Física Moderna II Aula 01

Física Moderna II

Aula 01

Profa. Márcia de Almeida Rizzutto Oscar Sala – sala 220

rizzutto@if.usp.br

Universidade de São Paulo

Instituto de Física

1º _{Semestre de 2015}

Monitor: Gabriel M. de Souza Santos Sala 309 – Ala Central

Plantão de Dúvidas: Sala 202, Ala Central – Segunda-feira, 18h às 19h.

2

Horário

2a feira 21:00 – 23:00

4a feira 19:00 – 21:00

Sala: 202 – Ala Central

Professora: Márcia A. Rizzutto Sala 220 – Oscar Sala

e-mail: rizzutto@if.usp.br

Monitor:

Gabriel gabriel.marinello.santos@usp.br

Página do curso:

http://disciplinas.stoa.usp.br/course/view.php?id=6671

Objetivos

•

O objetivo prioritário da disciplina é dar uma noção básica sobre os aspectos mais relevantes da física dos átomos isolados, do seu núcleo, de moléculas isoladas e das partículas elementares. Além disto serão abordados os aspectos básicos da estatística quântica visando a compreensão de algumas propriedades específicas dos sólidos e dos núcleos e noções de cosmologia.

3

Programa

• Átomo de Hidrogênio (recordação)

• Momentos de dipolo magnético; spin; a experiência de

Stern-Gerlach

• Átomos multieletrônicos

• Indistinguibilidade e o princípio de Pauli • A teoria de Hartree

• Estados fundamentais e a tabela periódica • Estatística quântica

• Indistinguibilidade e estatística quântica • Funções de distribuição quânticas

• Exemplos: laser, gás de elétrons livres • Moléculas

• Ligações iônicas e covalentes

• Espectros moleculares (rotação, vibração e eletrônicos) • Sólidos

• Tipos de sólidos

• Propriedades elétricas

• Condutores, Isolantes, Semicondutores; a junção p-n • O núcleo atômico

• Características e propriedades gerais • Forças entre nucleons

• Radioatividade, Fissão, Fusão • Reações nucleares • Aceleradores • Partículas Elementares • Noções de Cosmologia

P1

P2

P3

P4

4

- Física Quântica,

R. Eisberg e R. Resnick, 4a edição, Ed. Campus Ltda., RJ, Brasil, 1986.

- Física Moderna, origens clássicas e fundamentos quânticos,

F. Caruso e V. Oguri, Ed. Campus, RJ, 2006.

-Física Moderna,

P. A. Tipler e R. A. Llewellyn, 3a edição, LTC editora, RJ, Brasil, 2001.

-Modern Physics

Serway, Moses and Moyer

-Modern Physics

S.T. Thornton e A. Rex, Thomson Brooks/Cole, USA,

Third Edition.

Livros T

5

Textos adicionais: - The picture book of quantum mechanics, S. Brandt and H.D. Dahmen, Wiley, New York, USA, 1985.

Podem também ser consultados, como leitura preliminar, os capítulos sobre física moderna de vários textos de física básica (por exemplo, Física, de P. A. Tipler (3a _{edição) ou Física, D. Halliday, R. Resnick e K. S. Krane (4}a _edição). Tenha em mente que a apresentação dos tópicos de física moderna nesses textos é feita em nível bastante introdutório.

Leituras recomendadas:

- A matéria, uma aventura do espírito, Luís Carlos de Menezes, Editora Livraria

da Física, SP, Brasil, 2005;

- A parte e o todo, W. Heisenberg, Contraponto Editora Ltda, RJ, Brasil, 1996; - Física Moderna, para iniciados, interessados e aficionados, Vol. 1, Ivan S. Oliveira, Editora Livraria da Física, 2005;

- Thirty years that shook physics, G. Gamow, Dover Publications, NY, USA, 1985; - Great experiments in physics: firsthand accounts from Galileo to Einstein, M.H. Shamos, Dover Publ., NY, USA, 1987;

- The Great Design: Particles, fields and creation, R. K. Adair, Oxford University Press, NY, USA, 1987;

- The force of symmetry, Vincent Icke, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1995.

