Classificação de superfícies

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

A S S I F I C A Ç Ã O D E S U P E R F I C I E S

SERGIO ELI CRESPI

Agradeço aos responsáveis por minfia formação , Josê e Santina, meus pais.

À Janete, pelas horas que d è l a t i r é i para poder reali­

Esta tese foi julgada adequada para a obtenção do título de

"MESTRE EM CIÊNCIAS"

especialidade em Matemática e aprovada em sua forma final pelo Curso de Pos-Graduação.

Banca Examinadora:

Prof. William Glenn Whitley, Ph.D, Orientador

rof. Joao Bosco P. de Carvalho, Ph.D

fronteira e sem fronteira.

No decorrer desta classificação, apresentaremos al^ guns invariantes numéricos que completam a classificação de Homeomorfismos destas superfícies.

ABSTRACTS

The objective of this dissertation is to present a study of the classification problem for compact two manifolds with and without boundary.

We present some numerical invariants which completely determine the homeomorfism class of these manifolds

INTRODUÇÃO... vi

CAPÍTULO I - COMPLEXOS SIMPLICIAIS ... . 1

CAPITULO II - VARIEDADE T O P O L O G I A . ... 12

CAPÍTULO III - SUPERFÍCIES... ...

20-CAPlTULO IV - TEOREMA DA CLASSSIFICAÇAO DE SUPERFÍ­ CIE COMPACTA...'... 51

CAPÍTULO V - VARIEDADES COM FRONTEIRA;;... 73

vi

INTRODUÇÃO

O conceito topológico de superfície ou variedade de d i ­ mensão 2 é uma abstração matemática do conceito familiar de super

fície feita de papel. Uma variedade de dimensão 2 é um espaço to­ pológico com as mesmas propriedades do plano cartesiano.

Definiremos e daremos alguns exemplos de variedade n-di mensional mas dedicaremos a maior parte deste trabalho para o ca­ so n = 2 .

A existência de um teorema de classificação de varieda­ des compactas de dimensão 2 , faz com que nossos conhecimentos so­ bre variedades de dimensão 2 sejam mais completos, que nossos co­ nhecimentos sobre os casos de dimensões superiores.

Este teorema nos mostra como obter todas as variedades compactas de dimensão 2. Definiremos invariantes que nos permitem determinar se duas variedades compactas de dimensão 2 são ou não homeomorfas. Até hoje não se conhece nenhum teorema que classifi­ que variedades compactas de dimensão 3, e os especialistas em ló­ gica provaram que não podemos esperar nenhum resultado completo de variedade n-dimensional n 4.

COMPLEXOS SIMPLICIAIS

Trabalharemos com subespaços especiais de Rn munido da topologia dada pela distância euclidiana.

1) Definição:

Sejam P e Q pontos de R . Um segmento PQ é o subconjun to da reta gerado por P e Q formado pelos pontos T = K P + L Q com K + L = l , K » 0 e L ^ O .

A medida que K e L variam o ponto T = K P + L Q descreve o segmen­ to P Q . 2) Exemplo: Seja P = (2,2) Q = (6 ,6 ) T = (x,y) T = K P + L Q (x,y) = j < 2 ,2 ) + “ (6 ,6 ) T = (4,4) 3) Definição:

Um conjunto L(^ R n é chamado convexo se para todo par (P, Q) de pontos de L, o segmento P Q está inteiramente contido em L.

2

.n

Um conjunto {pQ ,p^,...,Pm } de vetores de Rn é convexo independente ou C - independente, que denotamos por C - I ,.se o conjunto {p^ - pQ , p 2 - P0 '***'Pm “ P0 ^ ® linearmente independen­ te. Pela forma que definimos, parece que a ordem dos elementos do conjunto influencia a C - independência do conjunto, o que não ocorre como mostraremos a seguir.

Seja L = {pQ , P]_/***/Pm } 11111 conjunto C - I, isto é, m

{P • - P ~ }• i e L - I . D o j = l

Vamos mostrar que para cada i ^ 0 o conjunto

L' = (P0 - P ± f P x - P ± , P 2 - P ± f•-•'Pi.! " P ± / P i + 1 " - P i 7 Pm - Pj_) é L - I , isto é, se Z a . (p. - p . ) = 0 teremos a. = 0

V.

1

1

= E a. ( p . - p ) + ( - E a . ) (p. - p ) .

3 ^ 1/0 J J 3^.1 J

Portanto sabemos que a. = 0 se j / 0,i e E a. = 0,

3 j^i 3

Desta forma a soma 0 = E a. reduz-se a 0 = a0 .--- --- - - V Q . Concluimos que todos os são nulos. Logo

{ p . - p . } . # . e L — I . D 1 D Exemplos: 7) Seja o conjunto: S = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} ■-- ,--- ' I--- -— -j i--- ,-- 1 P« Pl P 2 Pl - P0 = (-1 ,1 ,0 ) P 2

“

= (-1,0,1)

Resolvendo o sistema de equações lineares homogêneas vemos que a única solução é trivial. Logo S é C - I.

8 ) Qualquer subconjunto não vazio de um conjunto C - I é C - I. Seja {pQ/p 1 ,--

'Pn #pn+1#

, ,m „ ,

e, ÍPj _ P0 ^j_2. e L - I . Sabemos que qualquer subconjunto de um conjunto L - I é L - I , logo o conjunto {p^ “ P0 ^_]_ ® L - I , con­ cluimos assim que o subconjunto {pQ ,p^, . . . ,Pn ) é C - I .

9) Seja S = {p^,p2 ,..•,p } um conjunto L - I , -então o conjunto s U {

0

0

Pl " Po = Pl P 2 " Po = P 2

• • •

• • •

• • •

4

10) Qualquer conjunto L - I não vazio é C - I .

11) Definição:

Seja S um subconjunto de Rn .

Definimos a casca convexa de S como sendo o conjunto n

T = { £ a. p. com n <£ N / p, £ S, a. 5> 0 e £ a. = 1 } .

i=l 1 1 1

12) Lema

Seja S e T como na definição anterior, então T é conve­ xo .

n m n

Seja P = £ a.p. e Q = £ b.q. onde a . ^ 0 £ a. = 1

i=l 1 1 j=l 3 3 1 ±=1 1 m n . m Então se 0 $ t $ 1 , tp + (1 - t)q = t_ £ a.p..+ (1-t) £ b.q. = i=l 1 1 ' ~ j=l 3 3 n m n+m = £ a.tp. + £ b (l-t)q. = £ C W D . onde: i = l 1 " 1 j=l 3 3 R=1 R R f~CR = a it para R = l,...,n ,t Cn+j = 3 = •, Wn = Pi para i = 1 , . . . ,n Wn +1 = 3 j para j = í , ...,m . n+m

Para £ C W.Í pertencer a T é suficiente que: R=1 K R

n+m

CD ^ 0 e £ C_ = 1 .

