Dissertação de Mestrado

Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional

Dissertação de Mestrado

MODELAGEM MATEMÁTICA PARA A CONEXÃO

ENTRE CÉLULAS-TRONCO E CÂNCER

Neila Marcelle Gualberto Leite

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Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional

MODELAGEM MATEMÁTICA PARA A CONEXÃO

ENTRE CÉLULAS-TRONCO E CÂNCER

Neila Marcelle Gualberto Leite

Dissertação apresentada ao Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática e Computa-cional.

Orientadora: Profa. _Dra. _{Maria Elizabeth}

Gou-vêa

Co-orientador: Prof. Dr. Carlos Henrique Costa Moreira

Elaboração da ficha catalográfica por Biblioteca-Campus II / CEFET-MG

Leite, Neila Marcelle Gualberto

L533m Modelagem matemática para a conexão entre células-tronco e câncer / Neila Marcelle Gualberto Leite. – 2009.

71 f.

Orientador: Maria Elisabeth Gouvêa

Co-orientador: Carlos Henrique Costa Moreira

Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional.

Dissertação (mestrado) – Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais.

1. Modelos matemáticos – Teses. 2. Células-tronco – Modelos matemáticos -- Teses. 3. Câncer – Modelos matemáticos -- Teses. I. Gouvêa, Maria Elisabeth. II. Moreira, Carlos Henrique Costa. III. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. IV. Título. CDD 511.8

"tem gente que chega pra car tem gente que vai pra nunca mais"

dedico este trabalho ao meu lho, Mateus e ao meu pai, Márcio.

Agradecimentos

Embora uma dissertação seja, por sua nalidade acadêmica, um trabalho individual, há contribuições que não posso nem devo deixar de ser citar. Por essa razão, desejo expressar os meus sinceros agradecimentos:

Aos meus orientadores Profa. Dra. Maria Elizabeth Gouvêa e Prof. Dr. Carlos Hen-rique Costa Moreira, pelos ensinamentos, disponibilidade, paciência, apoio, conança e compreensão revelada ao longo deste período.

Ao coordenador do curso, Prof. Dr. Sérgio Ricardo de Sousa, pelo apoio de sempre, principalmente nos momentos mais difíceis.

À FAPEMIG, pelos dois anos de bolsa.

Aos colegas de curso, em especial ao Lourenço, Patrick, Suelen e Douglas, pelos momen-tos de estudo em grupo e pelas trocas de experiência.

Aos amigos de MOC, em especial à Aline, Maguina, Patty e Fred, Magoo e Mariana, grandes companheiros que aguentaram meus momentos de stress e ajudaram em tudo que foi possível, principalmente com o Mateuzinho.

Aos amigos de BH, em especial à Beta, Serjão e Weslei pelo ombro amigo e pela paciên-cia de sempre.

À grande amiga Tati, pelo companherismo nos bons e nos maus momentos. Pelas longas horas de estudos e pelos momentos de descontração. Por todas as sugestões e contribuições, por aguentar meus lamentos e me incentivar, sempre.

A todos aqueles que contribuíram de alguma forma, seja na parte biológica, matemática ou computacional, seja nas inntas idas e vindas de MOC, ou com o Mateuzinho. Em especial, à Família Leite, pelo apoio de sempre.

Ao pessoal lá de casa: Nahilla, Warlei e Vitória, Joanna, Botas, Aline e Gabi, Lulu e Lu pelo carinho e compreensão. Por ajudarem em tudo, mesmo sem entender direito o que eu estava fazendo.

Em especial, agradeço a quatro pessoas essenciais durante o mestrado: Ao Neander, sempre disposto e alegre, irmão e amigo das innitas idas e vindas de MOC. À minha mãe, grande companheira, que não mediu esforços para me ajudar nessa jornada. Ao Lemuel, marido, companheiro e amigo, por estar sempre ao meu lado, incondicional-mente. Por toda a paciência e compreensão, pelas sugestões na parte biológica, pelo apoio e incentivo, enm, por ter apostado que tudo isso daria certo. Ao meu lhote Mateus, presente de Deus durante o mestrado.

Sumário

2.4 Estudo analítico das equações . . . 22

2.4.1 Células-Tronco . . . 22 2.4.2 Células Semidiferenciadas . . . 24 2.4.3 Células Especializadas . . . 26 2.5 Modelo computacional . . . 28 3 Análise do Modelo 30 3.1 Tecido saudável . . . 30

3.1.1 Escolha dos parâmetros . . . 31

3.1.2 Número de divisões em cada compartimento . . . 39

3.1.3 Conclusões . . . 40

3.2.1 Conclusões . . . 45

3.3 Senescência e câncer . . . 45

3.3.1 Resultados . . . 46

3.4 Conclusões . . . 50

4 Sequências de mutações e a origem de tumores 51 4.1 Sequência RGD . . . 53

4.2 Sequência DGR . . . 54

4.3 Sequência GRD . . . 56

4.4 Sequência GDR . . . 57

4.5 Comparação das sequências . . . 58

4.6 Sequências de Mutações e Senescência . . . 60

4.7 Conclusões . . . 62

5 Considerações Finais e Perspectivas 64

A Glossário 66

Lista de Figuras

2.1.1Esquema representativo das ações sofridas pelas Células-Tronco. . . 12

2.2.1Esquema representativo das ações sofridas pelas Células Semidiferenciadas . . . 16

3.1.1Variação das taxas de mortalidade e divisão celular de CE . . . 33

3.1.2Evolução das populações e qualidade genética para αE< βE . . . 35

3.1.3Evolução das populações e qualidade genética para αE= βE . . . 36

3.1.4Evolução das populações e qualidade genética para αE> βE . . . 38

3.1.5Variação da população em função do número de divisões celulares  CSD . . . 40

3.2.1Proporção de células cancerígenas e as taxas de mutação . . . 43

3.2.2Distribuição da população celular com mutação . . . 44

3.3.1População de células cancerígenas e a senescência  αE< βE . . . 47

3.3.2População de células cancerígenas e a senescência  αE= βE . . . 48

3.3.3População de células cancerígenas e a senescência  αE> βE . . . 49

4.1.1Evolução da população de células cancerígenas  sequência RGD . . . 54

4.2.1Evolução da população de células cancerígenas  sequência DGR . . . 55

4.3.1Evolução da população de células cancerígenas  sequência GRD . . . 57

4.4.1Evolução da população de células cancerígenas  sequência GDR . . . 58

4.6.1Sequência RGD e senescência . . . 61 4.6.2Sequência GDR e senescência . . . 62

Lista de Tabelas

2.0.1Parâmetros utilizados na modelagem . . . 9

3.1.1Parâmetros  Tecido Saudável . . . 37

3.1.2Condições Iniciais  Tecido Saudável . . . 40

4.1.1Parâmetros  sequência de mutações RGD . . . 53

4.2.1Parâmetros  sequência de mutações DGR . . . 55

4.3.1Parâmetros  sequência de mutações RGD . . . 56

Resumo

A origem de tumores está relacionada ao acúmulo sequencial de mutações nas células de um tecido. Existem evidências experimentais de que apenas uma pequena fração de células é capaz de disseminar e manter um tumor. Conjectura-se que estas sejam células-tronco cancerígenas devido às suas semelhanças com as células-células-tronco normais. Neste trabalho, sugerimos um modelo matemático e computacional que pretende estabelecer possíveis vínculos entre o papel desempenhado pelas populações celulares na manutenção estrutural e genética de tecidos vivos saudáveis e no eventual desenvolvimento de tu-mores. Consideramos três compartimentos celulares: células-tronco, semidiferenciadas e especializadas. Para os compartimentos de células-tronco e de células semidiferencia-das, consideramos auto-renovação simétrica, quiescência, apoptose e a possibilidade de acúmulo de mutações. Consideramos, ainda, que o limite de Hayick é observado para as células especializadas. No entanto, após acumular determinado número de mutações, algumas células especializadas podem extrapolar o limite de Hayick e não entrar em senescência. O modelo foi utilizado para explorar a origem de câncer através mutações que atingem as populações de células-tronco, semidiferenciadas e especializadas e cons-tatamos que mutações que atingem a população de células-tronco são mais danosas ao tecido. Considerando as mutações que provocam o aumento da taxa de divisão celu-lar, redução da taxa de mortalidade e instabilidade genética, analisamos, também, o efeito do acúmulo seqüencial de mutações na origem de tumores. Constatamos que as seqüências mais malignas são aquelas em que a instabilidade genética ocorre primeiro. Nosso modelo conrma, ainda, que células que evitam a senescência contribuem de forma efetiva na origem e desenvolvimento de tumores.

