao tem. Veremos algumas delas nesta se¸c˜ao .

Defini¸cão 2.3.1 (Divisor de zero). Um elemento não nulo a em um anel comutativo A é chamado um divisor de zero se existe um elemento não nulo b em A tal que ab = 0.

Defini¸cão 2.3.2 (Dom´ınio integral). Um anel comutativo com unidade é chamado de dom´ınio integral ou simplesmente dom´ınio se ele não tem nenhum divisor de zero.

Assim, num dom´ınio integral ab = 0⇔ a = 0 ou b = 0

Exemplo 2.3.3. Z, Q, C, R são dom´ınios . Z6 não é um dom´ınio pois ¯2.¯3 = ¯0 e ¯2, ¯36= ¯0

Exemplo 2.3.4. O anel dos inteiros de Gauss Z[i] = _{{a + bi|a, b ∈ Z} é um dom´ınio pois é} comutativo com unidade e não tem divisores de zero porque está contido em C

Exemplo 2.3.5. Z[x] ´e um dom´ınio .Com efeito, sejam

f (x) = a0+ a1x + ... + anxn

e

g(x) = b0+ b1x + ...bmxm

em Z[x] tal que f (x)g(x) = 0. Suponha que f (x) e g(x) não são nulos. Tome ai0 ∈ Z tal que i0 é

o menor coeficiente de f (x) tal que ai0 6= 0 . Analogamente tome bj0 em g(x) tal que j0 ´e o menor

´ındice tal que bj0 6= 0 . Se f(x)g(x) = c0+ c1x + c2x

2_{+ ... + c}

n+mxn+m teremos pela nossa escolha

de i0 e j0 que ci0+j0 = ai0bj0 6= 0, o que ´e um absurdo.

(21)

2.4. CORPOS 15 Exemplo 2.3.6. Z[√2] =_{{a + b}√2_{| a, b ∈ Z} ´e um dom´ınio . Observe que Z[}√2]_{⊂ R}

Exemplo 2.3.7. Zp é um dom´ınio ⇔ p é primo. Com efeito, suponha que p é primo e ¯a¯b = ¯0; isto

indica que ab = ¯0 ou p|ab. Pelo Lema de Euclides temos p|a ou p|b, ou seja ¯a = ¯0 ou ¯b = ¯0.

Reciprocamente suponha que Zp é um dom´ınio e p não é primo. Então existem inteiros a e b tais

que p = ab e 1 < a, b < p. Temos ent˜ao ¯o = ¯a¯b. Como Zp ´e um dom´ınio temos que ¯a = ¯0 ou ¯b = ¯0,

ou seja p|a ou p|b . É facil ver que isto não acontece e chegamos assim num absurdo. Uma das propriedaes mais importantes dos dom´ınios é a propriedade de cancelamento.

Teorema 2.3.8 (Cancelamento). Sejam a, b e c pertencem a um dom´ınio integral. Se a _{6= 0 e} ab = ac ent˜ao b = c.

Demonstra¸c˜ao

De ab = ac temos a(b− c) = 0 e como a 6= 0 e estamos num dom´ınio temos que b = c.

2.4 Corpos

Em muitas aplica¸c˜oes , um tipo especial de dom´ınio ´e usado.

Defini¸cão 2.4.1. Um anel comutativo com unidade é chamado um corpo se todo elemento não nulo é uma unidade.

Frequentemente usamos a nota¸c˜ao ab−1 _{como a dividido por b. Pensando nisto podemos dizer}

que um corpo é um conjunto o qual é fechado em rela¸cão à adi¸cão , subtra¸cão , multiplica¸cão e divisão.

Exemplo 2.4.2. Q, R, C s˜ao os exemplos mais famosos de corpos.

O teorema seguinte diz que no caso finito, corpos e dom´ınios são os mesmos. Teorema 2.4.3. Se D é um dom´ınio finito então D é um corpo.

Demonstra¸c˜ao

Como D é um dom´ınio, D já é um anel comutativo com unidade. Assim só falta provar que todo elemento não nulo é invert´ıvel. Seja a _{6= 0 um elemento de D. Como D é finito, a sequencia} a, a2_{, a}3_{, a}4_{, ... come¸cará a se repetir, isto é, existe um i > j tal que a}i _{= a}j_{. Então pela lei do}

cancelamento aj_(ai−j _{− 1) = 0 e como a 6= 0 temos que a}i−j _{= 1 . Se i}_{− j = 1 , a = 1 e portanto ´e}

invert´ıvel. Se i_{− j > 1, a}i−j−1 _{é o inverso de a e então a é invert´ıvel.}

Corolário 2.4.4. Se p é primo Zp é um corpo.

Usando o exemplo 2.3.7 anterior temos

Corolário 2.4.5. Zn é corpo se e somente se n é primo.

Exemplo 2.4.6 (Corpo com 49 elementos). Seja Z7[i] = {a + bi | a, b ∈ Z7 e i2 =−1}. Este ´e o

anel dos inteiros de Gauss módulo 7. Elementos são adicionados e multiplicados como em números complexos, exceto que é módulo 7. Mostre que Z7[i] é um corpo.

(22)

2.5 Caracter´ıstica de um anel

Note que para todo x∈ Z7[i] n´os temos 7x = ¯0. Similarmente no anel {¯0, ¯3, ¯6, ¯9} contido em Z12

nós temos 4x = ¯0 para todo x. Esta observa¸cão motiva a defini¸cão seguinte.

Defini¸cão 2.5.1 (caracter´ıstica de um anel). A caracter´ıstica de um anel A é o menor inteiro positivo n tal que nx = 0 para todo x_{∈ A . Se tal elemento n não existe nós dizemos que A tem} caracter´ıstica 0. Not: car(A)

Exemplo 2.5.2. Z tem caracter´ıstica zero e Zn tem caracter´ıstica n. Um anel infinito pode ter

caracter´ıstica n˜ao nula. Por exemplo, o anel Z2[x] de todos os polinˆomios com coeficientes em Z2

tem caracter´ıstica 2.

Quando um anel tem unidade, o processo de achar a caracter´ıstica ´e simplificado;

Teorema 2.5.3 (caracter´ıstica de um anel com unidade). Seja A um anel com unidade 1. Se n.1 = 0 e n é o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0 temos que a caracter´ıstica de A é n. Se não existe n inteiro positivo tal que n.1 = 0 então a caracter´ıstica de A é 0.

