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0 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio

CONTROLE DE PROCESSOS

Material de Apoio

Prof. Flávio Vasconcelos da Silva

Profa. Ana Maria Frattini Fileti

DESQ/FEQ/UNICAMP

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1

Introdução

A obtenção de energia através da matéria não era dominada pelo homem no início da sua evolução, assim toda a

energia necessária para sua

sobrevivência era fornecida por seu próprio trabalho ou pelo trabalho de animais domésticos. Com o advento das máquinas a vapor (século XVIII), essa realidade foi alterada drasticamente pondo o homem em uma nova posição de executor “mental” das tarefas.

Nesse novo contexto, surgiu a necessidade natural de um esforço em tentar “controlar” esta nova fonte de energia, exigindo dele então muita intuição e experiência, além de expô-lo constantemente ao perigo devido à falta de segurança.

Devido à baixa demanda,

inicialmente esta nova tarefa foi

satisfatoriamente executada.

Entretanto, com o aumento acentuado da demanda, o homem viu-se obrigado a desenvolver técnicas e equipamentos capazes de substituí-lo, libertando-o de grande parte deste esforço braçal e mental. Surgindo, finalmente o conceito de controle automático.

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NECESSIDADE DO CONTROLE AUTOMÁTICO Incapacidade de manter as condições de controle Aumentar a Produtividade - Quantidade elevada - Rapidez da operação - Confiabilidade - Segurança - Menor mão-de-obra. - Maior eficiência. - Redução de Custos. 1.1.2 – Sinais de Processo

Sinais analógicos e sinais digitais

A transmissão analógica de

informações é caracterizada por uma contínua variação na amplitude do sinal transmitido. Os órgãos sensoriais humanos registram os estímulos do ambiente, tais como: luz, som, sabor, etc., essencialmente sob a forma de sinais analógicos.

Na engenharia de processos o sinal de 4-20 mA é transmitido de forma

analógica pura. Uma corrente

proporcional ao valor medido de uma grandeza percorre o circuito entre o transmissor e o controlador. Mudanças

na intensidade da corrente são

imediatamente registradas por

qualquer dispositivo presente no

circuito.

Um sinal analógico pode transportar muitas informações, como em um

sinal acústico, onde se pode

reconhecer o tom, a intensidade e o timbre. No caso do sinal de corrente de 4-20 mA, entretanto, somente a intensidade do sinal ou a sua presença ou ausência pode ser determinada.

O sinal digital não varia

continuamente, mas é transmitido em pacotes discretos de informação. A

informação não é imediatamente

interpretada devendo ser primeiro decodificada pelo receptor. Existem diferentes maneiras de transmiti-la; como pulsos elétricos que saltam entre dois diferentes níveis de tensão, em computadores e em barramento de campo, ou, como uma série de pulsos ópticos ou acústicos de diferentes durações, como ocorre no Código

1.1 – Controle de Processos

1.1.1 – Definição de Processo

Processo pode ser definido como um conjunto de elementos, ativos e/ou passivos, organizados de forma tal a executar uma função determinada. Geralmente os processos realizam transformações físicas e/ou químicas em matérias ou objetos (matérias primas) para a obtenção de produtos, porém também existem processos de natureza biológica e econômica.

Pode ser observado na Figura 1.1 que o processo (sistema) interage com o

meio ambiente que o circunda

através de sinais de entrada (ações) e saída (reações).

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Morse.

Não há limitação quanto ao conteúdo do sinal, podendo este transmitir além do valor da variável medida, outras informações a respeito do sensor. Uma das vantagens da transmissão digital é a economia de uma conversão A/D no início da linha e uma D/A no final. A conversão A/D é feita através

de uma amostragem do sinal

analógico a intervalos regulares. A taxa de amostragem influencia na resolução da conversão, mas os custos de conversão aumentam, havendo um compromisso entre a precisão e custo na determinação da qualidade da conversão.

Comunicação digital

Na comunicação digital o sinal,

composto de uma série de pulsos de tensão é enviado do transmissor para o receptor através de um meio de transmissão. Este pode ser um fio, fibra ótica ou ondas eletromagnéticas.

A informação está contida nas

mudanças entre dois níveis de tensão. Convencionalmente o nível alto de tensão representa o nível lógico 1 e a tensão baixo o nível lógico 0. Na Fig. 1.2 é ilustrado este conceito.

Figura 1.2 – Informação representada por

uma série de níveis de tensão

A unidade de informação,

representada pelos valores 0 e 1, é denominada bit-binary digit. O sistema de numeração binário, que utiliza

estes dois algarismos na sua

representação, é usado nos

microprocessadores. Um bit somente não é suficiente para o processamento de números e textos. Por isto se utiliza o byte, o bloco construtivo dos

caracteres alfanuméricos (letras,

números e outros símbolos),

constituído de 8 bits, que possibilita a comunicação entre operador e o

microprocessador. A comunicação,

envolvendo dois parceiros, exige que ambos sejam capazes de interpretar o sinal. Para isto se utiliza os códigos de controle e de dados, que informam o que está sento transmitido e de que modo. Exemplos de códigos são: o ASCII (Americana Standard Code of. Informativo Interchange) , o ANSI (American National Standard Institute) e o RTU (Remote Terminal Unit). O código hexadecimal é principalmente utilizado no endereçamento de bancos de memória, tendo a vantagem de encurtar a representação numérica facilitando a programação.

1.1.3 - Sistema de Controle

Os Sistemas de Controle estão

presentes nos mais variados

segmentos da sociedade moderna.

Aplicações cotidianas tais como:

controle de temperatura, controle de níveis de iluminação, controle de

níveis de líquidos, controle de

velocidades, controle de fluxo de fluidos nas mais diversas aplicações, controle de posição de satélites, direcionamento de navios e aeronaves, direcionamento automático de mísseis e sistemas de rastreamento de alvos e

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controles industriais (indústria

química, siderúrgica, eletrônica,

farmacêutica, etc.). Além de sistemas

de controle naturais, como por

exemplo, o equilíbrio da vida em ecossistemas.

