MODÚLO 1. INTRODUÇÃO A LÓGICA MATEMÁTICA

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MODÚLO 1. INTRODUÇÃO A LÓGICA MATEMÁTICA

Proposição: Permite ser julgado verdadeiro ou falso. Possui um valor lógico. Exemplos:

 Morro do Alemão só tem bandido  A presidenta anulou o concurso  Sem polícia não tem copa do mundo

Sentença: Nem sempre permite julgar se é verdadeiro ou falso. Pode não ter valor lógico Exemplos:

 Estude mais  Maz Bah tchê!

 Quem é esse tal de Mazembe?

Veremos algo de suma importância: como negar uma proposição.

No caso de uma proposição simples, não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavra não antes da sentença, e já a tornamos uma negativa.

Exemplos:

PROPOSIÇÃO NEGAÇÃO

O Capitão Nascimento manda na PF O Capitão Nascimento não manda na PF Um gaúcho consegue acabar com o tráfico no

Rio

Um gaúcho não consegue acabar com o tráfico no Rio

Agora tente negar a proposição abaixo:

 Eu não vou passar no concurso do Banco do Brasil.

Opção 1: Eu vou passar no concurso do Banco do Brasil.

Opção 2: Não é verdade que eu não vou passar no concurso do Banco Brasil. Isso mesmo, a negação de uma negação é uma afirmação!

O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira (¬) ou um sinal de til (~), antecedendo a frase.

1.1 SENTENÇA X PROPOSIÇÃO

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Página 2 Vamos simbolizar a proposição abaixo

p = A mulher é mais eficiente que o homem. ¬p= A mulher não é mais eficiente que o homem.

Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” são ditas conjunções. Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por “  ”.

Exemplo:

Grêmio é freguês do São Paulo e O Internacional perde para o Mazembe.

Proposição 1: Grêmio é freguês do São Paulo.

Proposição 2: O Internacional perde para o Mazembe. Conetivo: e

Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “q” e o conetivo de “  ” Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p  q

1.3.1 AGORA É A SUA VEZ:

Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipóteses:

H1:

 p: Grêmio não é freguês do São Paulo  q: O Internacional perde para o Mazembe.

H2:

 p: Grêmio é freguês do São Paulo

 q: O Internacional não perde para o Mazembe.

H3:

 p: Grêmio não é freguês do São Paulo

 q: O Internacional não perde para o Mazembe.

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Página 3 H4:

 p: Grêmio é freguês do São Paulo

 q: O Internacional perde para o Mazembe.

“Marcos é médico e Maria é estudante”.

Diante da sentença “Marcos é médico e Maria é estudante”, só poderemos concluir que esta proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos é médico e que

Maria é estudante.

Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições componentes seja falsa, e a conjunção será – toda ela – falsa. Obviamente que o resultado falso também ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem falsas.

Essas conclusões todas as quais acabamos de chegar podem ser resumidas em uma pequena tabela. Trata-se da tabela-verdade, de fácil construção e de fácil entendimento.

Retomemos as nossas premissas:

p = Marcos é médico e q = Maria é estudante.

p q p  q

H1

H2

H3

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Importante: uma conjunção só será verdadeira, quando ambas as partes que a

compõem também forem verdadeiras. E falsos nos demais casos.

Recebe o nome de disjunção toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “v”. Portanto, se temos a sentença:

Estudo para o concurso ou assisto o Big Brother.

Proposição 1: Estudo para o concurso. Proposição 2: assisto o Big Brother. Conetivo: ou.

Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “q” e o conetivo de “v” Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p v q

1.4.1 AGORA É A SUA VEZ:

Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipóteses:

H1:

 p: Estudo para o concurso  q: assisto o Big Brother Brasil.

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Página 5 H2:

 p: Não Estudo para o concurso  q: assisto o Big Brother Brasil.

H3:

 p: Estudo para o concurso

 q: Não assisto o Big Brother Brasil..

H4:

 p: Não Estudo para o concurso  q: Não assisto o Big Brother Brasil.