Demonstra¸c˜ao

Suponha que não existe n inteiro positivo tal que n.1 = 0; pela defini¸cão de caracter´ıstica deA, car(A) = 0. Se n é o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0 temos que nx = n(1x) = (n.1)x = 0 para todo x em A. Isto prova que car(A) = n

Teorema 2.5.4 (caracter´ıstica de dom´ınio). A caracter´ıstica de um dom´ınio ´e 0 ou um n´umero primo.

Demostra¸c˜ao

Seja D um dom´ınio . Pelo teorema 2.5.3, como D possui unidade basta verificar a unidade. Se não existe n inteiro positivo tal que n.1 = 0, então a caracter´ıstica de D é 0.Suponha agora que existe um inteiro positivo m tal que m.1 = 0 e seja n o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0. Queremos provar que n é primo. Suponha que n não é primo. Então existem inteiros s, t tal que n = st com 1 < s, t < n. Assim 0 = n.1 = (st).1 = (s.1)(t.1) e como D é dom´ınio temos que s.1 = 0 ou t.1 = 0. Mas isto contraria o fato de n ser o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0. Logo n é primo.

(23)

2.6. EXERC´ICIOS DO CAP´ITULO 2 17

2.6 Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 2

1. Ache o erro na prova seguinte de (_{−a)(−b) = ab sabendo que a e b s˜ao elementos de um anel R.} (_{−a)(−b) = (−1)a(−1)b = (−1)(−1)ab = 1ab = ab}

2. Ache todos os suban´eis de Z.

3. Mostre que se m e n são inteiros e a e b são elementos de um anel, então (ma)(nb) = (mn)(ab). Observe que ma = a + a + ... + a, m vezes se m for positivo e ma = (_{−a) + (−a) + ... + (−a),} −m vezes quando m for negativo. Observe que usamos isto no teorema 2.5.4.

4. Z6 ´e um subanel de Z12?

5. A unidade de um subanel tem de ser a mesma do anel todo? Se sim, prove! Sen˜ao , dˆe um exemplo.

6. Mostre que 2Z∪ 3Z n˜ao ´e um subanel de Z.

7. Determine o menor subanel de Q que contem 1/2, isto é, um subanel X tal que se S for um subanel de Q que contém 1/2 então S vai conter X.

8. Determine o menor subanel de Q que contem 2/3.

9. Suponha que exista um inteiro positivo par n tal que an _{= a para todo elemento a de um}

anel R. Mostre que _{−a = a para todo a em R.}

10. Seja Z[√2] =_{{a + b}√2_{| a, b ∈ Z}. Prove que Z[}√2] ´e um anel com as opera¸c˜oes +, . usuais dos reais.

11. Ache um inteiro n que mostre que Zn n˜ao necessita ter as propriedades abaixo, as quais Z

tem:

(a) a2 _{= a}_{⇒ a = 0 ou a = 1}

(b) ab = 0 _{⇒ a = 0 ou b = 0} (c) ab = ac e a6= 0 ⇒ b = c.

Este inteiro n é primo? Mostre que as tres propriedades acima são válidas em Znquando

n for primo.

12. Prove que um anel comutativo com a propriedade de cancelamento (na multiplica¸c˜ao ) n˜ao tem divisores de zero.

13. Liste todos os divisores de zero de Z20. Qual a rela¸c˜ao entre os divisores de zero de Z20 e as

unidades de Z20?

14. Mostre que todo elemento n˜ao nulo de Zn ´e um unidade ou um divisor de zero.

(24)

16. Seja R um anel comutativo finito com unidade. Prove que todo elemento não nulo de R ou é um divisor de zero ou uma unidade. O que acontece se tirarmos a hipótese finito de R? 17. Descreva todos os divisores de zero e unidades de Z_{× Q × Z.}

18. Ache um divisor de zero em Z5[i] ={a + bi | a, b ∈ Z5, i2 =−1}.

19. Seja d um inteiro positivo que não é um quadrado. Prove que Q[√d] =_{{a + b}√d_{| a, b ∈ Q} é um corpo.}

20. Seja S o conjunto das matrizes 2× 2 com entradas em Z da forma a b_{0 0}

. (a) Mostre que S ´e um subanel de M2(Z).

(b) Mostre que S tem um elemento neutro multiplicativo a esquerda, mas nenhum a direita. (c) Mostre que S tem un número infinito de elementos neutros multiplicativos a esquerda. 21. Prove que se um anel tem um único elemento neutro multiplicativo a esquerda,ele também é

um elemento neutro multiplicativo a direita e portanto ´e o elemento neutro multiplicativo do anel.

22. Ache o inverso multiplicativo de ¯2x2_{+ ¯2x + ¯3}_{∈ Z}

4[x] e o inverso multiplicativo de ¯4x3+ ¯6x2+

¯2x + ¯5 ∈ Z8[x].

Os exerc´ıcios abaixo est˜ao relacionados entre si.

23. Seja A um anel . Um elemento x de A ´e chamado de nilpotente se existir um inteiro positivo n tal que xn_{= 0. Dˆe exemplos de elementos nilpotentes.}

24. Seja x um elemento nilpotente de um anel comutativo com unidade A. (a) Mostre que 1 + x ´e uma unidade de A.

(b) Mostre que a soma de um nilpotente com uma unidade ´e uma unidade de A.

25. Seja A um anel comutativo com unidade, A[x] o anel dos polinˆomios com coeficientes em A e f (x) = anxn+ an−1xn−1+ ... + a0 ∈ A[x].

Prove que f (x) é uma unidade em A[x] _{⇔ a}0 é uma unidade em A e a1, a2, ..., an são

nilpo-tentes. (Sug.: Se b0+ b1x + ...bmxm ´e o inverso de f , prove por indu¸c˜ao que ar+1n bm−r = 0.

Portanto an ´e nilpotente e ent˜ao use o exerc´ıcio anterior).

(25)

Cap´ıtulo 3

Ideais e an´

eis quocientes

Definiremos agora um subanel que nos permitir´a definir novos an´eis a partir dele.

3.1 Ideais

Defini¸c˜ao 3.1.1 (Ideal). Um subanel I de um anel A ´e chamado um ideal de A se para todo a_{∈ A} e todo x_{∈ I, xa ∈ I e ax ∈ I .}

Assim, um subanel de um anel A ´e um ideal se ele absorve os elementos de A, isto ´e, aI _{⊆ I e} Ia_{⊆ I para todo a em A.}

Um ideal I de A ´e pr´oprio se I 6= A.

