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Todos os dados necessários para resolver as dez questões, você encontra neste texto.
Um funcionário do setor de planejamento de uma distribuidora de materiais escolares verifica que as lojas dos seus três clientes mais importantes estão localizadas nos pontos A(0,0), B(6,0) e C(3,4). Todas as unidades são dadas em quilômetros.
O setor de planejamento decidiu instalar um depósito no ponto
P(x, y), de modo que as distâncias entre o depósito e as três lojas
sejam iguais: PA = PB = PC.
Uma pesquisa feita na Loja A estima que a quantidade de certo tipo de lapiseiras vendidas varia linearmente, de acordo com o preço de cada uma. O mesmo ocorre com o preço unitário de determinado tipo de agenda escolar e a quantidade vendida.
Preço de
uma lapiseira Quantidade uma agendaPreço de Quantidade R$ 10,00 100 R$ 24,00 200 R$ 15,00 80 R$ 13,50 270 R$ 20,00 60 R$ 30,00 160
A Loja B monta dois tipos de estojos de madeira fechados. Um tipo, com 24 lápis de cor em cada estojo, é uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada, de 16 cm de lado e volume igual a 576 cm³.
O outro tipo, com 18 lápis de cor em cada estojo, tem a forma de um cubo, e o seu custo de fabricação é ¾ do custo de fabricação do primeiro estojo.
Para o lojista, o custo de fabricação de cada estojo, independente de sua forma, é R$ 0,10 o centímetro quadrado.
A Loja C, a menor de todas, trabalha somente com três
01. Determine a quantos quilômetros da Loja A deverá ser instalado o depósito da distribuidora de materiais escolares. Aproxime a resposta para um número inteiro de quilômetros.
Resolução:
O ponto P é o circuncentro do triângulo isósceles ABC. O triângulo APM, temos:
(4 – b)2 = b2 + 32
Þ 16 – 8b + b2 = b2 + 9
Þ b = 78
Logo, PA = 4 – b = 4 – 7
8= 258 @ 3
Portanto, o depósito deve ser instalado a 3 km da loja A.
A 4 y B 6 b x P 3 4 – b 4 – b C (3; 4) M
02. As rodovias entre o local onde vai ser instalado o depósito e as três cidades e entre as três cidades entre si são razoavelmente planas e estão em boas condições. Todas as rodovias podem ser consideradas como segmentos de retas que unem os pontos
A, B e C e o ponto onde deve ser instalado o depósito.
a) Semanalmente, um caminhão de entregas deve sair do ponto P − o depósito −, passar pelas três lojas e retornar ao ponto P. Quantos percursos diferentes o caminhão pode fazer?
b) Pensando em termos de economia de combustível, que percurso (ou percursos) ele deve escolher?
Resolução:
a) Considerando que o caminhão deve sair do ponto P e somente retornar a esse ponto no final do percurso, ele pode fazer os seguintes percursos:
PABCP, PACBP, PBCAP, PBACP, PCABP e PCBAP.
O caminhão pode fazer 6 caminhos diferentes.
b) Para economizar combustível, o caminhão deve evitar o lado AB, de medida 6 km.
Ele deve, portanto, optar pelos caminhos PACBP ou PBCAP.
03. Sejam a, b e c as medidas dos ângulos internos de vértices
A, B e C, respectivamente, do triângulo ABC.
a) Calcule o valor de tg (2a).
b) Qual é o valor da soma cos (a – b ) + cos 2c?
Resolução: a) tg a = 43 Þ tg (2a) = 2 1 8 3 1 169 2 tga tg a − = − = −24 7 Portanto, tg (2a) vale -24
7 .
b) Como o DABC, em que a = b, é isósceles, temos: cos (a – b) = cos 0 = 1 Assim cos (a b− ) 0 + cos 2c = 1 + cos 2c = = 1 + cos2c – sen c c 2 1-cos2 = 1 + 2 cos 2c – 1 = 2 cos2c Pela Lei dos Cossenos, temos:
36 = 25 + 25 – 2 . 5 . 5 . cos c Þ cos c = 257
Portanto, a soma cos (a – b) + cos 2c = 2 cos2c = 98
625 . C (3; 4) B (6; 0) A (0; 0) 3 3 6 4 5 5 a
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FGV – 03/06/201204. A Céus Company é uma escola de paraquedismo que dá aulas práticas nessa região. Os alunos saltam em queda livre e podem cair, ao acaso, em qualquer ponto do interior da circunferência que passa pelos pontos A, B e C.
Qual é a probabilidade de um aluno saltar em queda livre e aterrissar no interior do triângulo ABC?
Use a aproximação p = 3 e escreva a resposta na forma decimal aproximada, com duas casas decimais.
Resolução:
Do enunciado, podemos montar a figura a seguir, em que o raio da circunferência é 25
8 , conforme se calculou na questão 01.