R R=1

Mas CD > 0 pois a. 0 e b . 0 além disso,,

n+m n m n m Z C = Z r + Z C = Z a t + Z (l-t)b. R= 1 K R=1 K R=n + 1 K R=1 1 j = l n m = t Z a. + (1 - t) Z b . = i=l 1 R=n+1 D = t . 1 + (1 — t ) . 1 = t + l - t = 1 Logo T é convexo. 13) Definição:

Seja S = {V0 '***/Vn > um conjunto C - I em Rn , sua cascâ convexa an será chamado o n-simplexo fechado com vértices

{v , . . ., v } .

o n

14) Lema:

n n

x ^ o se e somente se x = Z t . v. com t. 0 ~>e Z t. =1

n i=0 1 1 1 i=l 1

isto ê, x £ an se e somente se for uma combinação convexa de ele mentos de S. Além disso os t^ são unicamente determinados pelos v^ e são chamados, as coordenadas baricêntricas de x relativo aos vértices .v ,v ^ ,...,vn '.

D emonstraçao:

A primeira parte deste lema decorre da definição de cas ca convexa. A unicidade dos elementos t^ iremos provar a seguir.

n n

Seja Z t .v.. = Z s . v. i=0 1 1 i=0 1 x

n n

mostraremos que t. = s.. Assim Z t.v. - Z s.v. = 0 ou 1 1 i=0 1 1 i =0 1 1

6

n

Z (t - s . ) v . = 0 . i _ 0

Suponhamos que algum - s^ £ 0. Por simplicidade ire­ mos demonstrar para o caso i = 0 , isto é, t - s ^ 0 .

^ ’ o o

n t ® - s ? Então resolvemos a equação para v = Z (— — r— )v.,

° i=l so ~ o 1 deste modo n t -s. n t . ~ s . n t . - s . Z (r - _ ) ( v -v ) = E - - E ° 1 = 1 o o 1=1 o o 1=1 o o n t . - s . n t . - s . - vo - <.£. i r - r i r ^ o • 1 = 1 O O 1=1 o o n n n n Mas Z t. = 1 = Z s. Z t. - Z

s.

z t.

z

(t

o

(t

t

z

Deste modo concluimos que:

n t .

- s .

t .

- s .

e .

.

-L-—

i = o pois

{v_,...,v }

I.

so

o

o

n

Âssiiii t^ = s ^arai - l /.../n.'

n

n

Coiíid

Z

t. e 1

e

Z s .

= 1

temos

1=0

i=0 1

n n n

t _o + _{. .} Z t. = 1 rfS t _{i / o} = 1 - Z t. = 1 - Z _{. , a . ,} s . = s_{i o}

i=l i=l i=l

logo tQ = sq , chegamos a uma contradição pois admitimos que ^ - so *

°-15) Definição:

Seja an um n-simplexo fechado com vértices {vQ ,...,vn ) . Definimos o n-simplexo aberto o com vértices {v }

c n o n

como sendo o conjunto

16) Exemplos:

a = a é um ponto,

o o c

é um intervalo aberto (v0 /v ]_) e c^ é um intervalo fechado [v0 /v i í •

a

2

j J ô r . J

17) Definição:

Seja c?n um n-simplexo aberto^ou fechado^com vértices VQ ,...,vn e q um inteiro 0 ^.q^n.

Uma q - face fechada (aberta) com vértices v. /...,v. é um sub-

_ q 10

conjunto de cr formado pelos pontos Z t,v., com 0 ^ t, $ 1 k =0 K 1K ' K (0 < t ^ ^ l ) e Z t ^ = l .

Isto é, S é uma q - face aberta (fechada) de 'cr . se S ê um q-sim - plexo aberto (fechado) com vértices escolhidos entre os de'cr.

8

Agora introduziremos o conceito de simplexo orientado através da orientação de seus vértices.

18) Definição:

Um'simplexo é chamado um simplexo ordenado se munirmos o conjunto de seus vértices com uma ordem (total). Por exemplo, se on é. formado pelos vértices ív0 ,...,v } podemos munir os vérti ces com a ordem v < v, < .... < v .

o 1 n

Seja o simplexo tendo como vértices {vq , v i' v 2 ^ e

t^ tendo os mesmos vértices.

Seja a ordem de r vq < v^ < v 2 , e a ordem de v. < v„ < v, .

1 2 ô

Estes simplexos não são iguais como simplexos ordenados, mas são iguais como simplexos geométricos.

19) Definição:

Seja on e xn dois simplexos ordenados com os mesmos vértices {v ....,v } com as seguintes ordens: ví < .... < ví e

o n j-o n

VjQ < .... < Vj^ respectivamente.

Dizemos que as ordens em o e t determinam a mesma orientação se

n n

a permutação de (i ,...,in ) para (j , — ,j ) dos inteiros (0 ,... ,n) é uma permutação par. Caso contrário as ordens determinam orienta

ções diferentes.

Se as ordens de an e rn são equivalentes, isto é, deter minam a mesma orientação, dizemos que a e t são iguais como sim

n n . —

plexos orientados, caso contrário dizemqs que an = - xn *

Se a é um simplexo com vértices v ,v.,...,v , o símbolo

o 1 n

lente a v < v, <... < v ,

o 1 n

E x e m p l o : .

p 2

$2

Portanto o'

2 = - t2

20) Definição:

Um complexo simplicial K, é um conjunto de simplexos 00

abertos o , de R , tais que:

i - Se cr é K f todas as faces abertas de o também per

m m —

tencem a K.

ii - Dois simplexos distintos de K são disjuntos»

iii - Dois simplexos distintos de K não tem todas as fa~ ces coincidentes, ou equivalentemente simplexos distintos.não tem os mesmos vértices.

iv -• Se a é"um siraplexo de K, x í o e { x } , é uma

n ^ c n 1 n n -1

seqüência de pontos que converge para x e todos es­ tão contidos em simplexos de dimensão n, então even tualmente todos os {xn } são elementos de o‘n .

SjJ

com-10

plexo K é denominado poliédro, e é indicado por {K j » e K é chama­ do urna triangulação de j K j »

A dimensão do complexo K ê dada pela dimensão do maior simplexo, se existir.

O complexo ê dito finito, se possui só um número finito de simplexos.

21) Exemplos:.