Abstract

It is generally accepted that tumors originate from the sequential accumulation of specic mutations by the cells in the aected tissue. However, experimental evidence has shown that only a small fraction of tumor cells are actually capable of driving tumorigenesis. In this work, we present a computer model designed to test dierent scenarios for the evolution of tumors and for the roles of stem cells, progenitor and fully dierentiated cells in the process. We consider three dierent categories or compartments: stem cells, progenitor cells and fully dierentiated cells. Stem cells and progenitor cells are capable of symmetrical unlimited self-renewal, unlike fully dierentiated that must obey the Hayick limit for proliferation. Mutations may occur during cell division and are incorporated to the genetic heritage of each cell lineage. We compare the results of computer simulations in which mutations occur only in the fully dierentiated, in the progenitor or in the stem cells compartment. Our results show that mutations aecting the stem cells can cause the biggest damage to the tissue. In order to take into account the eect of mutations in changing cells behavior, we consider mutations that: i) increase the cell division rates, ii) decrease the death rate and iii) lead to chromosome instability. Then, we also investigate the sequential accumulation of these mutations when tumors are originated. It is shown that the most malignant sequences are those in which the chromosome instability is the rst one to happen. The model also suggests that cells which avoid senescence cooperate to the appearing and development of tumors.

Capítulo 1

Introdução

As células-tronco tornaram-se tema recorrente na pesquisa cientíca nas últimas dé-cadas, principalmente à medida em que suas ações terapêuticas são descobertas. No entanto, ainda hoje, pouco se sabe a respeito de suas ações, principalmente sobre os efeitos malignos que podem causar.

Chamam-se células-tronco (CT) àquelas não diferenciadas. São denidas por duas propriedades intrínsecas: possuem capacidade de dividir-se indenidamente e, sob certas condições, podem diferenciar-se em diversos tipos de células, dando origem a variados tipos de tecidos e órgãos [2]. Existem dois tipos de CT: as embrionárias, dotadas de extrema plasticidade1 _{e as CT adultas, com menor potencial de diferenciação [10].}

Na fase de embrião, todos os tecidos do corpo humano são gerados por CT embri-onárias. Já os tecidos vivos adultos são constituídos por: (i) células especializadas (CE)  majoritariamente  nas quais características especícas são desenvolvidas através da super-expressão de determinados setores de seu genoma e da sub-expressão de out-ros; (ii) células-tronco adultas que constituem de 0,01% [2] a 0,0001% [4] da população celular total, dependendo do tecido, cuja função é auxiliar na reposição celular; e (iii) células semidiferenciadas (CSD), também conhecidas como precursoras ou progenitoras, que dão origem às CE [2, 31].

Os mecanismos exatos do controle da proliferação e diferenciação celular não estão totalmente claros [3]. No entanto, estudos apontam que esse controle está relacionado a fatores externos, como o microambiente em que as células se encontram, interações célula-célula mediada pela membrana celular, e fatores secretados (citocinas, hor-mônios, entre outros) [13, 22, 34].

Nos seres humanos, a reprodução celular acontece num processo conhecido como mitose. Nele, uma célula-mãe, após duplicar toda sua estrutura, divide-se, originando duas células-lhas idênticas a ela. Os cromossomos são os responsáveis por guardar todas as informações genéticas [6]. A duplicação do material genético da célula-mãe ocorre nas etapas iniciais da mitose e, por ser um processo complexo e minuncioso, carrega certa probabilidade de erro. Alguns erros são corrigidos nos checkpoints  pontos de checagem da autenticidade das informações genéticas  mas nem todos podem ser corrigidos. Isso implica na incorporação gradual de mutações ao acervo genético das células-lhas, sobretudo daquelas que pertencem a linhagens que já passaram por um grande número de divisões celulares [3, 11, 35].

Para preservar a integridade genética, com o tempo as CE perdem a capacidade de se dividir. Este processo, conhecido como senescência, está relacionado ao tamanho dos telômeros. A função dos telômeros é proteger as extremidades dos cromossomos, impedindo a fusão entre eles, o que levaria a uma desordem genética. Cada divisão celular acarreta a perda de uma pequena parte da sequência telomérica herdada pelas células-lhas. Quando os telômeros atingem um determinado limite crítico, abaixo do qual pode haver instabilidade cromossômica, as células param de se dividir e entram em senescência [11, 35]. Leonard Hayick mostrou, em 1965, que células cultivadas in vitro reproduziam-se cerca de 50 vezes antes de morrer [9, 12, 18]. Esse limite crítico do número de divisões celulares é chamado de limite de Hayick.

Existem, porém, células com alta capacidade proliferativa, nas quais a telomerase se mantém ativa. Exemplos desse tipo de células são as células-tronco e algumas células somáticas, como células endoteliais e endometriais [6]. Algumas células somáticas senescentes que passam a se dividir descontroladamente e transpõem o limite de Hayick

apresentam alta atividade da telomerase. É o que acontece com a maioria das células cancerígenas [25, 28].

Outras semelhanças entre CT normais e células cancerígenas já foram observadas pelos cientistas [3, 7, 8]. Além da alta capacidade proliferativa, ambas têm em comum uma grande plasticidade. Observa-se, com frequência, que as células tumorais possuem uma capacidade de diferenciação inusitada [26]. Por exemplo, nos teratocarcinomas são gerados vários tipos de células diferenciadas, tais como cartilagens e ossos; célu-las semelhantes a neurônios são encontrados, frequentemente, nos medulobcélu-lastomas; células da leucemia mielóide parecem diferenciar-se em diversas linhagens de células sanguíneas [5].

O câncer é uma doença com uma característica particular: é composto por células humanas, mesmo material que constitui tecidos e órgãos. Quando há falha nos meca-nismos que regulam a reposição e a proliferação celular, propiciando o desenvolvimento de mecanismos autônomos de sobrevivência, o resultado pode ser o início de tumores.

Experimentos recentes mostraram que todas as células de um tumor descendem de uma célula ancestral comum que, em algum momento, em geral décadas antes do tumor tornar-se detectável, passou por mutações genéticas e transformações que a tornaram uma célula cancerígena [35]. Conjectura-se que essa seja uma célula-tronco cancerígena devido às semelhanças com a célula-tronco normal [5, 26, 28]. Dois cenários são conside-rados para justicar a conexão entre células-tronco e câncer. O primeiro sugere que as próprias CT normais são sujeitas a mutações e dão origem a células-lhas modicadas (danicadas) geneticamente. O segundo cenário sugere que células cancerígenas maduras desenvolvem a habilidade de auto-renovação indenidamente (produção de telomerase), adquirindo, assim, o mesmo potencial das CT, porém, apresentando auto-duplicação descontrolada e diferenciação anormal [7, 26].

A origem de turmores está relacionada a alterações genéticas que acontecem num processo que envolve o acúmulo de mutações [4, 17, 35]. Hanahan e Weinberg (2000) [17] sugerem que os diversos tipos de câncer resultam da manifestação de seis alterações essenciais na siologia das células: (i) auto-suciência em produzir sinais de crescimento:

a célula está sujeita a uma sequência de reações envolvendo proteínas que levam sinais do exterior da célula para seu núcleo, estimulando fatores de crescimento e de diferenci-ação celular. O crescimento da célula torna-se desregulado quando sofre mutações que mantêm as rotas estimuladoras constantemente ativas mesmo quando deveriam estar inativas; (ii) insensibilidade aos inibidores de crescimento: além de estimular o cresci-mento, para se tornar maligna, a célula deve ignorar sinais para cessar o crescimento emitido por suas vizinhas normais. Os processos inibidores são semelhantes aos pro-cessos de estímulo de crescimento e são chamados rotas inibidoras de crecimento; (iii) evasão à morte programada (apoptose): a apoptose é um mecanismo de defesa contra o desenvolvimento de tumores que está presente em praticamente todos os tecidos do corpo humano. O processo de apoptose consiste num sistema programado de segurança gravado no genoma da célula. Se algum dos componentes essenciais de segurança for danicado, a célula é induzida à morte; (iv) potencial replicativo ilimitado: o potencial replicativo de uma célula está relacionado ao tamanho do seu telômero, como descrito anteriormente. Na maioria dos cânceres, os mecanismos de defesa que levam a célula a entrar em senescência são inativados e um gene que codica a enzima telomerase é ati-vado. Assim, células cancerosas mantêm a integridade dos seus telômeros e, por isso, são capazes de replicar-se indenidamente; (v) angiogênese auto-sustentada: capacidade de induzir o crescimento de capilares para suprir a escassez de nutrientes dentro do tumor e aumentar os níveis de fatores de crescimento estimuladores de divisão trazidos pelos capilares; (vi) capacidade de invadir tecidos adjacentes e produzir tumores secundários (metástase): disseminação de células cancerosas em várias partes do corpo, formando tumores secundários em tecidos e órgãos distantes do sítio de origem do tumor.