Atividades

• Aulas expositivas

• Listas de exercícios e discussões em sala de aula e na plataforma Moodle:

http://disciplinas.stoa.usp.br

• Exercícios em sala de aula - classe (EC)

A

valiaç

ão

M = Média simples das notas das quatro provas > 5,0 aprovado

EC = Média simples das sete maiores notas dos oito exercícios

realizados em classe.

MF = média final da primeira avaliação é calculada como a

média ponderada entre

MF= M (peso 0,8) e EC (peso 0,2).

Só haverá prova substitutiva para alunos que apresentarem

atestado médico!!

Calendário

8

• Datas das provas e dos exercícios :

A

valiação

• a presença será monitorada nas provas e nas aulas. caso a aluno não tenha as

• Presença:

presenças nas listas e reprovou por nota, também será reprovado por faltas.

Recuperação:

Só poderão fazer a prova de recuperação os alunos que tiverem presença acima ou igual a 70%.

A média da segunda avaliação será a média ponderada entre MF (peso 2) e a nota da prova de recuperação PREC (peso 1).

Exercício em Classe 1 17 de agosto Exercício em Classe 2 26 de agosto

Primeira prova 31 de agosto (6 aulas)

Exercício em Classe 3 16 de setembro

Exercício em Classe 4 28 de setembro

Segunda prova 5 de outubro (7 aulas)

Exercício em Classe 5 19 de outubro

Exercício em Classe 6 04 de novembro

Terceira prova 16 de novembro (6 aulas)

Exercício em Classe 7 23 de novembro

Exercício em Classe 8 02 de dezembro

Átomo de Hidrogênio

Por que estudá-lo?

•Átomo mais simples

•E foi objeto de muitos experimentos e mais estudado que qualquer outro Vocês se lembram?

•Experimentos realizados mostraram que através do espectro de linha dos átomos podia-se identificar os

•elementos químicos

•e a composição dos materiais

e que cada elemento tinha seus comprimentos de onda característicos

A fórmula de Balmer (1885)

Se ajusta bem as linhas visíveis do H A fórmula de Rydberg (1888)

O Modelo de Bohr (1913)

Começa a realizar mais experimentos do espectro de H e

entender melhor como as formulas empíricas descreviam o espectro Publica em artigo “Os constituintes dos átomos e moléculas”

Postulados de Bohr

•1 e- em um átomo move-se em uma órbita circular em torno do núcleo, sob ação da força coulombiana, de acordo com a mecânica clássica: •Apenas as órbitas com momento angular (n inteiro)

formam estados estacionários

•Apesar de continuamente acelerado , o e- em uma dessas órbita não irradia •Radiação eletromagnética é emitida quando um e- que se move em uma órbita de energia total E₁ faz uma transição (descontínua) para uma órbita de energia E_f . Nesse caso :

,



n

L



f i

E

E

h







Raio de Bohr, somente alguns valores de r são

permitidos

Estados de energia são

quantizados. Para o estado mais baixo (n=1) temos E=13,6eV

Diâmetro do átomo de H =

2*r ~10-10_m.

Região do ultravioleta

Região do infravermelho

Sucessos e Falhas no modelo de Bohr (1913)

•Modelo de Bohr foi o primeiro passo para entender a estrutura do átomo

•No entanto medidas mais precisas exibiram desacordos com o resultados do Modelo de Bohr

Limitações

Com o aumento da precisão nos espectrógrafos

óticos, observou-se que cada linha (originalmente descritas como simples) eram duas ou mais linhas

Limitações do Modelo:

•Foi aplicado com sucesso em átomos de elétrons simples (H, He+, Li++, etc.) •Não foi suficiente para dar conta das intensidade e da estrutura fina das linhas

espectrais

•

Equação de Schroedinger

A função de onda é uma solução da equação de Schroedinger para

um dado potencial. É uma equação diferencial, pois a solução é

uma função, e de mais de uma variável



derivadas parciais.