Definição do sistema de controle

Um sistema de controle consiste de subsistemas reunidos com o propósito de controlar as saídas dos processos. Por exemplo, um forno produz calor

como resultado do fluxo de

combustível.

Neste processo, subsistemas

chamados de válvulas de combustíveis

e atuadores de válvulas de

combustíveis são usados para regular a temperatura de um ambiente, controlando a produção de calor do forno. Outros subsistemas tais como

termostatos, que agem como

sensores, medem a temperatura do ambiente.

Na sua forma mais simples, o sistema de controle leva a uma saída ou reposta para um dado estímulo ou entrada.

Por que controlar os processos?

Os princípios e as leis científicas que regem o controle de processos não têm sido alterados. O que tem sofrido muitas mudanças e evolução é o hardware disponível para executar as funções de medição e controle.

Dentro dos objetivos específicos do controle de processos, destacam-se:

• Aumento da produtividade

• Aumento da qualidade dos produtos

• Redução do consumo de energia

• Redução de rejeitos (poluição)

• Redução de produtos fora da

especificação

• Aumento da Segurança Operacional

• Aumento do tempo de vida útil dos

equipamentos

• Aumento da Operabilidade da Planta

Todos os motivos são vinculados à: qualidade, economia e segurança.

O engenheiro de sistemas de controle

Engenharia de sistemas de controle é

um campo excitante onde o

engenheiro se defronta com questões interdisciplinares e pode exercitar os seus talentos. O engenheiro de controle vai estar no topo de grandes projetos, engajado na fase conceitual de determinação ou implementação do desempenho total do sistema, funções de subsistemas, e a interconexão

dessas funções, incluindo

interfaceamentos, projetos de

hardware e de software bem como testes das plantas e procedimentos. Muitos engenheiros estão engajados em uma área específica, como por exemplo, projeto de circuitos ou

desenvolvimento de software.

Entretanto, o engenheiro de sistemas de controle vai interagir com pessoas

de inúmeras especialidades de

engenharia e ciências relacionando-se em todos os níveis, desde a concepção do projeto até a instalação, testes e operação. O engenheiro de controle pode estar trabalhando com sensores e motores, mas também com sistemas

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eletrônicos, pneumáticos e hidráulicos. O veículo espacial é outro exemplo da diversidade requerida do engenheiro de sistemas. Os conceitos de mecânica

orbital, propulsão, aerodinâmica,

engenharia elétrica e engenharia

mecânica estão todos envolvidos e

entrelaçados. De forma que o

engenheiro atuando na área de sistemas de controle vai ter a oportunidade de expandir o seu

horizonte de conhecimentos e

experiências bem além do currículo universitário.

Terminologia utilizada em sistemas de controle

Para facilitar o entendimento de alguns termos que a partir de agora

serão utilizados, apresenta-se a

seguir, de forma sucinta, suas

definições:

Variável do Processo (PV)

Qualquer quantidade, propriedade ou condição física medida a fim de que se

possa efetuar a indicação e/ou

controle do processo (também

chamada de variável controlada). Variável Manipulada (MV)

É a grandeza que é operada com a

finalidade de manter a variável

controlada no valor desejado (também chamada de variável de controle). Set Point (SP) ou Referência

É um valor desejado estabelecido

previamente como referência de

controle no qual o valor controlado deve permanecer.

Distúrbio (Ruído)

É um sinal que tende a afetar adversamente o valor da variável controlada (também chamado de Perturbação). O distúrbio pode ser: Distúrbio de set-point – utilizado para mudanças as condições de operação. O sinal de set-point é alterado e a

variável manipulada é ajustada

apropriadamente para alcançar a nova

condição de operação. Tipo de

perturbação freqüente no controle de servomecanismo (controle "servo"). Distúrbio na Carga – alterações inerentes ao comportamento dinâmico do processo. Perturbação freqüente no controle regulatório. O sistema de controle deve ser capaz de retornar o valor da variável controlado ao seu valor de referência.

Desvio

Representa o valor resultante da diferença entre o valor desejado e o valor da variável controlada (também chamado de Erro).

Ganho

Representa o valor resultante do quociente entre a taxa de mudança na saída e a taxa de mudança na entrada que a causou.

1.1.4 - Tipos de Controle

Controle manual

A figura simplificada a seguir

representa um tipo de controle

intuitivo realizado diariamente na grande maioria de nossas casas

(Controle de temperatura do

chuveiro). Todo ser humano possui uma temperatura ideal da água

(7)

utilizada no banho (set point). Para se atingir e manter a temperatura

(variável controlada) no valor

desejado manipula-se a vazão de água. Este tipo de controle é, sem dúvida simples, e só é utilizado em operações rotineiras. Na indústria, de um modo geral, os controles são automáticos e o operador é substituído por um controlador que toma as decisões.

Figura 1.3 – Controle Manual

Controle automático

O controle automático é caracterizado pela presença de três elementos:

Sensor: dispositivo que transforma

parte da energia contida num

determinado ponto do processo num

sinal representativo (geralmente

proporcional) da variável que se mede (ou de outra relacionada com ela).

Controlador: dispositivo que determina o sinal de controle a ser aplicado ao processo em função do sinal atuante (erro).

Atuador: elemento final de controle

transforma o sinal de controle (baixa potência) na variável manipulada

(potência elevada) que age

diretamente sobre o processo.

Controle Auto-operado

O controle auto-operado utiliza a energia necessária para movimentar a parte operacional diretamente do sistema controlado, através de uma região de detecção. Deste modo, este

controle obtém toda a energia

necessária ao seu funcionamento do próprio meio controlado. Este controle é largamente utilizado em aplicações de controle de pressão e menos

comumente no controle de

temperatura, nível, etc.

Controle em Malha Aberta

O controle em malha aberta consiste em aplicar um sinal de controle

pré-determinado ao sistema com o

objetivo de se provocar na saída um determinado valor ou comportamento esperado.