P 2 p 6

Temos os seguintes simplexos:

0 - simplexo pQ ,px ,p2 ,p3 ,p4 ,p5 ,pg ,P ? . 1 - simplexo P0 'P1 /P0 P 2 'Pi P 2 ' P 2 p 3 /P4'p 5 /P4 p 6'p 5 p 6' P 6 .P7 rP5 P 7 . 2 - simplexo P0 P 1 .P2 'P4 P 5 P 6 /P4'.P6 P 7 fP4.-P5 -P7 fP5 -P6.P7 3 - simplexo p 4 p 5 p g p y . )

22)

Seja o conjunto {pQ ,PX ,P2 »P3 »P4 /PQ Pi'P0 ‘p 2'p l ,p2'p 3*p 4* Este conjunto não define um complexo, pois os simplexos p^ -P2 , p^ P 4 não são disjuntos.

No 19 exemplo o conjunto (po ,Pi,P2 fP0 Pi'P2 ^ nao define um complexo simplicial, pois o simplexo pQ p^ p 2 não tem as faces

P0 Pjy PQ P 2 * Px Pertencentes a K.

23) Seja o conjunto ÍP0 ^P1 ^P2 PQ 'p ljP 1 'p 2'P0P 1P 2 *

Pi

não é complexo pois pQ p^ P 2 não possui todas as faces no conjun­ to.

12

CAPITULO II

VARIEDADE TOPOLÕGICA

Definiremos e daremos alguns exemplos de variedades n-dimensional, mas dedicaremos a maior parte deste trabalho para o caso n = 2 .

1) Definição:

Seja n um inteiro não negativo. Uma variedade topológi- ca ou C°, n-dimensional é um espaço de Hausdorff, tal que cada ponto P tem uma vizinhança aberta homeomorfa a bola aberta n-di - mensional Un = { x £ Rn / |x| <1}.

2) Observação:

É fácil ver que se U é aberto em Rn e x € U, então exis te uma bola aberta com centro em x que está contida em U. Portan­ to podemos enfraquecer a condição na definição a ser:

"Cada ponto possui uma vizinhança homeomorfa a um

to em R .

Exemplos:

3) 0 espaço euclidiano Rn é uma variedade n-dimensio­ nal. Basta verificar que a função identidade é um homeomorfismo de Rn sobre um aberto de Rn , ele mesmo.

4) A esfera Sn de dimensão n é uma variedade n-dimensio n a l .

Sn que contém o ponto P, e uma função f: D -*■ N , sendo N um aberto de Rn e provaremos que f é um homeomorfismo.

P i Definimos: S. = { (x1 ,x2 ---- 'xn + l ^ x l + x 2 + x 3 + * * * + xn = * N = { (x1 ,x2 , . . . ,xn , 0) é Rn + 1 / Exí < 1 } Q Rn . e D = { (x1 ,x2 ,...,xn + 1 ) ^ S / xn+1 > 0} Escolha x € D.

Seja r o segmento de reta que passa por x e -p, então:

rx = {tx + (1 - t) . (—p ) / 0 t ^ 1} . Como x = (x1 ,x2 ,. •/xn+i^

então: rx = {t (x1 ,x2 ,. . . ,xn + 1 ) + (1 - t) . (0 ,0 . ,-1)/O^t^ 1 } =

{ (tx1 ,tx2 , . . . /txn + 1 ) + (0 ,0 , . . . ,t-l) / O í t á l ) =

'{(tx1 ,tx2/ — ftxn / txn+1 + t - 1 ) / 0 ^ t ^ 1 } .

Definimos f(x) a ser o ponto onde r atravessa o plano

14 x ,, isto é, quando tx , + t - 1 = 0 . n +1 ^ n +1 x, x. X Portanto f(x) = ( n 1 + xn+l ' 1 * xn +1 1 + X )

.

A verificação que f é contínua é imediata pois cada função coorde nada é contínua. Temos que 2 *x i J i=l + xn+ n (x.) | f (x) = E — ----■i _ i (1 + x n l )2 (1 + xn + 1 )2 . i=1E (x.) . n 2 2 n 2 ' 2

Desde que E (x.) + (x ,) = 1 sabemos que E (x.) = 1- (x ,) ,

i=l 1 n + x i=l 1 n+1

Substituindo na primeira equação temos:

f (x) | = — --- i--- -5- . 1 - ( x ,)2 (1 + xn + 1 )^ n +1 (1 - x , ) _n+l 1 - xn +1 ^ + xn + l >2 ' (1 + Xn+l) 1 + xn + 1 < 1

o que mostra que f(x) £ N.

Portanto f é uma função contínua de D em N. Seja (a1 /a2 / ...fa ) £ N.

Provaremos que o sistema de equações x. 1 “ 1 + Xn +1 x. 1 + X_{n +1} x n +1

tem solução com (x1 ,x»,....x ,) A D. 1 2 ' ' n +1 c Se tiver soluçao/^^ = a^.íl + xn + ^) /

x2 = a2 * (1 + xn + l * '

• • • •

• • •

xn = V *1 +

xn.l>-Precisamos determinar xn + ^ e provar que a solução é elemento de D, Sabemos que se (x^ , . . ./xn+^ é" D . é solução, então:

1 = (X i )2 ) ♦ (xn + 1 )2 = a í < l + x n + 1 ) * <xn +l>2 = 9 n 2 ? = (1 + x ,) . E a . + (x n ) n+jL i — 1 n+1 n 2 Seja a = £ a. e x = x i=i 1 n+1

Substituindo na equação acima temos:

1 = (1 + x) 2 . a + x 2 ou (a + l)x2 + 2a x + ( a - l ) = 0 .

Resolvendo a equação do segundo grau obtemos as seguin­ tes raízes:

-2a ± v/~4a*~ - 4 (a + 1 ) . (a - 1 ) = -2a ± 2

X 2 (a + 1 ) 2 (a + 1 )

. -a + 1 ,, -a - 1

x ’ = -- — - x" =

-a + 1 a + 1

Como tem que ser positivo, escolhemos a seguinte raiz da equação: 1 — a * x ' 1 = --- > 0 desde que 0 < a .< 1 . n +1 1 + a ^ Verificaremos que (x ^'x2 '‘ *,Xn+l^ ^ D * "I ;

16

Y lv \2 /v \2 ? / l2 /I " a >2 (xi> + n + 1 = .Z=l (xi> + Í T T i ) =

n 2ü , « < i \ ^ x n í-\ /* \ 2 = Z (— i )2 + — = --- --- r 2 a + l 1-~ g i - =

i = l 1+a (1 + &) (1 + a) i=l 1 .(1 + a )

4a + 1 - 2a + a2 _ 1 + 2a + a2 _ ^ (1 + a ) 2 (1 + a )2

(

assim mostramos que (x^,x2 ,.../xn +i) 6 D * Logo podemos definir uma função g: N ■+ D

n 2

2a-^ 2a2 2a ^ ai

(a1 ,a2 /.../an )~* Ít-t n Z ' 5 2 ' ’ ’ ’' 5 ? ' " 7 *

1 + E a. 1 + E a 1 + E a 1 + E a

i=l 1 i=l 1 i=l 1 i=l 1

É imediato que g é contínua, desde que cada função coordenada é c ontínua.