Propriedades desejadas da equação de movimento da MQ:

1. Ser consistente com de Broglie – Einstein;

2. Consistente com

E = p

2

_{/2m +V}

(não relativística);

3. Linear em

Ψ

, de tal forma que, se

Ψ

₁

e

Ψ

₂

são soluções





Ψ = c

₁

Ψ

₁

+

c

₂

Ψ

₂

também é solução (combinação linear).

Daí podemos ter interferência.

t

t

x

i

t

x

t

x

V

x

t

x

m





















(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

2

2 2 2





Notem que a função de onda da partícula

livre é complexa:



(

x

,

t

)



cos



kx





t





i

sen



kx





t



Eq. de Schroedinger dependente do tempo De Broglie: associa propriedades de onda as partículas

Em muitos casos estudados , o potencial não depende explicitamente do tempo. A dependência do tempo e posição pode ser separada

Várias aplicações em vários modelos de sistemas

O potencial degrau II – E> Vo, etc... (poço infinito, finito, barreira de potencial)

Equação de Schröedinger para o átomo de H

Este será o primeiro sistema que será necessário a complexidade total da Equação de Schroedinger em três dimensões.

Para uma boa aproximação para a energia potencial do sistema elétron-próton : é eletrostática:

r

e

r

V

0 2

4

)

(







)

(

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

1

2

2 2 2 2 2 2 2

r

V

E

z

z

y

x

y

z

y

x

x

z

y

x

z

y

x

m













































O potencial depende somente da distância entre o próton e o elétron













V

r



E



(

)

2

2 2





Massa reduzida

17

Coordenadas esféricas:







(r,



,



) e

2 2 2 2 2 2 2 2 sen 1 sen sen 1 1













                          r r r r r r (Ângulo polar) (Ângulo azimutal)

Interação Coulombiana entre um elétron

e o núcleo de um átomo

Forças centrais

Átomo de hidrogênio

Agora é função das coordenadas r,  e f

Relações entre coordenadas esféricas (r,,) e cartesianas (x,y,z)

18

A eq. de Schrödinger em coordenadas esféricas

2 2 2 2 2 2 2 2

sen

1

sen

sen

1

1

































































r

r

r

r

r

r

Podemos, então, escrever a eq. de Schrödinger como: Lembre-se que a dependência temporal é

parametrizada por um autovalor da energia,

E

.    

 E t i

























r

r

r

r

r

sen

sen

r

sen







V



E



























































2 _{2 2 2} 2 ₂ 2 2

1

1

1

2















V

r



E



(

)

2

2 2





19

A eq. de Schrödinger em coordenadas esféricas

     E t i

























r

r

r

r

r

sen

sen

r

sen



_



V



E



























































2 _{2 2 2} 2 ₂ 2 2

1

1

1

2



Separação de variáveis:





_               R r V E r dr r dR r dr d R ( ( )) 2 ) ( 1 2 2 2   f f    f     f  _                    1 ( , ) 1₂ 2 ( ₂, ) ) , ( 1 Y sen Y sen sen Y

Radial:

Angular:

)

1

(























V

r



E



(

)

2

2 2





2 2 2 2 2 2 2 2 sen 1 sen sen 1 1                                 r r r r r r Este termo só depende de

r

,

20

Então:

E aí podemos fazer a segunda separação de variáveis, uma vez que o lado esquerdo só opera em

f

e o direito só em



. Propomos então uma forma:

que, substituída na eq. acima e dividida por , leva a:

Posso escrever que: 2

2 2

1

m

d

d









f

Assim,

A eq. em

f

é bem conhecida e tem soluções oscilatórias da forma: , com

m

positivo ou negativo

21

Parte que depende de

f

, com

m

positivo ou negativo

...

3

,

2

,

1

,

0



m

Aí aparece uma diferença fundamental com a partícula na caixa 3D: a variável

f

é cíclica e se repete após o intervalo

[

0,2



]

.