Enunciaremos agora um teste para saber quando um subconjunto de A é um ideal de A. A sua demonstra¸cão resulta direto do teste para saber se um subconjunto de A é um subanel e da defini¸cão de ideal.

Teorema 3.1.2 (Teste para saber se é ideal). Um subconjunto não vazio de um anel I é um ideal de A se:

1. a− b ∈ I, para todo a, b ∈ I

2. xa e ax est˜ao em I quando a_{∈ A e x ∈ I .}

Exemplo 3.1.3. Para todo anel A, _{{0} e A são ideais de A. O ideal {0} é chamado de trivial.} Exemplo 3.1.4. nZ com n_{∈ Z é um ideal de Z. Como já provamos no exerc´ıcio 2 do cap´ıtulo 2} que os únicos subanéis de Z são os da forma nZ, estes também são os únicos ideais de Z.

Exemplo 3.1.5. Seja A um anel comutativo com unidade e x_{∈ A. O conjunto < x >= {ax|a ∈ A}} ´e um ideal de A chamado de ideal gerado por x

Exemplo 3.1.6. Sejam R[x] = _{{ f(x)| f(x) é um polinômio com coeficientes em R} e I = { f(x)} ∈ R[x]|f(0) = 0}. É fácil provar que I é um ideal de R[x]

Exemplo 3.1.7. Seja A =_{{f : R → R onde f é uma fun¸cão } e S = { fun¸cões diferenciáveis de} R em R}. Prove que S não é um ideal de A.

(26)

3.2 An´

eis quocientes

Seja A um anel e I um ideal de A. Defina em A a rela¸c˜ao : x∼ y ⇔ x − y ∈ I ´

E fácil ver que ∼ é uma rela¸cão de equivalência: 1. x _{∼ x pois x − x = 0 ∈ I}

2. se x_{∼ y então y ∼ x pois x − y ∈ I implica em y − x = −(x − y) ∈ I porque I é um ideal.} 3. se x ∼ y e y ∼ z então x ∼ z pois se x − y ∈ I e y − z ∈ I, somando temos que x − z ∈ I

pela defini¸c˜ao de ideal.

Assim, como toda rela¸cão de equivalência determina uma parti¸cão temos que A vai ser a reunião disjunta das classes de equivalência :

A = [ x∈A [x] onde [x] =_{{y ∈ A | y ∼ x} = {y ∈ A | y − x ∈ I} = {y ∈ A | y ∈ x + I}} Usaremos as nota¸c˜oes x + I = [x] e A/I ={x + I | x ∈ A}.

Queremos transformar A/I em um anel. Para isto vamos definir em A/I duas opera¸cões e de-pois provar que elas estão bem definidas, de-pois como estamos trabalhando com classes, e portanto conjuntos , elas não poderão depender do representante da classe. As opera¸cões vão ser:

(x1+ I) + (x2+ I) = (x1+ x2) + I

e

(x1 + I).(x2+ I) = (x1.x2) + I

Suponha que x1 + I = y1 + I e x2 + I = y2 + I. Ent˜ao x1 − y1 ∈ I e x2 − y2 ∈ I . Como I ´e

um ideal (x1 − y1) + (x2− y2) ∈ I ,ou seja, (x1+ x2)− (y1 + y2) ∈ I . Pela defini¸c˜ao da rela¸c˜ao

de equivalˆencia isto indica que (x1+ x2) + I = (y1 + y2) + I e fica provado que a soma est´a bem

definida. Para provar que o produto est´a bem definido,observe que

x1x2− y1y2 = x1x2− y1x2+ y1x2− y1y2 = (x1− y1)x2 + y1(x2− y2)

Como I ´e um ideal, (x1− y1)x2 ∈ I e y1(x2− y2)∈ I. Logo o produto fica bem definido .

Exerc´ıcio 3.2.1. Prove que (A/I, +, .) ´e um anel com elemento neutro 0 + I e o inverso aditivo de x + I ´e−x + I.

(27)

3.2. AN ÉIS QUOCIENTES 21 Exerc´ıcio 3.2.2. Prove que se A é um anel comutativo com unidade então A/I também é um anel comutativo com unidade.

Chamaremos A/I de anel quociente.

Exemplo 3.2.3. Z/4Z = {0 + 4Z, 1 + 4Z, 2 + 4Z, 3 + 4Z}. Com efeito, todo n em Z é da forma n = 4q + r onde q ∈ Z e 0 ≤ r ≤ 3 pelo Algor´ıtmo de Euclides.Pela defini¸cão da classe de equivalência temos que n + 4Z = r + 4Z com r = 0, 1, 2, 3

Exemplo 3.2.4. 2Z/6Z =_{{0 + 6Z, 2 + 6Z, 4 + 6Z}. Observe que 6Z é um ideal de 2Z e que todo} elemento da forma 2n é da forma 2(3q + r) quando aplicamos o Algor´ıtmo de Euclides para n e 3. Assim os elementos de 2Z/6Z vão ser 0 + 6Z, 2 + 6Z e 4 + 6Z.

Exemplo 3.2.5. Sejam A =_{ a1 a2 a3 a4 tal que a1, a2, a3, a4 ∈ Z} e I =_{ a1 a2 a3 a4 tal que a1, a2, a3, a4 ∈ 2Z} ´

E f´acil de provar que I ´e um ideal de A e que A/I ={ a_a1 a2

3 a4

+ I tal que ai ∈ {0, 1}}.

Observe que A/I ´e um anel n˜ao comutativo com unidade com 16 elementos.

Exemplo 3.2.6. Sejam R[x] =_{{ f(x)| f(x) ´e um polinˆomio com coeficientes em R} e < x}2_{+ 1 > o}

ideal gerado por x2_{+ 1. Ent˜ao}

R[x]

< x2_{+ 1 >} ={ax + b+ < x

2_{+ 1 >}_{|a e b ∈ R}}

Para provar isto, tome f (x)∈ R[x] e divida f(x) por x2_{+ 1 obtendo um quociente q(x) e um resto}

da forma ax + b em R[x]. Podemos escrever f (x) = q(x)(x2_{+ 1) + ax + b e ent˜ao a classe de f (x)}

m´odulo < x2_{+ 1 > vai ser ax + b+ < x}2_{+ 1 >. Observe que}

(x+ < x2+ 1 >)2 = x2+ < x2+ 1 >=_{−1+ < x}2+ 1 > e ent˜ao substituindo a classe x+ < x2_{+ 1 > por i teremos que}

R[x]

< x2 _{+ 1 >} ={ai + b | a, b ∈ R e i 2 ₌

−1} = C .