Agora calcularemos a composição de f com g.

a) g o f g o f ,x2 ' • • • ' xn + i ) ~ Çf ( x ,

2^2

2,xl/1 +xn+l

2*xn/1 + xn+l

1

₁

+ ^n+l

,

n

x

2'” "

n

x.

2 '

n

x.

2

n ( x . ) 2 n 2 2

fazendo x = E --- :--- - temos que E (x. ) = 1 - (xn + ^) i=l (1 + x ,) i = l

n +1 ou

Portanto x x = 1 ~ (xn+l> = ±_______n + 1 (1 + (xn + 1 ))2 1 + xn +1 1 - x 1 + x = 1 + n +1 1 + xn+l 1 + xn+l 1 + x n + 1 1 + x :^ xn+l 1 - X 1 + X 1 + X. n +1 2xn +1 1 + x.n +1 1 + xn +1 1 + x_{n +1} g o f (x1/x2,...,xn+1) 2 x, 1 + x , .2 x 1 + x .. . 1 n+1 n n+1 „ v - \ _ r • " / • • • i • -m— 2Í I 1 + xn +l 2 l t x n+l 2 n+1 “ ^x l'x 2 ' * * *'xn+l^ ‘ Calculamos agora f o g . b) f o g

f o g (a1 ,a2 f. . . #an ) = f (g (a1 ,a2 , . . . ,a ) ) = n 2 2 a, 1 - .2, aI • - f /______ ^ \ n 0 ' ’ * ‘ ' n 0 ’ 1 + £ a 1 + Z a . , 1 . , 1 1 = 1 1 = 1 n 9 n x. 2 a , / l + E a 1 - Z (— - --- )2 /____________ i = l j_i 1 + x n + i n x, n x. 0 ' i + z (-— r i +• s (-— -— ) i=l + xn+l i=l + xn+l

18 n

2 a

f o g (a1 ,a2 ,...,an ) = (--- ---- 1... ...an ) 1 + Z a

i = l 1

Provamos assim que g é a função inversa de f. Como am­ bas são contínuas concluímos que f é um homeomorfismo, provando assim que a esfera de dimensão n é uma variedade n-dimensional.

Algumas propriedades sobre variedades topológicas

5) Seja M uma variedade m-dimensional e N uma variedade n-dimensional, o espaço produto M x N é uma variedade (m + n) di­ mensional .

Mostraremos que dado um ponto Z £ M x N existe um aber­ to U x U £ M x N homeomorfo a um aberto em Rm + n .

P q

S e j a Z = (p,q) £■ M x N, como M é uma variedade m-dimen­ sional existe um homeomorfismo xLi: U -»■ Rm sendo U uma vizinhança

y P P

aberta de P em M, analogamente para N existe -> Rn .

O conjunto Up x Uq ® 111113 vizinhança aberta de Z = (p,q ) em M x N : e a função f: x + ,Rm x Rn = Rm+n definida por f(a,b) = (ijj(a), Y (b)) é um■ homeomorf ismo de U x U sobre Rm + n .

p q

6 ) Como exemplo desta propriedade temos:

S^ x S^ x .... x S 1 = Tn é uma n-variedade desde que S^ é 1 - variedade.

7) Se M n é uma variedade n-dimensional, qualquer aber­ to V de M n é também uma variedade n-dimensional. Escolha P é V C M n, existe U vizinhança aberta de P em M tal que f: U Rn é um

P M P

homeomorfismo.

Então f/U U C W + f (U f\ V) é um homeomorf ismo de

P A V p p

uma vizinhança aberta de P em V sobre um aberto em Rn . Logo V é uma variedade n-dimensional.

CAPÍTULO III

SUPERFÍCIE

Superfície é uma variedade topológica conexa de dimen

-são dois, isto é, um espaço topolõgico de Hausdorff, tal que,,

ca-2

da ponto tem uma vizinhança aberta homeomorfa a um aberto de R .

Uma técnica para determinar quando duas superfícies..são

homeomorfas, que explicitaremos mais a frente, pode ser visualiza

da assim:

Dada uma superfície S^ podemos abri-la através de .

um

corte, deformá-la e obter uma nova superfície 82 # através da iden

tificação dos pontos onde houve o corte.

I) Definição:

Espaço quociente

2) Definição:

Seja '

V

j

uma relação de equivalência em um espaço topolõ­

gico A. Chamamos o conjunto quociente de A pela relação de equiva

lência 'v., denotamos por A/^, ao conjunto de todas as classes

de

equivalência de

isto é:

elemento x em relação a 'v ou, x = {a

A / a ^ x}.

3) Observamos que a função n: A -

»

■

A/^

n(x) = x é so­

bre

jetiva. Assim dizemos que U C A / ^ é aberto se e somente

se

(U) é aberto em A. A/£^ munido com esta topologia é chamado

o

espaço quociente de A por ^ . 0 espaço quociente responde a nossa

idéia intuitiva de formar um novo espaço topolõgico identificando

certos pontos de um espaço topolõgico dado. Corresponde a

noção

de colar juntos dois ou mais espaços topológicos. É um método im­

portante para formar novos espaços topológicos a partir de

uma

coleção de espaços dados. Por exemplo, começamos com os

espaços

Xj e X2 e passamos a sua união disjunta X = X^ ü X2 . Depois defi­

nimos de maneira conveniente uma relação de equivalência

que

identifica alguns pontos de X^ com outros de X2 em X, a

colagem

serã

Usaremos este método para definir algumas

superfícies

que aparecerão no decorrer deste trabalho.

Exemplos de superfícies:

4) Esfera S2

S2 = {(x,y,z)£ R^/x2 + y2 +

= 1} para

demonstrar

que S ê uma superfície, basta analisar o exercício n9 4 pag. 12

para n = 2 „

5} 0 toro T ê uma superfície

Seja X = [0,1] x [0,1]. Definimos a seguinte relação de

equivalência o. em X:

^ = ((x,y), (x,y)/(x,y) £

x} t/{ (x,0), (x,l)/x £ [0,l]}IJ{(0,y), (l,y)/y£ [0,1]}.

22

Devemos mostrar que o toro T é uma 2-variedade, isto é,

se Z pertence a T existe uma vizinhança de Z em T que é

homeomor-to (x,y) no interior de X. Falta verificar os ponhomeomor-tos representa -

dos por elementos da fronteira. Para verificar isso, usaremos

a

seguinte proposição.

Seja A = (a,b] x (c,d) e B = [e,f) x (c,d)

com

(a,b]

[e,f) = 0 .