1

π

2

sen

2π

cos

:

em

implica

que

o

)

0

(

)

π

2

(

0 ) π 2 (











m

i

m

e

e

im im





Portanto os valores de

m

ficam restritos, uma vez que

m

tem que ser inteiro. As autofunções devem ser unívocas . Então, para garantir a unicidade da função de onda, temos que impor uma condição de periodicidade à

autofunção:

,

m

só pode ser inteiro, positivo ou negativo

Parte que depende de



,

Novamente a equação (1) depende de r e a equação (2) depende de , logo podemos escrever uma constante de igualdade entre as duas

equações como:





_               R r V E r dr r dR r dr d R ( ( )) 2 ) ( 1 2 2 2                     1 ( ) ( ) ) ( 1 2 2 sen m d d sen d d sen

Parte que depende de

r

Resolvendo as equações, encontraremos que a equação só tem soluções aceitáveis para certos valores de

m

_l . Usando esses valores de m_l

na equação também só tem soluções aceitáveis para certos valores de ℓ . Com estes valores de ℓ na equação R(r) encontramos soluções

aceitáveis também para certos valore de energia total E (energia quantizada do átomo de H). ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( 1 2 2         _           l l sen m d d sen d d sen 2 2 2 2 ) 1 ( )) ( ( 2 ) ( 1 r R l l R r V E dr r dR r dr d r           



) (  ) ( 

23

Soluções: Funções de Legendre

      , 1,..., 2, 1,0,1,2,.... 1, ... 3 , 2 , 1 , 0         m

0

1

_{2 2}































d



m



sen



d

sen

d

d

sen



2

1

sen

x

As únicas soluções finitas e unívocas de (θ) são aquelas para as quais a constante de separação  é tal que:

,

As soluções aceitáveis para θ são funções de Legendre variam com

ℓ

e

m

)

(



m





24

São normalizados de acordo com a relação:

com

 



f

_lm

   



_m

f

25

momento angular orbital, associada a R(r), e ao módulo de L

número quântico magnético, associado a componente z do momento angular

) (









l z

m

L

l

l

L







(

1

)

Isso mostra que os valores possíveis de

L

2 _{e de}

_L

z são discretos

(quantizados), evidenciando a quantização do momento angular e da

componente z do momento angular.

)

,

,

(

)

1

(

)

,

,

(

2 2





f





f

r

l

l

r

L

_op







)

,

,

(

)

,

,

(



f





f



r

m

r

L

_z











m

m





m



L

_z

são

iguais

a

,

sendo

um

inteiro

tal

que

:

de

s

autovalore

os

2.

negativo

não

inteiro

um

sendo

),

1

(

a

iguais

são

de

s

autovalore

os

L

2



2









1. ,..., 3 , 2 , 1 , 0     m

São chamados de harmônicos esféricos

l l l l m l l , 1,...,0,1,... 1, ,... 3 , 2 , 1 , 0      

 



f

_lm

   



_m

f

Y

,







26

Apenas uma das observáveis

L

_x,

L

_y ou

L

_z pode ser determinada com incerteza nula e a escolhida foi

L

_z. A figura abaixo mostra os valores do momento angular para o caso

ℓ

= 1.

incerto

Não confundir com precessão!

Modelo vetorial do átomo ilustrando as orientações possíveis de L no espaço e

os valores possíveis de L_z O vetor momento angular nunca aponta no sentido do eixo z (a maior componente possível neste eixo é m, que é sempre menor que o módulo do vetor) . Isto se deve ao princípio de

indeterminação do momento angular, o que diz que é

impossível determinar com precisão absoluta duas componentes do momento angular (L_x e L_y )

27

Quantização da energia

Até agora só tratamos da parte angular, que dependia apenas da simetria do problema, ou seja, do fato da força ser central. A dinâmica depende da forma de

V(r),

e se manifesta na solução da parte radial:

que pode ser escrita de forma equivalente como:







_

_















))

(

(

2

)

(

1

2 2 2

r

V

E

r

dr

r

dR

r

dr

d

R



,

que é análoga à eq. de Schrödinger em 1D.

28

Portanto as soluções

rR(r)

para um potencial

V

_eff

(r)

devem apresentar as mesmas propriedades que as



(x)

para um potencial

V(x).

Cuidados necessários:

x

varia em

[–



,



]

em 1D, enquanto

r

varia em

[0,



]

em 3D.