(28)

3.3 Ideais primos e ideais maximais

Defini¸cão 3.3.1 (ideal primo). Um ideal próprio I de um anel A é primo se quando x, y _{∈ A e} xy_{∈ I então x ∈ I ou y ∈ I.}

Exemplo 3.3.2 (ideais primos de Z). Os ideais primos não nulos de Z são os pZ onde p é um primo de Z. Para ver isto seja nZ um ideal de Z e suponha que nZ é um ideal primo. Se n não for primo existem a e b em Z tais que n = ab e 1 < a, b < n. Como por hipótese estamos supondo que nZ é primo temos que a ou b pertencem a nZ. Suponha que a = kn com k∈ Z. Temos então que n = knb ou n(1_{− kb) = 0, e como estamos no dom´ınio Z isto implica que n = 0 ou 1 − kb = 0, isto} é, n = 0 ou b = 1. Como n_{6= 0 e b 6= 1 concluimos que n tem que ser primo.}

Por outro lado suponha que p é primo e xy ∈ pZ. Logo p divide xy e pelo Algor´ıtmo de Euclides p divide x ou p divide y, isto é, x_{∈ pZ ou y ∈ pZ e então pZ é um ideal primo.}

Defini¸cão 3.3.3 (ideal maximal). Um ideal próprio I de um anel A é maximal se quando existir um ideal B de A tal que I _{⊆ B ⊆ A então I = B ou B = A}

Exemplo 3.3.4. < x2_{+ 1 > ´}_{e um ideal maximal de R[x]}

Com efeito, suponha que exista um ideal B de R[x] tal que < x2 + 1 >⊂ B ⊂ R[x] e que < x2_{+ 1 >}_{6= B. Então existe um f em B tal que f 6∈< x}2_{+ 1 > isto é, o resto da divisão de f por}

x2_{+ 1 n˜ao ´e zero e podemos escrever f = q(x}2_{+ 1) + ax + b para algum q} _{∈ R[x] e a, b em R onde a}

e b não são simultaneamente nulos. Isolando ax + b vemos que ax + b = f− q(x2_{+ 1)}_{∈ B e então}

(ax + b)(ax− b) = a2_x2_{− b}2 _{= a}2_(x2_{+ 1)}_{− (a}2_{+ b}2₎_{∈ B}

Como x2_{+ 1}_{∈ B temos que a}2_{+ b}2 _{∈ B. Observe que a}2_{+ b}2 _{6= 0 e ent˜ao} 1

a2_+b2.a2+ b2 = 1 ∈ B o

que implica que B = R[x]. Isto mostra que < x2_{+ 1 > ´e um ideal maximal de R[x].}

Teorema 3.3.5 (A/I é dom´ınio _{⇔ I é primo). Seja A um anel comutativo com unidade e I um} ideal próprio de A. Então A/I é dom´ınio _{⇔ I é primo.}

Demonstra¸c˜ao

Como A ´e comutativo com unidade temos que A/I ´e um anel comutativo com unidade. Sejam a, b_{∈ A tal que ab ∈ I. Passando para classes teremos}

ab + I = (a + I)(b + I) = 0 + I

Como A/I ´e um dom´ınio temos que a + I = 0 + I ou b + I = 0 + I , isto ´e, a_{∈ I ou b ∈ I.}

Reciprocamente, suponha que I é primo e que (a + I)(b + I) = 0 + I, isto é, ab + I = 0 + I, ou seja ab_{∈ I. Como I é um ideal primo de A temos que a ∈ I ou b ∈ I, o que significa em termos} de classes que a + I = 0 + I ou b + I = 0 + I e que A/I não tem divisores de zero. Como A/I é comutativo com unidade porque A é, temos que A/I é dom´ınio.

Teorema 3.3.6 (A/I é corpo ⇔ I é maximal). Seja A um anel comutativo com unidade e I um ideal de A. Então A/I é corpo _{⇔ I é maximal.}

(29)

3.3. IDEAIS PRIMOS E IDEAIS MAXIMAIS 23 Demonstra¸c˜ao

Como A ´e comutativo com unidade temos que A/I ´e um anel comutativo com unidade.

Suponha que exista um ideal B de A tal que I _{⊆ B ⊆ A e que I 6= B. Então existe um x ∈ B e} x6∈ I. Em termos de classe temos que x + I 6= 0 + I e como A/I é um corpo existe y + I ∈ A/I tal que xy + I = 1 + I, isto é, xy_{− 1 ∈ I. Como x ∈ B temos que xy ∈ B e portanto, 1 ∈ B e B = A.} Reciprocamente suponha que I é maximal e vamos mostrar que A/I é um corpo. Para isto tome x + I 6= 0 + I em A/I . Isto significa que x 6∈ I e temos então a cadeia de ideais I ⊂ I+ < x >⊂ A. Como I é maximal temos que I+ < x >= A. Assim existe y _{∈ I e a ∈ A tal que 1 = y + ax ou} 1_{− ax ∈ I. Em termos de classe significa que}

(a + I)(x + I) = 1 + I isto é, x + I é invert´ıvel e A/I é um corpo.

(30)

3.4 Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 3

1. Sejam x e y elementos de um dom´ınio de caracter´ıstica p. (a) Mostre que (x + y)p _{= x}p_{+ y}p

(b) Mostre que para todo inteiro positivo n, (x + y)pn

= xpn

+ ypn

. (c) Ache um anel de caracter´ıstica 4 tal que (x + y)4 _{6= x}4_{+ y}4

2. Se I e J s˜ao dois ideais de um anel A, mostre que a soma de ideais definida por I + J = {x + y|x ∈ I e y ∈ J} ´e um ideal de A.

3. No anel dos inteiros, ache um inteiro positivo a tal que (a) < a >=< 2 > + < 3 >

(b) < a >=< 6 > + < 3 > (c) < a >=< m > + < n >

4. Se I e J são dois ideais de um anel A, mostre que o produto de ideais definido por I.J =_{a1b1+ a2b2+ ... + anbn|ai ∈ I e bi ∈ J e n é um inteiro positivo } é um ideal de A.