“Marcos é médico ou Maria é estudante”

Seremos capazes de criar uma tabela-verdade para uma proposição disjuntiva? Claro, vamos lá!

p q p  q

H1

H2

H3

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Daí, concluímos: uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem forem

ambas falsas! E nos demais casos, a disjunção será verdadeira! Teremos as possíveis

situações:

Recebe o nome de condicional toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo Se... Então.... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “”. Portanto, se temos a sentença:

“Se Roth é treinador, então o Inter é campeão” Proposição 1: O Roth é treinador

Proposição 2: Inter é campeão Conetivo: se.. então

Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “q” e o conetivo de “” Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p  q

1.5.1 AGORA É A SUA VEZ:

Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipóteses:

H1:

 p: Roth é treinador

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 q: Inter é campeão.

H2:

 p: Roth não é treinador  q: Inter não é campeão.

H3:

 p: Roth não é treinador  q: Inter é campeão

H4:

 p: Roth é treinador  q: Inter não é campeão

“Se Pedro for rico, então Maria é médica”.

Pois bem! Como ficará nossa tabela-verdade, no caso da proposição condicional?

Pensaremos aqui pela via de exceção: só será falsa esta estrutura quando a houver a condição suficiente, mas o resultado necessário não se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a condicional será verdadeira.

p q p  q

H1

H2

H3

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Recebe o nome de bicondicional toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ... se somente se... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “



“Maria compra o sapato se e somente se o sapato combina com a bolsa” Proposição 1: Maria compra o sapato

Proposição 2: O sapato combina com a bolsa Conetivo: se e somente se

Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “q” e o conetivo de “





1.5.1 AGORA É A SUA VEZ:

Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipóteses:

H1:

 p: Maria compra o sapato

 q: O sapato não combina com a bolsa

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Página 9 H2:

 p: Maria não compra o sapato  q: O sapato combina com a bolsa

H3:

 p: Maria compra o sapato

 q: O sapato combina com a bolsa

H4:

 p: Maria não compra o sapato

 q: O sapato não combina com a bolsa

“Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri”.

Sabendo que a bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais, então a bicondicional será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições que a compõem forem diferentes. Em suma: haverá duas situações em que a bicondicional será verdadeira: quando antecedente e conseqüente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos falsos. Nos demais casos, a bicondicional será falsa.

p q p  q

H1

H2

H3

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Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma

Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das

proposições p, q, r, ... que a compõem Exemplos:

 Ricardiano passou no concurso da PF ou Ricardiano não passou no concurso da PF  Não é verdade que o concurso foi cancelado ou o concurso foi cancelado

Ao invés de duas proposições, nos exemplos temos uma única proposição, afirmativa e negativa. Vamos entender isso melhor. Exemplo:

Grêmio vai sair campeão ou o Grêmio não vai sair campeão

Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “~p” e o conetivo de “V” Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p V ~p

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Página 11 1.7.1 AGORA É A SUA VEZ:

H1:

 p: Grêmio vai sair campeão

 ~p: ______________________________

H2:

 p: Grêmio não vai sair campeão

 ~p: _______________________________

Logo temos uma TAUTOLOGIA!

“Vou passar no concurso do BB ou não vou passar no concurso do BB”

Como ficaria a tabela verdade?

Concluindo: Como dito antes, uma tautologia sempre será verdadeira!

p ~p p v ~p H1 H2 p ~p p v ~p V F F V

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Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma

contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem

Exemplos:

 O Zorra total é uma porcaria e Zorra total não é uma porcaria  Genival foi a praia e Genival não foi a praia

Ao invés de duas proposições, nos exemplos temos uma única proposição, afirmativa e negativa. Vamos entender isso melhor. Exemplo:

Lula é o presidente do Brasil e o Lula não é o presidente do Brasil

Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “~p” e o conetivo de “  ” Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p  ~p

1.7.1 AGORA É A SUA VEZ: H1:

 p: Lula é o presidente do Brasil

 ~p: ______________________________

H2:

 p: Lula não é o presidente do Brasil

 ~p: _______________________________

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Logo temos uma CONTRADIÇÃO!

“Vou para o cinema e não vou para o cinema”.

Como ficaria a tabela verdade nesta situarão? Vamos ver?

