Funções de várias variáveis

GOVERNO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO CÂMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA

PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA CÁLCULO II – 2015.2

Funções de várias variáveis

1. Ilustração

 A área de um retângulo depende de duas quantidades - comprimento e largura.

 Se um objeto está localizado no espaço, a temperatura em um ponto P do objeto depende de três coordenadas retangulares de P.

 Se a temperatura de um objeto no espaço varia com o tempo , então depende de quatro variáveis e .

 O número de indivíduos de uma certa colônia de fungos depende essencialmente da quantidade de nutrientes ( ), da quantidade de água ( ), da temperatura ( ) e da presença de uma certa proteína ( ). Experimentalmente foi obtida a seguinte tabela:

possivelmente não tem uma formulação matemática explícita, mas é uma função bem definida por

Definições

Suponha que seja um conjunto de -uplas de números reais . Uma função a valores reais em é uma regra que associa um único número real

a cada elemento em . O conjunto é o domínio da função. O conjunto de valores de assumidos por é a imagem da função. O símbolo é a variável dependente de , e dizemos que é uma função de variáveis independentes a . Também chamamos os

de variáveis de entrada da função, e denominamos a variável de saída da função. Se é uma função de duas variáveis independentes, normalmente denominamos essas variáveis independentes por e , e a variável dependente , e representamos o domínio de como a região no plano (Figura 1). Se é uma função de três variáveis independentes, denominamos as variáveis independentes e , e a variável dependente w, e representamos o domínio como uma região no espaço (figura 2).

2. Curvas de Nível

Gráficos gerados por computador e curvas de nível de funções de duas variáveis típicas.

Exemplo 1 Seja

a) Esboce o domínio de .

b) Represente os números , e em um eixo .

Exemplo 2 Seja uma função com domínio dado por e

Esboce o gráfico de f e exiba os traços nos planos e .

Exemplo 3 Esboce algumas curvas de nível da função do Exemplo 2.

Exemplo 4 Se , esboce algumas curvas de nível de .

Exemplo 5 Determine o domínio D e a imagem e a imagem w para cada função dada abaixo.

a) ; b) c) ; d) e) ; f)

3. Limites e continuidade

Se os valores de estão arbitrariamente próximo de um número real fixado para todos os pontos suficientemente próximo de um ponto . Para se estimar o limite de uma função de duas variáveis no ponto é necessário calcular esse valor por todas as trajetórias que passem por . Se em todos os casos o resultado for sempre o mesmo, ou seja, , diz-se que o limite existe e seu valor é . Caso o limite não exista em alguma trajetória ou dê um valor diferente para trajetórias diferentes, dizemos que o limite não existe.

Definição

Dizemos que uma função se aproxima do limite á medida que se aproxima de e escrevemos

Se, para todo número existe um número correspondente tal que, para todo no domínio de (Figura 3)

sempre que

Exemplo 1 Calcule os limites:

a)

; b)

; c)

d)

; e)

; f)

Teste dos dois caminhos para a não existência de um limite

Se uma função tem limites diferentes ao longo de dois caminhos diferentes no domínio de quando se aproxima de , então

não existe.

4. Continuidade

Assim como para funções de uma variável, a continuidade é definida em termos de limites.

Definição Uma função é contínua no ponto se: 1. F for definida em

2.

existe;

3.

Uma função é contínua se for contínua em todos os pontos de seu domínio.

Exemplo 01 Mostre que

é contínua em todo ponto, exceto na origem.

5. Derivadas parciais

Se

for um ponto do domínio de uma função , o plano vertical cortará a superfície na curva (Figura 4). Essa curva é o gráfico da função no plano . A coordenada horizontal nesse plano é ; a coordenada vertical é . O valor de se mantém constante em , portanto não é uma variável.

Definimos a derivada parcial de em relação à no ponto como a derivada ordinária de em relação à no ponto . Para distinguir as derivadas parciais das derivadas ordinárias, utilizamos o símbolo no lugar da letra empregada anteriormente. Na definição, representa um número real, positivo ou negativo.

Definição A derivada parcial de em relação a no ponto é

Dede que o limite exista.

O coeficiente angular da curva no ponto no plano é o valor da derivada parcial de em relação a em . Na (Figura 4) temos o coeficiente angular negativo.

Definição A derivada parcial de em relação a no ponto é

Dede que o limite exista.

O coeficiente angular da curva no ponto no plano é o valor da derivada parcial de em relação a em . Na (Figura 5) temos o coeficiente angular negativo.

Notações para derivadas parciais

, , , , , , , Figura 4

Interseção do plano y = y0 com a superfície

z = ƒ(x, y) vista de um ponto acima do

primeiro quadrante do plano xy.