5. No anel dos inteiros, ache um inteiro positivo a tal que (a) < a >=< 3 > . < 4 >

(b) < a >=< 6 > . < 8 > (c) < a >=< m > . < n >

6. Sejam I e J ideais de um anel A. Prove que IJ _{⊆ I ∩ J}

7. Se I e J s˜ao ideais de um anel comutativo com unidade A e I + J = A mostre ent˜ao que IJ = I_{∩ J}

8. Se um ideal I de um anel A cont´em uma unidade, mostre que A = I.

9. Prove que o ideal < x2 _{+ 1 > é primo em Z[x], mas não é maximal. Sug.: use um fato que}

veremos no cap´ıtulo 5 que Z[x] possui algoritmo da divisão para polinômios cujo coeficiente l´ıder é 1 ou_{−1. Ver exerc´ıcio 15 do Cap.5 .}

10. Se A é um anel comutativo com unidade e I é um ideal de A, mostre que A/I é um anel comutativo com unidade.

11. Prove que R[x]/ < x2_{+ 1 > ´e um corpo.}

12. Seja A um anel comutativo com unidade. Mostre que todo ideal maximal ´e primo. 13. Mostre que I ={(3x, y)|x, y ∈ Z} ´e um ideal maximal de Z × Z.

14. Seja A o anel das fun¸c˜oes cont´ınuas de R em R. Mostre que I ={f ∈ A|f(0) = 0} ´e um ideal maximal de A.

(31)

3.4. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 3 25 15. Quantos elementos tem Z[i]/ < 3 + i > ? Dê razões para sua resposta.

16. Em Z[x], o anel dos polinômios com coeficientes inteiros, seja I ={f ∈ Z[x]|f(0) = 0}. Prove que I não é um ideal maximal de Z[x]

17. Prove que I =< 2 + 2i > não é um ideal primo de Z[i]. Quantos elementos tem Z[i]/I ? Qual é a caracter´ıstica de Z[i]/I.

18. Em Z5[x], seja I =< x2+ x + 1 >. Ache o inverso multiplicativo de 2x + 3 + I em Z5[x]/I.

19. Mostre que Z2[x]/ < x2+ x + 1 > ´e um corpo.

20. Mostre que Z3[x]/ < x2+ x + 1 > n˜ao ´e um corpo.

21. Ache todos os ideais maximais de Z.

22. Se D é um dom´ınio de ideais principais, isto é, dom´ınio onde todo ideal é da forma < a > para algum a em D, prove que D/I é um anel de ideais principais onde I é um ideal de D. 23. Mostre que todo ideal não nulo de Zn é da forma < ¯d > onde d é um divisor de n.

24. Ache todos os ideais maximais de (a) Z8

(b) Z10

(c) Z12

(32)

Cap´ıtulo 4

Homomorfismos de an´

eis

4.1 Defini¸c˜

ao e exemplos

Podemos descobrir informa¸cões sobre um anel examinando sua intera¸cão com outros anéis. Fazemos isto através dos homomorfismos . Um homomorfismo é uma aplica¸cão que preserva as opera¸cões soma e produto dos anéis.

Defini¸cão 4.1.1 (Homomorfismo e isomorfismo de anéis). Um homomorfismo φ de um anel R em um anel S é uma aplica¸cão de R em S a qual preserva as opera¸cões de um anel, isto é,

φ(a + b) = φ(a) + φ(b) φ(ab) = φ(a).φ(b) para todo a e b em R.

Um homomorfismo de anéis o qual é injetivo e sobrejetivo é chamado um isomorfismo de anéis. Neste caso dizemos que R e S são isomorfos.

Observe que na defini¸cão acima as opera¸cões à esquerda do sinal de igual são as de R, enquanto as da direita são de S.

Quando temos um isomorfismo φ : R_{→ S isto significa que R e S são algebricamente idênticos .} Exemplo 4.1.2. Para todo inteiro n a aplica¸cão k7−→ k mod n é um homomorfismo de Z em Zn.

Com efeito

(a + b) mod n = a mod n + b mod n (a.b) mod n = a mod n.b mod n Este homomorfismo ´e chamado homomorfismo canˆonico.

Observe que toda classe k mod n é imagem do inteiro k e assim o homomorfismo canônico é sobre-jetivo.

Exemplo 4.1.3. Em geral se I ém ideal de um anel R a aplica¸cão que associa a cada elemento r de R a sua classe r + I é um homomorfismo de anéis chamado homomorfismo canônico .

(33)

4.1. DEFINIÇ ÃO E EXEMPLOS 27 Exemplo 4.1.4. Seja φ : R[x] _{→ R que associa f(x) 7−→ f(1). Então φ é um homomorfismo} sobrejetivo pois

φ(f + g) = (f + g)(1) = f (1) + g(1) = φ(f ) + φ(g) φ(f.g) = (f.g)(1) = f (1).g(1) = φ(f ).φ(g)

Para todo a∈ R, a = f(1) onde f(x) = a ∈ R[x].Isto mostra que φ é sobrejetivo. Exemplo 4.1.5. A aplica¸cão a + bi7−→ a − bi é um isomorfismo de C em C. Prove isto.

Exemplo 4.1.6. A aplica¸c˜ao φ : x 7−→ 4x de Z3 → Z12 ´e um homomorfismo . Temos primeiro

que verificar que esta aplica¸cão está bem definida pois estamos trabalhando com classes e portanto tem que independer do representante da classe. Suponha então que em Z3 as classes ¯a = ¯b. Assim

a− b = 3k para algum k em Z. Multiplicando esta express˜ao por 4 temos 4a − 4b = 12k. Isto mostra que as classes 4a = 4b em Z12 e assim temos que φ(¯a) = φ(¯b) e φ est´a bem definida.

Vamos agora provar que φ ´e um homomorfismo. Pela defini¸c˜ao de φ ,

φ(¯a + ¯b) = φ(a + b) = 4(a + b) = 4a + 4b = φ(¯a) + φ(¯b) φ(¯a.¯b) = φ(a.b) = 4a.b

Por outro lado em Z12,

φ(¯a).φ(¯b) = 4a.4b = 16ab = 4ab. Logo φ ´e um homomorfismo.

Exemplo 4.1.7. A aplica¸cão φ : Z5 → Z10que leva ¯x7−→ 5x não está bem definida pois ¯1 = ¯6 em

Z5 mas φ(¯1) = 56= 30 = φ(¯6) em Z10.

Exemplo 4.1.8. Podemos usar homomorfismos para concluir fatos sôbre teoria de números. Por exemplo, para provar que a sequencia 2, 10, 18, 26, ... não contém nenhum cubo , suponha que um elemento da forma 8k + 2 com k ∈ Z seja um cubo a3_{. Aplicando o homomorfismo canônico}

φ : Z_{7−→ Z}8 teremos que ¯2 = φ(8k + 2) = φ(a)3. Mas é fácil verificar que em Z8 não existe nenhum

elemento cujo cubo dˆe ¯2. Assim, a sequencia acima n˜ao tem nenhum cubo.

