2.4 Estudo analítico das equações
2.4.1 Células-Tronco
A condição imposta γ(0)
T , Equação 2.3, garante que a subpopulação de CT sem mu-
tação permaneça constante. População com m 6= 0:
∆Tt(m) = − h
βT(m)+ 2α(m)T δT(m) i
Tt(m)+ 2α(m−1)T δT(m−1)Tt(m−1), (2.20) em que usamos a condição adaptativa α(m)
T = γ
(m)
T (m 6= 0), como descrito na Seção
2.6. Observamos que ∆T(m)
t depende de dois termos que competem entre si: a taxa
de mortalidade da subpopulação de CT com m mutações e a perda de células desse compartimento que sofrem mutação ao se dividirem contribuem para uma variação ne- gativa. Por outro lado, a introdução de células adivindas do compartimento com uma mutação a menos contribui para o crescimento da subpopulação T(m). Concluímos que
cada subpopulação pode atingir um valor de equilíbrio especi cado por
Teq(m) = 2α (m−1) T δ (m−1) T βT(m)+ 2α(m)T δT(m)T (m−1) eq , (2.21)
em que eq designa o estado de equilíbrio.
Vale observar que, para m = M, temos δ(M )
T = 0 já que, neste compartimento,
as células não estão mais sujeitas a mutações por terem alcançado o número máximo admitido.
A população total de CT é dada pela Equação 2.7 que contabiliza todas as subpopu- lações de CT. Como a subpopulação com m = 0 é mantida constante e as demais podem atingir um valor de equilíbrio, concluímos que a população total de CT também pode alcançar o equilíbrio. De fato, a variação desta população total é
∆Tttot = −
M
X
m=1
βT(m)Tt(m)+ 2αT(0)δT(0)Tt(0). (2.22) Podemos obter a expressão para a população total de CT no equilíbrio usando as Equações 2.2 e 2.21. Assim, obtemos
Teqtot = βT + 2αTδT βT
Teq(0). (2.23)
número de CT sem mutações.
2.4.2 Células Semidiferenciadas
População com m = 0:A Equação 2.9 permite concluir que a população CSD, sem mutação e recém chegada a esse subcompartimento, alcança um valor de equilíbrio dado por
Seq(0,0) = 2γ (0) T (1 − δ (0) T ) α(0)S + βS(0) T (0) eq , (2.24)
que, como esperado, depende da subpopulação de CT sem mutação.
Durante o período de maturação das CSD com m = 0 e 0 < y < L, a Equação 2.10 leva, no equilíbrio, à expressão
Seq(0,y) = θS(0)Seq(0,y−1)=hθS(0)iySeq(0,0) (2.25) onde de nimos θ(0)S = 2α (0) S (1 − δ (0) S ) βS(0)+ α(0)S . (2.26)
Para y = L, da Equação 2.11, obtemos, no equilíbrio,
Seq(0,L) = α (0) S + β (0) S 2α(0)S + βS(0) θS(0)Seq(0,L−1)= α (0) S + β (0) S 2α(0)S + βS(0) h θ(0)S iLSeq(0,0). (2.27) As Equações 2.24, 2.25 e 2.27 explicitam a dependência de cada subpopulação de CSD sem mutação com a população de CT com m = 0. Somando essas equações podemos obter, após algumas manipulações, a expressão para o valor de equilíbrio de CSD Seq(0) = 2γ (0) T (1 − δ (0) T ) α(0)S (1 − 2δS(0)) − βS(0) ( h θ(0)S iLα (0) S (3 − 2δ (0) S ) 2α(0)S + βS(0) − 1 ) Teq(0). (2.28)
Os valores dos parâmetros que aparecem nessa equação são apresentados nos Capí- tulos 3 e 4 (Tabelas 3.1.1, 4.2, 4.4, 4.3 e 4.1) e podemos, assim, fazer uma estimativa do valor de equilíbrio da população de CSD com m = 0. Esse procedimento foi usado para validar o programa computacional.
População com m 6= 0 :
Usando as Equações 2.12, 2.13 e 2.14, podemos obter uma expressão para a variação da população total de CSD com m mutações acumuladas em seu DNA,
∆St(m) =α(m)S − βS(m)− 2α(m)S δS(m)St(m)−γS(m)+ 2α(m)S (1 − δ(m)S )St(m,L)+ (2.29) 2αS(m−1)δS(m−1)St(m−1,L−1)− St(m−1,L) + 2γ(m) T (1 − δ (m) T )T (m) t + γ (m−1) T δ (m−1) T T (m−1) t
A expressão acima mostra que ∆S(m)
t depende de termos que competem entre si e,
portanto, um valor de equilíbrio (∆S(m)
eq = 0) pode ser atingido. Esse valor de equilíbrio
é Seq(m) = 1 α(m)S − βS(m)− 2α(m)S δS(m) γ(m) S + 2α (m) S (1 − δ (m) S )S (m,L) eq − (2.30) 2α(m−1)S δS(m−1)Seq(m−1)− Seq(m−1,L) − 2γT(m)(1 − δ(m)T )Teq(m)+ γT(m−1)δT(m−1)Teq(m−1) .