Defina 'u a sei' a menor relação de equivalência em A U'B

que identifica (b ,y) com (e,y) para y £ (c ,d) . Então A U

é

2

homeomorfo a um retângulo aberto de R .

Demonstração:

Se (x,y)

A U B, [(x,y)] representará a classe de equi

valência de (x,y) em A ü B/^.

Seja P: A U B

A U B/^ a projeção natural que leva

o

ponto Z na sua classe de equivalência [Z].

Seja D = (a,b + f- e)x(c,d). Definimos duas funções

A

D

e

2

: B

D P°r

9 - _

fa a um aberto de R " . Isto e obvio se Z e representado por um pon

i|;1 (x,y) = (x,y)

e

(x,y) = (x - e + b, y) .

As funções ^ e

2

determinam assim a função

^ ^2: A U B -

>

-

D

definida por;

\p

₃

U

412

(Z)

Í

>2

(Z)

\pj

(Z)

se

A

e Z £ B

Claramente as funções

e ^ U

_>2

são contínuas.

Mostraremos agora qu.e 4* = (ipj_ U

0p-1 é uma função de ,

A ü B/^

ein D e portanto uma função contínua. Isto

mostraremos que para

cada ponto Z £" A U B/^

U

2

consta de um único ponto

de D.

Tome Z

A U B A

'

"

'

'

Caso 1:

Z = [(x,y)] com (x,y) £ (a,b) x (c,d)

neste caso p"“ (Z) = { (x,y)} e y(Z) consta unicamente do

ponto

ip} (x,y) = (x,y) .

Caso

Z = [(x,y)] com (x,y) £ (e,f) x (c,d)

Do mesmo modo como no caso 1, y(Z) consta de um único ponto

2

Y) = (x - e + b, y) .

Caso 3:

Z = [(b,y)]

Neste caso p

(Z) = { (b,y),(e,y)}. Portanto

V

(Z) =

(b,y) /

(e/Y) } = { (b,y) , (e - e + b,y) } = { (b,y)}

logo y (Z) consta unicamente de um ponto.

Caso 4:

Z = { (e,y)}

Este caso está incluido no caso 3.

Assim

uma função contínua de A U B/^ em D.

Agora mostraremos que ¥ é injetora.

Seja

e

£ D tal que zx ^ Z2 e ^^zi^ =

24

r

Zx = r Cxx , y1) 3

Cxi, y^) se x 1 g (a, bj

(xx + b - e , y x) x 1 £ [e,.f)'

"1 í *

(Z23 = (i/i-j U tj)2) o p (x2> y2) = I (x2, y2) se x2 <£ (a, b(!I

sw (x2 + b - e, y2) se x2 g [e-, f)J

tem-se que y^-=.y2

Se x^ e x 2 estão em (a, b] ou ambos em [e, £) segue que as primeiras coordenadas de ¥(Z^) e 4'(Z2) são iguais, isto é, x i - x 2 0u x l t b * e . x 2 + b . e.

De qualquer modo x^ = x 2 , com isto ocorre uma contradição. Portan to podemos supor que x^ ^ (a, b] e x 2 £ [e, £).

Assim lembrando que y^ = y 2 , temos que

Cx^ > ~ ^ 2 s ^1^ = ^ ^ 1^ = ^ ^"

2

Desde que a < x^, <c b_ tem-se que a < x 2 + b - e ^ b ou (a - b) + e <

mas e 4 x2 < f com isto segue que x2 = e

substituindo

em

e r)

x ^ = e + b - e ^ x ^ = b

Portanto

Z1 = [ ( b , y x ) 3 = [Ce, y ^ ] = Z2

-0 que e uma contradição, logo 'F é injetora. Vamos mostrar que y ê sobrejetora.

Desde que A U B/^ e localmente compacto, D é Hausdorff e ¥ é con­ tínua e bijetora, T e um homeomorfismo e a proposição estã demonjã t r a d a .

Voltamos ao problema de construir vizinhanças planas no toro, se Z £ T e é representado pelo ponto Co, y) em X, podemos escolher c, d Ç ÇO, 13 tal que c < y < d.

Seja A = (|, 1] x (c, d) B = [0, |) x (c,d). ^ A proposição mostra que A U B/^ ê uma vizinhança aber­ ta de Z no toro que é homeomorfa a um retângulo aberto do plano. Os outros casos de pontos representados na fronteira são resolvi dos de maneira semelhante. Do mesmo modo mostramos que as seguin­ tes 2 - variedades são superfícies.

6 ) Faixa de Moebius.

Em Q = [0,1] x (0,1) definimos a seguinte relação de equivalência.

a) se x / 0 e x' ^ 1 então (x, y ) ^ (x1, y ’) se e somente se x = x 1 e y = y 1.

’

3

-b) (o,y) ^ (1, 1 - y ) . O modelo de Q/^ em R e a faixa de M o e b i u s .

(°,y)

(

1

1

/

26

7) Garrafa de Klein K

Q = [0/1] x [0,1]/ defina a relação de equivalência:

a) Se x, x '

0,1 e y, y'

0,1 então (x,y) ^(x'y')

se

x - x '

e y = y 1

.

b) (x,0) a. (x*

/1)

se x = x '

c) (0 ,y) 0/

(1 ,y')

se y + y 1

= 1

y 1

= 1 - y

8) Plano projetivo

a) Definimos o plano projetivo P2 como sendo o

espaço

quociente da esfera S obtido pela identificaçao de cada par

de

pontos diametralmente opostos.

Outra definição de plano projetivo.

2

b) Seja T = { (x,y ,z) ^ S / z

0} o hemisferio

rior fechado de S .

O

Ê evidente que, de cada par de pontos de S t diametral­

mente opostos, ao menos um se encontra em T.

Se os dois pontos se encontram em T , então estarão sobre o equa -

dor que é a fronteira de T. Assim podemos definir também o plano

projetivo ?2 como o espaço quociente de T Qbtido pela identifica­

ção de pontos diametralmente opostos da fronteira de T.

O teorema abaixo mostra que T/% e S^/o, são homeomor

-fos

9) Teorema;

Seja X um espaço topológico compacto, ^ uma relação de equivalên

cia em X e A um subconjunto fechado de X. Seja % a.relação de equivalência em

A induzida por

tal que a^ %

a,.

a^,

Q_

A^ e 'a^ ^

.

como

elemento-de X. Se caia classe elemento-de equivalência elemento-de 'V intercepta A, então X/% e A/ffe são

homeomarfos.

Demonstração:

Sejam i': A-> X a função inclusão, P: X

e P: A/#

a projeção natural. Mostraremos que P o i induz um homeomorfismo4*

de A/$ em

.

A

P

p

a)

Vamos mostrar que (poi) o p "

uma função contínua.