Como os alunos podem cair em qualquer lugar da circunferência, a probabilidade é:
P = área da circunferênciaárea do triângulo = = 6 4 2 25 8 2 2 . π. 556 625 @ 0,41
Portanto, a probabilidade de um aluno saltar e aterrissar no interior do triângulo é 0,41. (0; 0) (3; 4) (6; 0) 25 8
05. a) Na semana de volta às aulas, o dono da Loja A pretende maximizar a sua receita com a venda das lapiseiras e agendas escolares. Por qual preço ele deve vender cada lapiseira e cada agenda, de modo a obter, no total, a maior receita possível com a venda dos dois artigos? Lembre-se de que a receita é o produto do preço unitário pela quantidade vendida.
b) Qual é o valor da receita máxima com a venda dos dois produtos?
Resolução:
a) Como a quantidade vendida varia linearmente de acordo com o preço, podemos montar uma função do 1o grau y = ax + b e
utilizar dois dos três pontos dados. Para as lapiseiras, temos:
100 10 80 15 4 140 4 140 = + = + ⇒ = − = ⇒ = − + a b a b a e b y x Logo, a receita é: RL(x) = (– 4x + 140) . x = – 4x2 + 140x
A receita será máxima para:
xV = -2 Þ xba V = --1408 Þ xV = 17,5 Para as agendas escolares, temos:
200 24 160 30 20 3 360 203 360 = + = + ⇒ = − = ⇒ = − + a b a b a e b y x Logo, a receita é: RA(x) = − + 203 x 360 . x = -203x + 360x2 A receita será máxima para:
xV = -2 Þ ba -360 40 3 Þ xv = 27
Portanto, as lapiseiras devem ser vendidas por R$ 17,50 e as agendas, por R$ 27,00.
b) Substituindo os valores de x encontrados em a, temos: RL(17,5) = –4 . (17,5)2 + 140 . (17,5) = 1.225
06. O custo de cada lapiseira para o lojista é de R$ 5,00. a) Faça um esboço do gráfico do lucro y em função da
quantidade vendida x.
b) Qual é o preço de cada lapiseira que maximiza o lucro do lojista?
c) Quantas lapiseiras, no máximo, devem ser vendidas para o lojista obter algum tipo de lucro (positivo)?
Resolução:
Da função de demanda da questão anterior:
q = – 4p + 140, em que q x quantidade de demanda p preço = = =
Obtemos a função de demanda inversa:
q = – 4p + 140 Þ 4p = –q + 140 Þ p = -14 . q + 35 Para a equação do lucro, precisaremos de:
custo total C x q receita total R x p q q : ( ) : ( ) = = = − + 5 1 4 35 . . . . q Fazendo a diferença: L(q) = − + 14. q 35 . q – 5q L(q) = − + = − + 1 4.q 30 .q ou L x( ) 14.x 30 .x
a) A função L(x) é uma parábola com concavidade voltada para cima, cujas raízes são:
- 14 . x + 30 = 0 Þx1 = 120 L(x) = 0 Þ − + = 1 4.x 30 .x 0 x = 0 Þx2 = 0 Como xV = 60; yV = L(x) = 750
Portanto, teremos o seguinte gráfico:
L(x) 750 x1 = 0 xV = 60 x2 = 120 x V
Na função de demanda inversa: p(q) = -14 . q + 35
p(60) = - 14 . 60 + 35 = 20
Portanto, o preço de cada lapiseira que maximiza a receita é
R$ 20,00.
c) Do gráfico do item A:
O lucro é positivo para 0 < x < 120.
Portanto, a máxima quantidade a ser vendida, para o lojista obter algum tipo de lucro, é 119.
L(x)
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FGV – 03/06/201207. Qual é o custo, para a Loja B, da fabricação de cada estojo de madeira com 24 lápis de cor?
Resolução:
Sendo h a altura do estojo de madeira, temos: 162 . h = 576 Þ h = 2,25 cm
Portanto, o custo de cada estojo é dado por: (2 . 162 + 4 . 16 . 2,25) . 0,10 = 65,6
O custo, para a loja B, da fabricação de cada estojo de madeira com 24 lápis de cor é de R$ 65,60.
08. Qual é o volume de cada estojo com 18 lápis de cor? Aproxime a medida de cada aresta do estojo para o inteiro mais próximo.
Resolução:
Se o custo de fabricação do estojo com 24 lápis é R$ 65,60 (valor obtido na questão 7), o custo de fabricação do estojo com 18 lápis é: C = 34 . 65,6 = R$ 49,20.
Como o custo por centímetro quadrado é R$ 0,10, temos: 6 . l2 . 0,1 = 49,2 (l é a aresta do cubo)
l2 = 82 Þ l@ 9 cm
Logo, o volume de cada estojo com 18 lápis é dado por: V = l3 = 93 = 729 cm3
O volume de cada estojo com 18 lápis de cor é 729 cm3.
09. Em janeiro de 2012, a Loja C deu um aumento de 20% para cada um dos seus três funcionários e contratou um novo funcionário: Deto.