Como no caso em

x

, a eq. de Schrödinger deve apresentar uma família de

soluções apropriadas, correspondendo a um conjunto de energias permitidas. Uma solução com energia

E

será aceitável se houver uma função

R(r)

que seja contínua, unívoca e finita no intervalo

[0,



].

A dependência explícita de

V

_eff com

ℓ

é importante, pois mostra que a forma da eq. diferencial muda com a escolha de

ℓ

.

Isso mostra que cada

ℓ

deve ter uma seqüência de soluções para

E

e

R(r)

e que elas devem depender de um par de índices, correspondentes a dois

29

Então podemos reescrever a eq. da parte radial como uma eq. de autovalores:

Assim, as soluções estacionárias devem apresentar a seguinte estrutura:

E podemos notar que o nosso problema 3D requer, como esperado, o

aparecimento de 3 números quânticos. Como vimos,

ℓ

e

m

estão associados à parte angular da função de onda:

E  deve ter paridade bem definida, pois deve obedecer:

na transformação E, finalmente:

e podemos assumir que

n

indica os níveis de energia para um dado

ℓ

, de tal forma que as energias cresçam com

n

, como no caso 1D. Sabemos que a energia de um estado aumenta com o número de nós da função. Isso deve também ser verdade para

rR(r),

pois satisfazem eqs. análogas. Assim,

n

deve ser um número quântico dos nós radiais, indicando o número de nós na função

rR(r).

30

Assim, as funções são definidas por: com

Alguns exemplos de funções radiais normalizadas:

Soluções para a equação radial

Soluções: Funções de Legendre

31

Então podemos tirar uma

primeira conclusão

a respeito do problema de forças centrais:

devem existir funções de onda que sejam autofunções simultâneas da energia, do quadrado do momento angular e de sua componente

z

.

Isso significa que podemos determinar essas 3 quantidades ao mesmo tempo.

Devemos também notar que o número quântico

m

não aparece como índice da energia quantizada. Isso é assim porque ele não aparece na equação

diferencial e portanto as soluções correspondentes não podem depender dele. Isso indica a existência de uma degenerescência, uma vez que

E

_nℓ não

depende de

m

. Para cada valor de

E

_nℓ existem 2

ℓ

+ 1 funções de onda diferentes, uma para cada possível valor de

m

.

Essa degenerescência é mais uma conseqüência da simetria rotacional da força central. A força não provê uma direção natural para a escolha do eixo

z

, e, portanto, observáveis como a energia não podem depender de

m

, o número quântico associado a essa escolha.

32

O problema 3D requer, como esperado, o aparecimento de 3 números

quânticos. Como vimos,

ℓ

e

m

estão associados à parte angular da função de onda e para cada valor de

E

_nℓ existem 2

ℓ

+ 1 funções de onda

diferentes, uma para cada possível valor de

m

. Dessa forma, a degenerescência do nível

n

, será: .

 / ) , ( ) ( ) , , , ( _{nl lm} E t nlm nl e Y r R t r



f





f





0 , 0 , 1    l m n

degenerescência

 / 00 10 100 1t E e Y R   

0

,

0

,

2







l

m

n

1

,

0

,

1

;

1







m

l

 / 00 20 200 2t E

e

Y

R







 / 1 21 21 2t E m m

R

Y

e









4 estados degenerados

FNC0376 - Fisica Moderna 2 Aula 2 33 Camada K, 1 estado Camada L, 4 estados Camada M, 9 estados Camada N, 16 estados

há n

2

estados distintos

notação espectroscópica spdfgh.... Valores de l 0 1 2 3 4 5.... os níveis de energia do elétron simples são

chamados camadas K L M N... com valores de n 1 2 3 4 ...





















,....,

)

1

,...(

3

,

2

,

1

,

0

....

3

,

2

,

1

m

n

n

34

A solução da eq. de Schrödinger resulta em três números quânticos:

número quântico principal

momento angular orbital, associada a R(r), e ao módulo de L

número quântico magnético, associado a componente z do momento angular

As condições de contorno requerem que:

l l l l m n l n l , 1,...,0,1,... 1, 1 ,..., 3 , 2 , 1 , 0 ... 3 , 2 , 1         números inteiros l m n l n l    0 ) (



 L l m l n Estados degenerados: Qual é a degenerescência do nível n=3?