Sejam a^, a2

A com p (a^) = p (a2 )

e (a^^ a2)

(po i)

= P

= P

) = (p o i)

¥

é

Xfa .

(poi) o p

Assimj

b) y é injetora.

Escolha Z1 ,

2>2

A /# tal que

(Z^) =

(Z2 ) .

Escolha a^, a2 £ A tal que p(a^) = Z^ e p(a2 ) = ^

P^a^)

=

= y(Z1) = ^(Z2 ) =

=

a^ e a2 são elementos de A que s ã o ^ equivalentes, portanto

96

equivalentes, logo

= Z2 .

c) ('F

sobrejetora,

28

Segue imediatamente que ¥ (p(a)) - Z .

d) f é um homeomorfismo.

Desde que A é fechado em X e X é compacto, ambos X/^ e

A/% são compactos, logo ¥ é um homeomorfismo.

10) Corolário:

As duas construções de plano projetivo definidaas ante­

riormente determinam espaços homeomorfos.

Triangulagão de superfícies compactas

...11) Definição:

Uma triangulação de uma superfície compacta S consiste

em complexo simplicial K e um homeomorf

ismo f = /K/

S .

Os subconjuntos de T ^ S que são imagem por f de 0-sim~

plexos fechados, 1-simplexos fechados e 2-simplexos fechados, cha

mam-se vértices, arestas e triângulos. Dois triângulos, ou

são

distintos ou tem um sõ vértice em comum, ou tem toda uma

aresta

em comum.

Algumas situações que não são permitidas em uma triangu

lação:

T. Radõ em 1925 foi o primeiro a demonstrar que isto é possível. Para demonstrar este teorema necessita-se do uso de uma forma forte do teorema da curva de jordam.

Esta demonstração é dada no primeiro capítulo do texto de Ahlfors y S a r i o ,,ver referência [2],

A triangulabilidade das 3-variedades, provaremos na par . te final d e s t e .trabalho e não se sabe ainda se as variedades de

dimensão superior podem ou não ser trianguladas.

Podemos imaginar uma superfície S triangulada, como sen do construida colando de uma certa forma os triângulos distintos. Visto que os triângulos distintos não podem ter os mesmos vérti - ces, podemos determinar completamente uma triangulação enumerando os vértices e especificando que terna de vértices são vértices de um triângulo.

Com esta lista de triângulos, determinamos completamen­ te a superfície S junto com a triangulação dada. Usaremos a trian gulação para provar um dos teoremas mais importante deste traba­

lho, que é o teorema da classificação de superfícies compactas, para o cálculo de um importante invariante topológico, a caracte- rística de Euler e também para definir a orientabilidade de uma superfície co,mpacta.

30

Exemplos:

1

2

3

12) Seja a

esfera S , consideramos a se-

2

2

3

4

guinte

triangulaçao para S dada

2

a.o

3

4

1

lado „

4

1

2

13) Uma triangulação para o toro é:

1 2 6

32

14} Em uma faixa de Moébius podemos t.er a seguinte tria

angulação:

0 1 4

1 2 5

2 3 0

15) Seja a seguinte triangulação do plano projetivo;

2 4 5

4 5 6

1 2 4

2 3 5

3 4 6

1 3 4

2 3 6

1 3 5

Podemos concluir que:

a) Cada aresta é exatamente comum a dois triângulos. Is

to segue da nossa demonstração que T é 2-variedade onde demonstra

mos que a colagem de duas quadras semi-fechadas ao longo de

seu

2

lado fechado, dá um aberto em R .

- 2

Logo sera impossível colar um terceiro e montar um aberto em R .

b) Escolha um vértice v de uma triangulação.

Podemos ordenar o conjunto de todos os triângulos

que

tem o vértice v ciclicamente, T ,T,,...,T = T , de maneira

que

34

para 0 4 i Ti e Ti + 1 tenham uma aresta em comum.

Superfícies orientáveis e não orientáveis

16) Definição:

Seja K uma triangulação para uma superfície S.

S é orientável se é possível escolher orientações para os triângulos que venham a induzir na aresta comum aos triângulos, dois a dois adjacentes, orientações opostas. Çaso contrário dize­ mos que a superfície S é não orientável.

Seja <a,b,c > um triângulo orientado, isto será reprei-sentado graficamente pelo desenho.

\

• a

onde a seta interior segue a direção a para b para c, ou (b para c para a ) .

Também se tivermos um triângulo a b c com uma seta

\

c b

A mesma determina uma orientação < b,c,a > = < c,a,b > = < a , b , c > orientando os vértices no sentido da seta.

Exemplos:

2

17) Seja a triangulaçao da esfera S dada no exercício n9 12 pag. 30.

Tomando como orientação do triângulo 1.2 4 a seta no sen tido anti-horário, o mesmo ocorrendo com os demais triângulos, ela induz na aresta comum aos triângulos, dois a dois adjacentes,

2

-orxentaçoes opostas, portanto S e orientavel.

1

36

Escolhida a orientação horário para os triângulos, notamos que os triângulos dois a dois adjacentes induzem na aresta comum orientações opostas, logo o toro é orientável.

19) Usando a triangulação do plano projetivo do exercí­ cio número 15 pág. 33, temos:

Escolhida a orientação para o triângulo 1 2 6 como sendo a seta no sentido horário, o mesmo tem que acontecer com os triângulos restantes, mesmo assim nos triângulos 1 2 6 e 1 2 4 as orien­ tações na aresta comum, 1 2 , são iguais, portanto o plano proje­ tivo não é orientãvel. Se mudarmos a orientação inicial, novamen te teremos orientações iguais sobre a aresta comiam a dois triân­ gulos .

20) Usando a triangulação da faixa de M o é b i u s , te­ mos:

3 4 5 0

38

Escolhida a orientação para o triângulo 0 3 4 como sendo a seta no sentido horário o mesmo ocorrendo com os demais triângulos. Mas nos triângulos 0 3 4 e 0 3 2 as orientações na aresta comum 0 3 são iguais; portanto a faixa de Moébius é não orientãvel.

0

0

Se mudarmos a orientação inicial, novamente teremos orientações iguais sobre a aresta comum a dois triângulos.

21) Seja a triangulação da garrafa de Klein, com a se - guinte orientação sobre os triângulos.

4 8 3 4 p-— <— \ ^ -•' T \ 5----f----r \ N ... r» ✓ '' / í * / \ a í V > -V S \ / \J \ J% t y . A / , / j ' ‘ k A ) --- j— - V _ > ----4 8 3 4 ’

Escolhida a orientação para o triângulo 3 4 7 como sendo a seta no sentido anti-horário o mesmo ocorrendo com os demais triângu - los. Nos triângulos 1 4 3 e 1 4 5 temos na aresta comum 1 4 a mesma orientação, portanto a garrafa de Klein é não orientãvel. Se mudarmos a orientação inicial, novamente teremos o-orientações iguais sobre a aresta comum a dois triângulos.