Como exemplo, podemos considerar um operador experiente manipulando uma resistência de aquecimento de

um tanque. O tempo de

funcionamento da resistência para que a temperatura da água do tanque

alcance o valor estipulado, é

determinado intuitivamente pelo

operador. Apenas com muita sorte, a temperatura da água ao final do

tempo pré-determinado será

exatamente a desejada. Em geral, a temperatura da água ficará acima ou abaixo do valor desejado. Além das

possíveis variações devido às

oscilações na temperatura ambiente, na corrente elétrica, etc.

A característica que distingue os sistemas de malha aberta é a sua inabilidade de compensar qualquer distúrbio que eventualmente se some

(8)

DESVANTAGENS VANTAGENS • Imprecisão • Nenhuma adaptação • Variações externas • Dependência humana •

Simples

•

Baratos

DESVANTAGENS VANTAGENS Maior complexidade Mais caro Maior instrumentação Maior conhecimento do processo Maior a precisão do sistema Menor efeito de perturbações externas Maior estabilidade controlador ou à saída do processo.

Sistemas em malha aberta são,

portanto, simples, incapazes de

promover compensação e são

acionados somente pelo sinal de referência. Uma torradeira é um exemplo de sistema de controle em malha aberta, onde a variável de saída é a cor da torrada. O dispositivo é projetado pressupondo que a torrada será tão mais escura quanto mais tempo permaneça sob ação do calor. Mas a torradeira não mede a cor da torrada, e nem considera a espessura da fatia de pão.

Controle em Malha Fechada

Na figura 1.4 é apresentada a configuração básica de uma malha fechada.

Figura 1.4 – Controle em malha fechada

No controle em malha fechada, informações sobre o sinal de saída são utilizadas na determinação do sinal de controle, realizado a partir de uma

realimentação da saída para a

entrada.

Para que ocorra uma ação frente às perturbações no sistema, o sinal de saída é comparado com um sinal de referência (set-point) e o desvio (erro) entre estes dois sinais é utilizado para

determinar o sinal de controle que deve efetivamente ser aplicado ao processo. O controlador utiliza o sinal de erro para determinar ou calcular o sinal de controle a ser aplicado à planta.

Considerando o mesmo exemplo da

resistência, supõe-se que a

temperatura desejada água no tanque é medida e o seu valor é comparado com uma referência pré-estabelecida. Se a temperatura for menor que a

referência, então se aplica à

resistência uma potência proporcional a esta diferença. Neste sentido, a temperatura da água tenderá a crescer diminuindo a diferença com relação à referência, tendendo a estabilizar no valor de referência ou em um valor muito próximo desta, garantindo ao sistema de controle uma boa precisão.

Variações da temperatura ambiente (que fariam variar a temperatura da água dentro do tanque) seriam

compensadas pelo efeito da

realimentação, garantindo ao sistema

capacidade de adaptação a

perturbações externas.

A realimentação é a característica do sistema de malha fechada que permite a saída ser comparada com a entrada.

Geralmente a realimentação é

produzida num sistema, quando existe uma seqüência fechada de relações de causa e efeito entre variáveis do sistema.

(9)

Quando a realimentação se processa no sentido de eliminar a defasagem entre o valor desejado e o valor do processo, esta recebe o nome de realimentação negativa.

1.1.5 - Diagrama de Blocos

Um sistema de controle pode consistir de vários componentes, o que o torna bastante difícil de ser analisado. Para facilitar o seu entendimento e a fim de mostrar as funções desempenhadas por seus componentes, a engenharia

de controle utiliza sempre um

diagrama denominado “Diagrama de Blocos”.

Diagrama de blocos de um sistema é

uma representação das funções

desempenhadas por cada componente e do fluxo de sinais. Assim, conforme pôde ser visto na figura 4, os componentes principais de um sistema são representados por blocos e são integrados por meio de linhas que indicam os sentidos de fluxos de sinais entre os blocos. Estes diagramas são, então, utilizados para representar as relações de dependência entre as variáveis que interessam à cadeia de controle.

1.1.6 - Controle Feedback e Controle Feedforward

Um controlador feedback realiza a ação de controle a partir da medição

da variável controlada (ou da

inferência desta) fazendo uma

comparação com o valor de “set point”. Com base nesta diferença (erro) é calculado o valor dos sinais da

variável manipulada. A variável

manipulada é normalmente ajustada por válvulas de controle.

Um aspecto relevante do controle em feedback é que não se necessita

conhecer antecipadamente os

distúrbios que afetam o processo e nem se precisa estabelecer as relações entre os distúrbios e seus efeitos sobre o processo. é que se tomam as atitudes de controle.

O controle em feedback é o mais comum e o mais utilizado na prática. Enquanto o controle em feedback

responde ao efeito de uma

perturbação, o controle em feed forward responde diretamente às

perturbações, proporcionando um

controle antecipado.

A partir da medição de distúrbios é que se encontra a melhor atitude de controle sobre a variável manipulada. Em geral esta técnica é mais complexa e cara do que a de controle feedback.

Além disso, requer maior

conhecimento sobre o processo, sendo utilizado para aplicações complexas e críticas.

O controle feedforward apresenta as seguintes características:

• Age antes que o distúrbio chegue ao

sistema (vantagem)

• Não introduz instabilidade ao

sistema em malha fechada

(vantagem)

• Requerem identificação das

possíveis variáveis distúrbios

(desvantagem)

• Requer o conhecimento do modelo

do processo (relação entre distúrbio e o desvio) (desvantagem).

(10)

O controle feedback apresenta as seguintes características:

• Não necessita reconhecimento dos

possíveis distúrbios (vantagem)

• Não requer modelo do processo

(vantagem)

• Pode introduzir instabilidade ao

sistema (desvantagem)

• Ação sobre a manipulada só é

tomada depois que o sistema sai do “set point” (desvantagem)

• Mais usado industrialmente.

