Transmissão de impulsos em banda-base

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Transmissão de impulsos em

banda-base

4 Breves notas sobre igualização

O algoritmo “zero forcing”

(2)

Algoritmo “Zero Forcing” (ZF)

Suponhamos que o canal de comunicação é conhecido e tem uma resposta impulsional h . Desejamos igualizá-lo com um igualizador com estrutura de filtro transversal de 2M+1 coeficientes, como na figura seguinte:

(t)

Canal

h(t) Igualizadorct)

a(t) y(t)

p(t)

• Resposta impulsional do igualizador: ( ) M _k ( )

k M

c t c

δ

t kT

=−

=

∑

−

• Resposta impulsional global “canal + igualizador”:

p(t)=h(t)∗c(t) =h(t )∗ c_k

δ

(t −kT ) k=−M M

∑

= = c_kh(t)∗

δ

(t−kT ) k=−M M

∑

= c_kh(t −kT ) k=−M M

∑

• Nos instantes de amostragem (t =nT_):

p(nT )= c_kh[(n−k)T ] k=−M M

∑

= c_kh_n₋_k k=−M M

∑

• é a enésima amostra da resposta impulsional amostrada do

canal, obtida no instante de amostragem

h_n = h(nT )

t =nT.

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Algoritmo “Zero Forcing” (cont.)

• O critério de Nyquist para transmissão sem interferência intersimbólica (ISI) impõe que nos instantes de amostragem se verifique

p(nT )= 1 n=0

0 n≠0

  

Como temos um número finito de coeficientes no igualizador (2M+1) só conseguimos satisfazer a condição acima em 2M+1 instantes de tempo:

p(nT )= 1 n=0 0 n= ±1,±2,…,±M   

• Então, para que não haja ISI terá de ser

p(nT )= c_kh_n₋_k k=−M M

∑

= 1 n=0 0 n= ±1,±2,…,±M   

Na forma matricial o sistema de equações anterior escreve-se

h₀ h₋₂_M h_M₋₁ h₋_M₋₁ h_M h₋_M h_M₊₁ h₋_M₊₁ h₂_M h₀                       c₋_M c₋₁ c₀ c₁ c_M                       = 0 0 1 0 0                    

(A localização do elemento não nulo do 2º membro indica o atraso no igualizador)

• Os coeficientes do igualizador que satisfaçam este sistema de equações “forçam a zero” a ISI nos 2M+1 instantes abrangidos pelo filtro; daí o nome de algoritmo “zero forcing”, ou ZF.

• Um dos inconvenientes é que não podemos usar o algoritmo ZF se não conhecermos o canal.

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Algoritmo ZF: exemplo 1

Impulsos rectangulares produzidos a um débito de 2500 bits/s atravessam um canal. A saída amostrada à cadência de

T

= 1/2500 = 0,4

ms

é a seguinte: 0 0,2 0,4 0,6 0,8 h_n 0,55 0,80 0,58 0,26 0,12 0,05 _0,02 0 -1 1 2 -2 ₃ ₄ ₅ _n

Da figura conclui-se que o atraso introduzido pelo canal é não-nulo e igual a 2T.

P.: É usado um igualizador de 5 coeficientes para anular a interferência intersimbólica

com o algoritmo ZF. Quais devem ser os valores dos coeficientes?

R.: Aplicando os valores de h_n à equação ZF temos

2 1 0 1 2 0,80 0,55 0 0 0 0 0,58 0,80 0,55 0 0 0 0,26 0,58 0,80 0,55 0 1 0,12 0,26 0,58 0,80 0,55 0 0,05 0,12 0,26 0,58 0,80 0 c c c c c − −                × =                                

]

Solução: c_ZF = −

[

12,2 17,8 −13,0 7,7 −3,3

]

T

A localização do elemento não-nulo do segundo membro do sistema indica que o atraso global introduzido pelo conjunto vai ser de 2 + 2 = 4 intervalos de tempo.

Se quisermos que o atraso global seja de 2 + 0 = 2 intervalos de tempo (isto é, o igualizador não introduz atraso) então no segundo membro deveremos ter

_[

1 0 0 0 0 T. Nesse caso a solução do sistema será:

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Algoritmo ZF: exemplo 1 (cont.)

Gráficos

Resposta impulsional do igualizador ZF (atraso global: 4T)

-20 -10 0 10 20 -2 -1 0 1 2 n c_n

Resposta impulsional global após igualização (atraso global: 4T)

0 -8 -6 -4 -2 0 2 2 4 6 8 10 p_n n Igualização perfeita

Se o atraso global for 2T ⇒ c_ZF = −

[

0,59 2,67 −3,25 2,18 −0,87

]

T : Resposta impulsional global após igualização (atraso global: 2T)

-0,5 0 0,5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 n p_n Igualização perfeita

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Algoritmo ZF: exemplo 2

Outro canal: ( ) 1 0 ( ) (1 ) t T t T e t h t e e t T τ τ τ − − − −  ₋ _≤  = − >  T ≤ , T =1s, τ =3 Relação sinal-ruído: 20 dB Igualizador ZF: 31 coeficientes 0 5 10 15 20 0 0.1 0.2 0.3 Tempo (s)

Respostas impulsionais contínua e amostrada

0 0.5 1 1.5 2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Tempo (s) Sem igualização Tempo (s) Após igualização ZF 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1 0 1 2

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Algoritmo ZF: outro exemplo

(8)

Algoritmo LMS (“Least Mean Squares”)

• É o algoritmo adaptativo mais usado!

Igualizador T T … T c0(n) c1(n) c2(n) cN-1(n) + -Sinal recebido Erro d(n)

a(n) a(n-1) a(n-2) a(n-N-1)

Resposta desejada

e(n)=d(n)-cT_(n)a(n)

• Coeficientes do filtro adaptativo: c( )n =

[

c n₀( ) c n₁( ) … c_N₋₁( )n

]

T

• Vector do sinal de entrada: a( )n =

[

a n( ) a n( −1) … a n N( − +1)

]

T Estes vectores têm N elementos.

• No algoritmo LMS deseja-se minimizar o erro quadrático, e2_(n).

• Equação de actualização dos coeficientes:

(n+ =1) ( ) 2 ( ) ( )n + µe n n

c c a

(µ – passo de adaptação)

• Para o algoritmo LMS convergir o passo de adaptação deve tomar um valor em 2 1 0 ( ) NE a n

µ

< ≤    

(9)

Algoritmo LMS

• A

superfície de erro

é a representação do erro quadrático médio (_{E e n}_ 2_{( )}

  ) em função dos coeficientes:

• A

curva de aprendizagem

mostra a evolução do erro quadrático médio:

8 9 10 11 12 13 14 ε(n) 0 5 10 15 20 n µ=0,1 µ=0,25 µ=0,025

• Evolução temporal dos coeficientes do igualizador

0 0.5 1 1.5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 c_o c₁ c₂ 0 0.5 1 1.5 n Coeficientes