Embora haja evidências de que a maioria das alterações mencionadas acima ocor-ram nas células cancerígenas, é necessário lembrar que a mutação de genes especícos é um processo altamente ineciente, devido ao complexo conjunto de sistemas de mo-nitoramento que preservam a integridade do genoma. A ação conjunta desses sistemas assegura que mutaçõs sejam eventos raros e, assim, a aquisição de mutações múltiplas tem probabilidade ínma de ocorrer durante o tempo de vida de um ser humano. No en-tanto, a incidência de câncer em nossa sociedade é alta o suciente para levar à hipótese

de que algum processo deve favorecer a aquisição de mutações pelas células de um tumor. Dessa forma, Hanahan e Weinberg (2000) [17] sugerem que algum mecanismo impede o bom funcionamento dos sistemas de monitoramento e leve à instabilidade genômica, gerando células mutantes com vantagens seletivas.

Células-tronco adultas estão presentes em vários tipos de tecidos e, embora consti-tuam uma pequena população, perduram por um longo período e são capazes de gerar uma linhagem inteira de células especializadas, sendo, portanto, fortes candidatas ao acúmulo de mutações que resultam em tumores malígnos [26, 28].

O papel das mutações na carcinogênese, inclusive quando essas mutações atingem as CT, é tema recorrente na comunidade cientíca [4, 7, 8, 14, 20, 26, 27, 33, 37, 36]. Em particular para o câncer, um dos fenômenos mais agressivos da biologia, numerosos modelos matemáticos focando diversos aspéctos para o surgimento da neoplasia foram recentemente propostos. Entre muitos, podemos destacar o modelo discreto descrito por Tomlinson & Bodmer (1995) [33] e os modelos baseados em equações diferenciais propostos por Spencer et al (2004) [30], Ganguly & Puri (2006) [14] e Ashkenazi et al (2008) [4].

Tomlinson e Bodmer (1995) [33] apresentam um modelo para a dinâmica popula-cional celular que discute a possibilidade de que as falhas no programa de apoptose e de diferenciação celular sejam causadoras de tumores. O modelo matemático é discreto e apresenta equações de evolução temporal para cada população: células-tronco, semidi-ferenciadas, células totalmente diferenciadas e células mortas. Esses autores apresentam um modelo matemático para o crescimento normal das células e analisam, a partir de variações nos parâmetros (taxa de mortalidade, taxa de diferenciação celular), o possível surgimento de tumores ou de um novo estado de equilíbrio. Eles concluem que as falhas no programa de morte ou diferenciação celular disseminam um tumor quando atingem a população de CT, pois levam a um crescimento exponencial da população. Quando as células sujeitas a essas falhas são as semidiferenciadas, pode haver desenvolvimento de tumor ou um novo valor de equilíbrio. As falhas ocorridas na população de células especializadas não geram tumores e um novo equilíbrio é encontrado.

Spencer et al (2004) [30] sugerem um modelo para a ação das mutações nas células somáticas normais na disseminação do câncer. O modelo proposto considera quatro tipos de mutações  promotora da angiogênese, alteração na taxa de morte celular, instabilidade genética e alteração na taxa de divisão celular  e explora como a ordem dessas mutações inuencia a origem e desenvolvimento de câncer. Os autores concluem que as mutações em genes que mantêm a instabilidade genética são as mais deletérias para o tecido.

O modelo apresentado por Ganguly & Puri (2006) [14] considera a origem do câncer devido a mutações em células-tronco e semidiferenciadas. No modelo proposto, a popu-lação celular está dividida em sete subcompartimentos, divididos entre células-tronco, semidiferenciadas e maduras, sendo separadas entre sadias ou mutantes. O modelo matemático utiliza equações diferenciais para a evolução temporal da população. Os au-tores estudam vários cenários nos quais células-tronco e semidiferenciadas estão sujeitas a mutações e concluem que as mutações são mais signicativas para o desenvolvimento de tumores quando acontecem no compartimento de células-tronco e no compartimento de células semidiferenciadas, nessa ordem.

O modelo mais recente tomado como referência para nosso trabalho foi descrito por Ashkenazi et al (2008) [4]. Eles apresentam uma modelagem que investiga os caminhos para o desenvolvimento de tumores baseada, também, em equações diferenciais. Con-sideram que a arquitetura do tecido composto por células-tronco, semidiferenciadas e maduras, assume um papel importante na tumorigênese. O modelo simula o efeito progressivo de três mutações essenciais para a origem de tumores: desregulagem da proliferação celular, dada pela capacidade inusitada de auto-renovação ou insensibili-dade aos sinais de anti-crescimento; evasão a morte programada, que diminui a taxa de mortalidade celular; e instabilidade genética, que aumenta a taxa de mutação. As simulações mostram que a ordem em que as mutações ocorrem é crucial para determinar o desenvolvimento do tumor. Os autores vericam o efeito de diversas combinações nas sequências de mutações na geração de câncer e constatam que a pior delas é aquela na qual a instabilidade genética ocorre primeiro.

Os modelos citados aqui conrmam a hipótese de que as mutações desempenham papel fundamental na carcinogênese, especialmente quando essas atingem a população de CT. Alguns autores, como Tomlinson e Bodmer (1995) [33], consideram três com-partimentos celulares: CT, CSD e CE. Em nosso modelo, também consideramos esses compartimentos e analisamos o efeito causado por mutações em cada um deles. Assim como Ashkenazi et al (2008) [4] e Spencer et al (2004) [30], analisamos o efeito das seqüências de mutações na geração do câncer. Consideramos, também, a reprodução de células senescentes mediante mutações.

O principal objetivo desta dissertação é propor um modelo matemático e computa-cional que pretende estabelecer possíveis vínculos entre o papel desempenhado pelas células especializadas, semidiferenciadas e pelas células-tronco na manutenção estrutu-ral e genética de tecidos vivos saudáveis, bem como no eventual desenvolvimento de tumores via acúmulo de mutações. Pretendemos, em particular, comparar a eciência dos processos tumorais que se originam de mutações especícas em cada população  CT, CSD e CE; comparar o efeito progressivo do acúmulo sequencial de mutações e vericar a ação da violação à senescência na origem e no desenvolvimento de tumores.

Neste capítulo, zemos uma pequena introdução ao tema e apresentamos uma breve revisão bibliográca. No próximo capítulo, descrevemos os modelos matemático e com-putacional e abrange o estudo analítico das equações. O Capítulo 3 é dedicado à análise do modelo, incluindo o estudo sobre reprodução de células senescentes. A análise das mutações sequenciais está no Capítulo 4. Por m, dedicamos o último capítulo às con-siderações nais e perspectivas para trabalhos futuros.

Capítulo 2

Modelo Matemático

O modelo que apresentamos é baseado em alguns modelos de dinâmica populacional celular [21, 24, 33]; nas propriedades das células-tronco [2, 10, 22, 34] e na conexão recentemente evidenciada entre células-tronco e câncer [3, 4, 7, 14, 15, 19, 26, 28]. Nosso modelo matemático é discreto e determinístico. Descrevemos a dinâmica populacional celular num tecido virtual. A população celular está divida em três grupos:

• células-tronco adultas, denotadas por CT , que correspondem a cerca de 0,0001% [4] a 0,01% [2] da população celular total de um tecido. Suas principais caracterís-ticas são a alta plasticidade e a capacidade de divisão ilimitada. As células-tronco podem passar por três tipos de divisão [23]: auto-renovação simétrica, resultando em duas células-tronco; divisão assimétrica, resultando em uma célula-tronco e uma semidiferenciada; e diferenciação simétrica, dando origem a duas células se-midiferenciadas. No nosso modelo, estamos considerando apenas a divisão e a diferenciação simétricas;

• células semidiferenciadas ou progenitoras, denotadas por CSD. Estas células pos-suem menor plasticidade que as CT e capacidade de auto-renovação limitada [2]. As CSD passam por um período de maturação até se diferenciarem total-mente, quando, sob controle de certos sinais, tornam-se células especializadas [8]. Chamamos de L o número de divisões celulares por que passam as CSD durante

o período de maturação;

• células especializadas ou totalmente diferenciadas, com capacidade reduzida de auto-renovação. Essas células passam por um número restrito de mitoses (H) e, quando atingem o Limite de Hayick, entram em senescência e param de se dividir. Denotamos este tipo por CE.

