4 - Interferência

(1)

4

Interferência

INTRODUÇÃO

Neste capítulo vamos analisar um fenômeno bastante característico dos movimentos ondulatórios, o da interferência. Este fenômeno ocorre sempre que, pelo menos, duas ondas estejam, simultaneamente, presentes em um ponto do espaço, ocorrendo a superposição delas. Quando a superposição das ondas se verifica, elas podem se adicionar ou subtrair como mostra a fig.(4.1-1). Várias conseqüências advém deste fenômeno, dando lugar a inúmeras aplicações práticas. Desta forma, consideraremos efeitos de influência entre ondas eletromagnéticas de mesma polarização. Mesmo pôrque, ondas de polarização diversa não interferem.

4.1 - lnterferência de Duas Fontes

lnicialmente vamos estudar a interferência de dois movimentos ondulatórios, descrevendo-os de uma forma escalar. Com isto, simplificaremos o tratamento matemático e obteremos os resultados básicos desejados. Consideremos o caso de duas ondas harmônicas, monocromáticas e geradas pôr duas fontes pontuais S1 e S2, oscilando em fase com a mesma freqüência angular ω e amplitudes ξ01 e ξ02. Essas ondas podem ser aquelas geradas em um líquido pôr duas pontas metálicas que a trocam simultaneamente. As ondas geradas podem ser representadas pôr:

o n d a 1 so ma d a s on das o n d a 2

(2)

ξ1=ξ01sen(ωt-kr1) e ξ2=ξ02sen(ωt-kr2) onde r1 e r2 são as distancias do ponto P, aonde se considera as ondas chegando, até ao local de suas respectivas fontes. Como se vê, na fig.(4.1-2), as duas ondas se somarão, dando como resultado:

ξP=ξ1+ξ2=ξ01sen(ωt-kr1) (4.1-1)

de um movimento ondulatório de duas fontes, em um plano. Definindo o ponto P, e portanto definindo os valores de r 1 e r 2, com o transcorrer do tempo, teremos neste ponto uma perturbação que pode ser calculada como sendo a soma de duas senoides. Ambas dependem do tempo em

ωt, havendo uma diferença de fase δ entre elas, a qual é dada pôr: δ=kr2-kr1=(2π/λ)(r 2-r 1)

A soma das duas perturbações pode ser feita usando-se a técnica dos fasores. Eles serão vetores de módulo ξ01 e ξ02, girando em torno de uma mesma origem 0, com velocidade angular ω, e defasados de δ como se vê na fig.(4.1-3). Logo, ξp será dado pôr um fasor descrito pôr:

ξp=Asen(ωt+α) (4.1-2)

onde A e α são a amplitude e a fase deste fasor resultante. A amplitude do movimento é dada pôr:

A= ξ₀₁2 +ξ₀₂2 +2ξ ξ₀₁ ₀₂cosδ (4.1-3) O valor de ξp oscilará pelo espaço entre os

valores (ξ01+ξ02) (valor máximo) e (ξ01-ξ02), valor mínimo , em face dos possíveis valores do cosδ (+1 ou -1, respectivamente). Isto implica em:

δ=2mπ (cosδ = +1) e

δ=(2m+1)π (cosδ = -1)

Assim sendo, variando-se r1 e r2 passa-se pôr pontos nos quais a amplitude da onda resultante varia de valor, havendo pontos onde ocorre um máximo (ou soma) ou um mínimo

(ou subtração) de intensidade. No primeiro caso temos uma interferência construtiva, e no segundo uma interferência destrutiva. Assim temos as condições:

S1

S2

r1

r2

Fig.(4.1-2) - Ilustração da interferência

δ

₁

δ

₂

δ

r

₁

r

₂

r

ω

(3)

)

(

δ π π = 2m 2m +1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ (4.1-4)

com as quais ocorrem as interferências construtiva (2mπ) e destrutiva (2m+1)π. Conhecendo-se δ

podemos escrever: r2-r1= m ( c o n s t r u t i v a ) ( 2 m 1 ) ( d e s t r u t i v a ) λ λ + ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ 2 (4.1-5)

A fig.(4.1-4) mostra o local geométrico dos pontos de interferência construtiva e destrutiva para as ondas de duas fontes coerentes S1 e S2, interferindo no plano que contém a linha que une as fontes e à qual observa-se, na figura os pontos de reforço (maior brilho), nos quais:

(r2-r1)=λ, 2λ, 3λ... (4.1-6)

Logo, estes pontos têm, como lugar geométrico, hipérboles com focos nos pontos onde se encontram S1 e S2. As hipérboles são chamadas de linhas

antinodais. Os pontos de interferência

construtiva (pontos escuros) localizam-se são definidos pelas condições:

(r2-r1)=

λ

2 ,

2

2 ,

3

2 , . . .

