Mecânica e Ondas fascículo 14

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Mecˆanica e Ondas

fasc´ıculo 14

Copyright c

° 2008 Mario J. Pinheiro

All rights reserved

April 14, 2011

“People say to me, ”Are you looking for the ultimate laws of physics?” No, I’m not... If it turns out there is a simple ultimate law which explains everything, so be it that would be very nice to discover. If it turns out it’s like an onion with millions of layers... then that’s the way it is”.

- Richard Feynman.

15 Cinem´

atica do corpo r´ıgido

Na vida real os objectos não são pontuais mas apresentam uma distribui¸cão de massa, além de terem dimensões e forma.

Como j´a vimos, no movimento dos objectos reais podemos distinguir: • o movimento de transla¸c˜ao do CM;

• o movimento rotacional em torno de um eixo, que frequentemente passa pelo CM, ou algum outro eixo fixo.

Neste cap´ıtulo discutiremos o movimento do corpo r´ıgido.

Corpo r´ıgido: Entende-se por corpo r´ıgido um objecto no qual as coordenadas relativas que ligam todas as part´ıculas constituintes permanecem constantes. Trata-se de uma idealiza¸cão, como é evidente, mas que permite aceder aos as-pectos fenomenológicos fundamentais do problema. Iremos tratar em geral ob-jectos familiares tais como: a roda volteando em torno do eixo principal; o eixo cilindrico; a mó; o pêndulo.

15.1 Rota¸c˜

ao em torno de um eixo fixo

Come¸caremos este estudo com o movimento de um corpo r´ıgido em torno de um eixo fixo num referencial de in´ercia.

Consideremos o movimento em torno do eixo Oz. O ponto de referˆencia P que se encontra fora do eixo (tal como o mostra a Fig. 1) representa o movimento rotacional do corpo e a sua posi¸c˜ao angular.

Dado um determinado ponto P sobre o sólido, a sua velocidade angular é medido pelo ângulo φ varrido na unidade de tempo pelo vector posi¸cão −→r e o eixo Ox. A velocidade angular é o número de radianos descritos por segundo e representa-se pela letra Grega ω (lê-se omega).

A part´ıcula move-se num c´ırculo desde o eixo positivo Ox (φ = 0) at´e ao ponto P , ao longo do arco de comprimento

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Figure 1: Rota¸cão de um corpo r´ıgido em torno de um eixo fixo (eixo Oz). Recordamos aqui que faz-se a conversão de ângulos de graus para radianos 1

atrav´es da regra

φ(rad) = π

180φ(graus). (15.2)

Convenç˜ao: Por conven¸cão, φ é positivo quando roda no sentido anti-horário e φ = 0 sobre o eixo positivo do Ox, e φ = 2π quando se dá uma volta completa até ao eixo Ox de novo. φ não é um vector (a opera¸cão de rota¸cão não é comutativa), mas d−→φ = dφ−→k que representa uma rota¸cão infinitesimal, é um vector.

O movimento rotacional de um corpo é descrito pela taxa de varia¸cão de φ. Em geral, a posi¸cão é uma fun¸cão do tempo:

φ = φ(t). (15.3)

Suponha que a part´ıcula move-se de P para Q. A linha de referência OP faz um ângulo φ1 no instante de tempo t1 e um ângulo φ2 no instante de tempo

t2. Define-se a velocidade m´edia angular do corpo, ω, no intervalo de tempo

∆t = t2− t1, pelo r´acio do deslocamento angular ∆φ = φ2− φ1por ∆t:

ω =φ2− φ1 t2− t1

= ∆φ

∆t, (15.4)

que se expressa em unidades de rad/s, ou s−1 _{(vd. Fig. 3).}

1_{Um radiano é igual a 57.296}o_{, e é o ˆ}_{angulo subtendido no centro de um arco de} circun-ferência cujo comprimento é igual ao raio. A circuncircun-ferência de um c´ırculo de raio r é 2πr. A rapidez de rota¸cão é medido com frequência em revolu¸cões por minuto.

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Figure 2: Ponto de referência P descrevendo um arco de circunferência s = Rφ. Denotemos por−→k o vector unitário orientado ao longo do eixo de rota¸cão (eixo Oz). −→ω orienta-se ao longo do eixo de rota¸cão, aplicando-se a conven¸cão da regra-da-mão-direita.

Tal como fizemos para a velocidade angular, podemos aqui igualmente definir a velocidade angular instantˆanea, definida como o limite para que tende o r´acio ∆φ/∆t quando ∆t → 0: − →_{ω = lim} ∆t→0 ∆φ ∆t = dφ dt − → k (rad.s−1_). _(15.5)

Se a velocidade angular ω for constante, p˜oem-se:

ω = ωo. (15.6)

Recordamos que a taxa de rota¸cão é dada em número de rota¸cões2_{por unidade}

de tempo.