Exemplo 4.1.9 (Teste de divisibilidade por 9). Um inteiro n cuja representa¸c˜ao decimal ´e akak−1...a0

´e divis´ıvel por 9 se e somente se ak+ ak−1+ ... + a0 for divis´ıvel por 9.

Para provar isto, observe que

n = ak10k+ ak−110k−1+ ... + a0100

e seja φ : Z7−→ Z9 o homo canˆonico.

Assim 9_{|n ⇔ φ(n) = ¯0.} Como φ(10) = ¯1 teremos:

φ(n) = φ(ak10k+ ak−110k−1+ ... + a0100) = ak¯1k+ ak−1¯1k−1+ ... + a0¯10

= ak+ ak−1+ ... + a0 = ak+ ak−1+ ...a0

(34)

4.2 Propriedades dos homomorfismos

Aqui vamos aprender a trabalhar com homomorfismos.

Teorema 4.2.1 (Propriedades dos homomorfismos de an´eis). Seja φ um homomorfismo de um anel R em um anel S. Ent˜ao:

1. φ(0) = 0

2. φ(_{−r) = −φ(r) para todo r em R.}

3. Para todo r em R e todo inteiro positivo n, φ(nr) = nφ(r) e φ(rn_{) = φ(r)}n_.

4. Se A é um subanel de R então φ(A) é um subanel de S.

5. Se I é um ideal de R e φ é sobrejetivo então φ(I) é um ideal de S. 6. Se J é um ideal de S então φ−1_{(J) é um ideal de R.}

7. Se R é comutativo então φ(R) é comutativo.

8. Se R tem unidade 1 e φ é sobrejetivo então φ(1) é a unidade de S se S for não nulo. 9. φ é um isomorfismo se e somente se φ é sobrejetivo e kerφ = {r ∈ R|φ(r) = 0} = {0}. 10. Se φ é um isomorfismo de R sobre S então φ−1 _{é um isomorfismo de S sobre R.}

Demonstra¸c˜ao

1. Aplicando φ à expressão 0 + 0 = 0 teremos φ(0 + 0) = φ(0) e assim φ(0) + φ(0) = φ(0), isto é, 2φ(0)_{− φ(0) = 0 e finalmente φ(0) = 0.}

2. Aplicando φ `a expess˜ao r + (_{−r) = 0 teremos que φ(r) + φ(−r) = φ(0) = 0. Somando de} ambos os lados −φ(r) temos φ(−r) = −φ(r) como quer´ıamos provar.

3. φ(nr) = φ(r+r+r+...r) = nφ(r) e φ(rn_{) = φ(rr...r) = φ(r)}n

pela defini¸cão de homomorfismo. 4. Sejam x, y _{∈ φ(A). Então x = φ(a}1) e y = φ(a2) onde a1 e a2 estão em A. Pelo teste, basta

provar que x_{− y ∈ φ(A) e xy ∈ φ(A). Mas x − y = φ(a}1)− φ(a2) = φ(a1− a2) ∈ φ(A) pois

A ´e um subanel. Pelo mesmo motivo xy = φ(a1)φ(a2) = φ(a1a2)∈ φ(A).

5. Como I é um subanel pelo item anterior φ(I) já é um subanel de S. Só falta provar que S.φ(I)_{⊂ φ(I). Como φ é sobre, todo s em S é da forma s = φ(r) para algum r em R. Assim,} sφ(a) = φ(r).φ(a) = φ(ra)∈ φ(I) para todo a ∈ I.

6. Aplicando o teste para saber se ´e um ideal, sejam x, y _{∈ φ}−1_{(J). Existem ent˜ao j}

1 e j2 em

J tais que φ(x) = j1 e φ(y) = j2. Como φ(x− y) = φ(x) − φ(y) = j1 − j2 ∈ J temos que

x− y ∈ φ−1_{(J). Tamb´em, para todo r} _{∈ R e x ∈ φ}−1_{(J) temos φ(rx) = φ(r)φ(x)}_{∈ J o que}

mostra que rx_{∈ φ}−1_(J)

(35)

4.3. O TEOREMA FUNDAMENTAL DOS HOMOMORFISMOS 29 8. Para todo s _{∈ S, s = φ(r) para algum r em R porque φ ´e sobre. Assim sφ(1) = φ(r)φ(1) =}

φ(r1) = φ(r) = s. Analogamente φ(1)s = s.

9. Se φ é isomorfismo então φ é sobre e injetiva, isto é, se φ(r1) = φ(r2) então r1 = r2. Se

r_{∈ kerφ ent˜ao φ(r) = φ(0) = 0 e portanto r = 0. Assim ker φ = {0}.}

Reciprocamente suponha que φ é sobre e ker φ =_{{0}. Vamos provar que φ é injetiva. Para} isto suponha que φ(r1) = φ(r2). Então φ(r1 − r2) = 0 o que mostra que r1 − r2 = 0 porque

ker φ =_{{0}. Assim φ ´e injetivo e sobre e portanto um isomorfismo.} 10. Temos de provar que φ−1_(s

1+ s2) = φ−1(s1) + φ−1(s2) e φ−1(s1.s2) = φ−1(s1).φ−1s2.

Suponha que φ−1_(s

1) = r1 e φ−1(s2) = r2 . Logo φ(r1) = s1 , φ(r2) = s2 e φ(r1 + r2) =

φ(r1) + φ(r2) = s1 + s2. Isto mostra que φ−1(s1 + s2) = r1 + r2 = φ−1(s1) + φ−1(s2).

Analogamente φ−1_(s

1.s2) = φ−1(s1).φ−1s2.

Teorema 4.2.2. Seja φ um homomorfismo de um anel R no anel S. Ent˜ao o conjunto kerφ = {r ∈ R | φ(r) = 0} ´e um ideal de R.

Demonstra¸c˜ao Exerc´ıcio.

4.3 O teorema fundamental dos homomorfismos

Teorema 4.3.1 (Teorema fundamental dos homomorfismos (TFH)). Seja φ um homomorfismo de um anel R no anel S. Ent˜ao φ(R) ´e isomorfo ao anel quociente R

kerφ.Em s´ımbolos, φ(R)≈ R kerφ Demonstra¸c˜ao Defina a aplica¸c˜ao ψ : R kerφ → φ(R) r + kerφ 7−→ φ(r)

Temos que mostrar que ψ é um isomorfismo. Em primeiro lugar vamos provar que ψ está bem definida, isto é, que independe da escolha da classe. Suponha que r1 + kerφ = r2 + kerφ. Então

r1− r2 ∈ kerφ, isto ´e φ(r1) = φ(r2) e ψ(r1+ kerφ) = ψ(r2+ kerφ) e ψ est´a bem definida.