Figura 5

Interseção do plano x = x0 com a superfície

z = ƒ(x, y), vista de cima do primeiro

quadrante no plano xy.

As figuras 4 e 5 combinadas. As retas tangentes no ponto (x0, y0, ƒ(x0, y0)) determinam um

plano que, nesta figura, pelo menos, parece ser tangente à superfície.

Teorema

Sejam o gráfico de e um ponto de onde e existem. Sejam e os traços de nos planos e , respectivamente, e sejam e as tangentes a e e (Ver Figura 6).

(i) O coeficiente angular de no plano é (ii) O coeficiente angular de no plano é .

Teorema

Seja uma função de duas variáveis e . Se e são contínuas em

uma região aberta , então em .

Exemplo

ache as derivadas parciais de se

Incrementos e diferenciais

Se é uma função de duas variáveis e , então os símbolos e denotam incremento de e . Em termos desta notação, podemos escrever

Definição

Seja , e sejam e incrementos de e , respectivamente. O incremento de é Vide Figura 7

Exercícios

Funções

Problema 01 De acordo com uma das leis de Poiseuille, a velocidade do sangue ( ) a uma distância (em cm) do eixo de um vaso sanguíneo de raio (em cm) e comprimento ( ) é dado por . Onde ( ) é a pressão no interior do vaso. Suponha que um certo vaso tem de raio e de comprimento. a) Com que velocidade o sangue está circulando a uma distância de do vaso se a pressão no vaso é ?

b) Com que velocidade o sangue está circulando no eixo do vaso sanguíneo se a pressão no vaso é ?

Problema 02 Dada a função e , ache a função e seu domínio.

Problema 03 Descreva o domínio da função . Represente num gráfico a região espacial que contém todos os pontos do domínio de . Calcule os valores de indicados abaixo, se possível.

Problema 04 Em cada parte descreva o gráfico da função num sistema de coordenadas . a) b) c)

Problema 05 Encontre o domínio e a imagem da função

.

Limite

Nos Problemas 06 – 17. Determine se o limite existe. Se existir, determine seu valor.

Coordenadas Esféricas e 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

Nos Problemas 18 – 27. Determine as derivadas parciais das funções a seguir. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

Problema 28 Mostre que

satisfaz a Equação do Calor

Uma função é dita harmônica se ela satisfaz a Equação de Laplace. Para duas dimensões é dada por

Nos Problemas 29 – 36. Verifique que as funções dadas são harmônicas. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36.

http://www.univasf.edu.br/~pedro.macario/ Página 10 Se ficarmos em uma praia e tiramos uma fotografia das ondas, essa foto mostrará um padrão regular de picos e depressões em dado instantes. Veremos o movimento vertical periódico no espaço em relação à distância. Se ficarmos na água, poderemos sentir a subida e descida da água com o passar das ondas. Veremos movimentos periódicos no tempo. Na física, essa bela simetria é expressa pela Equação de Onda Unidimensional.

Nos Problemas 37 – 40 verifique que as funções são solução da equação da onda. 37. 38.

39. 40.

Regra da Cadeia de Duas Variáveis

Teorema se e forem diferenciáveis em e se for diferençável no ponto , então é diferencial em e

Onde as derivadas comuns são calculadas em e as derivadas parciais são calculadas em .

Problema 41 Sendo , encontre .

Problema 42 Sendo , use a regra da cadeia para encontrar quando .

Problema 43 Encontre para

Regra da Cadeia de Três Variáveis

Teorema se e forem diferenciáveis em e se for diferençável no ponto , então é diferencial em e

Onde as derivadas comuns são calculadas em e as derivadas parciais são calculadas em .

[Digite o título do documento] Prof. Pedro Macário de Moura

http://www.univasf.edu.br/~pedro.macario/ Página 11

Problema 44 Sendo . Encontre .

Regra da Cadeia de Duas Variáveis

Teorema se e tiverem derivadas parciais de primeira ordem no ponto e se for diferençável no ponto , então tem derivadas parciais de primeira ordem no ponto dadas por

Problema 44 Encontre e se

Regra da Cadeia de Duas Variáveis

Teorema se e tiverem derivadas parciais de primeira ordem no ponto e se for diferençável no ponto , então tem derivadas parciais de primeira ordem em dadas por

Nos Problemas 45 – 46 encontre e . 45. . 46. e . Problema 47 Encontre e para

Uma função é denominada homogênea de grau se para todo .

Nos Problemas 48 – 50 mostre que a função é homogênea e determine seu grau 48. 49. 50.