Apresentamos a dinâmica populacional de cada uma dessas populações. A estru-tura geral da modelagem foi baseada nos modelos propostos por Thomlison & Bodmer (1995)[33], Ganguly & Puri (2006) [14], Ashkenazi et al (2008)[4] e Spencer et al (2004) [30]. Os parâmetros utilizados nessa modelagem são apresentados na Tabela 2.0.1. Nas equações, T , S e E referem-se, respectivamente, às populações de células-tronco, semi-diferenciadas e especializadas.

Tabela 2.0.1: Parâmetros utilizados na modelagem

Parâmetro Representação taxa de mitose de CTs αT taxa de mitose de CSD αS taxa de mitose de CE αE taxa de mortalidade de CT βT taxa de mortalidade de CSD βS taxa de mortalidade de CE βE

taxa de diferenciação das CT γT

taxa de diferenciação das CSD γS

taxa de mutação de CT δT

taxa de mutação de CSD δS

taxa de mutação de CE δE

número de divisões das CSD L número de divisões das CE H

Embora fatores externos desempenhem um importante papel no surgimento de tu-mores [35], restringimo-nos aqui à origem do câncer determinada pelo acúmulo de

mu-tações genéticas no DNA da célula. Neste modelo, consideramos que as mumu-tações ocor-rem somente durante o processo de divisão celular. Preocupamo-nos, também, em consi-derar os efeitos de tais mutações na dinâmica celular, ou seja, alterações nos valores dos parâmetros causadas por mutações que ocasionam o aumento da população maligna.

Consideramos como sadias as células que não possuem nenhuma mutação acumulada em seu DNA. Hanahan e Weinberg (2000) [17] consideram, como mencionado no Capí-tulo 1, seis tipos de mutações e a instabilidade genética como essenciais para a origem e disseminação de tumores. Essas mutações resultam de alterações nas interações entre células e o microambiente em que vivem. Em nosso modelo, essas interações são consi-deradas de modo efetivo, isto é, alterando os valores dos parâmetros listados na Tabela 2.0.1. No Capítulo 4, tratamos de processos tumorais originados por acúmulo sequencial dessas mutações.

Nesse trabalho são feitas certas hipóteses sobre as taxas que podem parecer arbi-trárias, mas que podem sem simplesmente interpretadas como adaptações naturais do sistema para garantir o funcionamento adequado do tecido sadio.

Como citado anteriormente, o modelo matemático que propomos está dividido por populações celulares. Apresentamos as equações de evolução temporal para cada uma delas: CT, CSD e CE, sujeitas ou não a mutações. Para as populações de CSD e CE, também consideramos o número de divisões celulares por que passaram. As próximas seções são dedicadas à apresentação das equações e ao estudo analítico das mesmas. Na última seção deste capítulo, apresentamos o modelo computacional utilizado nas simulações.

2.1 Células-tronco

O modelo para dinâmica populacional das CT que apresentamos é baseado nas seguintes considerações:

celular seguida de diferenciação (taxa γT); (iii) auto-renovação (taxa αT). Durante

o processo de divisão celular, as células-lhas geradas em (ii) e (iii) podem sofrer uma mutação adicional (taxa δT). Consideramos, também, que há uma parcela

(1 − αT − βT − γT) da população de CT que, do instante t para t + 1, permanece

inativa.

• Conforme citado anteriormente, a população de CT sofre divisão e diferenciação simétricas, ou seja, as células-lhas geradas pertencem, ambas, à mesma categoria: CT ou CSD.

• Os fatores que regulam a proliferação de CT, tais quais interações célula-célula mediadas pela membrana celular e fatores externos como o microambiente [22, 34], estão implícitos nos valores dos parâmetros.

A Figura 2.1.1 apresenta um esquema representativo das ações às quais as CT estão sujeitas.

A população total de CT está distribuída em subcompartimentos caracterizados pelo número de mutações (m) acumuladas em seu DNA. Apresentamos as equações para os casos em que: (i) a população não apresenta mutações (m = 0); (ii) a população possui entre 1 e M − 1 mutações, em que M é o número máximo de mutações admitidas (0 < m < M); e (iii) a população atingiu o máximo de mutações permitido pelo modelo e não sofrerá mais nenhuma mutação (m = M). Nas equações que se seguem, o sobrescrito corresponde a m, o número de mutações acumuladas. A população total de CT é o somatório de todas as populações dos sub-compartimentos citados.

Caso (i): m = 0

A evolução temporal da população de CT que não apresenta mutações é dada pelas células inativas sadias, acrescidas daquelas que se auto-renovaram sem sofrer mutação.

Figura 2.1.1: Esquema representativo das ações sofridas pelas Células-Tronco (CT). m representa o número de mutações. αT, γT, βT, δT representam, respectivamente, taxa de mitose sem diferenciação,

taxa de mitose seguida de diferenciação, taxa de mortalidade e taxa de mutação. 1-βT-αT-γT são as

Assim, a população de CT no instante t + 1 está relacionado à população de CT no instante t por T_t+1(0) = [(1 − β_T(0)− α(0)_T − γ_T(0)) + 2α(0)_T (1 − δ_T(0))]T_t(0) (2.1) = [1 − β_T(0)+ α(0)_T − γ_T(0)− 2α_T(0)δ_T(0)]T_t(0). O termo (1 − β(0) T − α (0) T − γ (0)

T ) refere-se às CT inativas e o termo 2α (0) T (1 − δ

(0) T ), às

CTs lhas geradas no processo de auto-renovação.

Os mecanismos reguladores da divisão e diferenciação das CT, no modelo proposto, estão implícitos na taxa de conversão de CT para CSD. Sabemos que as CT constituem um importante reservatório celular [2]. Assim, consideramos em nosso modelo que a população de CT sadias funcione como um reservatório celular com um número constante de células, ou seja,

T_t+1(0) = T_t(0). (2.2)

Com a nalidade de garantir a sobrevivência desse reservatório, escolhemos para taxa de diferenciação a expressão

γ_T(0) = α(0)_T − β_T(0)− 2α(0)_T δ_T(0). (2.3)

Caso (ii): 0 < m < M

Para a população que apresenta mutações acumuladas, a equação para evolução tem-poral será dada pelos mesmos termos da equação anterior, desta vez para m mutações, acrescida do termo que contém as CT, com uma mutação a menos, que, do instante t para o instante t + 1, sofreram mitose acompanhada de mutação. Assim, apresentamos a seguinte equação

T_t+1(m) = [(1 − β_T(m)− α(m)_T − γ_T(m)) + 2α(m)_T (1 − δ_T(m))]T_t(m)+ 2α_T(m−1)δ_T(m−1)T_t(m−1) (2.4) = [1 − β_T(m)+ α(m)_T − γ_T(m)− 2α_T(m)δ_T(m))]T_t(m)+ 2α(m−1)_T δ(m−1)_T T_t(m−1). Caso (iii): m = M

Como nosso modelo limita o número de mutações que uma célula pode acumular, consideramos, neste caso, que a taxa de mutação é nula, isto é, δ(M )

T = 0. Desta forma,

temos a seguinte equação

T_t+1(M ) = [1 − β_T(M )+ α(M )_T − γ_T(M )]T_t(M )+ 2α(M −1)_T δ_T(M −1)T_t(M −1). (2.5)

Para as populações dos casos (ii) e (iii), retiramos a restrição imposta pela Equação 2.3 e passamos, então, a considerar a seguinte condição adaptativa

γ_T(m) = α(m)_T . (2.6)

Alguns autores, como Ashkenazi et al (2008) [4], consideram que a taxa de divisão celular e a taxa de diferenciação simétricas são iguais. Como, em nosso modelo, não consideramos a taxa de divisão celular assimétrica, adotamos a expressão 2.6 para os casos em que m 6= 0. Para m = 0 consideramos a expressão 2.3 para, desse modo, garantir que a população no reservatório de CT sadias permaneça constante, conforme descrito anteriormente.