Essa equação é bastante complexa porque depende dos parâmetros e das populações dos compartimentos CT e CSD. Um caso especial de interesse para esse trabalho cor- responde a considerar mutação apenas no compartimento CT, isto é, δ(m)
S = δ
(m)
E = 0.
Nesta situação, obtemos
Seq(m) = 2 α(m)S − βS(m) n 3α(m) S 2α(m)S + βS(m)θ (L) S − 1 o (2.31) γ(m) T (1 − δ (m) T )T (m) eq + γ (m−1) T δ (m−1) T T (m−1) eq ,
onde de nimos θS(m)= 2α (m) S α(m)S + βS(m). (2.32) A expressão para T(m)
eq é dada pela Equação 2.21. Dessa forma, usando os valores de
parâmetros apresentados no Capítulo 3, podemos estimar os valores de S(m)
eq e, mais uma
vez, validar o programa computacional.
2.4.3 Células Especializadas
População com m = 0:De acordo com nosso modelo, essa população entra em senescência após H divisões. A Equação 2.15 permite concluir que o valor de equilíbrio da subpopulação com m = x = 0, Eeq(0,0) = 2γ (0) S (1 − δ (0) S ) α(0)E + βE(0) S (0,L) eq , (2.33)
depende das células no compartimento CSD que não sofreram mutação e que comple- taram o período de maturação nesse compartimento. Por sua vez, S(0,0)
eq depende da
população de células-tronco, T(0)
eq , como mostram as Equações 2.24 e 2.27.
Para as subpopulações de equilíbrio de CE com m = 0 que sofreram x divisões (0 < x < H), da Equação 2.16, obtemos
Eeq(0,x)=hθ(0)E i
x
Eeq(0,0), (2.34)
na qual, como antes, de nimos
θ(0)E = 2α (0) E (1 − δ (0) E ) βE(0)+ α(0)E . (2.35)
Usando as Equações 2.33 e 2.34 obtemos a expressão para a população total de equilíbrio das CE sem mutação
Eeq(0) = h θE(0) iH − 1 θE(0)− 1 E (0,0) eq . (2.36)
É Importante observar que E(0)
eq > 0para θE(0) > 1e para θ(0)E < 1, ou seja, o equilíbrio
existe para α(0) E > β (0) E , α (0) E = β (0) E e para α (0) E < β (0) E .
Mais uma vez, o caso especial de um tecido saudável, (δ(m)
T = δ
(m)
S = δ
(m)
E = 0),
discutido na Seção 3.1, foi usado para validar o programa computacional.
População com m 6= 0 e que não ultrapassa o Limite de Hay ick:
As Equações 2.18 e 2.19 permitem obter expressões para os valores de equilíbrio das subpopulações com m mutações acumuladas e que sofreram x (0 ≤ x < H) divisões. A expressão para a população total de equilíbrio de CE com m mutações é dada por
Eeq(m) = 2 α(m)E − βE(m)− 2αE(m)δE(m) α(m)E (1 − δE(m))Eeq(m,H−1)− (2.37) α(m−1)E δ(m−1)E Eeq(m−1)− Eeq(m−1,H−1) − γS(m)(1 − δS(m))Seq(m,L)+ γS(m−1)δS(m−1)Seq(m−1,L) .
Podemos obter uma expressão mais simples para o caso do tecido saudável (Seção 3.1). Após algumas manipulações, temos
Eeq(m) = 2γ (m) S α(m)E − βE(m) θ(m) E H − 1 2α(m)S 2α(m)S + βS(m)θ (m) S (L−1) 2γ (m) T α(m)S + βS(m)T (m) eq .
Como antes, observamos que o valor de equilíbrio de E(m) é positivo para θ(m) E maior
ou menor que a unidade, ou seja, para α(m)
E maior, igual ou menor que β (m)
vemos que a relação α(m) E >> β
(m)
E acarretará em grande número de CE com m mutações,
o que pode levar à explosão celular.
População com m = M e que evita a senescência:
Discutimos, agora, o caso especial em que as células especializadas que acumularam o número máximo de mutações permitidas adquirem o poder de auto-renovação. Se somamos as Equações 2.18 e 2.20, obtemos a população total de células com M mutações e que adquirem potencial auto-replicativo. No entanto, a expressão para essa população é Eeq(M ) = 2 βE(M )− α(M )E α(M −1)E δE(M −1)Eeq(M −1)+ (2.38) γS(M )(1 − δ(M )S Seq)(M,L)+ γ (M −1) S δ (M −1) S S (M −1,L) eq .
