Modos Normais. Física do Estado Sólido 2017/2018, 23 Abril Modos Normais FES Fonões 1 / 20

Modos Normais

Outline

1 Introdução

2 Sistema Clássico

Sistemas perto do equilíbrio

O comportamento de todos os sistemas que estão perto do equilíbrio é similar. Vamos ter vibrações, quânticas ou clássicas, em torno desse equilíbrio. Essa vibrações vão ser uma sobreposição demodos próprios ou modos normais.

Equação de Newton

Vamos supor que temos um conjunto de N partículas que interagem com um potencial V . A posição da partícula j é dada por

~

Rj = (Rjx,Rjy,Rjz)e a sua massa é Mj. A equação de Newton que

descreve o movimento da componente k (k = x , y , z) da posição partícula j é Mj d2_R jk dt2 = − ∂ ∂Rjk V (R1x,R1y,R1z,R2x, . . . ,RNz).

Vamos supor também que o potencial tem um mínimo “bem comportado” para

V (R(0)_1x,R_1y(0),R_1z(0),R_2x(0), . . . ,R_Nz(0))

O nosso primeiro passo vai ser uma mudança de variável para que o mínimo do potencial fique na origem das novas variáveis e para que o coeficiente das derivadas segundas seja o mesmo.

Primeira Mudança de Variáveis

Vamos definir as novas variáveis

w1 = (R1x− R (0) 1x) r M1 M w2 = (R1y− R (0) 1y) r M1 M w3 = (R1z− R (0) 1z) r M1 M w4 = (R2x− R (0) 2x) r M2 M . . . w3N = (RNz− R_Nz(0)) r MN M

onde a massa média é M = _N1 PN

A Equação de Newton nas Novas Coordenadas

vamos ter que

M1 d2R1x dt2 = M1 s M M1 d2w1 dt2 = − ∂ ∂R1x V (R1x,R1y,R1z,R2x, . . . ,RNz) = − r M1 M ∂ ∂w1 e V (w1,w2,w3, . . . ,w3N).

onde usámos o til para indicar a função nas novas variáveis. Fazendo o mesmo para todas as coordenadas temos finalmente

Md 2_w j dt2 = − ∂ ∂wj e V (w1,w2,w3, . . . ,w3N)

Aproximação Harmónica

Como o potencial é bem comportado e tem o mínimo na origem podemos fazer uma expansão em série de Taylor

e V (w1,w2,w3, . . . ,w3N) =V0+ 1 2 3N X j=1 3N X k =1 ∂2Ve ∂wj∂wk (0, 0, . . . , 0)wjwk+ . . . definindo Ujk = ∂ 2 e V

∂wj∂wk(0, 0, . . . , 0) e cortando a série depois do primeiro termo não trivial temos a aproximação harmónica

W (w1,w2,w3, . . . ,w3N) =V0+ 1 2 3N X j=1 3N X k =1 Ujkwjwk

onde Ujk é uma matriz simétrica que vamos diagonalizar com uma

Segunda mudança de Variáveis

A matriz Ujk é simétrica, tem valores próprios reais não negativos

K(`)≥ 0 e vectores próprios reais ortogonais, c<sub>j</sub>(`) ∈ R,

3N X k =1 Ujkc (`) k =K (`)_c(`) j ondeP3N k =1c (m) k c (n) k = δmn.

Vamos agora definir as coordenadas normais sn

wj = 3N X n=1 c_j(n)sn A transformação inversa é sn= 3N X j=1 c_j(n)wj

Novo Potencial

Usando as novas variáveis vamos ter f W (s1, . . . ,s3N) = V0+ 1 2 3N X j=1 3N X k =1 Ujk _X3N n=1 c_j(n)sn _X3N m=1 c_k(m)sm  = V0+ 1 2 3N X j=1 3N X n=1 c_j(n)sn 3N X m=1 sm 3N X k =1 Ujkc_k(m) = V0+ 1 2 3N X j=1 3N X n=1 c_j(n)sn 3N X m=1 smK(m)c_j(m) = V0+ 1 2 3N X m=1 3N X n=1 snsmK(m) 3N X j=1 c_j(m)c_j(n) = V0+ 1 2 3N X n=1 K(n)s2_n

Equação de Newton Final

Usando as novas variáveis vamos ter

Md 2_s n dt2 = 3N X j=1 c_j(n)Md 2_w j dt2 = − 3N X j=1 c_j(n) ∂ ∂wj f W (s1, . . . ,s3N) = − 3N X j=1 c_j(n) 3N X m=1 c_j(m) ∂ ∂sm f W (s1, . . . ,s3N) = − ∂ ∂sn f W (s1, . . . ,s3N) = −K(n)sn

ou seja, ficámos com uma série de osciladores desacoplados com frequência ωn =

q

K(n)

Movimento na Aproximação Harmónica

A solução da equação anterior é

sn(t) = Ansin(ωnt) + Bncos(ωnt)

que corresponde a ummodo normal e onde Ane Bnsão constantes

de integração que dependem das condições iniciais. Vamos ter então que

wj(t) = 3N X n=1 c_j(n)sn(t) = 3N X n=1 c(n)_j Ansin(ωnt) + Bncos(ωnt)  e finalmente R1x(t) = R_1x(0)+ s M M1 3N X n=1 c₁(n)Ansin(ωnt) + Bncos(ωnt) 