ψ ´e um homomorfismo pois

ψ(r1+kerφ+r2+kerφ) = ψ(r1+r2+kerφ) = φ(r1+r2) = φ(r1)+φ(r2) = ψ(r1+kerφ)+ψ(r2+kerφ)

ψ((r1+ kerφ).(r2+ kerφ)) = ψ(r1.r2+ kerφ) = φ(r1.r2) = φ(r1).φ(r2) = ψ(r1+ kerφ).ψ(r2+ kerφ)

ψ ´e injetiva pois kerψ =_{{r + kerφ ∈} R

kerφ|φ(r) = 0} = {0 + kerφ}.

´

E f´acil ver que ψ ´e sobre.

Exemplo 4.3.2. Queremos mostrar que _<xR[x]2_+1> ´e isomorfo a C. Utilizando o teorema fundamental

dos homomorfismos basta criar um homo φ sobre entre R[x] e C tal que kerφ seja igual a < x2_{+ 1 >.}

Defina

φ : R[x] _→ C f (x) 7−→ f(i)

(36)

´

E f´acil ver que φ ´e um homo sobre e que < x2_{+ 1 >}_{⊂ kerφ.}

Seja agora f (x) _{∈ kerφ. Dividindo f(x) por x}2 _{+ 1 temos que existem q(x)}_{∈ R[x] e a, b ∈ R}

tais que f (x) = (x2_{+ 1)q(x) + ax + b. Queremos provar que a e b s˜ao nulos. Como f (x)}_{∈ kerφ ,}

aplicando φ na express˜ao acima temos que ai + b = 0. Logo a = b = 0 e f (x)∈< x2_{+ 1 >. Assim}

kerφ =< x2_{+ 1 > e pelo TFH, C}_≈ R[x] <x2_+1>.

Todo anel com unidade de caracter´ıstica 0 possui uma cópia de Z e todo anel com unidade de caracter´ıstica n tem uma cópia de Zn. É o que veremos a seguir.

Teorema 4.3.3 (Homomorfismo de Z em an´eis com unidade). Seja R um anel com unidade 1. A aplica¸c˜ao

φ : Z → R n _{7−→ n.1} ´e um homomorfismo de an´eis.

Demonstra¸c˜ao

φ(n + m) = (n + m).1 = n.1 + m.1 = φ(n) + φ(m) e φ(nm) = (nm).1 = (n.1)(m.1) = φ(n)φ(m) como j´a provamos no Cap.2.

Corolário 4.3.4 (Um anel com unidade contém Z ou Zn). Se R é um anel com unidade de

carac-ter´ıstica n então R contém um subanel isomorfo a Zn.Se R é um anel com unidade de caracter´ıstica

0 então R contém um subanel isomorfo a Z. Demonstra¸cão

Vimos que a aplica¸c˜ao

φ : Z _→ R m 7−→ m.1 ´e um homomorfismo de an´eis.

Se a caracter´ıstica de R for n então kerφ = _{{m ∈ Z|m.1 = 0} = nZ. (Prove isto!). Então pelo} TFH, φ(Z)_{≈ Z/nZ = Z}n e φ(Z) é o subanel de R procurado.

Se a caracter´ıstica de R for 0 então kerφ = _{{m ∈ Z|m.1 = 0} = {0}. Então pelo TFH,} φ(Z)_{≈ Z/{0} = Z, Como φ(Z) é um subanel de R, este é o subanel procurado.}

Corolário 4.3.5 (Um corpo contém Zp ou Q). Se F é um corpo de caracter´ıstica p então F

contém um subcorpo isomorfo a Zp. Se F é um corpo de caracter´ıstica 0 então F contém um

subcorpo isomorfo a Q.

Demonstra¸cão Como todo corpo é um dom´ınio , ele tem unidade e sua caracter´ıstica ou é 0 ou um número primo p. Se caracter´ıstica de F for p então pelo corolário anterior F vai ter um subanel isomorfo a Zp, o qual vai ser um subcorpo de F . Se caracter´ıstica de F for 0 então F vai ter

um subanel S isomorfo a Z. Como F ´e um corpo F vai conter todos os inversos de S. Considerando o conjunto T =_{ab−1_{|a, b ∈ S e b 6= 0} temos que T ⊂ F e T ´e isomorfo a Q(prove isto !).}

(37)

4.4. O CORPO DE FRAÇ ÕES DE UM DOMÍNIO 31

4.4 O corpo de fra¸c˜

oes de um dom´ınio

Note que Q é constitu´ıdo das fra¸cões de Z. Podemos repetir esta constru¸cão a todos os dom´ınios . Teorema 4.4.1. Seja D um dom´ınio. Então existe um corpo F (chamado corpo das fra¸cões ou corpo quociente de D) que contem um subanel isomorfo a D.

Demonstra¸c˜ao

Repetiremos a constru¸cão de Q. Seja S ={(a, b)|a, b ∈ D e b 6= 0}. Em S definimos a rela¸cão de equivalência

(a, b) ∼= (c, d)⇔ ad = bc

Denotamos por [(a,b)] a classe de equivalˆencia de (a, b) e F :=_{{[(a, b)]|(a, b) ∈ S}.} Em F definimos uma soma e um produto:

[(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)] [(a, b)].[(c, d)] = [(ac, bd)] ´

E trabalhoso, mas fácil, provar que estas opera¸cões estão bem definidas e que (F, +, .) é um anel.Observe que o elemento neutro da soma é [(0,1)] e o da multiplica¸cão é [(1,1)]. O inverso de um elemento [(a, b)]6= 0 é [(b,a)]. Usando a nota¸cão a

b = [(a, b)] podemos trabalhar com F do mesmo

modo que trabalhamos com Q. Finalmente vamos mostrar que F contem um subanel isomorfo a D. Basta considerar a aplica¸c˜ao

φ : D _{→ F} d _7−→ d 1

e mostrar que φ é um homomorfismo injetivo . Isto é deixado para o leitor assim como todos os detalhes dessa demonstra¸cão .