A população total de CT é, então, dada pelo somatório das células de todos esses subcompartimentos. Fazendo as substituições e cancelamentos adequados, obtemos

T_t+1tot = T_ttot−

M

X

m=1

2.2 Células semidiferenciadas

A dinâmica desta população está baseada nas seguintes considerações:

• Analogamente às CT, as CSD também estão sujeitas às seguintes ações: (i) morte (taxa βS); (ii) divisão celular seguida de diferenciação (taxa γS); (iii)

auto-renovação (taxa αS). Durante o processo de divisão celular, as células-lhas

ge-radas em (ii) e (iii) podem sofrer uma mutação adicional (taxa δT). Para esse

compartimento, também consideramos a possibilidade de uma parcela da popula-ção (1 − αS− βS− γS) permanecer inativa.

• CSD possuem um número limitado, L, de divisões celulares [4, 14], ou seja, passam por um período de maturação até sua total diferenciação, quando são promovidas ao compartimento de CEs. No nosso modelo, uma CSD só é promovida à categoria de CE quando cumpre todas as etapas de diferenciação, isto é, quando passa por L divisões celulares. Vale ressaltar que essa é uma diferença em relação ao trabalho de Ganguly e Puri (2006) [14], que considera possível a promoção de uma CSD, mesmo que essa não tenha passado por todas as divisões celulares admitidas pelo modelo.

• Assim como as CT, os fatores que regulam a proliferação de CSDs, como inter-ações célula-célula mediadas pela membrana celular e fatores externos como o microambiente [22, 34], estão implícitos nos valores dos parâmetros.

• Consideramos que as CSD não sofrem perda telomérica durante as divisões celu-lares, devido ao alto poder replicativo que possuem em relação às células especia-lizadas.

O uxo e as ações sofridas pelo população de CSD estão representadas na Figura 2.2.1.

Figura 2.2.1: Esquema representativo das ações sofridas pelas células semidiferenciadas (CSD). A primeira gura mostra as ações sofridas pelas CSD no período de maturação. A segunda, representa as ações sofridas pelas CSD na última etapa da diferenciação. m representa o número de mutações e y o número de divisões celulares, com 0 ≤ y ≤ L. αS, γS, βS, δS representam, respectivamente, taxa

de mitose sem diferenciação, taxa de mitose seguida de diferenciação, taxa de mortalidade e taxa de mutação. 1 − βS− αS− γS corresponde à taxa de inatividade.

Para as CSD, admitimos que a taxa de conversão de CSD para CE é igual à taxa de divisão celular, ou seja,

γ_S(m) = α(m)_S . (2.8)

Esta escolha é a mesma feita para as CT com m 6= 0 (Equação 2.6) e, portanto, é justicada da mesma maneira, ou seja, em cada mitose, as probabilidades de auto-renovação e diferenciação são iguais.

Dividimos as equações de acordo com o número de divisões celulares sofridas, y, com 0 ≤ y ≤ L, e, também de acordo com o número de mutações acumuladas. Por isso, as equações que se seguem carregam dois sobrescritos: o primeiro corresponde ao número de mutações acumuladas e o segundo, ao número de divisões sofridas. O modelo matemático sugerido está dividido da seguinte forma: (i) células que não acumulam mutações (m = 0) e (ii) células que possuem mutações acumuladas em seu DNA (0 < m ≤ M).

Caso (i) : m = 0 Esta população está dividida em três subpopulações: (1) células recém chegadas a este compartimento, que ainda não sofreram divisão celular enquanto célula semidiferenciada (y = 0); (2) células que estão no período de maturação (0 < y < L); e (3) células que completaram a diferenciação e passarão a constituir a população de células diferenciadas (y = L). A seguir, apresentamos as equações para cada uma destas subpopulações.

(1) y = 0: A equação de evolução temporal é constituída por dois termos: o primeiro, referente à população celular inativa e o segundo, às células recém chegadas a este compartimento, oriundas da diferenciação das células-tronco sem mutação, ou seja,

(2) 0 < y < L: Dois termos constituem esta equação: o primeiro, relativo às células inativas e o segundo, relativo às próprias células semidiferenciadas, no período de maturação, que passaram por divisão celular, sem sofrer mutação

S_t+1(0,y) = [1 − β_S(0)− α(0)_S ]S_t(0,y)+ 2α_S(0)(1 − δ(0)_S )S_t(0,y−1). (2.10)

(3) y = L: Nesta equação, acrescentamos o termo referente à perda de células deste compartimento para o de células especializadas, representado pelo parâmetro γS:

S_t+1(0,L) = [1 − β_S(0)− α(0)_S − γ_S(0)]S_t(0,L)+ 2α(0)_S (1 − δ_S(0))S_t(0,L−1). (2.11)

Mostramos, na seção 2.4.2, que a população total de células semidiferenciadas sem mutação pode, também, atingir um valor de equilíbrio.

Caso (ii): m ≥ 0

As células deste compartimento acumulam mutações em seus genes. Este caso tam-bém é dividido de acordo com o número de divisões celulares sofridas: (1) nenhuma divisão celular neste compartimento (y = 0); (2) período de maturação (0 < y < L) e; (3) células prontas para se tornarem especializadas (y = L). A seguir, temos as respectivas equações de evolução temporal das populações.

(1) y = 0: Esta população é constituída por células-tronco que possuíam uma mutação a menos e, ao passarem por divisão celular, acumularam mutação adicional; por células-tronco que possuíam m mitoses e que passaram por divisão celular sem mutação adicional, somadas às células semidiferenciadas inativas do próprio compartimento. A equação para evolução temporal é dada por

S_t+1(m,0)= [1 − β_S(m)− α(m)_S ]S_t(m,0)+ 2γ_T(m)(1 − δ(m)_T )T_t(m)+ (2.12) 2γ_T(m−1)δ(m−1)_T T_t(m−1).

(2) 0 < y < L: Neste compartimento temos, além das células semidiferenciadas inativas, aquelas que possuiam uma mutação a menos e, ao se dividirem, acumularam

mutação adicional e, também, por aquelas que já possuíam m mutações e que passaram por divisão celular sem mutação adicional. A equação é a seguinte

S_t+1(m,y) = [1 − β_S(m)− α(m)_S ]S_t(m,y)+ 2α(m)_S (1 − δ(m)_S )S_t(m,y−1) (2.13) +2α(m−1)_S δ_S(m−1)S_t(m−1,y−1).

(3) y = L: Neste compartimento, há ainda, a perda de células para o compartimento de células especializadas:

S_t+1(m,L) = [1 − β_S(m)− α(m)_S − γ_S(m)]S_t(m,L)+ 2α(m)_S (1 − δ_S(m))S_t(m,L−1) (2.14) +2α(m−1)_S δ_S(m−1)S_t(m−1,L−1).

É possível mostrar (seção 2.4.2) que cada uma das subpopulações descritas pelas equações 2.12, 2.13 e 2.14 pode evoluir para um estado de equilíbrio.

A expressão acima mostra que a variação de S(m)

t depende de termos que competem

entre si e, portanto, um valor de equilíbrio pode ser alcançado.

2.3 Células especializadas

Para a população de células especializadas, consideramos, como nas semidiferenciadas, o número de mutações acumuladas e o número de mitoses pelo qual já passou sua linhagem.

Para estas células, em cada divisão celular há perda telomérica e, em condições normais, uma célula se divide cerca de 50 vezes até entrar em senescência [18]. Esse mecanismo garante a qualidade genética da célula.

No nosso modelo, as CEs, assim como as demais, estão sujeitas a mutações restritas à divisão celular. Assumimos que cada célula pode acumular, no máximo, M mutações, tornando-se, a partir daí, uma célula cancerígena. Estas células podem adquirir potencial de auto-renovação e não entrar em senescência, extrapolando, assim, o Limite de Hayick

(H). Neste modelo, admitimos que a única população que pode exceder H é a população que acumula o número máximo de mutações. Nossas simulações consideram as duas possibilidades: obter ou não essa capacidade de auto-renovação.

O modelo matemático que sugerimos para descrever a dinâmica populacional das CE está dividido em três casos: (i) m = 0, ou seja, considera a subpopulação de células especializadas sadias, que não possui mutações acumuladas; (ii) 0 < m ≤ M, constituída pelas células que acumulam mutações e entram em senescência após H divisões; e (iii) 0 < m < M e m = M para o caso em que, após H divisões, as células adquirem potencial de auto-renovação. A seguir, apresentamos as equações para cada um dos caso. Nelas, o primeiro sobrescrito indica o número de mutações acumuladas e o segundo, o número de divisões celulares sofridas.

Caso (i): m = 0

Esta população é constituída por células sadias, que possuem integridade genética. Consideramos dois casos possíveis: (1) células que ainda não passaram por divisão celular neste compartimento (x = 0) e (2) células com x mitoses acumuladas, com 0 < x < H.

1. (x = 0): Num instante t + 1, esta população é constituída pelas células inativas no tempo t, somadas às células recém-diferenciadas sadias que, agora, passam a constituir esta população.

E_t+1(0,0)= (1 − β_E(0)− α(0)_E )E_t(0,0)+ 2γ_S(0)(1 − δ_S(0))S_t(0,L). (2.15) O primeiro termo desta equação é refente à população de CEs inativas e o segundo, às células recém-diferenciadas.

2. (0 < x < H): Esta população é constituída por células especializadas que acumu-lam, no máximo, H − 1 mitoses em sua linhagem. Quando alcançam esse limite, entram em senescência e param de se dividir. Num instante t + 1, esta população é dada por E_t+1(0,x) = (1 − β_E(0)− α(0)_E )E_t(0,x)+ 2αE(1 − δ (0) E )E (0,x−1) t . (2.16)

O primeiro termo do lado direito corresponde à população de células inativas no tempo t e o segundo, às células oriundas da divisão celular das próprias CE sem mu-tações.

Caso (ii): 0 < m ≤ M

As células que compõem esta subpopulação possuem mutações acumuladas em seus genes e, após H − 1 divisões celulares, entram em senescência, encerrando, assim, o processo de divisão celular. Podemos dividir essa população em dois grupos: (1) células que ainda não passaram por mitose depois de se especializarem (x = 0) e (2) células que já sofreram divisão celular.

1. (x = 0): A equação de evolução temporal para este grupo apresenta três termos: o primeiro relativo às células especializadas inativas, o segundo e o terceiro dados pelas células recém-especializadas, que sofreram mitose sem mutação adicional e com mutação adicional, respectivamente, isto é,

E_t+1(m,0) = (1 − β_E(m,0)− α_E(m))E_t(m)+ 2γ_S(m,L)(1 − δ_S(m))S_t(m,L) (2.17) +2γ_S(m−1)δ_S(m−1)S_t(m−1,L).

2. (0 < x < H): Neste caso, além das células inativas, temos a adição dos termos que representam as células que já possuíam m mutações e se dividiram sem mu-tação adicional e aquelas que possuíam uma mumu-tação a menos e sofreram mitose acompanhada de mutação. Temos, então, a seguinte equação

E_t+1(m,x) = (1 − β_E(m)− α(m)_E )E_t(m,x)+ 2α(m)_E (1 − δ_E(m))E_t(m,x−1)+ (2.18) 2α(m)_E δ_E(m)E_t(m−1,x−1).

Caso (iii): 0 < m ≤ M e x = H

Para as células desta população que não possuem M mutações acumuladas em seu DNA, as equações que descrevem a evolução temporal serão as mesmas do caso anterior para x = 0 (Equação 2.18) e 0 < x < H (Equação 2.19). No entanto, quando acumulam

M mutações, essas células extrapolam o Limite de Hayick e adquirem potencial auto-replicativo. Neste caso, temos a seguinte equação

E_t+1(M,H) = (1 − β_E(M )− α(M )_E )E_t(M,H)+ 2α(M )_E  E_t(M,H−1)+ E_t(M,H)  + (2.19) 2α(M −1)_E δ_E(M −1)E_t(M −1,H−1).

2.4 Estudo analítico das equações

Nesta seção, analisamos as equações apresentadas na Seção 2.1, 2.2 e 2.3 com o intuito de mostrar que cada compartimento  CT, CSD e CE  pode atingir uma população de equilíbrio. Embora seja possível obter a expressão para a população de equilíbrio de cada compartimento, a estabilidade desse equilíbrio não foi analisada devido ao grande número de parâmetros envolvidos.

Consideramos, também, um caso especial em que os parâmetros de cada compar-timento são independentes de m, o número de mutações acumuladas. Para esse caso, é possível fazer estimativas dos valores de equilíbrio. Essa estimativa foi usada para validar o programa computacional.

O estudo das equações está dividido por populações: células-tronco, células semidi-ferenciadas e células especializadas, apresentados a seguir.

2.4.1 Células-Tronco

A condição imposta γ(0)

T , Equação 2.3, garante que a subpopulação de CT sem

mu-tação permaneça constante. População com m 6= 0:

∆T_t(m) = − h

β_T(m)+ 2α(m)_T δ_T(m) i

T_t(m)+ 2α(m−1)_T δ_T(m−1)T_t(m−1), (2.20) em que usamos a condição adaptativa α(m)

T = γ

(m)

T (m 6= 0), como descrito na Seção

2.6. Observamos que ∆T(m)

t depende de dois termos que competem entre si: a taxa

de mortalidade da subpopulação de CT com m mutações e a perda de células desse compartimento que sofrem mutação ao se dividirem contribuem para uma variação ne-gativa. Por outro lado, a introdução de células adivindas do compartimento com uma mutação a menos contribui para o crescimento da subpopulação T(m)_{. Concluímos que}

cada subpopulação pode atingir um valor de equilíbrio especicado por

T_eq(m) = 2α (m−1) T δ (m−1) T β_T(m)+ 2α(m)_T δ_T(m)T (m−1) eq , (2.21)

em que eq designa o estado de equilíbrio.

Vale observar que, para m = M, temos δ(M )

T = 0 já que, neste compartimento,

as células não estão mais sujeitas a mutações por terem alcançado o número máximo admitido.

A população total de CT é dada pela Equação 2.7 que contabiliza todas as subpopu-lações de CT. Como a subpopulação com m = 0 é mantida constante e as demais podem atingir um valor de equilíbrio, concluímos que a população total de CT também pode alcançar o equilíbrio. De fato, a variação desta população total é

∆T_ttot = −

M

X

m=1

β_T(m)T_t(m)+ 2α_T(0)δ_T(0)T_t(0). (2.22) Podemos obter a expressão para a população total de CT no equilíbrio usando as Equações 2.2 e 2.21. Assim, obtemos

T_eqtot = βT + 2αTδT βT

T_eq(0). (2.23)

número de CT sem mutações.

2.4.2 Células Semidiferenciadas

A Equação 2.9 permite concluir que a população CSD, sem mutação e recém chegada a esse subcompartimento, alcança um valor de equilíbrio dado por

S_eq(0,0) = 2γ (0) T (1 − δ (0) T ) α(0)_S + β_S(0) T (0) eq , (2.24)

que, como esperado, depende da subpopulação de CT sem mutação.

Durante o período de maturação das CSD com m = 0 e 0 < y < L, a Equação 2.10 leva, no equilíbrio, à expressão

S_eq(0,y) = θ_S(0)S_eq(0,y−1)=hθ_S(0)iyS_eq(0,0) (2.25) onde denimos θ(0)_S = 2α (0) S (1 − δ (0) S ) β_S(0)+ α(0)_S . (2.26)

Para y = L, da Equação 2.11, obtemos, no equilíbrio,

S_eq(0,L) = α (0) S + β (0) S 2α(0)_S + β_S(0) θ_S(0)S_eq(0,L−1)= α (0) S + β (0) S 2α(0)_S + β_S(0) h θ(0)_S iLS_eq(0,0). (2.27) As Equações 2.24, 2.25 e 2.27 explicitam a dependência de cada subpopulação de CSD sem mutação com a população de CT com m = 0. Somando essas equações podemos obter, após algumas manipulações, a expressão para o valor de equilíbrio de CSD S_eq(0) = 2γ (0) T (1 − δ (0) T ) α(0)_S (1 − 2δ_S(0)) − β_S(0) ( h θ(0)_S iLα (0) S (3 − 2δ (0) S ) 2α(0)_S + β_S(0) − 1 ) T_eq(0). (2.28)

Os valores dos parâmetros que aparecem nessa equação são apresentados nos Capí-tulos 3 e 4 (Tabelas 3.1.1, 4.2, 4.4, 4.3 e 4.1) e podemos, assim, fazer uma estimativa do valor de equilíbrio da população de CSD com m = 0. Esse procedimento foi usado para validar o programa computacional.