O Hamiltoniano

Vamos supor que temos um conjunto de N partículas discerníveis sem spin que interagem com um potencial V . A posição da partícula j é dada por ~Rj = (Rjx,Rjy,Rjz)e a sua massa é Mj. O hamiltoniano que

descreve este sistema de partículas é

H = N X j=1 X k =x ,y ,z − ~ 2 2Mj ∂2 ∂R_jk2 +V (R1x,R1y,R1z,R2x, . . . ,RNz). Vamos supor também que o potencial tem um mínimo “bem comportado” para

V (R(0)_1x,R_1y(0),R_1z(0),R_2x(0), . . . ,R_Nz(0))

O nosso primeiro passo vai ser uma mudança de variável para que o mínimo do potencial fique na origem das novas variáveis e para que o coeficiente das derivadas segundas seja o mesmo.

Primeira Mudança de Variáveis

Vamos definir as novas variáveis

w1 = (R1x− R (0) 1x) r M1 M w2 = (R1y− R (0) 1y) r M1 M w3 = (R1z− R (0) 1z) r M1 M w4 = (R2x− R (0) 2x) r M2 M . . . w3N = (RNz− R_Nz(0)) r MN M

onde a massa média é M = _N1 PN

O Hamiltoniano nas Novas Coordenadas

vamos ter que

H = N X j=1 X k =x ,y ,z − ~ 2 2Mj ∂2 ∂R2 jk +V (R1x,R1y,R1z,R2x, . . . ,RNz) = −~ 2 2M 3N X j=1 ∂2 ∂w2 j + eV (w1,w2,w3, . . . ,w3N)

onde nas novas coordenadas as “massas” aparecem como sendo idênticas.

Aproximação Harmónica

Como o potencial é bem comportado e tem o mínimo na origem podemos fazer uma expansão em série de Taylor

e V (w1,w2,w3, . . . ,w3N) =V0+ 1 2 3N X j=1 3N X k =1 ∂2Ve ∂wj∂wk (0, 0, . . . , 0)wjwk+ . . . definindo Ujk = ∂ 2 e V

∂wj∂wk(0, 0, . . . , 0) e cortando a série depois do primeiro termo não trivial temos a aproximação harmónica

V (w1,w2,w3, . . . ,w3N) ' W (w1,w2,w3, . . . ,w3N) = V0+ 1 2 3N X j=1 3N X k =1 Ujkwjwk

Aproximação Harmónica II

A aproximação harmónica do hamiltoniano fica então

H ' −~ 2 2M 3N X j=1 ∂2 ∂w_j2+V0+ 1 2 3N X j=1 3N X k =1 Ujkwjwk

onde Ujk é uma matriz simétrica que vamos diagonalizar com uma

Segunda mudança de Variáveis

A matriz Ujk é simétrica, tem valores próprios reais não negativos

K(`)≥ 0 e vectores próprios reais ortogonais, c<sub>j</sub>(`) ∈ R,

3N X k =1 Ujkc_k(`) =K(`)c_j(`) ondeP3N k =1c (m) k c (n) k = δmn.

Vamos agora definir as coordenadas normais sn

wj = 3N

X

n=1

Novo Potencial

Usando as novas variáveis vamos ter f W (s1, . . . ,s3N) = V0+ 1 2 3N X j=1 3N X k =1 Ujk _X3N n=1 c_j(n)sn _X3N m=1 c_k(m)sm  = V0+ 1 2 3N X j=1 3N X n=1 c_j(n)sn 3N X m=1 sm 3N X k =1 Ujkc_k(m) = V0+ 1 2 3N X j=1 3N X n=1 c_j(n)sn 3N X m=1 smK(m)c_j(m) = V0+ 1 2 3N X m=1 3N X n=1 snsmK(m) 3N X j=1 c_j(m)c_j(n) = V0+ 1 2 3N X n=1 K(n)s2_n

Nova energia cinética

Usando as novas variáveis vamos ter ∂ ∂wj = 3N X n=1 ∂sn ∂wj ∂ ∂sn = 3N X n=1 c_j(n) ∂ ∂sn

onde usámos a transformação inversa, sn=P3Nj=1c (n) j wj.

O operador energia cinética fica

T = − ~ 2 2M 3N X j=1 ∂2 ∂w2 j = − ~ 2 2M 3N X j=1 3N X n=1 c_j(n) ∂ ∂sn 3N X m=1 c_j(m) ∂ ∂sm = − ~ 2 2M 3N X n=1 3N X m=1 X3N j=1 c_j(n)c_j(m) ∂ ∂sn ∂ ∂sm = −~ 2 2M 3N X n=1 ∂2 ∂s2 n

Hamiltoniano final

O hamiltoniano na aproximação harmónica fica finalmente H ' eH =T + fW = − ~ 2 2M 3N X n=1 ∂2 ∂s2 n +V0+ 1 2 3N X n=1 K(n)s_n2 =V0+ 3N X n=1  − ~ 2 2M ∂2 ∂s2 n +1 2K (n)_s2 n 

que corresponde a 3N osciladores harmónicos dasacoplados com frequências ωn=

q

K(n)