1.1.7 - Análise de Resposta de Sistemas de Controle

Os sistemas de controle são

dinâmicos, respondendo a um estímulo de entrada passando por uma resposta transitória até alcançar a resposta de regime permanente, que geralmente assemelha-se à referência. Os três objetivos principais da análise e projeto de sistemas de controle são: produzir uma resposta transitória desejada, reduzir o erro em regime permanente e alcançar a estabilidade do controle. Questões inerentes ao projeto de um sistema de controle, tais como custo, sensibilidade de desempenho do sistema e variações

de parâmetros são também

relevantes.

Resposta transitória.

A resposta transitória é muito

importante no desempenho global do sistema de controle. Características relacionadas à rapidez e oscilação devem ser bem definidas para que uma resposta transitória satisfatória

seja alcaçada.

Resposta de regime permanente

A análise e projeto de sistemas de controle estão extremamente focados na reposta de regime permanente. A resposta do sistema deve retratar a referência, portanto a precisão da resposta de regime permanente é uma

preocupação. De forma que a

capacidade de identificar

quantitativamente o erro em regime permanente, bem como de impor ações corretivas para a sua redução são aspectos importantes.

1.2 – Projeto de um Sistema

de Controle

Normalmente, em um projeto de Sistema de Controle Realimentado, uma seqüência de procedimentos é realizada:

1) Obter um sistema físico que corresponda aos requerimentos do projeto.

Uma descrição qualitativa das diversas funções necessárias para que a planta realize os requerimentos do projeto. 2) Desenhar um diagrama de blocos funcional.

A descrição qualitativa é convertida em um diagrama de blocos que descreve as partes componentes do sistema, explicitando suas funções e/ou hardware requerido para o

desempenho das etapas

intermediárias. A interconexão dos blocos funcionais também é prevista.

(11)

3) Desenhar um esquema do sistema.

Tendo definido os elementos

necessários ao sistema, deve-se

desenhar um esquema explicitando as

características físicas de cada

componente e de suas interconexões. 4) Desenvolver o modelo matemático. Obtido pela aplicação das leis que governam os sistemas físicos. Três formas distintas de representação matemática das funções dos diversos elementos que compõem o projeto são

normalmente utilizadas: equações

diferenciais, funções de transferência e variáveis de estado.

5) Reduzir o diagrama de blocos.

A descrição da planta em diversos subsistemas leva a um diagrama com grande número de blocos. O próximo passo então é promover a redução do diagrama de blocos, onde o sistema

como um todo passa a ser

representado por um número reduzido de blocos.

6) Proceder a análise e desenvolver o projeto.

Com o diagrama de blocos reduzido a próxima fase é então de análise do projeto, onde se verifica se as

especificações e o desempenho

requeridos no projeto estão sendo atendidos. Nesta fase ajuste dos parâmetros do sistema são realizados, e se as especificações não são atendidas, então hardware adicional deve ser incorporado ao projeto de forma a se alcançar o desempenho desejado.

Sinais de teste são utilizados como

referência, tanto na simulação

matemática, como na fase de testes experimentais. Não é prática a escolha de sinais complicados de entrada para analisar o desempenho do sistema. Sinais de teste são normalmente simples tais como impulso, degrau, rampa, parábola e senóides.

Objetivos de controle Modelo do Processo Estratégia de Controle Seleção de Equipamentos Instalação do Sistema Ajuste das Configurações Informação dos Processos Teoria de Controle de Processos Princípios Físicos e Químicos Experiência de processos existentes Gerenciamento dos Objetivos Dados do Processo Informação dos Vendedores Simulação Simulação Base de Informação Ativ. do Engenheiro SUCESSO

?

(12)

1.3 – Modelo Matemático de

um Sistema

O método de experimentação é baseado em um princípio científico, entretanto apresenta limitações:

• muito caro;

• muito perigoso. O treinamento de

operadores de plantas nucleares para reagir a situações perigosas em plantas nucleares reais pode ser inapropriado;

• o sistema pode (ainda) não existir.

Em vista destas limitações pode-se utilizar uma ferramenta bastante útil: A Modelagem de Sistemas.

Um modelo de um sistema é uma ferramenta utilizada para responder questões sobre o sistema sem a necessidade da realização de um experimento.

A palavra “modelo” é derivada do Latim e significa originalmente mold ou padrão. Os modelos tratados neste estudo são os modelos matemáticos. No caso de modelos matemáticos, as relações entre quantidades (distâncias, correntes, fluxos e outras) que podem

ser observadas no sistema são

descritas como relações matemáticas no modelo. Muitas das leis da natureza

são modelos matemáticos neste

sentido.

Assim, o modelo pode ser utilizado para calcular ou decidir como o sistema terá reagido. Isto pode ser realizado analiticamente, por exemplo,

pela resolução de equações

matematicamente que descrevem o

sistema e estudando uma resposta. Esta é a forma que tipicamente os modelos são utilizados, por exemplo, em mecânica e eletrônica.

Com um poder computacional efetivo, um experimento numérico pode ser

realizado no modelo. Isto é

denominado de simulação. A

simulação é então uma forma barata

de experimentar o sistema.

Entretanto, o valor dos resultados de simulação depende completamente na qualidade do modelo do sistema.

Existem dois tipos básicos e diferentes para construção de modelos:

(i) Modelagem física

Baseia-se em dividir as propriedades do sistema em subsistemas que possuem comportamentos conhecidos. Para sistemas técnicos, isto significa que as leis da natureza que descrevem os subsistemas são utilizadas, em geral.

(ii) Identificação

Baseia-se em utilizar observações do

sistema visando adequar as

propriedades do modelo para as do

sistema. Este princípio é

freqüentemente utilizado como um complemento da modelagem física. Uma observação válida é que os modelos e simulação nunca podem substituir observações e experimentos, mas constituem-se em um importante e útil complemento.

1.3.1 - Classificação de modelos matemáticos

Os modelos matemáticos têm sido

desenvolvidos para diferentes

(13)

diferentes características dependendo

das propriedades do

sistema e das ferramentas utilizadas. Os modelos matemáticos podem ser classificados como:

• Parâmetros concentrados x distribuídos

Com parâmetros concentrados

(lumped) as variações espaciais são desprezadas, as propriedades/estado

do sistema são consideradas

homogêneas em todo volume de controle e geram sistema de equações

diferenciais ordinárias. Com

parâmetros distribuídos,

consideram-se variações espaciais no

comportamento das variáveis gerando um sistema de equações diferenciais parciais.

