SUL - UNIJUÍ
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO NAS CIÊNCIAS MESTRADO
DEISE PEDROSO MAGGIO
SABERES DOCENTES DE UMA PROFESSORA QUE ENSINA FUNÇÃO E CONHECE A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
Ijuí/RS 2011
DEISE PEDROSO MAGGIO
SABERES DOCENTES DE UMA PROFESSORA QUE ENSINA FUNÇÃO E CONHECE A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Educação nas Ciências da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul - UNIJUÍ - como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Educação nas Ciências - Matemática.
Orientadora: Profª Drª Cátia Maria Nehring
Ijuí/RS 2011
DEISE PEDROSO MAGGIO
SABERES DOCENTES DE UMA PROFESSORA QUE ENSINA FUNÇÃO E CONHECE A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Educação nas Ciências da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul - UNIJUÍ - como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Educação nas Ciências - Matemática.
Aprovada em _____ de __________ de _______
BANCA EXAMINADORA
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Profª Drª Cátia Maria Nehring (orientadora) - UNIJUÍ
__________________________________________________________
Profª Drª Carmen Teresa Kaiber - ULBRA
__________________________________________________________
Profª Drª Maria Simone Schwengber - UNIJUÍ
__________________________________________________________
Aos meus pais, à Lilian e ao Douglas.
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais Luiz e Elcinda e à minha irmã Lilian, pelo apoio incondicional, benevolência e cuidado. Especialmente à minha mãe, pela paciência e escuta admirável, nos momentos de incerteza próprios de um processo de pesquisa.
Ao namorado Douglas, pelos diversos diálogos e, principalmente, indagações, que em vários momentos foram necessárias para a tomada de consciência de aspectos ainda não interiorizados.
À professora envolvida na pesquisa, pela cooperação com seus planejamentos de ensino e a concessão da gravação em vídeo de suas aulas, mesmo em um período de inúmeros compromissos profissionais.
À 35ª Coordenadoria Regional de Educação, pela permissão das gravações em vídeo da professora na escola de sua competência.
À professora orientadora da pesquisa, Cátia Maria Nehring, pelas orientações obviamente competentes e impregnadas de ensinamentos, pela atenção respeitável, pela confiança e, principalmente, pelas indagações que acirram minhas reflexões.
Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação nas Ciências da UNIJUÍ, pela intelectualidade inspiradora, especialmente àqueles professores que contribuíram com referenciais teóricos apropriados ao desenvolvimento desta pesquisa.
Aos professores Carmen Teresa Kaiber, Maria Simone Schwengber e Otavio Aloisio Maldaner, por aceitarem participar da Banca Examinadora e pelas contribuições certamente consistentes.
As pesquisas necessitam de categorias que suscitem uma nova profissionalização entre os docentes, uma profissionalização que ostente os saberes docentes remetidos pelos próprios professores com relação à sua trajetória profissional e pré-profissional. Assim, os saberes experienciais são reconhecidos e, então, podem possibilitar dissoluções às problemáticas da profissão docente.
RESUMO
A presente pesquisa teve como problemática o processo de ensino de função e as representações semióticas desse conceito, considerando o caso de uma professora de matemática que conhece os pressupostos teóricos dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval e atua no Ensino Médio. Nesta perspectiva, se visou, de forma geral, analisar o ensino de função planejado e vivenciado em sala de aula por essa professora e; especificamente, investigar como as representações semióticas do conceito de função são utilizadas na organização dos planejamentos de ensino, bem como são conduzidas em sala de aula. Para tanto, se buscou subsídios na teoria da aprendizagem de Raymond Duval, procurando seus aportes para o ensino de função, e em reafirmações, críticas e contribuições a respeito da mesma; bem como em outros aportes teóricos que extrapolam essa teoria tais como: na teoria pedagógica de Maurice Tardif, no conceito de mediação em Vigotski, em diferentes estratégias de ensino identificadas e analisadas por Guy Brousseau. Os procedimentos metodológicos são de caráter qualitativo com design de estudo de caso intrínseco, ocorrendo em um contexto de trabalho cooperativo que foi permeado por três momentos e envolveu os seguintes instrumentos de coleta de dados: entrevistas semiestruturadas e não estruturadas, sessões reflexivas, diários de campo e câmera de vídeo. Dessa forma, isto é, por meio dos saberes docentes mobilizados e postos pela professora em discursos referentes aos seus planejamentos de ensino e diante de sua prática pedagógica, se constatou que as representações semióticas do conceito de função utilizadas com mais frequência são: gráfica tabular, gráfica cartesiana, algébrica, simbólica e língua natural. E essas representações visam, em tarefas de conversão principalmente, diferentes e essenciais noções do campo conceitual de função tais como: variação, dependência, grandeza, variável, regularidade e padrão em sequências numéricas, domínio (campo de definição), imagem, contradomínio (campo de variação) e intervalo no traçado reto. Ainda, a representação na língua natural, em especial, é empregada na condução das demais representações semióticas, sobretudo, por meio da “devolução de perguntas” redacionalmente mencionadas ou que envolvem termos que fazem menção às noções citadas. Esses fatos podem ser explicados pelo distanciamento entre teoria e prática no processo de formação inicial e, também, contínua dos professores: a professora buscou na especialização Stricto Sensu uma formação didática mais consistente e depois que inicia sua carreira no magistério procura refletir, constantemente, sobre sua prática docente diária e, então, se inquieta com sua formação pedagógica.