Exemplo 4.4.2. O corpo de fra¸cões do dom´ınio Z[x] é{f(x)g(x)|g(x) 6= 0}. Este corpo é chamado de

(38)

4.5 Lista de exerc´ıcios do Cap´ıtulo 4

1. Mostre que a correspondencia x_{7−→ 5x de Z}5 para Z10 n˜ao est´a bem definida.

2. Mostre que a correspondencia x_{7−→ 3x de Z}4 para Z12 est´a bem definida e preserva a adi¸c˜ao

mas n˜ao a multiplica¸c˜ao .

3. Crie um crit´erio de divisibilidade por 4.

4. O anel 2Z ´e isomorfo a 3Z? O anel 2Z ´e isomorfo a 4Z?

5. Seja Z3[i] = {a + bi|a, b ∈ Z3}. Mostre que Z3[i] ´e isomorfo a _<xZ23[x]

+1> como corpos. 6. Seja S =_{ a b −b a |a, b ∈ R}. Mostre que φ : C→ S dada por φ(a + bi) =

a b −b a

´e um isomorfismo de an´eis.

7. Seja Z[√2] ={a + b√2k a, b ∈ Z} e H = { a 2b_b _a

|a, b ∈ Z}. Mostre que Z[√2] e H s˜ao isomorfos como an´eis.

8. Considere a aplica¸c˜ao de M2(Z) em Z dada por

a b c d

7−→ a. Esta aplica¸cão é um homo-morfismo de anéis?

9. A aplica¸cão de Z5 em Z30 dada por x 7−→ 6x é um homomorfismo de anéis? Note que a

imagem da unidade ´e a unidade da imagem mas n˜ao a unidade de Z30

10. A aplica¸cão x 7−→ 2x de Z10 em Z10 é um homomorfismo de anéis?

11. Ache o kernel do homomorfismo φ : R[x]→ R dado por φ(f(x)) = f(1). 12. Ache todos os homomorfismos de Z em Z

13. Ache todos os homomorfismos de Q em Q

14. Prove que a sequencia 3, 7, 11, 15, ... n˜ao tem nenhuma soma de dois quadrados.

15. Prove que a soma dos quadrados de tres inteiros consecutivos n˜ao pode ser um quadrado. 16. Seja n um inteiro positivo obtido rearranjando os d´ıgitos de m de algum jeito (por exemplo,

4567 ´e um rearranjamento de 6754). Mostre que m_{− n ´e divis´ıvel por 9.}

17. Sejam R e S anéis comutativos com unidade. Se φ é um homomorfismo de R sobre S e a caracter´ıstica de R é não nula, prove que a caracter´ıstica de S divide a caracter´ıstica

(39)

4.5. LISTA DE EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 4 33 18. Se R é um anel comutativo de caracter´ıstica p, p primo, mostre que a aplica¸cão de Frobenius

x7−→ xp _{´e um homomorfismo de R em R.}

19. Seja φ um homomorfismo de um anel comutativo R com unidade sobre S e A um ideal de S. (a) Se A é primo em S então φ−1_{(A) é um ideal primo de R.}

(b) Se A é maximal em S então φ−1_{(A) é um ideal maximal de R.}

20. Prove que a imagem por homomorfismo de um anel de ideais principais ´e um anel de ideais principais. Prove que Zn´e um anel de ideais principais e que todo anel quociente de um anel

de ideais principais ´e um anel de ideais principais.

21. Prove que se m e n são inteiros positivos distintos então os anéis nZ e mZ não são isomorfos. 22. R e C são isomorfos como anéis?

23. Determine todos os homomorfismos de R em R. 24. Mostre que Q[√2] e Q[√3] n˜ao s˜ao isomorfos.

25. Mostre que o corpo quociente de Z[i] ´e isomorfo a Q[i]. 26. Mostre que o n´umero de Fermat 225

+ 1 não é primo. Para isto, observe que 641 sendo primo implica que Z/641Z é um corpo.

Observe tamb´em que 641 = 24_{+ 5}4 _{e 641 = 2}7_{.5 + 1. Da segunda igualdade, tire a express˜ao}

de 5 mod 641, substitua na primeira e veja que 641 divide 225

+ 1.

27. Seja D um dom´ınio e F seu corpo quociente. Mostre que se E é um corpo que contém D então E contém um subcorpo isomorfo a F (assim o corpo quociente de um dom´ınio D é o menor corpo que contém D).

28. Seja A um anel e I um ideal de A. Mostre que existe uma correspondˆencia biun´ıvoca entre os ideais de A que contˆem I e os ideais do anel quociente A/I.

29. Ache todos os ideais de Z36.

30. Ache todos os ideais de Zn. Quantos existem ?

31. Mostre que Z5[x]

<x2_+x+1> ´e isomorfo a

Z5[x]

(40)

Cap´ıtulo 5

An´

eis de Polinˆ

omios

Trabalharemos com anéis de polinômios do mesmo jeito que vocês aprenderam no segundo grau. Só tem que agora estamos preocupados com a sua estrutura de anel .Veremos que mudando o anel onde os coeficientes pertencem teremos anéis de estruturas diferentes.

5.1 Defini¸c˜

ao e exemplos

Defini¸c˜ao 5.1.1. Seja R um anel comutativo. O conjunto dos s´ımbolos formais R[x] =_{anxn+ an−1xn−1+ ... + a0| ai ∈ R, n ∈ N}

é chamado o anel de polinômios sôbre R na indeterminada x . Dois polinômios

anxn+ an−1xn−1+ ... + a0

e

bmxm+ bm−1xm−1+ ... + b0

s˜ao considerados iguais se e somente se ai = bi para todo i ∈ N (defina ai = 0 quando i > n e

bi = 0 quando i > m)

Nesta defini¸cão , os s´ımbolos x1_{, x}2_{, ..., x}n_{não representam variáveis do anel R. Sua finalidade é}

servir como lugares convenientes para separar os elementos do anel R ; a1, a2, ..., an. N´os poder´ıamos

ter evitado os x,_{s definindo um polinˆomio como uma sequencia infinita a}

0, a1, a2, ..., an, 0, 0, ... mas

nosso método tem a vantagem da experiencia de x como variável. A desvantagem do nosso método é a confusão que se pode fazer entre polinômio e a fun¸cão que ele pode representar. Por exemplo, em Z3[x] os polinômios f (x) = x4 + x e g(x) = x2 + x representam a mesma fun¸cão de Z3 em Z3

pois f (a) = g(a) para todo a∈ Z3, mas f (x) e g(x) s˜ao elementos diferentes de Z3[x].

Para fazer R[x] um anel definimos a adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao de modo usual. 34