O nível 3 é degenerado (na ausência

de campo B) porque todos os 9

estados tem a mesma energia, mas diferentes números quânticos

n ℓ m_ℓ 2ℓ+1

3 0 0 1

3 1 -1,0,+1 3 3 2 -2,-1,0,1.2 5



35

Os valores permitidos para os números quânticos n, ,m associados as variáveis r,  e f são: l l l l m n l n l , 1,...,0,1,... 1, 1 ,..., 3 , 2 , 1 , 0 ... 3 , 2 , 1         l m n l n l    0 Física Moderna 2 Aula 3





l z

m

L

l

l

L







(

1

)

Para qualquer potencial V= V(r) o momento angular é quantizado, e seus módulos permitidos (autovalores) são dados por:

  0,1,2,3,..., m ,..., 3 , 2 , 1 , 0 

l , l é chamado número quântico

momento angular

A componente z do momento angular também é quantizada,

n=4 -0,8 4s 4p 4d 4f n=3 -1,5 3s 3p 3d n=2 -3,4 2s 2p n=1 -13,6 1s 36 permitido não permitido

Diagrama de níveis de energia do H

Cada transição representa a mudança de energia do átomo e deve ser compensada por emissão (ou absorção) e energia de outra forma.

Para conservar o momento angular total (átomo+ fóton) em uma transição óptica, o momento angular do elétron de um estado inicial e

um estado final deve diferenciar de uma unidade isto é:

1 1         _{f i} l= 0 1 2 3 4 5 .... . letra s p d f g h ... ....

SHARP PRINCIPAL DIFUSE FUNDAMEN TAL

37

Átomos com 1 elétron

Parte radial da eq. de Schrödinger, com autovalor de energia

E

:

Vamos inicialmente nos concentrar nos casos em que

ℓ = m = 0

, o que nos restringe aos harmônicos esféricos

Y

₀₀ (que são constantes): (isto seria o estado fundamental n=1)

Como a solução deve tender a 0, quando r tende a infinito, podemos tentar uma função que decaia exponencialmente:

Potencial Coulomb

ER

R

r

Ze

dr

R

d

dr

dR

r

































0 2 2 2 2

4

2

.

2











38

Os valores permitidos de E:

O fato da energia do átomo de hidrogênio não depender de está de acordo com a teoria clássica

2 1 r F  2 2 2 0 2 6 , 13 n eV Z n E Z E_n    

Uma partícula que se move órbita elíptica sob ação de uma não depende da excentricidade da órbita. A órbita de menor

excentricidade (próxima de um círculo) está associada ao maior valor do momento angular, enquanto que o de pequeno

corresponde a uma órbita altamente excêntrica.



Solução : r a

Ae r

R ( )   / _{a relacionado ao raio de Bohr}

 / / 3 100 1 1 _{r a E}Bohr_t e e a   







4 1 00  Y a r e a R₁₀  4₃  / eV m e E E Z m E E e e Bohr 6 , 13 2 4 2 2 0 2 0 0 2 1 10            





  r C₁₀₀

39

A função para o estado fundamental

 / 3 / 100 1 t iE a r Bohr

e

a

e

 







3 / 2 2 100 a e r a





 





 



 



0 2 3 / 2 *

dr

r

a

e

r

d

d

r

r

a r nlm nlm









A distância média entre o elétron e o núcleo é dado pelo valor esperado:

Para o estado estacionário:

a r l n 2 3 0 , 1    Para o estado fundamental: Densidade de probabilidade do átomo no estado fundamental

2

0

a

A função para o estado fundamental

do átomo de H

/ 3 / 100 1 t iE a r Bohr

e

a

e

 _







3 / 2 2 100

a

e

r a









Um elétron descrito pela função de onda acima é encontrado com probabilidade por unidade de volume dada por:

Não depende do ângulo, todo l=0 (estado s) são esfericamente simétricos A “posição” do e- agora é diluída no espaço não é mais bem determinada • DENSIDADE DE PROBABILIDADE •a probabilidade tem simetria esférica •é máxima na origem