Palavras-chave: ensino de função; planejamento; prática pedagógica; saberes docentes;
ABSTRACT
This research was problematic as the teaching function and semiotic representations of this concept, consider the case of a math teacher who knows the theoretical of the Records Semiotics of Representation of Raymond Duval and acts in high school. In this perspective, is aimed, in general, analyzing the teaching function planned and experienced classroom for that teacher and, specifically, to investigate how the semiotic representations of the concept function are used on the organization of teaching planning and are conducted in the classroom. To this end, we looked at the benefits theory learning Raymond Duval, looking for their contributions to the teaching function, and reassurance, criticism and contributions about the same; as well as other theoretical contributions that go beyond this theory such as: the theory pedagogical Maurice Tardif, the concept of mediation in Vigotski, in different teaching strategies identified and analyzed by Guy Brousseau. The methodological procedures are qualitative design with intrinsic case study, occurring in a context of cooperative work was permeated by three times and involved the following instruments for data collection: semi-structured and unsemi-structured interviews, reflective sessions, field diaries and video camera. Thus, it is, through of teachers knowledge mobilized and put in speeches by the teacher regarding their planning and before their practice teaching, it was found that the semiotic representations of the concept function most frequently used are: tabular graphical, cartesian graphical, algebraic, symbolic and natural language. And these representations aimed, in particular conversion tasks, different and core notions of the concept function such as: variation, dependence, magnitude, variable, regularity and pattern in numerical sequences, domain (field definition), image, codomain (field variation) and range in straight track. Still, the representation in natural language, in particular, is employed in the conduction of other semiotic representations, especially through the "devolution of questions" redaction mentioned or involving terms that allude to the notions mentioned. These facts can be explained by the gap between theory and practice in initial training and continuous for teachers: the teacher looked in Stricto Sensu expertise a more consistent educational training
and after start their career in teaching seeks to reflect, constantly, on their daily practice teaching, and, then, uneasily with their pedagogical training.
Keywords: teaching function; planning; practice teaching; teacher knowledge; Records
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Cronograma dos encontros iniciais ... 41
Quadro 2: Cronograma das aulas vídeo-gravadas ... 45
Quadro 3: Planejamento de ensino do conceito de função ... 45
Quadro 4: Cronograma dos encontros finais ... 49
Quadro 5: Representações semióticas do conceito de função ... 54
Quadro 6: Resultados de alunos franceses ... 58
Quadro 7: Variações para o traço reto ascendente e descendente ... 60
Quadro 8: Função linear transladada verticalmente ... 63
Quadro 9: Função linear transladada horizontalmente ... 63
Quadro 10: Níveis de compreensão do conceito de função ... 120
Quadro 11: Natureza das perguntas na condução da representação tabular ... 122
Quadro 12: Natureza das perguntas na condução da representação algébrica ... 123
Quadro 13: Natureza das perguntas na condução da representação cartesiana ... 125
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ... 11
CAPÍTULO 1: CAMINHO TRILHADO NA SISTEMATIZAÇÃO DA PROBLEMÁTICA DE PESQUISA ... 14
1.1 Início da caminhada da pesquisa no Curso de Matemática ... 14
1.2 Continuando a caminhada de pesquisa no Curso de Mestrado ... 16
1.2.1 Revisão bibliográfica sobre o conceito de função... 16
1.2.2 Definição da problemática de pesquisa ... 25
CAPÍTULO 2: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS DA PESQUISA ... 29
2.1 Natureza da pesquisa ... 29
2.2 Contexto da pesquisa ... 34
2.2.1 Professora cooperadora: perfil profissional e pessoal ... 36
2.2.2 Dados cooperados ... 37
2.2.3 Instrumentos de coleta dos dados cooperados ... 38
2.3 Percurso metodológico ... 40
2.3.1 Primeiro momento ... 41
2.3.2 Segundo momento ... 45
2.3.3 Terceiro momento ... 49
CAPÍTULO 3: COMPREENDENDO O PROCESSO DE ENSINO DE FUNÇÃO ... 52
3.1 Ensino da matemática: uma visão multifacetada ... 52
3.1.1 Contribuições de Duval para o ensino da matemática ... 53
3.1.2 Para além dos pressupostos teóricos de Duval ... 62
3.2 Ensino de função: uma análise do processo de ensino ... 76
3.2.1 Ensino planejado ... 76
3.2.1.1 Conversando com os saberes docentes da professora ... 76
3.2.1.2 Um olhar para os saberes prescritos pela professora ... 84
3.2.2 Ensino vivenciado ... 88
3.2.2.1 Um olhar para os saberes experienciados pela professora em sala de aula .... 88
3.2.2.2 Diálogo perante os episódios de ensino ... 110
3.2.3 Discussão das evidências ... 117
PONDERAÇÕES FINAIS ... 130
INTRODUÇÃO
Esta pesquisa é uma continuação ampliada das reflexões que vêm sendo efetuadas pela autora desta investigação em torno do conceito matemático de função e suas representações semióticas, considerando o âmbito da Educação Básica. Nesta pesquisa se desenvolvem reflexões, principalmente, quanto ao processo de ensino de função no Ensino Médio, mas não simplesmente sob a luz de decisões tomadas a priori sobre o que deve ser o ensino.