Concluindo: Como dito antes, uma contradição sempre será falsa!

p ~p p  ~p H1 H2 p ~p p  ~p V F F V

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MODÚLO 2. OPERAÇÕES BÁSICAS COM CONETIVOS

LÓGICOS

Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de

suas tabelas-verdade são idênticos

A equivalência lógica entre duas proposições, p e q, pode ser representada simbolicamente como: p q , ou simplesmente por p = q

EQUIVALÊNCIAS: 1ª p  p = p

Exemplo: Professor Ed é feliz e feliz = Professor Ed é Feliz Construindo a tabela:

2ª p ou p = p

Exemplo: Joaquina foi a praia ou a praia = Joaquina foi a praia

P p  p V V F F p p  _p V V F F 2.2 EQUIVALÊNCIA DE CONETIVOS

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Página 15 3ª p



Exemplo:

Trabalho na Polícia Federal se e somente se estudar para o concurso = Se trabalho na Polícia Federal então estudo para o concurso e se estudo para o concurso então trabalha na Polícia Federal

Tabela

4ª p  q =(~q  ~p) Exemplo:

Se bebo então sou rico = Se não sou rico então não bebo

5ª p  q =(~p  p) Exemplo:

Se bebo então sou rico = não bebo ou sou rico

p q _P















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Página 16 6ª Conetivos que são comutativos (podemos trocar a ordem que a solução será a mesma):

 ,  ,



Exemplos:

 (p _{ q) = (}q _{ p)}

 (p _{ q) = (}q _{ p)}

 (p





7ª Conetivo que não é comutativo (não podemos trocar a ordem):



 (p







Agora vamos aprender a negar proposições compostas, para isto devemos considerar que:

TABELA: PROPOSIÇÃO OU CONETIVO NEGAÇÃO p ~p ~p p ^ v

Para negarmos uma proposição conjunta devemos utilizar a propriedade distributiva, similar àquela utilizada em álgebra na matemática.

p q ~p (P



F F F V V F

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- Negação de uma Proposição Conjuntiva: ~(p e q)

Para negarmos uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos o seguinte: 1) Negaremos a primeira (~p);

2) Negaremos a segunda (~q); 3) Trocaremos e por ou.

E só!

Daí, a questão dirá: “Não é verdade que João é médico e Pedro é dentista”, e pedirá que encontremos, entre as opções de resposta, aquela frase que seja logicamente equivalente a esta fornecida.

Analisemos: o começo da sentença é “não é verdade que...”. Ora, dizer que “não é verdade

que...” é nada mais nada menos que negar o que vem em seguida.

E o que vem em seguida? Uma estrutura de conjunção! Daí, como negaremos que “João é médico

e Pedro é dentista”? Da forma explicada acima:

1) Nega-se a primeira parte: (~p): “João não é médico” 2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Pedro não é dentista” 3) Troca-se e por ou, e o resultado final será o seguinte:

“João não é médico ou Pedro não é dentista”.

Traduzindo para a linguagem da lógica, diremos que:





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- Negação de uma Proposição Disjuntiva: ~(p ou q)

Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos o seguinte: 1) Negaremos a primeira (~p);

2) Negaremos a segunda (~q); 3) Trocaremos ou por e.

Se uma questão de prova disser: “Marque a alternativa que é logicamente equivalente à seguinte frase: Não é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é engenheiro”

.Pensemos: a frase em tela começa com um “não é verdade que...”, ou seja, o que se segue está

sendo negado! E o que se segue é uma estrutura em forma de disjunção. Daí, obedecendo aos passos descritos acima, faremos:

1) Nega-se a primeira parte: (~p): “Pedro não é dentista” 2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Paulo não é engenheiro” 3) Troca-se ou por e, e o resultado final será o seguinte:

“Pedro não é dentista e Paulo não é engenheiro”.

Na linguagem apropriada, concluiremos que:





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- Negação de uma Proposição Condicional: ~(p  q)

Esta negativa é a mais cobrada em prova! Já, já, veremos exercícios de concursos bem recentes. Como é que se nega uma condicional? Da seguinte forma:

1º) Mantém-se a primeira parte; e. 2º) Nega-se a segunda.