Todo sistema real é distribuído. Se as variações espaciais são pequenas, aproxima-se por modelo a parâmetros

concentrados. Para incluir

características temporais e espaciais devem-se usar equações diferenciais parciais ou série de estágios com parâmetros concentrados.

• Linear x não-linear

Equações (e, portanto, modelos) são lineares se variáveis dependentes ou

suas derivadas aparecem apenas no 1°

grau. A manipulação de modelos lineares é muito mais simples. Um sistema é linear se a regra da superposição é aplicável.

)

(

)

(

)

(

x

₁

x

₂

J

x

₁

J

x

₂

J

+

=

+

_ou

)

(

)

(

kx

₁

kJ

x

₁

J

=

onde J é qualquer operador contido no modelo.

• Contínuo x discreto

Um modelo matemático que descreve a relação entre sinais de tempo continuo é denominado de contínuo no tempo. As equações diferenciais são

freqüentemente utilizadas para

descrever tal relação. Na prática, os

sinais de interesse são mais

freqüentemente obtidos na forma discreta, que é resultante de medidas de tempo discreto. Um modelo que expressa diretamente as relações entre os valores dos sinais dos

instantes de amostragem é

denominado de um modelo amostrado ou discreto.

• Estático x dinâmico

Estático (ou estacionário ou invariante no tempo): processo cujo valor das variáveis permanece constante no tempo (se as entradas permanecem as

mesmas, as saídas permanecem

inalteradas). O modelo é um sistema de equações algébricas.

Dinâmico (ou transiente ou

transitório): as variáveis variam no tempo, que é a variável independente. A solução completa consiste nos regimes permanente e transitório. O modelo é um sistema de equações diferenciais.

• Determinístico x estocástico

Denomina-se de modelo

determinístico, um modelo que

trabalha com relações exatas entre variáveis medidas e derivadas e expressas sem incerteza.

Um modelo é estocástico se o modelo pode trabalhar também com conceitos de incerteza e probabilidade.

(14)

1.3.2 - Métodos para obtenção das equações de um modelo

Dependendo de como um modelo é obtido, ele pode ser enquadrado como:

-teórico ou analítico: desenvolvido

utilizando os princípios da Física e da Química;

-empírico ou heurístico: utiliza

observação direta dos dados

operacionais do processo (relações de causa/efeito correlacionando dados de entrada/saída do processo);

-por analogia: utiliza equações que

descrevem um sistema análogo, com as variáveis identificadas por analogia em base individual.

Para se poder empregar um modelo

teórico há necessidade de ser

conhecer certos parâmetros do

processo, os quais usualmente devem ser avaliados a partir de experimentos físicos realizados no processo ou então obtidos de dados operacionais do processo.

Os modelos teóricos possuem diversas vantagens sobre os empíricos: eles

freqüentemente podem ser

extrapolados sobre uma faixa maior de

condições operacionais, além de

permitirem inferir o valor de variáveis

de processo não-medidas ou

incomensuráveis. Por outro lado, os modelos empíricos são normalmente mais fáceis de gerar, muito embora, caso o processo seja não-linear, sejam válidos em uma faixa estreita, próxima ao ponto onde foram obtidos.

1.4 – Referência Bibliográfica

1.Lennart Ljung: System Identification

- Theory for the User, 2nd ed, PTR Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., 1999.

2.Stephanopoulos, G. Chemical

process control: An introduction to theory and practice. 1.ed. New

Jersey: Prentice-Hall International Inc, 1984. 696p.

3.Seborg, D., Thomas, F. E., Duncan,

A. M. Process Dynamics and Control. J. Wiley., New York, 1989.

4.Coelho, L. S. Apostila do Curso de

(15)

2

Modelagem

Matemática e

Linearização de

Modelos

2.1 – Desenvolvimento de

Modelos Dinâmicos

Objetivos da modelagem matemática:

• Projeto de equipamentos

• Simulação de Processos

• Adaptação das condições operacionais

da planta a novas especificações de mercado e novas leis ambientais

• Projeto de sistema de Controle

• Referência interna de controladores

digitais

• Otimização de processos

• Detecção de falhas

Tipos de representação de modelos matemáticos:

a) Modelos de equações diferenciais b)Modelos de entrada saída (Modelos de função de transferência)

(16)

Modelos de equações diferenciais

• São baseados nos Princípios de

conservação de massa e energia.

• Dão origem a equações diferenciais

ordinárias e/ou parciais

• Combinadas com uma ou mais

equações algébricas que podem descrever relações termodinâmicas (equilíbrio), equações de estado (lei dos gases ideais ou a equação de Van der Waals), equações de taxa

de transporte (taxas de

transferência de massa, energia etc.), equações de taxas cinéticas (taxas de reações químicas), etc. As formas mais usadas de equações de balanço:

Balanço de massa total:

∑

−

∑

= entradas i jsaídas j j i iF F dt V d : : ) ( ρ ρ ρ

Balanço de massa para o componente A: rV F C F C dt V C d dt dn j saídas j Aj i entradas i Ai A A = =

∑

−

∑

± : : ) (

Balanço total de energia:

Ws Q h F h F dt P K U d dt dE saídas j j j j entradas i i i i ± ± ± − = + + =

∑

) ( : :

ρ

As variáveis que aparecem acima são:

ρ:densidade

V:volume do sistema

F:vazão volumétrica de alimentação

nA:número de moles do componente A

CA:concentração molar de A

(moles/volume)

r:taxa de reação por unidade de volume para o componente A

h:entalpia específica

U, K, P:energias interna, cinética e potencial do sistema

Q:quantidade de calor trocada pelo sistema com o meio ambiente por unidade de tempo (por condução, radiação ou reação)

Ws:trabalho realizado por unidade de

tempo

Por convenção, uma quantidade é considerada positiva se entra no sistema e negativa se sai.

