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1 - Introdução
Taxas Equivalentes
Em algumas situações relacionadas à Matemática Financeira temos que realizar operações de equivalência das taxas de juros.
Em situações de longo prazo conhecemos a taxa mensal de juros, mas desconhecemos o valor da taxa anual ou dos juros acumulados no período estabelecido.
A expressão matemática que fornece a taxa de juros equivalente a um período é a seguinte:
2 - Taxas Equivalentes
Exemplo 1
Qual a taxa anual de juros de um financiamento que cobra juros mensais de 4,5%.
Temos que 4,5% = 4,5 / 100 = 0,045
Exemplo 2
Determine a taxa mensal equivalente a 0,2% ao dia. Sabemos que 0,2% = 0,2 / 100 = 0,002
Exemplo 3
Qual a taxa semestral equivalente a 40% ao ano. Temos que 40% = 40 / 100 = 0,4 Nesse caso, vale ressaltar que 1 ano possui 2 semestres, então:
Exemplo 4
Qual a taxa mensal de juros referentes a uma taxa anual de 144%. Temos que 144% = 144/100 = 1,44
Exemplo 5
Calcule os juros acumulados durante 2 anos referentes a uma taxa mensal de 0,5%.
0,5% = 0,5 / 100 = 0,005
3 - Taxas De Juros Nominais E Efetivas
As taxas nominais são expressas normalmente em termos anuais, mas as operações a que se referem têm um período de capitalização diferente. Por exemplo, um gerente de banco diz que determinado empréstimo tem taxa nominal de 25% ao ano, com capitalização trimestral. Para fazermos os cálculos de juros e montantes, precisamos trabalhar com a taxa efetiva, no caso, trimestral. Este é o ponto chave ao lidar com taxas nominais: a conversao da taxa nominal para a taxa efetiva é feita usando proporcionalidade (como é feito em juros simples), mas uma vez que se encontra a taxa efetiva, os cálculos de juros e montantes são feitos em regime de juros compostos.
Seguindo com o exemplo sugerido, se a taxa nominal é 25% ao ano, com capitalização trimestral, então a taxa efetiva é 25/4 = 6,25% ao trimestre. Essa é a taxa efetiva, a ser usada nos cálculos de juros e montantes, em regime de juros compostos. Repare que a conversão da
taxa nominal para a taxa efetiva foi feita de modo proporcional. Vamos supor que se tome emprestado R$ 2.500,00 e se queira saber o saldo da dívida após 9 meses. Nesse caso:
A diferença entre os resultados acima ocorre em função de arredondamento na resolução pela fórmula. O cálculo pela calculadora financeira é o mais preciso.
Vemos que a conversão da taxa nominal para efetiva é feita de modo linear, e então, com a taxa efetiva, fazemos os cálculos em regime de juros compostos. Uma consequência interessante das taxas nominais é que a taxa efetiva, quando considerada no mesmo prazo da nominal, é maior que essa.
Ilustrando, vimos que no exemplo dado, a taxa nominal é 25% ao ano e a taxa efetiva é 6,25% ao trimestre. Se calcularmos a taxa anual equivalente à taxa efetiva trimestral, teremos:
Vemos que a taxa efetiva anual (27,44% ao ano) é maior que a taxa nominal (25% ao ano). Isso acontece sempre que o período de capitalização for inferior ao prazo associado à taxa nominal.
Taxa Efetiva Do Fluxo De Caixa Líquido
O conceito de taxa efetiva pode ser considerado como a taxa que reflete o fluxo de caixa líquido, do ponto de vista daquele que faz uma aplicação ou toma um empréstimo.
Por exemplo, suponha que uma pessoa vá fazer uma aplicação em um banco e o gerente do banco informa que a taxa da aplicação é pré-fixada em 1,15% ao mês. O aplicador vai fazer um depósito de R$ 7.500,00, esperando resgatar em 8 meses. O gerente do banco informa que o banco cobrará uma taxa de R$ 85,00 a ser paga no início da operação (fora o principal aplicado). Além disso, no resgate haverá cobrança de IR sobre os juros da aplicação, com alíquota de 15%. Vamos calcular a taxa efetiva desse fluxo de caixa, supondo que o aplicador fará o resgate daqui a 8 meses. OBS: essa operação é totalmente fictícia. A taxa cobrada e o IR são dados apenas para ilustrar o conceito de taxa efetiva do fluxo de caixa.
Vamos primeiramente calcular o montante da operação após 8 meses:
Com o montante, calculamos o valor dos juros da operação (montante - principal), que servirá de base para o IR:
Se o montante da aplicação é R$ 8.218,42 e será pago IR no valor de R$ 107,76, a entrada de caixa líquida para o aplicador será a diferença entre esses dois valores:
Resumindo, no início da operação o aplicador desembolsou R$ 7.500,00 (principal) + R$ 85,00 (taxa) = R$ 7.585,00. Supondo que fará o resgate em 8 meses, vimos que o resgate líquido (descontado o imposto de renda) é de R$ 8.110,66. Logo, o fluxo de caixa do aplicador na operação pode ser expresso da seguinte forma:
A taxa associada a esse fluxo de caixa é a taxa efetiva relativa ao fluxo de caixa da operação. Resolvendo na calculadora financeira:
Vemos que a taxa efetiva sobre o fluxo de caixa líquido é menor que a taxa da operação. Para o aplicador essa taxa é mais valiosa que a taxa da operação fornecida pelo gerente do banco (1,15% ao mês), pois leva em conta a tarifa cobrada pelo banco e o imposto de renda que deverá ser pago no resgate. Ela reflete com mais precisão o rendimento que terá com a aplicação.
Essa aplicação da taxa efetiva sobre o fluxo de caixa líquido é importante e muito usada na rotina de investidores e tomadores de empréstimos.
4 - Taxas De Juros Aparentes E Reais
Um fator fundamental em economia e finanças é a inflação. Pode ser entendida como a perda do poder de compra da moeda, devido ao aumento de preços geral de produtos e serviços em determinada economia (país, estado, cidade, por exemplo). Vamos supor que tenho um salário de R$ 2.500,00, e em determinado período esse salário me permite comprar um conjunto de bens e serviços, além de poder aplicar uma parcela. Se após 1 ano meu salário permanecer o mesmo, provavelmente não sobrará o mesmo valor para fazer a aplicação, e talvez o salário não seja suficiente para pagar os mesmos bens serviços do ano anterior. A inflação está na causa desse processo.
Suponha agora que duas pessoas, em dois países distintos, façam aplicações financeiras com a mesma taxa efetiva (descontadas tarifas e impostos, como explicado na seção anterior), cujo valor é 15% ao ano. Porém, uma delas está em um país cuja inflação anual é de 5% ao ano, e a outra está em um país cuja inflação é 20% ao ano. Embora tenham feito aplicações com a mesma taxa efetiva, o resultado não é o mesmo.
Vemos na simulação abaixo que o aplicador no país 1 poderia comprar quase 12 cestas básicas com o valor que aplicado. Como a taxa da aplicação é maior que a inflação, após 1 ano teve seu poder de compra aumentado, podendo comprar quase 13 cestas. Já o aplicador do país 2 poderia comprar 14 cestas com o valor aplicado. Porém, a taxa da aplicação não supera a inflação, por isso tem seu poder de compra diminuído; após 1 ano não consegue comprar as 14 cestas que comprava anteriormente.
É a chamada taxa real que leva em conta o efeito da inflação sobre operações financeiras ou sobre taxas básicas de juros, como a SELIC no Brasil. São muito importantes, inclusive porque permitem comparar operações financeiras em economias distintas, pois é natural que países com altos índices de inflação tenham altas taxas de juros. Se um investidor internacional quer comparar oportunidades de investimento em dois países distintos, não vai olhar para taxas efetivas, mas sim para as taxas reais, que levam em conta as respectivas inflações. A fórmula de cálculo da taxa real é a seguinte:
Nessa fórmula, a taxa aparente pode ser a taxa efetiva de uma operação ou uma taxa básica da economia. Podemos calcular agora as taxas reais de cada país na simulação acima.
Vemos que a taxa real no país 2 é negativa, refletindo o que já foi discutido: a taxa efetiva da operação é menor que a inflação, provocando diminuição do poder de compra do aplicador.
5 - Referências Bibliográficas
ASSAF NETO, A. Mercado Financeiro: 8ª Edição. São Paulo: Atlas, 2008.
LEONE, R. Apostila de Matemática Financeira da FGV-SP.