(4.1-7)

Eles pertencem a hipérboles, cujos focos estão nos pontos onde se encontram S1 e S2. Neste caso, são chamadas de linha nodais.

Assim, podemos dizer que o fenômeno de interferência leva a um movimento ondulatório, cuja intensidade é modulada no espaço. Na eletrônica, a idéia de modulação de um sinal é bastante comum. Entretanto a base é temporal. Em Óptica, abre-se a possibilidade de haver modulação espacial de um sinal e surgem aplicações práticas fantásticas. Entre elas, a holografia.

_______________________________________________________________________

EXEMPLO (4.1-1) - Discutir o experimento de Young. Solução

experimento de Young, com ondas eletromagnéticas, está esquematicamente descrito na fig.(4.1-5). Uma fonte de luz S ilumina uma tela T1 opaca, na qual existem duas fendas S1 e S2 as quais funcionam como duas fontes luminosas secundárias, síncronas. As fendas estão separadas pôr uma distancia a, enquanto as telas T1 e T2 estão separadas pôr uma distância d. Na tela T2 está projetada a luz das duas fontes em fase, S1 e S2 , ocorrendo ali a interferência das duas ondas eletromagnéticas.

(r₂-r₁)=const.

Equação de uma hipérbole

Fig.(4.1-4) - Figura dos locais geométricos dos pontos de interferência construtiva e destrutiva para duas fontes coerentes.

(4)

A interferência delas, considerando que d»a, dá lugar a uma sucessão de regiões claras, e escuras, chamadas de franjas de interferência como mostra a fig(4.1-6). Como d»a, pode-se fazer a seguinte aproximação: r2-r 1 ≅ a senθ (4.1-8) logo: δ π λ π λ = 2 (r2 − r1)= 2 ax d

onde θ é o angulo indicado na fig.(4.1-6), e senθ ≅tgθ= x/d, pois na região de interesse θ é pequeno. As fontes, dada à construção do experimento, têm a mesma amplitude; logo ξ01 =ξ02 .Assim sendo, a amplitude do campo total, resultante da interferência de S1 e S2, será:

ξ=ξ01 2 1+ δ = 2ξ δ 2

01

( cos ) cos

A intensidade luminosa I é proporcional a

ξ

2 e será pois dada pôr: I = I_ocos ⎛_⎝⎜ ax⎞_⎠⎟

d

2 π

λ (4.1-9)

onde é I a intensidade para x = 0. Os pontos de máxima intensidade, responsáveis pelas franjas brilhantes, ocorrem nos pontos para os quais:

π λ π ax d = m ou x = m d a λ _{, m =}_{± ± ±} 1, 2 , 3 , . . . (4.1-10) a plano fendas anteparo x P r θ D asenθ r₁ r₂

Fig.(4.1-5) - Arranjo ilustrativo do experimento de Young, sendo apresentadas as coordenadas relativas ao experimento.

(5)

A separação ∆xentre duas franjas consecutivas, logo ∆m =1, é dada pôr: ∆x d

a

= λ (4.1-11)

Com a eq.(4.1-11) vemos que, medindo-se∆ x, d e a, é possível se determinar o comprimento de onda de uma luz monocromática, usando-se o experimento de Young. Outras variantes são possíveis, pôr exemplo: medindo-se ∆x, e conhecendo-se a e λ pode-se obter um possível afastamento ∆d entre as fontes e o plano onde a interferência está ocorrendo. No caso, temos um sensor óptico de posição.

EXEMPLO (4.1-2) - Considerando a experiência de Young discutida no exemplo anterior, calcular a

separação entre duas franjas escuras para os seguintes valores de a, D e λ: a=0.5mm, d=2m e a=0,5µ m .

Solução

A separação entre duas franjas escuras é igual à das franjas claras.Os pontos escuros do experimento de Young , observam à condição:

(

)

2 1 m 2 D ax ₌ ₊ π π ou ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ λ = 2 1 m a D x , m=+1,+2,+3,...

Logo, a separação entre duas franjas escuras consecutivas é dada pôr: ∆x=Dλ/a .Para os valores dados acima, encontramos:

. mm 0 . 2 m 10 . 2 10 . 5 10 . 5 . 2 x 3 4 7 = = = ∆ ₋− − ____________________________________ ____________________________________ _________

EXEMPLO (4.1-3) - Discutir o padrão de interferência de duas ondas incoerentes de mesma

freqüência.

Solução

Consideremos duas fontes de modo análogo ao que fizemos anteriormente, isto é, as intensidades das ondas são dadas pôr:

(

0 1

)

01 1=ξ sen ω−k r ξ (4.1-12)

(

ω − ϕ

)

ξ = ξ2 02sen t k0+

Observamos que, em uma das expressões, o argumento da função tem um termo adicional de fase

ϕ

. Consideremos que tal termo possa variar aleatoriamente de valor no tempo. Com esta fase aleatória,

a= 5 µ m λ = 0.5 µ m D= 1 m r1 r2 r θ T1 T2 x

Fig.(4.1-6) - Gráfico das coordenadas relativas ao experimento de Young e a figura de interferência correspondente

(6)

se está simulando a situação de duas ondas incoerentes. Ou seja, ondas cujas fases têm uma diferença aleatória. A diferença de fase

δ

será:

(

)

( )

δ π

λ ϕ

= 2 r2 − r1 + t (4.1-13)

Em um ponto P, onde se esteja analisando a interferência das duas ondas, a amplitude resultante é dada pôr:

(

)

( )

ξ ξ ξ ξ ξ π λ ϕ 0 2 01 2 02 2 01 02 2 1 2 2 = + + ⎡ − + ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ cos r r t (4.1-14) O valor médio de

ξ

₀ é: ξ₀2 1 ξ 0 2 0 =

_∫

T dt T

Como neste caso

ϕ

(t) é uma função variável no tempo de forma aleatória, a média do termo que envolve o cosseno é nula, e temos:

ξ

0

ξ

01

ξ

02

2

₌

2

₊

2

Logo:

I

=

I + I

₁ ₂ (4.1-15)

A conclusão a que chegamos é que a intensidade média resultante é a soma das intensidades individuais, independente das suas posições. Pôr essa razão, a luz emitida pôr lâmpada comum de filamento (ou fluorescente), não provocam efeitos de interferência. Isto porque, nelas, a emissão de luz ocorre de modo incoerente. Em outras palavras, os emissores de luz, pôr exemplo os átomos do gás de uma lâmpada fluorescente, a emitem de diferente pontos do espaço e de modo desordenado no tempo. Essa situação não é a mesma quando o meio emissor de luz é um laser. No caso destes dispositivos, a luz emitida é cocrente, existindo diferenças de fase bem definidas entre pontos distintos do feixe emitido.

4.2 - lnterferência de Várias Fontes

Consideremos, agora, a interferência de várias fontes síncronas, igualmente espaçadas ao longo de uma linha reta como mostra a fig.(4.2-1). Digamos que sejam M fontes. Vamos considerar também que a região na qual se analisará a interferência das ondas esteja muito distante delas, logo podemos supor que a distância, das fontes ao ponto aonde estudaremos o evento, é muito maior que a região onde se distribuem as fontes. Observando-se a fig.(4.2-1), vemos que a diferença de fase entre as ondas de duas fontes sucessivas é:

δ π

λ θ

(7)

Consideremos agora a interferência de várias fontes síncronas, igualmente espaçadas ao longo de uma linha reta como mostra a figura (4.2-1). Digamos que sejam M fontes. Vamos considerar também que a região de interesse, para analisarmos a interferência das ondas esteja muito distante delas. Logo, podemos supor que a distância do ponto aonde estudares o efeito é muito maior que a região onde se distribuem as fontes. Observando-se a fig.(4.2-1),vemos que a diferença de fase entre as ondas de duas fontes sucessivas é:

δ π

λ θ

=2 a sen (4.2-1)

Usando o método dos fasores, fig.(4.2-2), obteremos a amplitude resultante num dado ponto de observação P. Ela será:

ξ ρ δ π λ θ 0 2 2 2 OP= ⎛_⎝⎜M ⎞_⎠⎟= r ⎡M a ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥

sen sen sen (4.2-3)