O conceito de função vem sendo discutido amplamente pelos pesquisadores, especialmente do campo da Educação Matemática, no Brasil desde 1970, quando surgiram os primeiros Programas de Pós-Graduação em Educação. Apesar disso, algumas temáticas de pesquisa envolvendo esse conceito são priorizadas em detrimento de outras, por exemplo, o processo de ensino de função não vem sendo tão enfocado quanto a sua aprendizagem. É oportuno salientar que, na perspectiva de Fiorentini (2004), a prática docente, assim como os saberes docentes, começa a interessar aos pesquisadores a partir da década de 1980.
Esse conceito é estruturador da Matemática, é constitutivo do campo conceitual multiplicativo - basicamente, diz-se do conjunto de situações que envolvem a operação de multiplicação - e seu estudo possibilita o estabelecimento de relações funcionais qualitativas. Conforme Brasil (2002, p. 121), seu estudo permite “[...] adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessárias para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema [...]”. Segundo Brasil (2006, p. 72), o estudo de função “[...] pode ser iniciado com uma exploração qualitativa das relações entre grandezas [...]”.
O conceito de função pode ser abordado desde as séries iniciais do Ensino Fundamental, formalizado no Ensino Médio e acometido novamente no Ensino Superior, por exemplo, nas disciplinas de Cálculo que compõem a grade curricular, não só das licenciaturas e bacharelados em Matemática, mas de diversos cursos, tais como: Engenharias, Ciência da Computação e Química.
Além do mais, o conceito de função é exigido de forma significativa em avaliações externas, como o Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica - SAEB, como se nota no Trabalho de Conclusão de Curso de Maggio (2008)1. Nessa pesquisa são sugeridas investigações futuras à compreensão dos resultados preocupantes de avaliações como essa. O que a priori impulsionou a presente pesquisa com a análise de planejamentos de ensino.
1 Essa pesquisa é abordada com mais detalhes posteriormente, ou melhor, no decorrer da justificação da
Entretanto, a posteriori esta pesquisa assumiu outros propósitos: além dos planejamentos de ensino, a prática pedagógica de uma professora singular.
Esta investigação, então, tem como problemática de pesquisa o ensino de função desenvolvido por uma professora de matemática que conhece a teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2000, 2003, 2004). De forma mais específica, o ensino do conceito de função planejado (organizado) e vivenciado (conduzido) por essa professora em sala de aula, ou melhor, em um ambiente formal de ensino situado em uma escola da Educação Básica da rede estadual no município de Santiago/RS.
Esta pesquisa, então, é estruturada em três capítulos e culmina em algumas ponderações finais.
No primeiro capítulo, é apresentado o caminho percorrido até chegar-se à problemática de pesquisa. Trajetória essa que teve início no Curso de Matemática - com atividades de pesquisa, ensino e extensão permeadas pela teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2003), dentre outros - e se estendeu ao Curso de Mestrado - em que se efetua o levantamento bibliográfico de pesquisas realizadas no Brasil, envolvendo concomitantemente o conceito de função e a referida teoria, no período de 1970 a 2010.
No segundo capítulo, são abordados os procedimentos metodológicos efetuados na perspectiva da compreensão da problemática de pesquisa. Inicialmente, a natureza da investigação, que é de caráter qualitativo com design de um estudo de caso intrínseco. Logo, o contexto em que a pesquisa incide, o qual é perpassado, sobretudo, por situações de trabalho cooperativo entre pesquisadora e professora. E por fim, os três momentos que constituem a totalidade da pesquisa, que envolvem, primeiramente, entrevistas e sessões reflexivas visando à compreensão do ensino planejado de função; depois, gravações da professora ensinando função em sala de aula e, finalmente, outras sessões reflexivas, com propósito diferente das iniciais, delimitando episódios de ensino de função (recortes significativos das aulas gravadas em vídeo).
No capítulo três, são trazidos, respectivamente, os referencias teóricos apropriados à compreensão da problemática de pesquisa, bem como as análises do ensino de função planejado e vivenciado em sala de aula. Primeiramente, o fundamental aporte teórico desta pesquisa, ou seja, os pressupostos teóricos de Duval (1988a, 1993, 2003, 2009) e suas contribuições para o ensino da matemática, bem como reflexões de outros pesquisadores em torno dessa mesma temática, isto é, do ensino, buscando, assim, estabelecer pontos de encontro e desencontros entre as concepções de ensino de matemática, não perdendo de vista os pressupostos de Duval. Finalmente, a análise dos planejamentos de ensino e da condução
desses em sala de aula, especialmente de episódios de ensino significativos e concernentes às cinco aulas selecionadas, assim como a discussão das evidências.
Por último, são efetuadas algumas considerações que dizem respeito, principalmente, ao processo de ensino de função e à opção dos pressupostos teóricos dos Registros de Representação Semiótica no ensino desse conceito.
CAPÍTULO 1
CAMINHO TRILHADO NA SISTEMATIZAÇÃO DA PROBLEMÁTICA DA PESQUISA
O caminho trilhado até chegar-se à sistematização das questões problemáticas da presente pesquisa, bem como aos objetivos pretendidos para responder essas questões, as quais são desdobramentos da temática que é em torno do processo de ensino do conceito de função, teve início na Graduação e estendeu-se à Pós-Graduação Stricto Sensu (Mestrado). Essa trajetória é apresentada a seguir.
1. 1 Início da caminhada da pesquisa no Curso de Matemática
Na condição de graduanda do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões (URI) - Campus de Santiago/Rio Grande do Sul2 - foi possível dar os primeiros passos no campo da pesquisa em Educação Matemática, particularmente no que se refere ao ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos. Nessa condição foi possível participar de projetos de pesquisa e extensão.
Participar como sujeita de uma pesquisa (de doutorado) proporcionou a aquisição conceitual de função, que não foi possibilitada globalmente na Educação Básica. A partir daí o conceito de função, principalmente com relação às suas representações semióticas algébrica e gráfica, passou a ser de interesse investigativo. A pesquisa foi desenvolvida por uma professora/pesquisadora na disciplina de Pré-Cálculo por meio de tarefas pautadas na coordenação de representações semióticas do conceito de função3.
2 Santiago é um município localizado na região central do Estado do Rio Grande do Sul e que possui 49. 071
habitantes, conforme contagem da população em 2007; sua renda mais expressiva é oriunda da prestação de serviços, segundo dados do Ministério da Fazenda em 2008; tem 28 escolas de Ensino Fundamental e 7 do Ensino Médio, com 67% dos professores atuando no Ensino Fundamental e 26% no Ensino Médio, de acordo com o INEP em 2009. Essas informações foram retiradas do portal do IBGE http://www.ibge.gov.br/cidadessat/painel/painel.php?codmun=431740#
3
Outros dados sobre a pesquisa se encontram na tese da Profª Drª Rita de Cássia Pistóia Mariani - “Transição da Educação Básica para o Ensino Superior: A coordenação de Registros de Representação e os conhecimentos mobilizados pelos alunos no Curso de Cálculo”, que é mencionada nas referências bibliográficas desta pesquisa.
Participar, como bolsista, do Projeto de Apoio ao Ensino de Física e Matemática, que buscava a articulação entre pesquisa, ensino e extensão, possibilitou outras reflexões, ou seja, ponderações significativas em torno, sobretudo, da teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2003). Por exemplo, as limitações próprias de cada representação semiótica de um conceito matemático implicam a necessidade da mobilização de várias representações semióticas para que ocorra a aquisição desse conceito. Desse modo, o professor necessita conhecer, além, obviamente, dos conteúdos específicos de sua área, uma maneira de ensinar (organizar e conduzir) esses conteúdos4.
Vivenciar as disciplinas de Estágios Curriculares em Ensino de Matemática, fundamentados em um aporte teórico como o dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2003), proporcionou imediatas reflexões em volta do ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos, tais como do conceito de função (afim e quadrática). É relevante ressaltar neste momento as dificuldades apresentadas por alunos da Educação Básica do município de Santiago (onde foram realizados os Estágios) em reconhecer o conceito de função em suas distintas representações semióticas (algébrica e gráfica, principalmente).5
É oportuno salientar que as práticas de ensino intrínsecas a dois desses estágios envolveram o conceito de função (afim e quadrática). Uma prática de ensino foi promovida na forma de minicurso para professores de matemática da rede estadual e municipal do município de Santiago por meio de um software educativo de matemática (Derive). A outra prática foi desenvolvida com alunos do primeiro ano do Ensino Médio da rede estadual do mesmo município por meio de situações-problema no contraturno. Observou-se que os alunos recorriam a tentativas sucessivas organizadas na representação semiótica numérica frente aos insucessos na transformação da representação semiótica gráfica para a algébrica, ocorrendo o mesmo no sentido contrário. Tanto os alunos como os professores utilizavam a representação numérica (por meio da tabela) na transformação da representação algébrica para a representação gráfica e vice-versa.
Organizar e desenvolver um projeto de pesquisa que teve como centralidade a investigação das representações semióticas do conceito de função afim em dois livros didáticos de matemática permitiu refletir mais solidamente em torno de ponderações que
4
Mais detalhes se encontram em um texto de autoria da própria pesquisadora - Registros de Representação Semiótica no Laboratório de Matemática: Atividades com o Teorema de Pitágoras - publicado nos Anais do I Congresso Nacional de Educação Matemática, VIII Encontro Regional de Educação Matemática e III Encontro Regional de Ensino de Física, que ocorreu na UNIJUÍ (2008).
5 Mais informações se encontram em um texto de autoria da própria pesquisadora - Os Registros de
Representação Semiótica na aquisição do conceito de função afim e na resolução de problemas - publicado nos Anais da II Jornada Nacional de Educação Matemática e XV Jornada Regional de Educação Matemática, promovido pela Universidade Federal de Passo Fundo - UPF/RS (2008).
vinham sendo feitas ao longo da Graduação. As atividades sobre função afim propostas nos livros didáticos de matemática do Ensino Médio, utilizados por professores de matemática da Educação Básica de Santiago, foram analisadas na ótica da teoria de Duval (2003). Constatou-se que os livros não privilegiam as mesmas repreConstatou-sentações Constatou-semióticas do conceito de função afim e sim um único sentido das conversões: enquanto um dos livros privilegia conversões no sentido da língua natural algébrico em situações-problema, o outro enfatiza no sentido algébrico gráfico em problemas “fechados”6.
Impulsionada pelos resultados dessa pesquisa, optou-se por analisar como as práticas de ensino do conceito de função são planejadas e concretizadas no município de Santiago. Nessa pesquisa foi constatado que os aspectos observados nos livros didáticos influenciam o ensino de matemática nas salas de aula, como se nota, por exemplo, nos Estágios referidos. Porém, não se compreendeu a outra questão dessa pesquisa, que diz respeito aos reflexos dos fatos observados nos livros didáticos no desempenho de alunos em avaliações nacionais como o SAEB. Compreender essa outra questão implicava, primeiramente, investigar o ensino (planejado e vivenciado). Nesta perspectiva, buscou-se dar continuidade às reflexões, sobre Educação e, especificamente, Educação Matemática, na Pós-Graduação Stricto Sensu (Mestrado).
1.2 Continuando a caminhada da pesquisa no Curso de Mestrado
Na condição de pós-graduanda, buscou-se refletir com mais consistência em torno da organização e condução de planejamentos de ensino, particularmente, do conceito de função. No intuito de verificar as pesquisas já existentes e que consideram o mesmo objeto desta pesquisa - processo de ensino de função e suas representações semióticas - emergiu a necessidade de realizar uma revisão bibliográfica em torno do conceito de função.
1.2.1 Revisão bibliográfica sobre o conceito de função
A seguir é apresentada uma revisão bibliográfica tendo por base o estudo do tipo estado da arte, em forma de dissertação, de Ardenghi (2008), bem como uma análise de
pesquisas, em forma de artigo, de Colombo, Flores & Moretti (2008), e um levantamento de pesquisas realizadas após o período de 2005, feito pela própria pesquisadora em bibliotecas digitais de dissertações e teses de alguns Programas de Pós-Graduação em Educação e Educação Matemática no Brasil. Várias dessas pesquisas são encontradas no portal eletrônico da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES.
Ardenghi (2008) fez um levantamento das pesquisas realizadas no Brasil no período de 1970 a 2005, que abordam o conceito de função e encontrou quarenta e seis pesquisas (entre dissertações e teses). O pesquisador verificou o que as pesquisas revelam sobre as dificuldades de aprendizagem dos alunos de diversos níveis de ensino a respeito do conceito de função e o que apontam como alternativas para superar ou minimizar essas dificuldades. Nove pesquisas7 mais diretamente relacionadas ao interesse de sua investigação foram selecionadas para uma análise mais detalhada. O pesquisador considerou o período referido em razão de que, na década de 1970, começaram a surgir os primeiros Programas de Pós-Graduação em Educação no Brasil.
Segundo Ardenghi (2008), essas pesquisas envolvem, sobretudo, alunos e pouquíssimas delas envolvem, concomitantemente, alunos e professores. Os professores e livros didáticos apresentam as mesmas concepções e as situações contextualizadas necessitam ser enfatizadas por ambos. Os alunos apresentam as mesmas dificuldades dos professores. Essas mesmas pesquisas, em sua maioria, consideram estudos históricos do conceito de função. A leitura e interpretação de representações gráficas, principalmente, são encaradas como a principal dificuldade dos alunos de diferentes níveis de ensino. Sequências didáticas8 e softwares matemáticos, considerando a conversão entre representações semióticas, são apontados para minimizar essas dificuldades de aprendizagem.
Colombo, Flores & Moretti (2008) fizeram um levantamento das pesquisas, realizadas no Brasil entre 1990 e 2005, que consideram os pressupostos da teoria dos Registros de Representação Semiótica e se depararam com trinta trabalhos (entre dissertações e teses). Os pesquisadores averiguaram o panorama das pesquisas brasileiras em Educação Matemática,
7
Mendes (1994), Simões (1995), Schwarz (1995), Oliveira (1997), Machado (1998), Rêgo (2000), Zuffi (2001), Santos Filho (2003) e Souza (2003).
8 Essas sequências didáticas, assim como as sugeridas por pesquisadores que serão mencionados posteriormente,
contemplam basicamente tarefas que, apesar de intencionais (característica de “situações didáticas” conforme Brousseau (2008)), não seguem uma metodologia. E não no mesmo sentido de sequências de ensino, que, de acordo com a metodologia da Engenharia didática, de Artigue (1988), compreende fases bem determinadas: “análises preliminares” (embasam a análise a priori, por exemplo, epistemológica, cognitiva e didaticamente), “análise a priori” (é embasada por hipóteses determinadas pelas análises preliminares), “experimentação” (fase de efetivação), “análise a posteriori” (tratamento das informações pertinentes à experimentação) e “validação (comparação entre as análises a priori e a posteriori)”.
especificamente das que consideram a teoria referida, e apontaram tendências e possibilidades para pesquisas futuras. Eles consideraram, no levantamento, as pesquisas produzidas a partir da década de 1990 em razão de que foi a partir do início dessa década que a teoria mencionada chegou ao Brasil, segundo os próprios investigadores.
Conforme Colombo, Flores & Moretti (2008), as investigações enfocam principalmente as dificuldades dos alunos, de diversos níveis de ensino, em matemática, inclusive com o conceito de função, e apontam como solução para os problemas da aprendizagem, sequências didáticas em torno dos conteúdos investigados, pautadas na teoria dos Registros de Representação Semiótica.
Ainda, segundo Colombo, Flores & Moretti (2008), não bastam sequências didáticas ou sequências de ensino bem elaboradas para garantir o acesso ao saber e os professores, assim como os autores de livros didáticos, necessitam de um uso efetivo da teoria referida. Além disso, apontam algumas tendências e possibilidades para investigações futuras, considerando essa teoria: ação pedagógica de professores, caminhos para a utilização dessa teoria e utilização e entendimento dos professores a respeito desse aporte teórico.
Observam-se nos resultados das pesquisas desenvolvidas até o período de 2005, especificamente daquelas que dizem respeito ao conceito de função e que consideram o aporte teórico dos Registros de Representação Semiótica, pontos semelhantes em destaque: alunos (do Ensino Fundamental ao Ensino Superior) com dificuldades de aprendizagem do conceito de função e sequências didáticas pautadas na teoria mencionada são sugeridas para minimizar ou sanar essas dificuldades. Pesquisadores estão buscando apontar outros caminhos para pesquisas futuras, particularmente no que se refere a essa teoria. Convém, como exemplo, a análise do ensino (planejado e vivenciado) de professores que tenham entendimento dessa teoria.
No intuito de verificar a existência de outros focos de investigação em volta do conceito de função e da teoria dos Registros de Representação Semiótica, optou-se por buscar pesquisas realizadas após o período de 2005. Para tanto, inicialmente, recorreu-se a bibliotecas digitais de dissertações e teses de alguns Programas de Pós-Graduação Stricto Sensu em Educação do Brasil, principalmente daqueles que consideram esse aporte teórico: Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da PUC/SP9, Programa de
Graduação em Educação Científica e Tecnológica da UFSC10 e Programa de Pós-Graduação em Educação da UFPR11.
Encontram-se nesses Programas de Pós-Graduação pesquisas, tais como as citadas a seguir: Bassoi (2006), Mariani (2006), Silva (2007), Franco (2008), Silva (2008), Bica (2009), Lucas (2009), Silva (2010) e Zucco (2010). Após esse levantamento inicial, buscaram-se subsídios no portal da CAPES, onde se encontrou, além dessas, mais quatro pesquisas vinculadas a outros Programas de Pós-Graduação Stricto Sensu12: Bueno (2009) e Silva (2009). Em seguida, são apresentados o objetivo de pesquisa, os referenciais teóricos e metodológicos e os resultados de cada uma dessas investigações.
Bassoi (2006) verificou as representações semióticas utilizadas por uma professora e seus alunos da oitava série (nono ano) do Ensino Fundamental em aulas de matemática envolvendo o conceito de função (afim e quadrática), bem como os tratamentos e as conversões das representações semióticas constituintes da organização e condução dos planejamentos de ensino desses conceitos. Para tanto, recorreu à teoria dos Registros de Representação de Duval (1988a, 1988b, 1993, 1995, 1996, 1998a, 1998b, 1998c, 2003) e a pesquisa qualitativa. Especificamente, optou por observar aulas e realizar entrevistas, por meio de gravações e anotações dos registros produzidos pela professora e pelos alunos, bem como pela análise de três livros didáticos de matemática adotados pela professora, sendo um desses livros de autoria da própria professora.
Conforme Bassoi (2006), com base na análise das quatro aulas selecionadas dentre as quarenta e sete observadas, a professora empenhava-se, no decorrer das aulas, em trabalhar com distintas representações semióticas de função: algébrica, gráfica, numérica e língua natural, tanto nos tratamentos como nas conversões; utilizava a representação semiótica numérica (tabular) como intermediária nas conversões das representações gráficas para as algébricas, principalmente no que tange à função afim; na construção da tabela e também do gráfico cartesiano da função quadrática, usava a propriedade geométrica da simetria; incentivava os alunos a expressarem os tratamentos e as conversões por meio da linguagem
10 Universidade Federal de Santa Catarina. 11 Universidade Federal do Paraná. 12
Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC/RS) e Programa de Pós-Graduação em Ciências da Linguagem da Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL).
matemática (escrita e oral) e iniciava o conteúdo de funções por meio de escritas genéricas, conversões de escrita numéricas ou pictóricas em escrita algébrica13.
Mariani (2006) analisou como a coordenação de representações semióticas contribui para a explicitação dos conhecimentos por alunos ingressantes em um Curso de Cálculo, frente a tarefas organizadas com base no conceito de função e com o auxílio de um software educativo de matemática (Derive). Para tanto, utilizaram-se os pressupostos teóricos dos Registros de Representação Semiótica de Duval (1988, 1990, 1992, 1993, 1996, 1999, 2003), do Contrato Didático de Brousseau (1986, 1988, 1996) e do método da pesquisa qualitativa, especificamente do estudo de caso.
Conforme Mariani (2006), as tarefas propiciaram aos alunos a coordenação de registros de representação semiótica do conceito de função. Além disso, a identificação das variáveis visuais da representação semiótica gráfica e de variáveis simbólicas da representação semiótica algébrica de algumas funções permitiu procedimentos de interpretação global. Ainda, os mesmos alunos que realizaram procedimentos globais adotaram procedimentos pontuais na representação semiótica da língua natural e atribuíram maior legitimidade à representação semiótica numérica. Para ela a complexidade da interpretação global e o contrato didático que vigora na Educação Básica, que dizem respeito à sistematização do conceito de função, explicam esse fato.
Silva (2007) investigou, em livros didáticos de matemática do Ensino Fundamental (dois livros) e Ensino Médio (três livros), a abordagem do conceito de função. Especificamente, as estratégias utilizadas pelos autores dos livros didáticos para apresentar o conceito de função, a relação discreto/contínuo na construção de gráficos e os sentidos da conversão entre a representação semiótica gráfica e algébrica. Para tanto, o pesquisador buscou subsídios nos pressupostos teóricos dos Registros de Representação Semiótica de Duval (1988, 2003) e da pesquisa qualitativa, particularmente da análise documental.
Segundo Silva (2007), na maioria dos livros o conceito de função é abordado por meio da exploração da relação de dependência entre duas grandezas na resolução de problemas. Mas mesmo assim, alguns livros apresentam a definição formal de função como sendo um caso particular de uma relação. Há uma preocupação com a contextualização e interdisciplinaridade; porém, é dado pouco destaque aos padrões generalizáveis que podem desenvolver a ideia de relação funcional e a capacidade de abstração; no tratamento gráfico a
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Mesmo a pesquisa de Bassoi (2006) enfocando o ensino de funções específicas (função afim e quadrática), optou-se por mencionar os resultados dessa pesquisa em razão, principalmente, do enfoque dado à sala de aula, ou ao “saber fazer” de uma professora, e também à teoria dos Registros de Representação Semiótica.
passagem do discreto ao contínuo é automática e insuficiente. As conversões da representação semiótica algébrica para a gráfica são privilegiadas em detrimento das conversões da representação semiótica gráfica para a algébrica, mas as variáveis visuais pertinentes à representação gráfica não são consideradas nessas conversões.
Franco (2008) analisou as aulas de matemática de cinco professores do terceiro ano do Ensino Médio (Curso intitulado “Terceirão”, que envolvia conteúdos dos três anos do Ensino Médio ministrados por professores diferentes). Especificamente, como os professores usavam as “Formas de Negação” - conjunto de operações lógicas, tais como negação lógica, contrapositiva, complementaridade e contra-exemplo - no ensino de alguns conteúdos, dentre esses, o ensino da definição de função. Para tanto, buscou subsídios na teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (1988a, 1993, 1995, 1996, 2003) e na lógica formal14.
Conforme Franco (2008), os professores que utilizavam as “Formas de Negação” usavam de forma equivocada algumas regras; apresentavam o que não é função para, depois, apresentar o que é função; empregavam as “Formas de Negação” como uma “técnica de ensino” durante a leitura do conteúdo e utilizavam outra forma de negação para apresentar o conteúdo e, assim, .produziam “regras” próprias na língua natural não condizentes com a totalidade dos conceitos, no intuito de evitar o formalismo matemático, por exemplo, no ensino de função: “para ser função, todas as linhas paralelas ao eixo não podem cortar em mais de um ponto da função”. (ibidem, p. 132). De acordo com a pesquisadora, o uso correto das “Formas de Negação” pode aumentar as potencialidades dos tratamentos e conversões.