Soma conexa de superfícies

22) Definição:

Dadas duas superfícies S^, S2 disjuntas, definimos a so ma conexa representada por S2 , da seguinte maneira:

fazemos um pequeno buraco circular em cada superfície e em segui­ da colamos (identificamos) as superfícies ao longo da fronteira destes buracos.

Uma definição mais precisa:

Sejam os conjuntos D^ C S 1 e D 2 C"S2 , sendo D 1 è D.2

2 2 2 2

discos fechados (isto e, homeomorfos a E = { (x,y)g R /x + y <1». Seja S| o complemento do interior de D^ em S. i = 1,2. Escolhemos um homeomorfismo h da fronteira de D^ sobre a fronteira de D 2 .

Então S S 2 é o espaço quociente de S| U S^ obtido identificando os pontos x e h(x), para todo x pertencente a fron­ teira de D-^, com S ^ : ^ S2 resultando uma nova superfície. Daremos alguns exemplos que servem como preparação para a demonstração do teorema da classificação de superfícies compactas.

Exemplos: 1

\

Soma conexa de toros

23) Seja e T 2 toros, representados cada um, por um retângulo com os lados opostos identificados segundo as setas,

sendo os quatro vértices de cada quadrado identificados em um só ponto no toro correspondente.

Primeiramente faremos um buraco circular, em cada toro, designando por C 1 e C 2 as fronteiras destes buracos, que estão

40

identificados segundo as setas na figura 1-a.

Podemos representar as fronteiras dos buracos em ambos os toros pelos pentágonos da figura 1-b.

Identificamos, os segmentos c^ e , obtendo o octágono da figura 1-c, no qual os lados estão identificados aos pares, se gundo as orientações dadas as arestas.

Usando este mesmo processo, verificamos que a soma cone

xa de três toros é o espaço quociente do dodecãgano, onde as ares

tas estão identificadas aos pares, segundo as orientações dadas.

Procedendo deste modo, por indução podemos concluir que

a soma conexa de n-toros é homeomorfa, ao espaço quociente de um

polígono de

n lados, cujas arestas estão identificadas aos pa­

res obedecendo a orientação das arestas nos polígonos.

24) Soma conexa de planos .projetivos

Lembramos que o plano projetivo é definido, como .sendo

o espaço quociente de um disco circular, identificando os pontos

diametralmente opostos da fronteira. Escolhendo um par de pontos

da fronteira diametralmente opostos como vértices, o círculo

do

disco fica dividido em dois segmentos.

Assim podemos considerar o plano projetivo como obtido

a partir de um polígono de dois lados ao identificá-los. O método

para. obter a soma conexa de dois planos projetivos P^ e P2 basi­

camente é o mesmo usado no problema anterior.

42

De modo análogo, a soma conexa de três planos projeti

vos é o espaço quociente de um hexágono com os lados identifica

dos aos pares, como mostra a figura abaixo.

Novamente usando indução, podemos concluir que a

soma

conexa de n-planos projetivos é o espaço quociente de um polígono

de 2 n lados, com os lados identificados aos pares, obedecida

a

orientação das arestas de polígono.

al al

25) Soma conexa de esferas

A soma conexa de duas esferas nos dá uma esfera. Repre­

sentamos a esfera como o espaço quociente de um polígono com dois

lados identificados aos pares como nesta figura:

Podemos imaginar uma esfera, como uma bolsa que tenha a abertura

com um feiche chair, se o feiche estiver aberto a bolsa^pode tor­

nar-se plana.

2 6) Lema:

A soma conexa de dois planos projetivos, é

homeomorfa

a uma garrafa, de Klein.

44

Demonstração:

Como vimos na página 41, podemos representar o

plano

projetivo pelo seguinte polígono:

a

Fazendo um pequeno buraco no plano projetivo, através de um

dos

vértices, vem:

Abrindo no vertice escolhido

a

v b

Colando ao longo das fronteiras dos planos projetivos representa­

dos por c, temos o seguinte polígono:

Colando ao longo da aresta b resulta o seguinte polígono:

Identificando as arestas iguais,obtemos a representa -

ção usual da garrafa de Klein. Podemos obter a garrafa de

Klein

de outro modo.

Usaremos a técnica de cortar e colar (identificar) para a demons­

tração deste lema.

27) Lema: Plano projetivo, menos um disco D é

homeomorfo a faixa de Moébius e a fronteira do disco ê homeomorfo

a fronteira da faixa de Moébius.

Seja S. um plano projetivo e D. CL.S.

um disco

fechado

com i = 1,2, retirando o interior de

obtemos S| que é homeomor

fo a faixa de Moébius, para mostrar isto vamos tomar uma triangu­

lação do plano projetivo S , .

.

1

a

46

Cortando ao longo da aresta c f , e retirando

, obtemos a

guinte figura

Cortando ao longo da aresta e c, resulta a seguinte figura:

Identificando as arestas c a b c obtemos o seguinte polígono:

Identificando as arestas e c f obtemos a faixa de Moébius.

se-A garrafa de Klein é duas faixa de Moébius coladas

ao

longo de suas fronteiras. Com estes exemplos de soma conexa obser

vamos que:

a) Não existe distinção entre

S2 e s2 ^ts^,

isto

Demonstração:

Sejam D^ e D2 discos fechados de S-^ e S2 respectivamen­

te. Sejam as funções:

hs 3D^ -»• 8 D2

homeomorfismo

h

3 D-

9D,

homeomorf

ismo sendo 3 D. com i :

=1,2 a

2 1 i '

fronteira de D , .

x

Pela definição de soma conexa temos:

S

1 # S2

= (S2 - Ó2 > Uh <S1 - °1>

S2 :^ r S^ = (S^ - D^)

^S2 “ ^2 ^

sendo Èk

interior

de D i

-Definimos em (S2 - È>2 ) U (S^ - D^) a seguinte

relação

de equivalência

C = {(x,x)/x £ (S2 - D 2 ) U (S1 - D 1)} U {(x,h(x))/x£

U

28) Corolário:

{(h(x)x)/x £

3 Di>

assim

o espaço quociente de

(S2 - Ò2) U (S^ - D^)

pela relação de equivalência C.

48

E = {(y#y)/y£-

U (S2 -Ô2)}U

{

(h-1 (y) ,y)/y

e

3

D2

} u

u {(y,h-1(y))/y^ 3D2 }

S2

S-j é o espaço quociente de (S-^ -

) ü

- D^) pela relação

de equivalência E. Desde que h e h”^ são homeoraorfismos

entre

3 (D^) e 9{D2 ) vemos que as duas relações de equivalência

em

(S^ U D^) ü (S2 - f>2 ) são iguais. Portanto os espaços quocientes

S^.#: S2 e S2

são iguais.

b)

(S2

s3 ) s

(s

^ s 2 ) #

s3.