Ordem do modelo:

Sistema de ordem N → sistema

descrito por equações diferenciais ordinárias com derivadas de ordem N.

) t ( f x a dt dx a ... dt x d a dt x d a N 1 1 0 1 N 1 N N N N + ₋ + + + = − − ai = constantes do sistema f(t) = função distúrbio

Casos Especiais muito freqüentes na Engenharia Química:

1a ordem: (80% dos casos)

) t ( f . b x a dt dx a1 + 0 = Representação Padrão: ) t ( f . K x dt dx P P + = τ

(17)

τP=a1/a0 constante de tempo do

processo

KP=b/a0 ganho estático do processo

2a ordem: ) t ( f . b x a dt dx a dt x d a ₂ ₁ ₀ 2 2 + + =

Representação Padrão de 2a ordem:

) t ( f . K x dt dx . . 2 dt x d P 2 2 2 + ξτ + = τ τP = a2/a0 ξ = fator de amortecimento

Kp=b/a0 ganho estático do processo

2ξτ=a1/a0

Exemplo 1 - Sistema de Aquecimento

Existe um fluxo de massa de um fluxo e energia neste sistema.

Balanço Total de Massa do sistema:

            −             =             tempo saída na massa de Quantidade tempo entrada na massa de Quantidade tempo massa de Acúmulo Considere

m

=

ρ

V

=

hA

Considere

m

=

ρ

V

=

hA

t

V

F

=

(

)

_F

dt

hA

d

in

ρ

₌

₋

F

dt

dh

A

=

_in

−

(1) Balanço de Energia:

O total de energia no tanque é dão pela expressão termodinâmica:

P

K

U

E

=

+

Como não há movimento e as influências devido ao desnível são desprezíveis temos:

0 =

=

dt

dP

dt

dK

Assim:

dt

dU

dt

dE

=

Mas a entalpia é definida como

V P U

H = + Para líquidos o termo PV é

desprezível e

dt

dH

dt

dU

≅

H é a entalpia total do líquido no tanque:

)

(

_ref p

T

AhC

H

=

ρ

−

onde Cp é a capacidade calorífica do líquido no tanque e Tref é a temperatura de referência onde a

entalpia específica do líquido é

assumida igual a zero.

Temos a equação de balanço de energia:

(18)

            − −             −             =             tempo forecida de Quantidade tempo sai que Energia de Quantidade tempo entra que Energia de Quantidade tempo Energia de Acúmulo

(

)

Q

T

FC

T

C

F

dt

T

AhC

d

ref p ref in p in ref p

+

−

=

−

)

(

)

(

ρ

( )

_F

_C

_T

_FC

_T

_Q

dt

hT

d

AC

_p

=

ρ

_in _p _in

−

ρ

_p

+

ρ

( )

p in in

C

Q

FT

T

F

dt

hT

d

A

ρ

+

−

=

p in in

C

Q

FT

T

F

dt

dh

AT

dt

dT

Ah

ρ

+

−

=

+

Usando a equação 1 p in in in

C

Q

FT

T

F

T

dt

dT

Ah

ρ

+

−

=

−

+

(

)

p in in in

C

Q

TF

FT

T

F

dt

dT

Ah

ρ

+

−

=

p in in

C

Q

T

F

dt

dT

Ah

ρ

+

−

=

(

)

_{Equação 2}

Encontramos as equações de estado:

F

dt

dh

A

=

_in

−

e p in in

C

Q

T

F

dt

dT

Ah

ρ

+

−

=

(

)

Resumo:

Variáveis medidas (saída ou estado): T e h (controladas)

Variáveis de entrada: Distúrbios: Tin e Fin

Variáveis de controle: Q e F

Parâmetros: A, ρ e Cp.

Elementos adicionais dos modelos matemáticos

• Equações de taxas de transporte

Descrevem as taxas de transferência de massa, energia e momento. São estudadas em cursos de fenômenos de transporte. Por exemplo, o calor fornecido pelo vapor no exemplo anterior é dado pela seguinte equação de transferência de calor:

) (T T UA

Q= _t _V −

Onde U = coeficiente global de transferência de calor

At = área total de transferência de calor

TV = temperatura do vapor

• Equações de taxas cinéticas

Usadas para descrever as taxas de

reação química. RT _A E C e k r − = 0 Onde: k0 = constante cinética

(19)

R = constante dos gases ideais

T,CA = Temperatura e concentração de

A no líquido reacional.

• Relações de equilíbrio de fase e

reação

Descrevem situações de equilíbrio

alcançadas durante uma reação

química por duas ou mais fases. (Termodinâmica)

• Equações de estado

Descrevem as relações entre as variáveis que descrevem o estado

termodinâmico de um sistema.

(Equação dos gases ideais e a equação de Van der Walls).

Graus de Liberdade (f) f = V – E V = n°. de variáveis independentes do processo E = n°. de equações independentes do processo

“Um processo será efetivamente

controlado quando todos os graus de liberdade forem especificados”.

Se f=0 (V=E) ⇒ o sistema já está

definido ou totalmente especificado (não há como inserir controle)

Se f<0 (V<E) ⇒ o sistema não tem

solução (não há como inserir

controle)

Se f>0 (V>E) ⇒ o sistema tem

soluções múltiplas e, portanto pode haver tantas malhas de controle quantos forem os graus de liberdade.