Pôr sua vez, ξ01 é um dos lados da poligonal. Portanto:

ξ₀₁ 2ρ δ 2

= sen (4.2-4)

Sendo ρ o raio de um poligonal regular de M lados, centrado em A. Assim temos:

(

)

(

)

ξ ξ δ δ ξ π λ θ π λ θ 0 01 01 2 2 = = ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ sen / sen / sen sen sen sen M M a a

A intensidade I, naquele ponto, será proporcional a ξ2. Daí, teremos: ℑ = ℑ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤_⎦⎥ = ℑ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 0 0 2 2 2 2 2 2 sen sen sen sen sen sen M a a M π λ θ π λ θ δ δ (4.2-5)

A eq.(4.2-5) contém muitas informações. Desta forma vamos analisá-la com mais atenção.

O primeiro ponto a considerar são os máximos principais. A função sen2(Mδ/2)/sen2(δ/2) tem valores máximos quando o denominador se anula. A condição é: δ/2=nπ, ou seja,

asenθ a

θ

Fig.(4.2-1) - Ilustração de um arranjo de várias fontes linearmente dispostas e em interferência.

δ ρ Ν δ δ = a sen θ δ = a sen θ P O A E_o E(P)

Fig.(4.2-2)-Diagrama fasorial para a

(8)

δ=2nπ (n=0,+1,+2,...). circunstância em que, também, o numerador, se anula Logo, teremos máximos nas condições dadas pôr:

δ= 2nπ ou senθ= nλ

a , n=0.+1.+2,... (4.2-6)

Nestes casos: O segundo ponto é quanto aos pontos de mínima intensidade. Eles são obtidos analisando-se a condição que anula o numerador, sem anular o denominador. Ela é, ou seja Mδ=2nπ:

δ=2nπ

M ou senθ λ = n

Ma (n=1,2,...(M-1)) (4.2-7)

Observemos que n=0, corresponderá à situação de máximo principal. Além disto, n não poderá ser igual a M, pois irá, outra vez, corresponder a um caso de máximos principais, haverá (M-1) pontos com intensidade nula. O resultado anterior nos leva ao terceiro ponto. Se entre dois máximos principais há (M-1) pontos de intensidade nula, deverá haver também pontos de máxima intensidade. Eles são os chamados máximos menores. Pelo número de pontos mínimos podemos

concluir que haverão (M-2) pontos de máximos menores, pois entre cada dois mínimos haverá um ponto destes últimos. Os máximos menores podem ser calculados via a condição (dI/dδ)=0, própria de um cálculo de máximos e mínimos. Ela leva à equação transcendental:

(

)

(

)

M tg Mδ/2 =tg δ/2 (4.2-8) ________________________________________________________________________________

EXEMPLO (4.2-1) - Discutir a distribuição angular da intensidade de luz para o caso de quatro

antenas separadas de λ/2.

Solução

O caso proposto é o do exemplo anterior no qual temos M=4 e a=λ/2. Usando-se a eq.(4.2-5), obtemos:

(

)

I=I ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ o sen sen sen sen 2 2 2 2 π θ π θ (6.2-9)

Com a equação (4.2-6) podemos calcular as direções correspondentes às intensidades de interferência máxima.

senθ = m 2

Como senθ≤1, só há um valor possível

de m: m=0. Assim sendo, só haverá valores máximos para θ=0 ou θ=π. Os pontos de intensidade nula ocorrerão para senθ=(m/2), onde m=±1, ±2, ±3..., conforme a eq.(4.2-7). Tal condição leva a pontos de intensidade nula nas direções:

In

tensi

dade

1,5 1,0 0,5 0,0 -0,5 -1,0 -1,5

Fig.(4.2-3) -Distribuição angular da interferência de quatro antenas se-paradas de λ/2 e seu padrão de interferência em um plano paralelo à linha que une as fontes.

(9)

θ= ±π ±λ 6, 2

A fig.(4.2-3) mostra a distribuição angular da intensidade do conjunto de fontes (no caso, poderiam ser antenas de rádio). Devido ao efeito de interferência entre as radiações emitidas pelas fontes,observa-se que a transmissão resultante tende a ser bastante direcionada. A fig.(4.2-3) também mostra o padrão de interferência para o conjunto de quatro fontes, perpendicularmente dispostas ao eixo θ=0.