'

A demonstração deste fato é um corolário de uma proprie

dade de assoeiatividade de adjunções, ver referência [6], página

61- 6 2;.

Lema:

Sejam X^, X2 e Y espaços topolõgicos, H um homeomorfiss

mo de X^ em X2 •

.

Seja

um subconjunto de X2 , f; A -* Y uma função, seja

B = Hf1

«C.X1 e g = f o H/B: B + Y.

Então Y Uf X- = Y U X.

£ *■ . 9

Demonstração:

Consideremos o seguinte diagrama

p

Y U X2 --- L -- ^ Y U

--- — 2--->

P

_f

V

Y Uf

onde

(Z) = | Z ,

Y

Pf , P projeções.

X2 g

Vimos que P o ^ o P ^ é uma função e portanto uma função

contínua que denotamos por $. Do mesmo modo se definirmos

ji = Y U X1 + Y U X2 , por

Z, Z £ Y

H(Z) , Z £ X 1

teremos uma função contínua $ = P^ o ip o P~^.

Segue que í> o $ = P^

P ^

P“^ = id

e

$ o

= P, í P-1 ip p“1 = id

f ■

g y f

Logo $ e 0 são homeomorfismo, um inverso do outro.

29) Corolário:

2 ?

Seja S uma superfície qualquer e S a esfera, S # S ' = S.

Seja D^ e

discos fechados de S e S respectivamente.

Seja Y = (S - Dx )

X 1 = D 1

X2 = (S2 -

2

)

h: 3D2 -

>

•

3D^ homeomorf

ismo. Existe uma extensão de h a um homeo-

morfismo H: (S2 - Ê>2 ) "v Di *

Assim aplicando o lema anterior temos:

.2

S # S - . Y 0id Dx S Y UH (S2 - D2 ) =

S

₂

₌

(S -

C^) Uh (s2

-

i>2 )

=

Y

Uh

X2

S

Y

U

X1

=

S

50

Veremos agora uma maneira bem simples de indicar os pa­

res de arestas identificadas em um polígono.

Seja um polígono no qual esteja indicado como se identi

ficam as arestas, partindo de ura determinado vértice, percorremos

a fronteira deste polígono, anotando em seqüência uma a uma,

as

letras que aparecem no polígono.

Se a flecha de uma aresta indica a mesma direção em que

percorremos a fronteira, então escrevemos a letra correspondente

a esta aresta sem expoente, se a flecha .indicar dirèção contrária-a le­

tra correspondente a esta aresta será representada com

expoente

menos um.

Observando os exemplos anteriores podemos escrever:

a) Esfera

a a“^

-1 -1 --1 -1

b) Soma conexa n toros a, b. an

b n .... a b a

b

1

1

1

1

n n n

n

c) Soma conexa de n planos projetivos

a, a. a_ a_ ... a a

1 1 2 2

n n

Obtemos assim novas superfícies com o auxílio de somas

conexas.

O teorema principal deste nosso trabalho, nos

garante

que, com estes exemplos esgotam todas as possibilidades de cons -

truir novas superfícies, nos dando a classificação completa

das

superfícies compactas.

1. TEOREMA DA CLASSIFICAÇÃO DE SUPERFÍCIE COMPACTA

Toda superfície compacta é homeoraorfa a uma esfera,

a

uma soma conexa de toros, ou a uma soma conexa de planos projeti­

vos .

Demonstração:

Demonstraremos o teorema em partes, provando que a su -

perfície S ê homeomorfa a um polígono com as arestas identifica -

das aos pares, segundo alguns dos símbolos da lista dada na pâg_i

na 50.

Primeira Parte

Seja K uma triangulação de uma superfície S. Enumeramos

os triângulos'{T^,T2

,Tn ) de modo que o triângulo T^ tenha uma

aresta e i comum com ao menos um dos triângulos T., ,T2 , .. . ,T^_^

2 í i í n,

Para demonstrar isto, escolhemos um triângulo qualquer

do conjunto acima a ser T-^, escolhemos como T^ qualquer triângulo

que tenha alguma aresta comum com T^, T^ qualquer triângulo

que

tenha uma aresta comum com T^ ou T2 . Suponhamos que, era^algum pon

to não fosse possível continuar este processo. Logo teríamos dois

conjuntos de triângulos '

{T^ ,T2

,T^.} e

• • • / T ) tal

que

nenhum triângulo do primeiro conjunto teria uma aresta ou vértice

comum com nenhum triângulo do segundo conjunto, com isto teríamos

uma partição de S em dois conjuntos fè.chados disjuntos è. não"- var

52

zios, o que vem contra a hipótese de quç S é conexa.

Utilizaremos a ordenação dos triângulos T^,...,Tn junto

com a escolha das arestas e2 ,e3 ' ••*'en / Para construir um modelo

da superfície S no plano cartesiano, este modelo será um polígono

cujos lados estão identificados aos pares.

Sabemos que, para cada triângulo T^, existe um triângu

lo ordinário T!

e um homeomorf

ismo

sobre T..

X Y X 1 3,

Suponhamos que os triângulos

,T^,•..

são disjuntos

dois a dois, se não forem, podemos transladar alguns deles

para

2 n

outras partes do plano R . Seja T 1

= U Tl, ..T" e um subconjunto

2 1=1 1

compacto de R ,

Definimos a aplicação

T ’

S como sendo i^/T^ =

.

A aplicação

contínua e sobrejetiva.

Como T ’

é compacto e S é um espaço de Hausdorff,

uma aplicação fechada. Portanto, S tem a topologia quociente de­

terminada por

. Com isto temos a idéia intuitiva de que consegui,

remos uma triangulação de S colando os triângulos ao longo

de

suas arestas apropriadas.

0 polígono desejado será construido como um espaço quo­

ciente de T*. Para cada i,

i ^n, escolha uma aresta e^ d<? T.. ,

que é também aresta de algum T_. , 1 ^ j ^ i.

-1

Entao

(e.) consta de duas arestas, uma de T í

e outra de Tl.

1 x 3

Identificamos estas duas arestas dos triângulos Tj

e

Tj do seguinte modo: Identificando aqueles pontos que sé aplicam

por ip em um mesmo ponto de e.. (intuitivamente, colamos os tpiângu

los T! e T M . Fazendo estas duas identificações para cada uma das

arestas

,*t•,en , obtemos o espaço quociente de T' que repre­

sentaremos por p. Como D é o espaço quociente de T ’

,

T 1

S in

duz uma aplicação

de D em S . Como Q é compacto e S ê de