Luciano Cruz
Sala 609 – Torre 3
luciano.cruz@ufabc.edu.br
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Física Quântica (BCK0103-15 )
- aula 11 -
Na aula de hoje (21/11/16)
•
Equação de Schrodinger em três dimensões (coordenadas
esféricas);
•
Átomo de Hidrogênio: Quantização de Momento angular e
Energia.
Na última aula (16/11/16)
•
Reflexão e transmissão de funções de onda;
•
Barreiras de Potencial;
•
Tunelamento
Para o caso de potenciais independentes do tempo [ para V(x,t) = V(x)]
E a solução geral da Equação será dada por:
A distribuição de probabilidade pode ser então calculada diretamente como:
Para o potencial:
A questão do tunelamento
Neste caso, E < V
0
. Então, como pode haver
transmissão após a barreira?
Barreira de Potencial
Considere um potencial definido por:
Pode-se obter o coeficiente de transmissão, que mostra o fenômeno de tunelamento (no caso clássico, este coeficiente de transmissão é nulo).
Esboço da densidade de probabilidade para
uma barreira de potencial
Poço Infinito em Três Dimensões
x
y z
V
(
x
,
y
,
z
)
=
0
Se 0 < x < L e 0 < y < L e 0 < z < L
Infinito em qualquer outro caso
Partícula aprisionada na caixa.
A
=
2
L
3/2Degenerescência: Mesmo valor de energia
Sistemas de coordenadas para a equação de Schrodinger em 3 dimensões.
Para problemas em mais de uma dimensão é conveniente escolher um sistema de coordenadas que seja mais adequado para a situação, ou seja, um que permita obter a solução em sua forma mais simples. Em geral, observamos as simetrias existentes no problema para definir o sistema de coordenadas mais “natural”.
Exemplo: No poço infinito (cúbico) em 3 D, o sistema de coordenadas que aproveita melhor das simetrias do problema é o cartesiano.
No caso do átomo de Hidrogênio, que iremos tratar nesta aula, o sistema mais adequado é o sistema de coordenadas esféricas.
Átomo de Hidrogênio
Vamos considerar um potencial muito similar ao do átomo de verdade. Contudo, iremos supor que o próton do átomo está parado no centro (com massa infinita) e o elétron age como uma partícula isolado sob a influência de um potencial:
Onde
Este é um potencial confinante, se compararmos com o que foi visto antes, também teremos estados ligados neste caso:
Como na teoria de Bohr, incluímos o Z, que é 1 para o Hidrogênio. Observe que
pode-se levar em conta o movimento do núcleo, substituindo a massa do
elétron pela massa reduzida levando em conta a massa do núcleo:
A equação de Schrodinger (independente do tempo) em 3 dimensões para uma
partícula de massa µ é dada por:
Como dito antes, para este problema é mais adequado escrever esta equação
em termos das coordenadas esféricas:
A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é dada por:
O intervalo de variação das coordenadas esféricas é:
Assim, devemos escrever:
Utilizando estas transformações podemos mostrar que o Laplaciano em coord. cartesianas:
Pode ser escrito em coord. Esféricas:
Os detalhes desse calculo pode ser visto por completo, por exemplo, em Física Quântica
de Eiseberg & Resnick
A equação de Schrodinger pode ser escrita como:
Apesar do aspecto complicado da equação, podemos obter soluções relativamente simples devido a simetria do potencial que depende apenas da variável r.
Podemos utilizar o método de separação de variáveis:
Assim:
Se dividimos toda a equação por ψ e rearranjarmos os termos:
Dessa forma, isolamos o único termo dependente de ϕ do lado esquerdo. Como já
vimos antes, ambos os lados devem ser então constantes. Por conveniencia, vamos escrever esta constante como:
Assim obtemos:
A última equação ainda pode ser reescrita como:
Novamente, os dois lados da equação devem ser constantes, que escreveremos como:
Portanto, temos três equações para resolver:
Para solucionar para o átomo de hidrogênio devemos considerar o potencial
columbiano.
A última equação tem solução:
Essa função deve satisfazer a relação:
Que pode ser definida como: E nos leva que m deve assumir os valores:
A equação:
Tem solução da forma:
Com: Ou seja:
O número quântico l
Como vimos, quando o potencial depende apenas de r, podemos afirmar que qualquer problema com esta simetria esférica terá para as variáveis angulares as soluções que encontramos e que são denominadas Harmônicos Esféricos
A equação radial com o potencial de Coulomb:
As soluções com estados ligados possuem energia negativa. A solução detalhada da equação pode ser vista, por exemplo, em Física Quântica de Eisberg & Resnick.
Os autovalores de energia desta equação correspondem aos obtidos no átomo de Bohr:
n é o número quântico principal.
Como as soluções das equação radial depende do número quantico l, então as denominamos como:
Além disso, o fato da constante dependente de l ser da forma l(l+1) vem da simetria rotacional das soluções. Para cada valor de n, tem-se n-1 valores de l associado.
Portanto, para cada valor de energia dada para um certo n, temos n-1 estados com diferente l.