O tempo de uma revolu¸c˜ao, ou per´ıodo, define-se como T =2π

ωo(s), (15.7)

e a frequˆencia de revolu¸c˜ao define-se como ν = 1

T = ωo

2π(Hz). (15.8)

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Figure 3: Uma part´ıcula num objecto r´ıgido move-se de P para Q ao longo de um arco de c´ırculo. No intervalo de tempo ∆t = t2− t1, o vector posi¸c˜ao varre

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Quando a velocidade angular do corpo varia com o tempo, diz-se que ele possui uma acelera¸c˜ao angular. Se as velocidades angulares do corpo s˜ao ω1 e ω2 em

instantes sucessivos t1 e t2, a acelera¸cão angular média é:

α = ω2− ω1 t2− t1

= ∆ω

∆t. (15.9)

A acelera¸cão instantânea define-se como o limite do rácio quando ∆t → 0: − →_{α = lim} ∆t→0 ∆ω ∆t = d−→ω dt (s −2_). _(15.10)

Visto que ω = dφ/dt, é válida a seguinte rela¸cão: −

→_{α =} d2−→φ

dt2 . (15.11)

Na rota¸c˜ao em torno de um eixo fixo cada part´ıcula do corpo r´ıgido possui a mesma velocidade angular e a mesma acelera¸c˜ao angular.

A dire¸cão de −→α é ao longo do mesmo eixo que −→ω . Se o eixo de rota¸cão varia então −→α não coincide com −→ω .

Regra da mão direita: A regra da mão direita permite conhecer a orienta¸cão de ambos os vectores. Quando os dedos da mão direita enrolam-se ao longo da dire¸cão de rota¸cão, então −→ω aponta ao longo do polegar (Vd. Fig. 4-(a)). A dire¸cão de −→α está relacionada com d−→ω /dt:

• d−→ω

dt > 0: −→α tem o mesmo sentido que −→ω .

• d−→ω

dt < 0: −→α tem o sentido oposto a −→ω .

15.2 Movimento rotacional com acelera¸c˜

ao angular

con-stante

Vamos assumir que o movimento faz-se em torno de um eixo. Iremos ignorar por agora a nota¸cão vectorial na medida em que nos basta os sinais das grandezas f´ısicas para determinarmos a direçcão. As conclusões que iremos alcan¸car são válidas mesmo se o eixo se encontra em movimento de transla¸cão. Da acelera¸cão angular: dω dt = α, (15.12) intgrando, obtém-se: _R dω =Rαdt, ω = αt + C. (15.13)

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A constante de integra¸cão C é determinada a partir das condi¸cões iniciais, ω = ωo(t = 0) ⇒ C = ωo. Ou seja:

ω = ωo+ αt, (15.14)

ou ainda:

QuadroNegro 1

15.3 Rela¸c˜

ao entre a velocidade e acelera¸c˜

ao angular e

linear

Quando um corpo r´ıgido roda em torno de um eixo fixo, cada part´ıcula do corpo move-se num c´ırculo em torno do eixo de rota¸c˜ao.

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Table 1: Compara¸cão entre o movimento com acelera¸cão linear constante e com acelera¸cão angular constante.

movimento com acelera¸c˜ao linear constante movimento com acelera¸c˜ao angular constante

a = constante α = constante

v = vo+ at ω = ωo+ αt

x = xo+ vot +1₂at2 φ = φo+ ωot +1₂αt2

v2_{= v}2

o+ 2a(x − xo) ω2= ωo2+ 2α(φ − φo)

Considere um ponto P em movimento circular. O vector velocidade linear é tangente ao c´ırculo. O módulo é ds/dt, onde s é a distância percorrida ao longo do percurso circular: s = rφ v =ds dt = r dφ dt v = rω (15.15) A rapidez da part´ıcula é directamente proporcional à distância do eixo de rota¸cão; quanto mais distante do eixo maior é a sua velocidade.