População com m 6= 0 :

Usando as Equações 2.12, 2.13 e 2.14, podemos obter uma expressão para a variação da população total de CSD com m mutações acumuladas em seu DNA,

∆S_t(m) =α(m)_S − β_S(m)− 2α(m)_S δ_S(m)S_t(m)−γ_S(m)+ 2α(m)_S (1 − δ(m)_S )S_t(m,L)+ (2.29) 2α_S(m−1)δ_S(m−1)S_t(m−1,L−1)− S_t(m−1,L) + 2γ(m) T (1 − δ (m) T )T (m) t + γ (m−1) T δ (m−1) T T (m−1) t 

A expressão acima mostra que ∆S(m)

t depende de termos que competem entre si e,

portanto, um valor de equilíbrio (∆S(m)

eq = 0) pode ser atingido. Esse valor de equilíbrio

é S_eq(m) = 1 α(m)_S − β_S(m)− 2α(m)_S δ_S(m)  γ(m) S + 2α (m) S (1 − δ (m) S )S (m,L) eq − (2.30) 2α(m−1)_S δ_S(m−1)S_eq(m−1)− S_eq(m−1,L) − 2γ_T(m)(1 − δ(m)_T )T_eq(m)+ γ_T(m−1)δ_T(m−1)T_eq(m−1)  .

Essa equação é bastante complexa porque depende dos parâmetros e das populações dos compartimentos CT e CSD. Um caso especial de interesse para esse trabalho cor-responde a considerar mutação apenas no compartimento CT, isto é, δ(m)

S = δ

(m)

E = 0.

Nesta situação, obtemos

S_eq(m) = 2 α(m)_S − β_S(m) n 3α(m) S 2α(m)_S + β_S(m)θ (L) S − 1 o (2.31) γ(m) T (1 − δ (m) T )T (m) eq + γ (m−1) T δ (m−1) T T (m−1) eq ,

onde denimos θ_S(m)= 2α (m) S α(m)_S + β_S(m). (2.32) A expressão para T(m)

eq é dada pela Equação 2.21. Dessa forma, usando os valores de

parâmetros apresentados no Capítulo 3, podemos estimar os valores de S(m)

eq e, mais uma

vez, validar o programa computacional.

2.4.3 Células Especializadas

De acordo com nosso modelo, essa população entra em senescência após H divisões. A Equação 2.15 permite concluir que o valor de equilíbrio da subpopulação com m = x = 0, E_eq(0,0) = 2γ (0) S (1 − δ (0) S ) α(0)_E + β_E(0) S (0,L) eq , (2.33)

depende das células no compartimento CSD que não sofreram mutação e que comple-taram o período de maturação nesse compartimento. Por sua vez, S(0,0)

eq depende da

população de células-tronco, T(0)

eq , como mostram as Equações 2.24 e 2.27.

Para as subpopulações de equilíbrio de CE com m = 0 que sofreram x divisões (0 < x < H), da Equação 2.16, obtemos

E_eq(0,x)=hθ(0)_E i

x

E_eq(0,0), (2.34)

na qual, como antes, denimos

θ(0)_E = 2α (0) E (1 − δ (0) E ) β_E(0)+ α(0)_E . (2.35)

Usando as Equações 2.33 e 2.34 obtemos a expressão para a população total de equilíbrio das CE sem mutação

E_eq(0) = h θ_E(0) iH − 1 θ_E(0)− 1 E (0,0) eq . (2.36)

É Importante observar que E(0)

eq > 0para θ_E(0) > 1e para θ(0)_E < 1, ou seja, o equilíbrio

existe para α(0) E > β (0) E , α (0) E = β (0) E e para α (0) E < β (0) E .

Mais uma vez, o caso especial de um tecido saudável, (δ(m)

T = δ

(m)

S = δ

(m)

E = 0),

discutido na Seção 3.1, foi usado para validar o programa computacional.

População com m 6= 0 e que não ultrapassa o Limite de Hayick:

As Equações 2.18 e 2.19 permitem obter expressões para os valores de equilíbrio das subpopulações com m mutações acumuladas e que sofreram x (0 ≤ x < H) divisões. A expressão para a população total de equilíbrio de CE com m mutações é dada por

E_eq(m) = 2 α(m)_E − β_E(m)− 2α_E(m)δ_E(m)  α(m)_E (1 − δ_E(m))E_eq(m,H−1)− (2.37) α(m−1)_E δ(m−1)_E E_eq(m−1)− E_eq(m−1,H−1) − γ_S(m)(1 − δ_S(m))S_eq(m,L)+ γ_S(m−1)δ_S(m−1)S_eq(m−1,L)  .

Podemos obter uma expressão mais simples para o caso do tecido saudável (Seção 3.1). Após algumas manipulações, temos

E_eq(m) = 2γ (m) S α(m)_E − β_E(m)  θ(m) E H − 1  2α(m)_S 2α(m)_S + β_S(m)θ (m) S (L−1) 2γ (m) T α(m)_S + β_S(m)T (m) eq .

Como antes, observamos que o valor de equilíbrio de E(m) _{é positivo para θ}(m) E maior

ou menor que a unidade, ou seja, para α(m)

E maior, igual ou menor que β (m)

vemos que a relação α(m) E >> β

(m)

E acarretará em grande número de CE com m mutações,

o que pode levar à explosão celular.

População com m = M e que evita a senescência:

Discutimos, agora, o caso especial em que as células especializadas que acumularam o número máximo de mutações permitidas adquirem o poder de auto-renovação. Se somamos as Equações 2.18 e 2.20, obtemos a população total de células com M mutações e que adquirem potencial auto-replicativo. No entanto, a expressão para essa população é E_eq(M ) = 2 β_E(M )− α(M )_E  α(M −1)_E δ_E(M −1)E_eq(M −1)+ (2.38) γ_S(M )(1 − δ(M )_S Seq)(M,L)+ γ (M −1) S δ (M −1) S S (M −1,L) eq  .

Como todos os termos dentro de chaves são positivos, devemos ter β(M ) E > α

(M )

E para

que o equilíbrio previsto pela Equação 2.38 tenha signicado.

2.5 Modelo computacional

Para a solução numérica do nosso trabalho, implementamos um programa desenvolvido em PASCAL. Utilizamos a versão Dev-Pascal 1.9.2, com compilador Free Pascal v1.06. A máquina utilizada para implementação e execução do programa foi um Notebook Philco com processador Intel Pentium Dual-Core com 4 Gb de memória RAM.

O código utiliza as próprias equações em diferenças nitas descritas nas seções 2.1, 2.2 e 2.3, que são usadas como equações de recorrência nos ciclos de evolução temporal do modelo. Vários modelos matemáticos são desenvolvidos através de equações diferenciais. Para implementação, estas equações são discretizadas através do método de diferenças nitas. No entanto, nosso modelo matemático já foi desenvolvido utilizando equações

discretizadas e elas mesmas são usadas na implementação do programa. O programa desenvolvido foi assim constituído:

Etapa de inicialização: inicialização das populações de CT, CSD e CE e das taxas de mortalidade, divisão celular e mutação.

Ciclos de evolução temporal: constituído pelas seguintes etapas:

• soma e impressão das populações totais celulares;

• resolução das equações de recorrência para cada população celular: CT, CSD e CE;

• atualização das populações.

Nos arquivos de saída foram listadas as populações celulares de acordo com a análise desejada: populações totais por compartimento celular, número de células de acordo com o número de mutações acumuladas, número de células distribuídas pelo número de mitoses acumuladas. O intervalo de plotagem foi de 100 ciclos temporais.

O número de ciclos utilizados variou de acordo com a análise. Utilizamos um número de ciclos de modo que a estabilidade populacional fosse alcançada com certo intervalo de conança. Para o tecido saudável, cerca de 40 mil ciclos foram sucientes para encontrar a estabilidade. Os processos que incluem mutações, por serem mais complexos, exigiu um número maior de ciclos. Para eles, utilizamos 1 milhão de iterações.

Para tipos especícos de tecidos seria possível e necessário estimar exatamente o que signica o tempo de um ciclo em termos de horas ou dias. Nesse caso, os tempos totais de execução poderiam, também, ser comparados com idade e tempo de vida de uma pessoa. No entanto, nosso modelo não trabalha com um tecido especíco e, desta forma, não nos retemos a esta especicidade.

Capítulo 3

Análise do Modelo

Encontramos, na literatura, diversos valores para as taxas de divisão celular, mortalidade e diferenciação. Células de diferentes tecidos apresentam signicativas diferenças com relação às taxas de proliferação e morte. Células semidiferenciadas passam por diferentes números de divisões celulares até se tornarem totalmente maduras. As células do tecido hematopoiético, por exemplo, dividem-se cerca de 20 a 30 vezes antes de se tornarem especializadas [4], enquanto células do intestino passam apenas por 4 divisões [14]. Nós não consideramos um tecido em especíco e, desta forma, os valores utilizados são para um tecido virtual hipotético.