Por exemplo, como seria a negativa de “Se chover, então levarei o guarda-chuva”? 1º) Mantendo a primeira parte: “Chove” e

2º) Negando a segunda parte: “eu não levo o guarda-chuva”.

Resultado final: “Chove e eu não levo o guarda-chuva”.

Na linguagem lógica, teremos que:

Vejamos a questão seguinte:

A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação:

a) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’.

b) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’. c) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’. d) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’.





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e) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.

Sol.: Vamos pensar juntos. Vejamos que a frase em análise começa com “não é verdade que...”.

Logo, estamos lidando com uma negação! E o que se segue a esta negação? Uma proposição

condicional, ou seja, uma sentença do tipo “Se p, então q”.

Daí, recordaremos aquilo que acabamos de aprender: para negar uma condicional, manteremos a primeira parte e negaremos a segunda. Teremos:

O resultado ficou assim: “Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”.

Daí procuraremos entre as opções de resposta, alguma que diga justamente que: “É verdade que

‘Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”. Encontramos? Não encontramos!

Teremos então que encontrar uma resposta equivalente a essa, ora faremos o seguinte então, negaremos duas vezes essa sentença, ou seja, negando duas vezes estamos dizendo a mesma coisa, encontrando uma equivalente a essa.

Começaremos com “não é verdade que...”, assim negamos uma vez.

Agora pegaremos a o resultado “Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris” e negamos também, ficamos então com:

“Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”

Esta é nossa resposta! Letra d.

Exercícios:

01. (Fiscal Recife/2003) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição:

a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.

c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

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02. (AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:

a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.

d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.

03. (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:

a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico

c) nenhum médico é economista

d) pelo menos um médico não é economista e) todos os não médicos são não economistas

04. (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é:

a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva. c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva. e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.

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05. (banco do Brasil 2011) Um jornal publicou a seguinte manchete: “Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários”

Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é:

a) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo.

b) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários. c) Nenhuma Agência do banco do Brasil tem déficit de funcionários. d) Alguma Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários.

e) Existem Agências com déficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil.

06. (TRE–PI FCC) Todos os advogados que trabalham numa cidade formaram- se na universidade X. Sabe-se ainda que alguns funcionários da prefeitura dessa cidade são advogados. A partir dessas informações, é correto concluir que, necessariamente,

a) Existem funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X.

b) Todos os funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X são advogados. c) Todos os advogados formados na universidade X trabalham nessa cidade.

d) Dentre todos os habitantes dessa cidade, somente os advogados formaram-se na universidade X.

e) Existem funcionários da prefeitura dessa cidade que não se formaram na universidade X.

07. (TSE-GO FCC) São dadas as afirmações: - Toda cobra é um réptil.

- Existem répteis venenosos.

Se as duas afirmações são verdadeiras, então, com certeza, também é verdade que: a) Se existe uma cobra venenosa, então ela é um réptil.

b) toda cobra é venenosa.

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d) qualquer réptil é uma cobra.

e) Se existe um réptil venenoso, então ele é uma cobra.

08. ESAF - Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental – 2008) Dois colegas estão tentando resolver um problema de matemática. Pedro afirma para Paulo que X = B e Y = D. Como Paulo sabe que Pedro sempre mente, então, do ponto de vista lógico, Paulo pode afirmar corretamente que: a) X ≠ B e Y ≠ D b) X = B ou Y ≠ D c) X ≠ B ou Y ≠ D d) se X ≠ B, então Y ≠ D e) se X ≠ B, então Y = D

9. Se “cada macaco fica no seu galho”, então: a) tem mais macaco do que galho.

b) pode haver galho sem macaco. c) dois macacos dividem um galho. d) cada macaco fica em dois galhos. e) dois galhos dividem um macaco.

10. (TRT-9R-2004-FCC) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza: a) um silogismo. b) uma tautologia. c) uma equivalência. d) uma contingência. e) uma contradição.

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11. (AFC-STN/2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo: a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear.

c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. e) Marcos estudar é condição necessária para João passear.

12. Se A for a proposição “Todos os policiais são honestos”, então a proposição ¬A estará enunciada corretamente por “Nenhum policial é honesto”.

13. (BB-CESP/2007) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira.