Lista 3
MAT0460/5737 — 1
◦ SEMESTRE DE2020
Exerc´ıcio 1.
Mostre que seN⊂M⊂Ls˜aoR-modulos, ent˜ao
(L/N)/(M/N)=∼ L/N.
Exerc´ıcio 2.
Mostre que seM1,M2s˜ao submodulos deMassim M1+M2
M1
=∼ M2 M1∩M2
.
Exerc´ıcio 3.
SejaN1⊆N2⊆. . . uma cadeia de subm´odulos deM. Mostre queS∞
n=1Nn ´e um subm´odulo emM.
Exerc´ıcio 4.
SeN´e um submodulo deM, oaniquiladordeNemR´e definido como {a∈R|an=0para todosn∈N}. Mostre que o aniquilador deNemR´e um ideal.
Exerc´ıcio 5.
SeI´e um ideal deR, oaniquiladordeIemM´e definido como {m∈M|im=0para todosi∈I}. Mostre que o aniquilador deIemM´e um subm´odulo.
Exerc´ıcio 6.
Descreva todosZ-modulo homomorfismos deZ/15ZaoZ/9Z. Exerc´ıcio 7.
Mostre que HomZ(Z/nZ,Z/mZ)=∼ Z/(n,m)Z. Exerc´ıcio 8.
Mostre que HomR(R,R)eRs˜ao isomorfos como an´eis.
Exerc´ıcio 9.
SejaIideal `a esquerda deRenum inteiro positivo. Mostre que
Rn/IRn =∼ R/IR× · · · ×R/IR (n vezes).
Exerc´ıcio 10.
Seja
0 M1 f1 M2 f2 M3
uma sequˆencia deR-modulos eR-homomorfismos. Mostre que essa sequencia ´e exata se, e somente se, para todoR-moduloNa sequencia
0 HomR(N,M1) f HomR(N,M2) HomR(N,M3)
∗1 f∗2
´e exata.
Exerc´ıcio 11.
Seja 0 M0 M M00 0 uma sequencia exata deR-modulos. Mostre que se M0eM00s˜ao finitamente gerados, assimM´e finitamente gerado.
Exerc´ıcio 12.
SejamI,Js˜ao ideais num anel comutativoR.
a) Mosre que existe sequencia exata curta (deR-modulos):
0 I∩J I⊕J I+J 0
b) Usando item a) mostre que existe sequencia exata curta
0 R/(I∩J) R/I⊕R/J R/(I+J) 0
C) Encontre os exemplos quando sequencias a) e b) n˜ao cinde.
Exerc´ıcio 13.
Mostre que umR-moduleM´e finitamente gerado se e somente se existe sequencia exata
Rn M 0
para algumn∈N. Exerc´ıcio 14.
Seja dada sequencia exata curta (deR-modulos).
0 M1 f M2 g M3 0
Mostre que os seguintes condic¸˜oes s˜ao equivalentes:
a) Existe homomorfismoβ:M3→M2tal queg◦β=idM3.
b) Existe homomorfismoα:M3→M2tal queα◦f=idM1.
Exerc´ıcio 15.
No diagrama abaixo a linha e a coluna s˜ao exatas. Mostre que set◦f:M1 →L2´e isomorfismo, ent˜ao g◦h:M2→L1 ´e isomorpfismo.
0
M2
0 M1 N L1 0
L2
0
h
f g
t
Exerc´ıcio 16.
[Lema dos cinco]Considere a seguinte diagrama comutativa de homomorsmos deR-modulos a direita com as linhas exatas.
M1 M2 M3 M4 M5
N1 N2 N3 N4 N5
h1 h2 h3 h4 h5
a) Seh2eh4s˜ao sobrejetores eh5injetora, mostre queh3´e sobrejetora.
b) Seh2eh4s˜ao injetores eh1 ´e sobrejetor, mostre queh3´e injetor.
c) Seh1,h2,h4eh5s˜ao isomorfismos, mostre queh3e um isomorfismo.
Exerc´ıcio 17.
SejaRum anel n˜ao nulo. Mostre que seRn =∼ Rm (comoR-m´odulos) assimn= m. [Dica: Aplica o Exer. 9 comIideal maximal deR].
Exerc´ıcio 18.
SeI´e um ideal pr´oprio de um dom´ınioA, assimA/I´e plano se e somente seI=0.
Exerc´ıcio 19.
SejamM,NePosR-modulos. Mostre que 1. M⊗RN=∼ N⊗RM.
2. (M⊗RN)⊗RP=∼ M⊗R(N⊗RP).
3. (M⊕N)⊗RP= (M∼ ⊗RP)⊕(N⊗RP).
Exerc´ıcio 20.
Sejam Rum anel local, kseu corpo de res´ıduos (istou ´e o quociente do Rpelo ideal seu ´unico ideal maximal),M,N R-modulos finitamente gerados. Mostre que:
1. SeM⊗Rk=0assimM=0.
2. SeM⊗RN=0assimM=0ouN=0.
3. Sejaϕ:N→Mum morphismo deR-algebras. Assimϕ´e sobrejetor se, e somente se, a aplicac¸˜ao k-linear
ϕ⊗id:N⊗Rk→M⊗Rk
´e sobrejetora.
Dica:Aplique o Lema de Nakayama.
Exerc´ıcio 21.
Calcule os seguintes produtos tensorias:
1) Q⊗ZQ; 2) Q/Z⊗ZQ/Z; 3) C⊗RC; 4) Q[x]⊗ZC;
5) Z/p⊗Z/pqZ/q, comp,qprimos distinos emZ. 6) Z/n⊗ZQ.
7) Z/n⊗ZQ/Z; 8) Q[x]⊗ZC; 9) Q/Z⊗ZQ.
Exerc´ıcio 22.
Para espac¸os vetoriais da dimens˜ao finitaV,Wsobre o corpok, mostre que existe isomorfismo natural:
(V⊗kW)∗=∼ V∗⊗kW∗ ondeX∗=Homk(X,k)para espac¸o vetorialXsobrek.
Exerc´ıcio 23.
Para um espac¸o vetorial da dimens˜ao finitaVsobre o corpok, mostre que existe isomorfismo natural:
V⊗kV∗=∼ Endk(V).
Exerc´ıcio 24.
SejamIeJdois ideais em (DIP)R. Determine
R/I⊗RR/J.
Exerc´ıcio 25.
SejaR-um anel,f:R→BumaR-algebra,MumR-modulo eRumB-modulo. Mostre que:
HomB(B⊗RM,N)=∼ HomR(M,N).
Exerc´ıcio 26.
[Cancelamento]. Sejaf:R→BumaR-algebra,MumR-modulo eRumB-modulo. Mostre que:
(M⊗RB)⊗BN= (M∼ ⊗RN).
Exerc´ıcio 27.
SejaBumaR-´algebra ef(x)∈R[x]. Mostre que existe isomorfismos deB-´algebras:
1. R[x]⊗RB=∼ B[x].
2. R[x]
(f(x)R[x])⊗RB=∼ B[x]
(f(x)B[x]).