Exemplo 2 – Reator CSTR

Considere o reator CSTR abaixo:

Suponha a reação exotérmica A→ B

(1ª Ordem)

Balanço Total de Massa do sistema:

( )

_F

dt

V

d

in

ρ

₌

₋

sendo ρ = constante

F

dt

dV

in

−

=

(1) Balanços de massa dos componentes A e B do sistema:

( ) (

)

_C

_F

_C

_F

_rV

dt

V

C

d

dt

n

d

A in Ain A A

=

−

(2)

( )

(

)

_C

_F

_rV

dt

V

C

d

dt

n

d

B B B

=

₀

−

+

(3)

(20)

Usando a equação 2 temos:

V

C

e

k

F

C

F

C

dt

dV

C

dt

dC

V

A RT E A in Ain A A −

−

=

+

0

V

C

e

k

F

C

F

C

F

C

dt

dC

V

A RT E A in Ain in A A −

−

+

−

=

0

)

(

A RT E A Ain in A

_C

_k

_e

_C

V

F

dt

dC

−

=

(

)

₀ (4)

Balanço Total de Energia

Q

Fh

h

F

dt

dH

dt

P

K

U

d

dt

dE

in in in

−

=

≅

+

=

ρ

)

(

(5)

Da termodinâmica temos que:

)

,

(

T

n

_A

n

_B

H

=

. Assim temos que:

dt

dn

n

H

dt

dn

n

H

dt

dT

T

H

dt

dH

_B B A A

∂

+

∂

+

∂

=

e p

VC

T

H

_ρ

=

∂

A A

H

n

H

~

=

∂

B B

H

n

H

~

=

∂

B A

H

~ ~

e

_{são as entalpias parciais}

molares de A e B respectivamente.

)

(

)

(

~ ~

rV

F

C

H

rV

F

C

F

C

H

dt

dT

VC

dt

dH

B B A in Ain A p

+

−

+

−

+

=

ρ

Substituindo as eq. acima na eq. 5 teremos:

Q

Fh

h

F

rV

F

C

H

rV

F

C

F

C

H

dt

dT

VC

in in in B B A in Ain A p

−

+

−

=

ρ

)

(

)

(

~ ~ Sabe-se que:

)

(

)

(

)

(

)

(

~

T

C

F

H

C

F

T

C

F

T

h

F

T

h

F

in pin in in A A in in pin in in in in in in in in in

−

+

=

−

+

=

ρ

)

(

)

(

~ ~ B B A A

H

C

H

C

F

T

Fh

=

+

ρ

Substituindo na equação anterior e cancelando diversos termos temos:

Q

rV

H

T

C

F

dt

dT

VC

B A in pin in in p

−

+

−

=

)

(

)

(

~ ~

ρ

Sendo p pin B A r

C

H

=

−

=

∆

−

e

)

(

)

(

_i ~ ~

ρ

tem-se:

V

C

Q

C

e

k

C

H

T

V

F

dt

dT

p A RT E p r in in

ρ

−

∆

−

+

−

=

(

)

0 − (6)

(21)

Resumo

Variáveis de saída: V, CA, T

Variáveis de entrada: CAin, Fin, Tin, Q, F Variáveis de controle: Q, F Distúrbios: CAin, Fin, Tin Parâmetros: ρ, Cp, (-∆Hr), k0, E, R Equações de estado:

F

dt

dV

in

−

=

A RT E A Ain in A

_C

_k

_e

_C

V

F

dt

dC

₌

₋

− 0

)

(

V

C

Q

C

e

k

C

H

T

V

F

dt

dT

p A RT E p r in in

ρ

−

∆

−

+

−

=

(

)

0 − Graus de liberdade: F = V – E = 8 – 3 = 5 Três equações: BM, BMC, BE

Dois controladores: F = f(CA) e Q = f(T)

Três distúrbios.

Exemplo 3 - Processo de Mistura

Um balanço de massa total de um sistema de mistura será dado por:

            −             =             tempo saída na massa de Quantidade tempo entrada na massa de Quantidade tempo massa de Acúmulo

( )

_w

dt

V

d

−

+

=

1 2

ρ

(1)

onde w1, w2 e w são as vazões mássicas.

O Balanço de massa do componente A é dado por:

( )

wx

x

w

x

w

dt

x

V

d

−

+

=

1 1 2 2

ρ

(2)

Que correspondem às equações no regime permanente:

w

+

−

=

1 2

0

e

x

w

x

w

x

w

+

−

=

₁ ₁ ₂ ₂

0

Considerando ρ constante:

( )

_w

dt

V

d

₌

₊

₋

2 1

ρ

e

( )

_w

_x

_w

_x

_wx

dt

Vx

d

−

+

=

₁ ₁ ₂ ₂

ρ

(4)

(22)

Aplicando a propriedade de derivadas

em

( )

dt

x

d

V

dt

V

d

x

dt

Vx

d

_ρ

ρ

=

+

Substituindo em 4 tem-se:

( )

_w

_x

_w

_x

_wx

dt

x

d

V

dt

V

d

x

+

ρ

=

₁ ₁

+

₂ ₂

−

ρ

(5) Substituindo 3 em 5 obtem-se:

(

)

( )

w

x

w

x

dt

x

d

V

w

x

₁

+

₂

−

+

ρ

=

₁ ₁

+

₂ ₂ (6)

Rearranjando as eq. 6 e 1 temos o seguinte sistema: Rearranjo de 6

( )

_w_x _w _x _wx _x

₍

_w _w _w

₎

dt x d V = ₁ ₁+ ₂ ₂ − − ₁+ ₂ −

ρ

( )

₍

₎

₍

₎

2 2 1 1

x

w

x

w

dt

x

d

V

=

−

+

−

ρ

)

(

1 )

(

1

2 2 1 1

w

x

V

x

w

V

dt

dx

−

+

−

=

ρ

)

(

1

2 1

w

dt

dV

−

+

=

ρ

2.2 – Metodologia de

Linearização de Modelos

Linearização

Procedimento que consiste na

aproximação do sistema não-linear ao comportamento linear.

Considere e equação diferencial não linear apresentada:

)

(x

f

dt

dx

=

onde f(x) é uma função não

linear.

Expandindo a função f(x) em Série de Taylor no ponto x(0) teremos:

(

)

(

)

_...

!

...

!

2 !

