PSI3483
Guias de Ondas - Conceito
Guia de Ondas Retangular
Guia de Ondas Cilíndricos
Guias de ondas
Estruturas ocas
De material condutor
Com seção transversal constante
▪
Retangular, circular, elíptica ou outras
Preenchidas por dielétrico (em geral ar)
Propagação da onda EM no guia de ondas
No interior dos guias de ondas
▪
Modos TM
T
ransversal
M
agnético
▪
Modos TE
T
ransversal
E
létrico
Modos de propagação em guias de ondas
Adotando a propagação da onda no guia segundo a
direção z
Modos TM -
Transversais Magnéticos
▪
H
é perpendicular à direção de propagação
z
Modos TE -
Transversais Elétricos
▪
E
é perpendicular à direção de propagação
z
0
e
0
z
z
E
H
0
e
0
z
z
H
E
Modos de propagação em guias de ondas
Adotando a propagação da onda no guia segundo a
direção z
Modos TM
– Transversais Magnéticos
▪
H
é perpendicular à direção de propagação
z
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017 5
0
e
0
z
z
E
H
0
e
0
y
x
E
H
0
e
0
x
y
E
H
0
e
0
y
x
E
H
0
e
0
x
y
E
H
0
e
0
y
x
E
H
0
e
0
x
y
E
H
Modos de propagação em guias de ondas
Adotando a propagação da onda no guia segundo a
direção z
Modos TE
– Transversais Elétricos
▪
E
é perpendicular à direção de propagação
z
0
e
0
z
z
H
E
0
e
0
y
x
E
H
0
e
0
x
y
E
H
0
e
0
y
x
E
H
0
e
0
x
y
E
H
0
e
0
y
x
E
H
0
e
0
x
y
E
H
Guia de Ondas Retangular
Direção de propagação:
z
a
: maior dimensão da seção transversal
b
: menor dimensão da seção transversal
Em geral
Meio dielétrico que preenche o guia de
ondas
=
r
0
=
r
0
Velocidade da onda no meio sem fronteiras
com
=
r
0
e
=
r
0
2
a
b
r
r
.
c
v
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017
Exemplo
Guia de ondas WR-90
a
= 0,9 polegada e
b
= 0,4 polegada
a
= 2,286 cm e
b
= 1,016 cm
Preenchido com ar
=
0
e
=
0
v = c
(no meio sem fronteiras)
Aplicação: banda X
8,2 a 12,4 GHz
Forma diferencial
t
B
-E
J
t
D
H
ρ
D
B
0
E: intensidade de campo elétrico (V/m)*
H: intensidade de campo magnético
(A/m)*
D: densidade de fluxo elétrico
(Coulomb/m)*
B: densidade de fluxo magnético (Weber/m)*
J: densidade de corrente elétrica
(A/m
2)*
: densidade de carga elétrica
(Coulomb/m
3)*
PSI3483 - Ondas Eleltromagnéticas em Meios Guiados - 2017 11
Equações de Maxwell
Meio linear, isotrópico e homogêneo
Ausência de cargas
= 0
Ausência de correntes
J = 0
Equações de onda
sendo
0
0
2
2
2
2
2
2
t
H
με
H
t
E
με
E
x
,
y
,
z
,
t
e
E
E
H
H
x
,
y
,
z
,
t
Considerando campos harmônicos ou senoidais
e são os fasores dos campos e
j
t
e
z
,
y
,
x
E
t
,
z
,
y
,
x
E
Re
j
t
e
z
,
y
,
x
H
t
,
z
,
y
,
x
H
Re