Funções de onda do estado estacionário do átomo de Hidrogênio
A solução dos estados estacionarias são dadas por:
Em geral, os harmônicos esféricos já são normalizados em sua definição:
Contudo, para a função estar devidamente normalizada, devemos ter:
Resumindo, para o átomo de hidrogênio, as energias são dadas por:
As funções de onda são definidas por três números quânticos:
Ou seja, temos os espectros de linhas de emissão como visto na primeira parte da disciplina.
O estado de menor energia (estado fundamental) é dado por:
E a função do estado fundamental é:
Distribuição de probabilidade
Para um estado a distribuição de probabilidade é dada por:
Como os esféricos harmonicos tem a propriedade: Podemos escrever:
Para obter uma função de probabilidade que só depende da variável r:
Definimos assim:
Por exemplo, para os estado fundamental escrevemos:
E a distribuição de probabilidade radial é dada por:
1
Determine os máximos da densidade de probabilidade para o estado do átomo de Hidrogênio com n=2 e l = 0.
Determine os máximos da densidade de probabilidade para o estado do átomo de Hidrogênio com n=2 e l = 1.
Qual é a função de onda do estado com n=2, l =1 e m= -1? Quantos estados degenerados temos para n =2 (sem levar em conta o spin)?
Para o estado A função de onda é:
Observe que a energia depende apenas do número quântico n, portanto para cada estado com n > 1, teremos estados degenerados. Assim, para n =2 temos
TOTAL DE 4 ESTADOS
Degenerescência
A energia do elétron no átomo de Hidrogênio não dependem dos
números quânticos l e m
Na ausência de campo magnético, temos um número de estados com a mesma energia para o mesmo n e diferentes l e m, dado por:
# de estados = n
2
(sem levar em conta o spin)
Obs: Nesta disciplina não iremos tratar do spin, que será tema na disciplina
de Interações Atômica e Moleculares, para o elétron o spin poderá assumir
dois valores distintos e isso resulta em 2.n
2estados degenerados.
Para o estado A função de onda é:
Observe que a energia depende apenas do número quantico n, portanto para cada estado com n > 1, teremos estados degenerados. Por exemplo, para n =2 temos
Distribuição de densidade de probabilidade para funções de onda com n = 2
Na próxima aula, discutiremos sobre a representação
gráfica das funções de onda do átomo de Hidrogênio:
Os Orbitais
Na próxima aula (28/11/15)
•
Funções de ondas do átomo de Hidrogênio;
•
Orbitais;
•
Significado físico dos números quânticos atômicos.
Na aula de hoje (21/11/16)
•
Equação de Schrodinger em três dimensões (coordenadas
esféricas);
•
Átomo de Hidrogênio: Quantização de Momento angular e
Energia.
Cronograma e conteúdo programático da disciplina (parte 1)
Semana Dia Aula Conteúdo
1 19/09 (Seg) 1
Apresentação a disciplina; Evidências experimentais da teoria quântica : radiação do Corpo Negro.
21/09 (Qua) 2 Evidências experimentais da teoria quântica: efeito foto-elétrico e efeito Compton
2 26/09 (Seg) 3
Espectros Atômicos, Modelo de Bohr; comprovações experimentais do modelo atômico (raios X e Experimento de Frank-Hertz)
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3
03/10 (Seg) 4 Introdução ao conceito de onda, fenômenos ondulatórios, difração e interferência de ondas.
06/10 (Qua) 5 Dualidade Onda-Partícula: difração e interferência (fótons e elétrons); Principio de incerteza de Heisenberg;
4 10/10 (Seg) 6
Hipótese de De Broglie; Funçao de Onda, Ondas de matéria, Interpretação probabilística da Física Quântica,
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5 17/10 (Seg) 7 Função de Onda e equação de Schrodinger. 19/10 (Qua) P1 Primeira Avaliação da disciplina
6 24/10 (Seg) - Aula não realizada devido a paralisação --- --- ---
Semana Dia Aula Conteúdo
7 31/10(Seg) 8 Potenciais simples: poço de potencial finito e infinito, Transições entre estados de energia
02/11(Qua) --- Feriado: Dia de Finados
8 07/11 (Seg) 9
Potenciais simples: Oscilador Harmônico Quântico, operadores e valores médios de observáveis.
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9 14/11 (Seg) --- Expediente Suspenso (Proclamação da Republica 15/11)
16/11 (Qua) 10 Potenciais simples; potencial degrau, reflexão, Transmissão de Ondas, Tunelamento
10 21/11 (Seg) 11
Equação de Schrodinger em três dimensões; Átomo de Hidrogênio: Quantização de Momento angular e Energia.
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11 28/11 (Seg) 12
Funções de ondas do átomo de Hidrogênio e suas implicações; Orbitais; Significado físico dos números quânticos atômicos.
30/11 (Qua) P2 Segunda avaliação da disciplina 12 05/12 (Seg) Psub Avaliação Substitutiva (Consepe 181)
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13
12/12 (Seg) -- Avaliação REC (Consepe 182)
14 a 21/9 Lançamento de conceitos e faltas