Podemos relacionar a acelera¸c˜ao do ponto P com a acelera¸c˜ao angular do corpo r´ıgido em torno de um eixo fixo. Toma-se a derivada de v em ordem ao tempo:

at= ak= dv

dt = r dω

dt = rα. (15.16)

Esta é a componente tangencial (paralela) da acelera¸cão linear de um ponto à distância r do eixo de rota¸cão. Mede a taxa de varia¸cão da rapidez da part´ıcula. Atendendo a que a part´ıcula move-se num c´ırculo, já vimos que ela deve ter uma componente centr´ıpeta (ou radial) da acelera¸cão que resulta da sua mudan¸ca de direçcão:

ar= a⊥=

v2

r = rω

2_. _(15.17)

A acelera¸c˜ao linear total da part´ıcula ´e −→a : − →_{a = −}→_a t+ −→ar a =pa2 t+ a2r= r √ α2_{+ ω}4_(m/s2_). (15.18)

15.4 Energia cin´

etica rotacional

Consideremos um corpo r´ıgido composto por uma coleçcão de N part´ıculas. A energia cinética do conjunto é a soma das energias cinéticas individuais de cada uma das part´ıculas:

K = N X i=1 1 2miv 2 i. (15.19)

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Cada i-´esima part´ıcula descreve um movimento circular em torno do eixo de rota¸c˜ao Oz tendo como velocidade linear vi= riω. No total, temos:

K =PN_i=11

2mir2iω2,

K =1 2Iω2.

(15.20) onde I ´e dado por:

I =X

i

miri2. (15.21)

I define o momento de in´ercia do conjunto completo de part´ıculas em rela¸cão a um dado eixo de rota¸cão (ou eixo de simetria). No sistema SI a unidade f´ısica de I é o kg.m2_.

A palavra momento é usada no sentido de “importância” ou “consequência”. Chamamos a aten¸cão para o significado da palavra “momento” para que ela represente uma ideia e não tão só uma mera quantidade f´ısica. Assim, quando se diz “o momento da for¸ca em torno de um eixo”, quer-se dizer qual é a im-portância da for¸ca no que diz respeito à capacidade dessa for¸ca em pôr o corpo em rota¸cão. O momento de inércia de um corpo em rela¸cão a um eixo significa a importância da inércia desse corpo quando se procura rodá-lo em torno desse eixo.

Chamamos agora a aten¸cão para os seguintes dois conceitos diferentes, porém análogos:

ω, I resistˆencia-ao-movimento-rotacional

v, m resistência-ao-movimento-linear (15.22) Exemplo 1: Um gira-discos roda à velocidade de 33 rev/mn e leva 20 s para parar. a) Assumindo que a velocidade angular é uniforme, determine o seu valor? ωo= (33rev/min)(2πrad/rev)(1min/60s) = 3.46rad/s ω = ωoαt ω(t = 20s) = 0 ∴ α =ω−ωo t =0−3.4620 = −0.173rad/s2. (15.23) O sinal negativo significa que o disco está em desacelera¸cão.

Repare no procedimento da conversão em cadeia de modo a expressar a grandeza f´ısica na unidade que nos interessa. Na conversão em cadeia multiplica-se a medida original por um factor de conversão. Por exemplo, 1 min/60 s=1. Assim, se multiplicarmos a grandeza pela unidade não modificamos não modi-ficamos o valor da grandeza.

b) Quantas rota¸cões são dadas até o disco ficar em repouso? ∆φ = φ − φo= ωot +1₂αt2 = 3.46(20) −1 2(0.173)202 = 34.6rad =34.6 2π = 5.51rev. (15.24)

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c) Determine a acelera¸cão de um ponto à distância de r = 14 cm do centro no instante t = 0. at= rα = 14cm(0.173rad/s2) = 2.42cm/s2 ac= rωo2= 14cm(3.46rad/s)2= 168cm/s2 a =√2.422_{+ 168}2_{= 168.0cm/s}2_. (15.25) Velocidade desse ponto no instante t = 0 é:

v = rωo= 14cm × 3.46rad/s

= 48.4cm/s. (15.26)

Exemplo 2: Calcule a energia cinética duma roda cil´ındrica de massa M que rola sem deslizar. Sabe-se que o momento de inércia do cilindro em rela¸cão ao eixo que passa pelo CM é Iz= M R2/2.

QuadroNegro 2

Exemplo 3: Conjunto de quatro part´ıculas em rota¸c˜ao.

Considere 4 part´ıculas ligadas a uma estrutura muito leve e assente no plano OXY, tal como est´a ilustrado na Fig. 5.

a) Determine o momento de inércia em torno do eixo Oy e a sua energia cinética, supondo que a velocidade angular do conjunto é ω.

b) Determine o momento de inércia e a energia cinética de rota¸cão em torno do eixo Oz, perpendicular ao plano XY.

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15.1

Rota¸c˜

ao em torno de um eixo fixo

15.2

Movimento rotacional com acelera¸c˜

ao angular

con-stante

15.3

Rela¸c˜

ao entre a velocidade e acelera¸c˜

ao angular e

linear

15.4

Energia cin´

etica rotacional