Como todos os termos dentro de chaves são positivos, devemos ter β(M ) E > α
(M )
E para
que o equilíbrio previsto pela Equação 2.38 tenha signi cado.
2.5 Modelo computacional
Para a solução numérica do nosso trabalho, implementamos um programa desenvolvido em PASCAL. Utilizamos a versão Dev-Pascal 1.9.2, com compilador Free Pascal v1.06. A máquina utilizada para implementação e execução do programa foi um Notebook Philco com processador Intel Pentium Dual-Core com 4 Gb de memória RAM.
O código utiliza as próprias equações em diferenças nitas descritas nas seções 2.1, 2.2 e 2.3, que são usadas como equações de recorrência nos ciclos de evolução temporal do modelo. Vários modelos matemáticos são desenvolvidos através de equações diferenciais. Para implementação, estas equações são discretizadas através do método de diferenças nitas. No entanto, nosso modelo matemático já foi desenvolvido utilizando equações
discretizadas e elas mesmas são usadas na implementação do programa. O programa desenvolvido foi assim constituído:
Etapa de inicialização: inicialização das populações de CT, CSD e CE e das taxas de mortalidade, divisão celular e mutação.
Ciclos de evolução temporal: constituído pelas seguintes etapas:
• soma e impressão das populações totais celulares;
• resolução das equações de recorrência para cada população celular: CT, CSD e CE;
• atualização das populações.
Nos arquivos de saída foram listadas as populações celulares de acordo com a análise desejada: populações totais por compartimento celular, número de células de acordo com o número de mutações acumuladas, número de células distribuídas pelo número de mitoses acumuladas. O intervalo de plotagem foi de 100 ciclos temporais.
O número de ciclos utilizados variou de acordo com a análise. Utilizamos um número de ciclos de modo que a estabilidade populacional fosse alcançada com certo intervalo de con ança. Para o tecido saudável, cerca de 40 mil ciclos foram su cientes para encontrar a estabilidade. Os processos que incluem mutações, por serem mais complexos, exigiu um número maior de ciclos. Para eles, utilizamos 1 milhão de iterações.
Para tipos especí cos de tecidos seria possível e necessário estimar exatamente o que signi ca o tempo de um ciclo em termos de horas ou dias. Nesse caso, os tempos totais de execução poderiam, também, ser comparados com idade e tempo de vida de uma pessoa. No entanto, nosso modelo não trabalha com um tecido especí co e, desta forma, não nos retemos a esta especi cidade.
Capítulo 3
Análise do Modelo
Encontramos, na literatura, diversos valores para as taxas de divisão celular, mortalidade e diferenciação. Células de diferentes tecidos apresentam signi cativas diferenças com relação às taxas de proliferação e morte. Células semidiferenciadas passam por diferentes números de divisões celulares até se tornarem totalmente maduras. As células do tecido hematopoiético, por exemplo, dividem-se cerca de 20 a 30 vezes antes de se tornarem especializadas [4], enquanto células do intestino passam apenas por 4 divisões [14]. Nós não consideramos um tecido em especí co e, desta forma, os valores utilizados são para um tecido virtual hipotético.
Para analisar o modelo, descrevemos e interpretamos as variações dos parâmetros e das condições iniciais dividindo em três grupos: tecido saudável, tecido com mutação e incorporação da reprodução das células senescentes.
3.1 Tecido saudável
Consideramos como saudável o tecido cujas células não sofrem mutações (δT = δS =
δE = 0) e que possui uma estrutura que, dependendo do tecido, guarda determinada
proporção entre cada população celular. As principais referências consultadas neste trabalho apresentam diferentes valores para cada uma das populações, assim como para o número de divisões celulares das CSD e das CE, mesmo porque esses valores dependem
do tecido considerado. Ashkenazi et al (2008) [4], por exemplo, cujo modelo é baseado em dados do tecido hematopoiético, assumem que o número de CT no tecido é 9×105 e de
CE é 9×1011. Spencer et al (2004) [30] assumem que o número de células especializadas
é da ordem de 108 e não consideram a população de células-tronco. Seus valores têm
amparo em resultados para câncer de mama. De forma geral, encontramos, na literatura, que a população de CT representa entre 0,0001% [4] e 0,01% [2] da população total do tecido.
Os valores dos parâmetros dependem das necessidades de renovação do tecido [3]. Como nosso modelo foi elaborado para um tecido genérico que possui três compartimen- tos celulares CT, CSD e CE buscamos valores de parâmetros que levem à construção de um tecido saudável com 1 CT para cada 10 mil células. É desejável, também, que o tecido gerado pelo modelo possua um regime de equilíbrio populacional. No caso es- pecial do tecido saudável, veri camos a existência do equilíbrio populacional através do estudo analítico das equações apresentado na Seção 2.4. Buscamos, agora, valores para os parâmetros que preservem esta condição.