z
y
x
a
a
a
ˆ
E
ˆ
E
ˆ
E
E
x
y
z
z
y
x
a
a
a
ˆ
H
ˆ
H
ˆ
H
H
x
y
z
H
E
e
x
,
y
,
z
E
H
x
,
y
,
z
E
H
Equação de onda na forma fasorial
Em meio dielétrico sem perdas, linear, homogêneo e
isotrópico, sem fontes de campo (ρ e J)
: frequência angular
: permeabilidade magnética do meio
: permissividade elétrica do meio
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017 13
0
2 2
E
k
E
0
2 2
H
k
H
2 2k
Equação de onda fasorial
Campo elétrico
0
2 2
E
k
E
0
2 2 2 2 2 2 2
x
x
x
x
k
E
z
E
y
E
x
E
0
2 2 2 2 2 2 2
y
y
y
y
E
k
z
E
y
E
x
E
0
2 2 2 2 2 2 2
z
z
z
z
E
k
z
E
y
E
x
E
Equação de onda fasorial
Campo magnético
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017 15
0
2 2
H
k
H
0
2 2 2 2 2 2 2
x
x
x
x
k
H
z
H
y
H
x
H
0
2 2 2 2 2 2 2
y
y
y
y
H
k
z
H
y
H
x
H
0
2 2 2 2 2 2 2
z
z
z
z
H
k
z
H
y
H
x
H
Modos TM
Componente de campo elétrico na direção de propagação
Campo harmônico ou senoidal
Cálculo de
E
z
equação de onda na direção
z
o
determinad
ser
a
0
z
E
x
,
y
,
z
X
x
Y
y
Z
z
0
E
z
0
2 2 2 2 2 2 2
z
z
z
z
E
k
z
E
y
E
x
E
Modos TM
Equação de onda
Sendo
Tem-se
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017 17
2 2 2 2 2 2z
z
Z
y
Y
x
X
y
z
Z
y
Y
x
X
x
z
Z
y
Y
x
X
0
2
k
X
x
Y
y
Z
z
2
2
x
x
X
x
"
X
2 2y
y
Y
x
"
Y
2 2z
z
Z
x
"
Z
2
0
z
Z
y
Y
x
X
k
z
"
Z
y
Y
x
X
z
Z
y
"
Y
x
X
z
Z
y
Y
x
"
X
Modos TM
Dividindo-se ambos os termos de
por
Tem-se
2
0
z
Z
y
Y
x
X
k
z
"
Z
y
Y
x
X
z
Z
y
"
Y
x
X
z
Z
y
Y
x
"
X
x
,
y
,
z
X
x
Y
y
Z
z
0
E
z
Z
z
k
2
0
z
"
Z
y
Y
y
"
Y
x
X
x
"
X
Modos TM
▪
ou
▪
onde
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017 19
Z
z
k
2
0
z
"
Z
y
Y
y
"
Y
x
X
x
"
X
0
2 2 2 2
k
x
k
y
k
z
k
X
"
X
k
x
2Y
"
Y
k
y
2 2 2
Z
"
Z
k
z
Modos TM
Solução geral
sendo A, B, C, D, F e G constantes
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017 20
x
Y
y
Z
z
X
E
z
A
k
x
B
k
x
E
z
cos
x
sen
x
C
cos
k
y
y
D
sen
k
y
y
z
z
e
G
e
F
Modos TM
Condições de contorno
▪
Campo elétrico tangencial ao metal é nulo
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017
E
z
= 0
Paredes verticais do guia
x = 0 e x = a
Paredes horizontais do guia
y = 0 e y = b
Modos TM
E
z
= 0
Paredes verticais do g
uia
x = 0 e x = a
A = 0
e
Paredes horizontais do guia
y = 0 e y = b
C = 0 e
3
2
1
m
,
,
,
,
a
m
k
x
3
2
1
n
,
,
,
,
b
n
k
y
Modos TM
– propagação segundo o eixo z positivo
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017
Modo TM
mn
onde
m = 1, 2, 3,...
n = 1, 2, 3,...
Importante:
m
0
e
n
0
(se
m ou n = 0
E
z
= 0
não é modo TM
!)
Modos TM11 TM12 TM21 TM22 TM13 TM31 TM23 ....
23z
z
y
e
b
n
x
a
m
E
E
0
sen
sen
H
z
0
Campos E e H dependentes de e
-γ.z
▪
Equações de Maxwell na forma fasorial
▪
Meio linear, isotrópico e homogêneo
Campos E e H dependentes de e
-γ.z
▪
Resolvendo-se o sistema de 6 equações, do slide anterior
▪
Obtém-se Ex, Ey, Hx e Hy em função de
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017 25
y
H
x
H
y
E
x
E
z
z
z
z
e
,
,
με
ω
k
2
2
Modos TM
mn
z
c
x
y
e
b
n
x
a
m
E
a
k
m
j
E
2
0
cos
sen
z
c
y
y
e
b
n
x
a
m
E
b
k
n
j
E
2
0
sen
cos
z
c
x
y
e
b
n
x
a
m
E
b
k
n
ωε
j
H
2
0
sen
cos
z
c
y
y
e
b
n
x
a
m
E
a
k
m
ωε
j
H
cos
sen
0
2z
z
y
e
b
n
x
a
m
E
E
0
sen
sen
Modo TM
11
m =1
n = 1
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017
Linhas de campo elétrico --- Linhas de campo magnético
27
z
z
y
e
b
x
a
E
E
0
sen
sen
z
c
x
y
e
b
x
a
E
a
k
j
E
2
0
cos
sen
z
c
y
y
e
b
x
a
E
b
k
j
E
2
0
sen
cos
Comparando os modos TM
11
e TM
21
Modo TM11
m = 1
n = 1
Modo TM21
m = 2
n = 1
____ Campo E
- - - - Campo H
Constante de propagação do modo TM
mn
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017 31
0
2 2 2 2
k
x
k
y
k
3
2
1
m
,
,
,
,
a
m
k
x
,
n
1
,
2
,
3
,
b
n
k
y
με
ω
b
n
a
m
2
2
2
με
ω
k
2
2
2
2
2
b
n
a
m
k
c
2
2
k
k
c
Logo
Ou onde
→ função da frequência
real
número
με
ω
b
n
a
m
que
tal
ω
2
0
,
2
2
0
0
2
2
2
ω
με
b
n
a
m
que
tal
ω
,
0
2
2
2
imaginário
número
j
με
ω
b
n
a
m
que
tal
ω
με
ω
b
n
a
m
2
2
2
Modos evanescentes
Constante de propagação do modo TM
mn
real e positiva
Para
tal que
= α é um número real e positivo
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017 33
με
ω
b
n
a
m
2
2
2
0
2
2
2
ω
με
b
n
a
m
Modos evanescentes
Constante de propagação do modo TM
mn
real e positiva
= α é um número real e positivo
Campo
O campo EM é evanescente
decresce com z
z
z
y
e
b
n
x
a
m
E
E
sen
sen
0
με
ω
b
n
a
m
2
2
2
Modos propagantes
Constante de propagação do modo TM
mn
→ número
imaginário
Para
tal que
= j
é um número puramente imaginário
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017 35
με
ω
b
n
a
m
2
2
2
0
2
2
2
ω
με
b
n
a
m
Modos propagantes
Constante de propagação do modo TM
mn
→ número
imaginário
= j
é um número puramente imaginário
Campo
O campo EM propaga-se ao longo de z, com constante de propagação
z
j
z
y
e
b
n
x
a
m
E
E
0
sen
sen
2
2
2
b
n
a
m
με
ω
Frequência angular de corte do modo TM
mn
– ω
c
▪
Frequência angular acima da qual há propagação
▪
=
c
, tal que
▪
v
:
velocidade da onda no meio sem fronteiras
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017
2
2
2
2
.
ou
.
1
b
n
a
m
v
b
n
a
m
c
c
370
0
2
2
2
2
2
2
ω
με
b
n
a
m
με
ω
b
n
a
m
c
c
Frequência de corte do modo TM
mn
– f
c
▪
f < f
c
→ modos evanescentes
▪
f = f
c
→ corte
▪
f > f
c
→ propagação no guia de ondas
Modos TM
mn
▪
TM11 TM12 TM21 TM22 TM13 TM31 TM23 ...
▪
A frequência de corte depende dos índices
m
e
n
2
2
2
1
2
b
n
a
m
με
f
c
c
2
2
2
b
n
a
m
v
f
c
Frequência de corte do modo TM
mn
A frequência de corte é função de
▪
a
e b - dimensões da seção transversal do guia
▪
m
e n – índices do modo de propagação
Guias de ondas comportam-se como
filtros passa-alta
▪
Somente sinais com
f > fc
propagam-se no guia
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017 39
2
2
2
b
n
a
m
v
f
c
Comprimento de onda guiado do modo TM
mn
: comprimento da onda que se propagaria no
dielétrico que preenche o guia, sem fronteiras
g
: comprimento de onda guiado
f
c
: frequência de corte do modo guiado
Vale apenas para f > f
c
Depende do modo de propagação TM
mn
dentro do guia de ondas
2
1
2
f
f
λ
λ
β
λ
c
g
mn
g
Impedância do guia de ondas no modo TM
mn
: impedância intrínseca do meio que preenche o guia de ondas
f
c
: frequência de corte do modo guiado
Equação válida somente para f > f
c
Z
TM
depende
▪
da frequência do sinal
▪
da frequência de corte do modo
Z
TM
é função de frequência
dispersão
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 20172
1
f
f
η
Z
H
E
Z
TM
c
y
x
TM
41
Modos TE
Solução da equação de onda
Modo TE
mn
onde
m = 0, 1, 2, 3,...
n = 0, 1, 2, 3,...
m + n
0
(se
m + n = 0
H
z= H
0= cte
não é modo TE
!)