Para analisar o modelo, descrevemos e interpretamos as variações dos parâmetros e das condições iniciais dividindo em três grupos: tecido saudável, tecido com mutação e incorporação da reprodução das células senescentes.

3.1 Tecido saudável

Consideramos como saudável o tecido cujas células não sofrem mutações (δT = δS =

δE = 0) e que possui uma estrutura que, dependendo do tecido, guarda determinada

proporção entre cada população celular. As principais referências consultadas neste trabalho apresentam diferentes valores para cada uma das populações, assim como para o número de divisões celulares das CSD e das CE, mesmo porque esses valores dependem

do tecido considerado. Ashkenazi et al (2008) [4], por exemplo, cujo modelo é baseado em dados do tecido hematopoiético, assumem que o número de CT no tecido é 9×105 _{e de}

CE é 9×1011_{. Spencer et al (2004) [30] assumem que o número de células especializadas}

é da ordem de 108 _{e não consideram a população de células-tronco. Seus valores têm}

amparo em resultados para câncer de mama. De forma geral, encontramos, na literatura, que a população de CT representa entre 0,0001% [4] e 0,01% [2] da população total do tecido.

Os valores dos parâmetros dependem das necessidades de renovação do tecido [3]. Como nosso modelo foi elaborado para um tecido genérico que possui três compartimen-tos celulares  CT, CSD e CE  buscamos valores de parâmetros que levem à construção de um tecido saudável com 1 CT para cada 10 mil células. É desejável, também, que o tecido gerado pelo modelo possua um regime de equilíbrio populacional. No caso es-pecial do tecido saudável, vericamos a existência do equilíbrio populacional através do estudo analítico das equações apresentado na Seção 2.4. Buscamos, agora, valores para os parâmetros que preservem esta condição.

3.1.1 Escolha dos parâmetros

Dividimos a escolha dos parâmetros por compartimento celular: células-tronco, células semidiferenciadas e células especializadas. Nesta seção, não utilizamos o sobrescrito m nos parâmetros porque, nesse caso, apenas m = 0 tem signicado.

Células-tronco

Como já mencionado anteriormente, os vários modelos existentes na literatura utilizam valores signicativamente diferentes para cada parâmetro do modelo. Para a taxa de divisão celular das CT, αT, por exemplo, Tomlinson e Bodmer (1995) [33] usam 0, 5,

Ganguly e Puri (2006) [14] admitem uma faixa que varia entre 0, 4 e 0, 6 e Ashkenazi et al (2008) [4] usam 0, 0115. Diante da vasta possibilidade de escolha, adotamos este último para αT. Assim, o valor que utilizamos para βT é, também, o mesmo adotado por

Ashkenazi et al [4]. Como estamos considerando o caso sem mutação, a taxa de diferen-ciação das CT, γT foi determinada pela condição do modelo de manter xa a população

de CT sem mutação, funcionando como um reservatório, conforme mencionado na seção 2.1. Vale ressaltar que a escolha de um valor diferente para a αT implicaria na adoção de

outros valores para os demais parâmetros. No entanto, embora tais mudanças afetem o número total de células em cada compartimento celular, o comportamento qualitativo, isto é, a proporção entre as populações e o equilíbrio, não são alterados.

Células Semidiferenciadas

Alguns autores como Ganguly & Puri (2006) [14] utilizam a mesma taxa de divisão celular para CT e CSD. Portanto, para nossas simulações, adotaremos, também, αT =

αS. Para a taxa de mortalidade, βS, adotamos, novamente, os valores assumidos por

Ashkenazi et al (2008) [4]: βS = 0, 001. Vale observar que αT = αS, mas βT < βS;

Tomlinson e Bodmer (1995) [33] também admitem uma taxa de mortalide maior para a população de CSD. A escolha da taxa de diferenciação das CSD é uma consideração do modelo e foi descrita na seção 2.2.

Células especializadas

Para este compartimento celular, o número de dados encontrados foi menor já que a maioria dos modelos matemáticos analisados está voltado para a população de CT e CSD. Desta forma, partindo dos valores escolhidos para as outras populações  CT e CSD  procuramos determinar uma faixa de valores para αE e βE capaz de manter

uma proporção adequada de CT na população (0,01%). Já apresentamos, na seção 2.4, o papel desempenhado por estes parâmetros: existe equilíbrio populacional para αE < βE,

αE = βE e αE > βE. Nossas simulações mostram que a proporção celular desejada é

obtida quando esses parâmetros, αE e βE, assumem um dado valor na faixa entre 0,0055

e 0,0065. αE e βE podem ser iguais  como admitido por Spencer et al (2004) [30] 

ou ligeiramente diferentes. O gráco da Figura 3.1.1 apresenta as variações e a faixa de valores encontrados.

Figura 3.1.1: Variação das taxas de mortalidade (βE) e divisão celular (αE) das células especializadas.

O gráco apresenta a variação da taxa de divisão celular, αE, com a taxa de mortalidade xa, βE =

0, 006(linha contínua) e a variação da taxa de mortalidade, βE, com αE= 0, 006xo (linha pontilhada).

A área hachurada mostra a variação das taxas que mantém a proporção de CT entre 0, 01% e 0, 0001%.

A Figura 3.1.1 mostra que, em nosso modelo, existe uma faixa de variação para αE e

βE que mantém a proporção de CT admitida. Esses parâmetros podem sofrer variações

sem que a estabilidade seja perdida. No entanto, se essas taxas se afastarem muito, haverá explosão celular (αE >> βE) ou extinção da população (αE << βE): ambas as

situações são indesejáveis.

Considerando a faixa de variação das taxas αE e βE admitida, passamos, então, a

analisar a comportamento populacional e a qualidade genética do tecido para as três situações: αE < βE, αE = βE e αE > βE. Vale lembrar que uma das etapas da mitose

é a duplicação do material genético da célula-mãe que constitui um processo complexo e minuncioso, que carrega certa probabilidade de erro. Entendemos que a qualidade genética do tecido será melhor quanto menor for o número de células cuja linhagem

acumula muitas mitoses. Desta forma, para analisar a qualidade genética do tecido, observamos, no estado de equilíbrio, a distribuição das células de acordo com o número de mitoses acumuladas.

Para o primeiro caso, αE < βE, através da Figura 3.1.2, observamos que todos

os compartimentos celulares  CT, CSD e CE  atingem um estado de equilíbrio. A população total celular, no equilíbrio, é um pouco maior que 10 mil e o número total de CT não varia: é igual a 1, constituindo, assim, cerca de 0,01% da população total. O tecido apresenta boa qualidade genética nesta situação, uma vez que o número de células diminui à medida que o número de mitoses acumuladas aumenta.

Neste caso, αE < βE, observamos o decaimento sensível do número de células à

medida que o número de mitoses acumuladas aumenta, implicando que, mesmo a longo prazo, haverá uma quantidade majoritária de células com poucos defeitos. A taxa de mortalidade é responsável por retirar do sistema aquelas células que possuem muitas mitoses acumuladas em seu gene. A reposição das células mortas é feita por células recém diferenciadas, que possuem boa qualidade genética, pois ainda não tiveram perda telomérica. Isto garante a boa qualidade genética do tecido.

A Figura 3.1.3 apresenta os grácos da distribuição populacional por compartimento e da qualidade genética do tecido para αE = βE. A população total chega a atingir

quase 25 mil células, sendo a população de CT constante e igual a 1, correspondendo a cerca de 0,004% da população total. A qualidade genética é razoável, já que o número de células está igualmente distribuído: se mantém xo para todos os números de mitoses acumuladas.

Como as taxas de mortalidade e divisão celular são iguais, a reposição das células mortas é constante, mantendo constante o número de células por mitoses acumuladas.

Figura 3.1.2: Evolução das popoulações e qualidade genética para αE < βE. O primeiro gráco

mostra a evolução das populações quando αE < βE e o segundo mostra a qualidade genética da

população celular de equilíbrio para a mesma situação. Taxas utilizadas: αE = 0, 006, βE = 0, 0065,

Figura 3.1.3: Evolução das populações e qualidade genética para αE = βE. O primeiro gráco

mostra a evolução das populações quando αE = βE e o segundo mostra a qualidade genética da

população celular de equilíbrio para a mesma situação. Taxas utilizadas: αE = 0, 006, βE = 0, 006,