1 )

(

)

(

0 2 0 2 2 0 0 0 0 0

+

−













+

−













+

−













+

=

n

x

dt

f

d

x

dt

f

d

x

dt

df

x

f

x

f

n x n n x x

A partir dos termos de segunda ordem poderemos negligenciar a ação, pois estaremos adotando um valor x muito próximo do valor x0. Assim:

0 0 0

)

(

)

(

x

dt

df

x

f

x

f

x

−













+

=

Exemplo: Considere o tanque:

Considerando F0=h/R teremos a equação linear: o in F F dt dh A = − h Fin R dt dh A + 1 =

(23)

Realisticamente se F0 for manipulada

por uma válvula teremos: F0 =

β

h.

Daí teremos: in F h dt dh A +β =

Equação não linear devido ao termo em raiz.

Aplicando A Série de Taylor temos:

( )

₍

₎

0 0 0

h

dt

h

d

h

x

−













+

=

Substituindo na equação diferencial:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 h F h h h dt dh A h h F h h h dt dh A F h h h h h dt dh A in in in

β

− = + + − = + = − + +

Considere um sistema com as

seguintes condições: 1/R=3 Fin = 10 m3/h h0 = 4m β = 6 portanto: 2 3 2 3 4 ) 1 ( 3 10 ) ( ) 2 3 ( 4 ) 2 3 ( 5 3 2 8 ) 3 2 ( 10 ) ( 10 ) ( 3 ] 4 ) ( [ 2 10 3 2 t t e e t h s s s s s s s H s s H s sH h dt dh − − + − = + + + = + + + = = + − = + 4 3 4 3 0 0 0 4 ) 1 ( 3 8 ) ( ) 4 3 ( 4 ) 4 3 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 3 4 ) ( 2 4 3 6 10 2 3 2 4 2 6 10 4 . 2 4 6 2 2 2 t t in e e t h s s s s H s s H s sH h dt dh h dt dh h dt dh h F h h h dt dh A − − + − = + + + = = + − = + − = + − = + − = +

β

2,5 2,7 2,9 3,1 3,3 3,5 3,7 3,9 4,1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Tempo (h) A lt ur a ( m e tr os ) Hlinear Hnlinear

2.3 – Linearização de

Sistemas Multivariáveis

Sejam as equações abaixo não-lineares:

)

x

,

x

(

f

dt

dx

)

x

,

x

(

f

dt

dx

2 1 2 2 2 1 1 1

=

Ponto estacionário: (x1(0), x2(0))

Expansão por Série de Taylor

(24)

)) 0 ( ( )) 0 ( ( )) 0 ( ), 0 ( ( ) , ( )) 0 ( ( )) 0 ( ( )) 0 ( ), 0 ( ( ) , ( 2 2 ) 0 ( ), 0 ( 2 2 1 1 ) 0 ( ), 0 ( 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 ) 0 ( ), 0 ( 2 2 1 1 ) 0 ( ), 0 ( 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x f x x x f x x f x x f x x x f x x x f x x f x x f x x x x x x x x − ∂ ∂ + − ∂ ∂ + ≅ − ∂ ∂ + − ∂ ∂ + ≅

Substituindo no Sistema não linear:

)) 0 ( ( )) 0 ( ( )) 0 ( ), 0 ( ( )) 0 ( ( )) 0 ( ( )) 0 ( ), 0 ( ( 2 2 ) 0 ( ), 0 ( 2 2 1 1 ) 0 ( ), 0 ( 1 1 2 1 2 2 2 2 ) 0 ( ), 0 ( 2 2 1 1 ) 0 ( ), 0 ( 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x f x x x f x x f dt dx x x x f x x x f x x f dt dx x x x x x x x x − ∂ ∂ + − ∂ ∂ + ≅ − ∂ ∂ + − ∂ ∂ + ≅

em termos de variáveis desvio:

, 2 12 , 1 11 , 1 x a x a dt dx + = , 2 22 , 1 21 , 2 x a x a dt dx + = onde: ) 0 ( ), 0 ( 2 1 12 ) 0 ( ), 0 ( 1 1 11 2 1 2 1 x x x x

x

f

a

x

f

a

∂

=

∂

=

2 (0), (0) 2 22 ) 0 ( ), 0 ( 1 2 21 2 1 2 1 x x x x

x

f

a

x

f

a

∂

=

∂

=

Para sistemas dinâmicos com duas

variáveis de estado (x1, x2) e que sofre

a influência de mais variáveis

independentes, como as manipuladas,

m1 e m2 e a variável distúrbio, d: ) , , , , ( ) , , , , ( 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 d m m x x f dt dx d m m x x f dt dx = =

Fazendo-se o mesmo desenvolvimento anterior, obtém-se a aproximação linear dada por:

, 1 , 2 12 , 1 11 , 2 12 , 1 11 , 1 d c m b m b x a x a dt dx + + + + = , 2 , 2 22 , 1 21 , 2 22 , 1 21 , 2 d c m b m b x a x a dt dx + + + + = Ponto estacionário = (x1(0), x2(0), m1(0), m2(0), d(0)) → representado por 0, onde: 0 1 1 0 2 1 12 0 1 1 11 0 2 1 12 0 1 1 11 d f c m f b m f b x f a x f a ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ =

0 2 2 0 2 2 22 0 1 2 21 0 2 2 22 0 1 2 21 d f c m f b m f b x f a x f a ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ =

(25)

3

Transformadas

de Laplace

3.1 – Definição

É um método matemático utilizado para realizar a transformação de equações diferenciais em equações algébricas mais facilmente solucionáveis.

[ ]

₌

_∫

∞

_⋅

− 0

)

(

)

(

)

(

t

F

s

f

t

e

dt

f

L

st onde:

f(t) é a função no domínio do tempo f(t)=0 para t<0.

s é uma variável complexa (s = σ +ωj)

3.2 – Transformada de Laplace

de Algumas Funções Básicas

Função Degrau    > → < → = 0 0 0 ) ( t A t t f

Observação: Caso especial da função

exponencial t Ae t f( )= −α onde α=0.

[ ]

s A s F e s A e s A s F e s A s F dt e A s F A L s s st st = ⋅ + ⋅ − = ∞ ⋅ − = ⋅ = = − ∞ − − ∞ −

∫

) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 0