Assim, se somarmos os novos salários mensais de Beatriz, Carla e Deto, obteremos R$ 5 700,00; somando os de Alberto, Carla e Deto, R$ 5 100,00, e os de Deto, Alberto e Beatriz, teremos R$ 3 900,00. Qual era o salário mensal de cada um em janeiro de 2012?
Resolução:
Com o aumento de 20% dos salários de Alberto, Beatriz e Carla, a soma dos novos salários mensais passou a ser 1,2 . 5.000 = 6.000. Montando o sistema proposto no enunciado, temos:
A + B + C = 6.000 B + C + D = 5.700 A + C + D = 5.100 A + B + D = 3.900 Somando as equações, temos:
3 (A + B + C + D) = 20.700 Þ A + B + C + D = 6.900
Þ A = 1.200, B = 1.800, C = 3.000 e D = 900
Portanto, o salário de Alberto era R$ 1.200,00;
Beatriz era R$ 1.800,00; Carla era R$ 3.000,00 e Deto era R$ 900,00.
10. Em fevereiro de 2012, o salário de Deto passou a ser de R$ 1 000,00. A partir de março, o seu salário foi reajustado, todos os meses, em 10% sobre o valor do mês anterior. Quanto Deto receberá, no total, de março a dezembro de 2012? Se necessário, use os dados desta tabela.
log 2 0,30 log 3 0,48 log 5 0,70 log 7 0,85 log 11 1,04 100,1 1,26 100,2 1,58 100,3 2,00 100,4 2,51 100,5 3,16 100,6 3,98 Resolução:
Do enunciado, temos os valores dos salários de cada um dos meses: Março: 1000 . 1,1 Abril: 1000 . 1,12 Maio: 1000 . 1,13 . . . Dezembro: 1000 . 1,110
Portanto, o total recebido durante esses meses é a soma dessa PG: S10 = 1000 1 1 1 1. 1 1 1,,.−
(
,10−1)
Utilizando os valores dados na tabela para calcular 1,110, temos:
log 11 = 1,04 Þ 101,04 = 11 Þ 1,1 = 11 10 1010 1 04 = , = 100,04 Assim, 1,110 = (100,04)10 = 100,4 =2,51 Logo, S10 = 1000 1 1 2 51 1. 1 1 1,, .−( , − ) = 16.610
Portanto, Deto receberá, no total, de março a dezembro de 2012, R$ 16.610.
PG com 10 termos, em que a1 = 1000 . 1,1 e
q = 1,1
da ProVa de matemátiCa aPliCada
Após nosso contato com essa nova proposta de prova, é natural estabelecermos um paralelo com provas recentes da FGV/Adm. Nossa primeira impressão é de que houve uma acentuada ruptura com o modelo anterior.
Na prova FGV/Adm dezembro de 2011, por exemplo, uma característica que elogiamos foi a preocupação da Banca em contextualizar as questões para situações típicas de Administração e Economia, antecipando um bem-vindo e adequado contato com tópicos com que o futuro aluno se defrontaria, no início do curso de Graduação.
A prova de junho/2012 sugere uma mudança de Banca, ou ao menos de filosofia da Banca, na formulação das questões propostas. Em nossa opinião, houve ênfase exagerada quanto à tematização da prova, no sentido de alinhar os contextos em um mesmo enredo.
Seria essa mudança realmente necessária?
Acreditamos que a proposta anterior já era funcional, ao focar em questões contextualizadas.
Nossas ressalvas quanto a esse novo modelo residem nos seguintes aspectos:
— limitou a possibilidade de cobrir assuntos de forma criativa e privilegia as habilidades meramente operacionais, em detrimento de domínio conceitual;
— gerou situações forçadamente artificiais, como ocorreu com a elaboração da questão sobre Probabilidades, em prol de uma preocupação questionável com o enredo;
— gerou insegurança quanto ao critério que será adotado pela Banca na hora da correção, pois algumas questões exigiam, para sua resolução, resultados, dados ou informações obtidos da resolução de questões anteriores; caso o aluno resolva uma questão corretamente do ponto de vista do procedimento, mas chegue a um cálculo errôneo, partirá desse resultado errôneo produzido em uma questão anterior, e obterá novo resultado errado. Ele será duplamente penalizado? Esse alinhamento entre questões diferentes pode criar um perverso efeito dominó; em qualquer situação, esperamos coerência quanto aos critérios acionados pela Banca;
— quanto às aproximações de resultados de cálculos, autorizadas em alguns enunciados, em algumas situações, não fica claro se essas aproximações deveriam ser importadas para as próximas questões, o que certamente causou confusão, pois um candidato poderia obter resultados substancialmente diferentes caso optasse por esse ou por aquele critério de arredondamento; mais uma vez, esperamos por coerência da Banca na correção.
Finalmente, questionamos a opção por exigir algumas contas que consomem tempo do aluno, em prejuízo de outras habilidades