• diminui exponencialmente com r

*

41

Observáveis

Determinação de probabilidades: medidas de

|



(r,



,

f

,t)|

2 _num

_d



_em

torno de uma certa orientação



, em um número grande de sistemas. Mas o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Pela condição de normalização, temos que:

Portanto:

espaço

espaço

E pela propriedade de normalização dos harmônicos esféricos

O que nos permite introduzir uma densidade de probabilidade radial, dada por:

sujeita à condição de normalização:

P

_nℓ é interpretada como a probabilidade da partícula ser encontrada em uma casca esférica de espessura

dr

a uma distância

r

da origem. Notem o aparecimento do fator

r

2 _{na definição de}

_P

nℓ, que faz com que a densidade

de probabilidade radial tenda a zero quando

r

o faz. Isso se deve ao fato de que o volume da casca esférica tende a zero com

r

2.

com temos que:

P

_nℓ nos dá a densidade de probabilidade radial para qualquer estado, para o estado s de simetria esférica é o mesmo que

Já que

(

)

4

1

)

(

r



R

r

















2 2

4



r



43 Observáveis

A probabilidade de encontrar um elétron em uma casca esférica entre r e r+dr P(r) dr = densidade de probabilidade radial

a distância mais provável é igual ao raio de Bohr =a= a₀

dr

r

e

C

dr

r

P

dr

r

R

R

dr

r

P

a r nl nl nl 2 / 2 2 2 *

)

(

)

(











2 2 ) (r R r P  _nl 

Notem o aparecimento do fator

r

2 _{na definição}

de

P(r)

, que faz com que a densidade de probabilidade radial tenda a zero quando

r

o faz. Isso se deve ao fato de que o volume da casca esférica tende a zero com

r

2.

44

Estados Excitados

= 1, m=+1,0, -1 :

O primeiro estado excitado, n=2 e =0 ou 1

 / 2 / 3 200 1

2

1

2

2

1

_{r a iE}Bohr_t

e

a

r

e

a

 











 









4

1

00



Y

a r e a r a R /2 3 20 2 1 2 1 _          / 2 / 200 200 1

2

e

r a

e

iEBohrt

a

r

C



 









 













 / 2 / 210 210 1

cos

2

t iE a r Bohr

e

e

a

r

C















f f       i i e sen Y e sen Y Y          8 3 8 3 cos 4 3 1 1 11 10 a r e a r a R /2 3 21 6 2 1 _   / 2 / 1 21 1 21 1 t iE i a r Bohr

e

e

sen

e

a

r

C

_    









f





=0 temos m = 0:

45

r_máx = 22 _a

n=2 =1 o valor de P(r) é máximo quando a distância radial = segunda órbita de Bohr





n=2 =0 P(r) tem dois máximos, o maior ocorre para distância um pouco maior que a segunda órbita de Bohr (22_a

o)

a

r /





Distribuições de probabilidade da função radial para estas funções de onda:

 

2 2 ) ( _nl nl r r R P 

densidade de probabilidade radial:

2s

46

Distribuições de probabilidade da função radial para estas funções de onda:

 

2 2 ) ( _nl nl r r R P 

densidade de probabilidade radial:

n=3, l=0

0



r



r





Para n=3 temos um termo e-r/na

_quando

para um dado valor de n é maior nas proximidades da

origem quando l pequeno

n=3, l=1

n=3, l=2

nlm

47

Densidades de probabilidade

Apresentam simetria

esférica =0



_

_

Dependem de  (cos2_{) quando l diferente de 0} 1, m=0 Dependem de  (sen2_{) quando} 1, m=1 ou m= -1





2s 2p _2p





*

Distribuições angulares da

densidade de carga do elétron dependem do valor de l

FNC0376 - Fisica Moderna 2

Aula 3 48

Representação da densidade de probabilidade

2

nlm



49 n=2 =0 m=0





n=2 =1 m=0



n=2 =1 m=+1,-1



forma de um haltere forma de um pneu

50 n=3 =0 m=0



n=3 =1 m=0



n=3 =2 m=0