0
z
E
z
z
y
e
b
n
x
a
m
H
H
0
cos
cos
Modos TE
▪
A partir de H
z
calcula-se
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017 43
z
c
x
y
e
b
n
x
a
m
H
b
k
n
ωμ
j
E
20
cos
sen
z
c
x
y
e
b
n
x
a
m
H
a
k
m
j
H
2
0
sen
cos
z
c
y
y
e
b
n
x
a
m
H
a
k
m
ωμ
j
E
20
sen
cos
z
c
y
y
e
b
n
x
a
m
H
b
k
n
j
H
2
0
cos
s
en
Modos TE
mn
▪
TE01 TE10 TE11 TE02 TE20 TE21 TE22 TE03 ....
Frequência de corte do modo TE
mn
Depende dos índices
m
e
n
▪
f < f
c
: modos evanescentes
▪
f = f
c
: corte
▪
f > f
c
: propagação no guia de ondas
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017 44
2
2
2
1
2
b
n
a
m
με
f
c
c
2
2
2
b
n
a
m
v
f
c
Modo TE10
Modo dominante → menor frequência de corte
m = 1 e n = 0
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017 45
z
c
x
y
e
b
n
x
a
m
H
b
k
n
ωμ
j
E
20
cos
sen
z
c
y
y
e
b
n
x
a
m
H
a
k
m
ωμ
j
E
20
sen
cos
x
a
E
y
sen
0
E
x
a
v
f
b
a
v
b
n
a
m
v
f
c
c
2
0
1
2
2
2
2
2
2
Modo TE10
Dominante
Menor frequência
de corte
x
a
E
y
sen
0
x
E
Modo TE11
Modos TE10 e TE11
Frequência de corte do modo TE
mn
Como no modo TM
mn
Comprimento de onda guiado do modo TE
mn
Vale apenas para f > f
c
Como no modo TM
mn
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017 51
2
2
2
b
n
a
m
v
f
c
2
1
2
f
f
λ
λ
β
λ
c
g
mn
g
Impedância do guia de ondas no modo TE
mn
: impedância intrínseca do meio que preenche o guia de ondas
f
c
: frequência de corte do modo guiado
Vale apenas para f > f
c
Depende da frequência de corte do modo
Z
TE
é função de frequência
dispersão
Z
TE
é diferente de
21
f
f
η
Z
H
E
Z
c TE y x TE 21
f
f
η
Z
TM
c
Impedância do guia de ondas nos modos TM
mn
e TE
mn
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017
2
1
f
f
η
Z
c
TE
53 21
f
f
η
Z
TM
c
Velocidade de fase e de grupo dos modos guiados
Velocidade de fase em meio sem fronteiras
Velocidade da fase da onda na direção de propagação
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017 54
𝒗
𝒇
=
∆𝒛
∆𝒕
=
𝒛
𝟐
−𝒛
𝟏
𝒕
𝟐
−𝒕
𝟏
= c
• Onda no espaço livre
• Propagação na direção z
Velocidade de fase e de grupo dos modos guiados
Velocidade de fase no guia de ondas
Onda incidindo com ângulo
em relação à direção de propagação
z
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017 55
• Velocidade de fase na direção de incidência:
𝒗
𝒇
= 𝒄
• Velocidade de fase na direção de propagação z:
𝒗
𝒇
= 𝒄 𝒄𝒐𝒔𝜽 > 𝒄
Velocidade de fase e de grupo dos modos guiados
Velocidade de fase na direção de propagação
Vale apenas para f > f
c
Resulta em valores maiores que a velocidade da luz!
Definida para um sinal monocromático
→
sinal de frequência única, sem modulação
→ não transporta informação
Não representa o transporte de informação, sendo portanto compatível
com a teoria EM
r r cμ
ε
c
ε
μ
v
v
f
f
v
v
f
1
1
2
Velocidade de fase e de grupo dos modos guiados
Velocidade de grupo
Definida para um sinal modulado pela informação
→
é a velocidade de propagação da envoltória do sinal
→ velocidade de propagação da informação
Vale apenas para f > f
c
Representa a velocidade com que se propaga o envoltório de um sinal
modulado pela informação
Observe que
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017
r r c g
ε
μ
c
ε
μ
v
v
f
f
v
v
1
1
2
57 2v
v
v
f
g
Velocidade de fase e de grupo dos modos guiados
Velocidade
de fase
Velocidade
de grupo
Resulta
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017 59
r
r
ε
μ
c
v
ε
μ
v
1
1
2
v
f
f
v
v
c
f
v
f
f
v
v
g
c
2
1
2
v
v
v
f
g
Velocidade de fase e de grupo dos modos guiados
PSI3483 - Ondas Eletromagnéticas em Meios Guiados - 2017