Silva (2008) analisou, no material de Matemática do Ensino Fundamental da Secretária do Estado de São Paulo, as atividades introdutórias do conceito de função propostas para alunos da oitava série (nono ano) do Ensino Fundamental. Especificamente, investigou se o conceito de função era abordado de forma implícita ou explicita, analisou as representações semióticas dos enunciados, bem como se tem tratamento ou conversão nas possíveis estratégias de solução e se as atividades proporcionavam uma apreensão futura. Para tanto, recorreu à teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2003) e à pesquisa qualitativa, particularmente a investigação documental.
Segundo Silva (2008) o conceito de função é apresentado de forma implícita e não formalmente; enquanto conceitos introdutórios do conceito de função são abordados: proporcionalidade direta e indireta, razão, relação entre grandezas, observação de padrões generalizáveis, variação quantitativa, interdependência entre quantidades de naturezas
14 Conforme Franco (2008, p. 49), a lógica é utilizada em matemática, por exemplo, nas definições. E a lógica
distintas, regularidade na relação e variável; são observadas representações semióticas nos enunciados das atividades: língua natural, numérica, tabular e geométrica, não havendo excesso de expressões algébricas e há tratamentos e conversões congruentes e não congruentes em um único sentido.
Bica (2009) analisou, em livros didáticos de matemática do primeiro ano do Ensino Médio (três livros), aprovados pelo Plano Nacional do Livro Didático (2005) do Ministério da Educação e Cultura para o Ensino Médio, os aspectos visuais e textuais do conceito de função (e função afim). Especificamente, o enfoque dado ao conceito de função (e função afim), ou seja, à representação semiótica gráfica, à articulação entre os parâmetros algébricos e visuais e à análise se os exercícios promoviam atividades de conversão, contextualização, interdisciplinaridade e coerência com o texto teórico. Para tanto, recorreu aos Registros de Representação Semiótica (1988, 2003) e a alguns critérios organizados com base nessa teoria. Segundo Bica (2009), apenas dois livros apresentavam distintas representações semióticas do conceito de função e a sua apreensão global, bem como exercícios com fenômenos de não congruência, muitos desses contextualizados e coerentes com o texto teórico; somente um livro enfatiza o texto matemático e nos três livros é parcial a abordagem de conceitos introdutórios à abordagem do conceito de função e função afim: plano cartesiano e proporcionalidade.
Bueno (2009) investigou o conceito de função em uma perspectiva histórica e as abordagens atuais em Educação Matemática para a aprendizagem desse conceito, com atenção para as representações semióticas. Para tanto, recorreu, sobretudo, aos Registros de Representação Semiótica de Duval (1999, 2003, 2006) e à pesquisa qualitativa, particularmente ao estudo do tipo documental.
De acordo com Bueno (2009), a primeira noção de função foi alicerçada em representações tabulares; posteriormente, o registro gráfico contribuiu para o desenvolvimento da ideia de relação funcional; mais tarde, a representação algébrica expressou o conceito de função como uma relação entre conjuntos numéricos e como uma expressão analítica por meio de fórmulas e, depois, com o advento da aplicação da álgebra à geometria (analítica), organiza-se a prática da transformação da representação gráfica para a representação algébrica (transformação essa denominada, por Duval, de conversão).
Além disso, conforme Bueno (2009), em documentos oficiais brasileiros, como nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006), é destacada a relevância do conteúdo função na educação escolar: esse conteúdo pode ser iniciado por meio da exploração qualitativa da relação entre duas grandezas, por exemplo, tempo e distância percorrida; os
alunos podem ser instigados a construir relações funcionais; as funções específicas (linear, afim, quadrática, exponenciais e trigonométricas) devem ser abordadas levando em conta diferentes áreas do conhecimento e contextos diversos, por exemplo, movimento uniforme e rendimento financeiro; os gráficos de funções devem ser construídos por meio da compreensão global (relação entre as variáveis) e não apenas por meio de pares ordenados organizados em uma tabela. Ainda, nas matrizes de referência do terceiro ano do Ensino Médio do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (BRASIL, 2007), são destacadas as competências de construir expressões algébricas tendo uma tabela; reconhecer a expressão algébrica tendo o gráfico; reconhecer um gráfico tendo o texto e analisar crescimento, decrescimento e raízes de funções reais representadas graficamente. Por fim, no relatório pedagógico do Exame Nacional do Ensino Médio (BRASIL, 2008) são destacadas as competências de selecionar, organizar, relacionar e interpretar informações representadas em diferentes formas.
Ainda, segundo Bueno (2009), em documentos internacionais, como no Programa de Matemática do Ensino Básico de Portugal (PORTUGAL, 2008), são indicadas as competências de ler e interpretar representações simbólicas, tabulares e gráficas; traduzir informações representadas em uma forma para outra forma; utilizar e elaborar representações para registrar, organizar e comunicar ideias matemáticas e usar representações para modelar, interpretar e analisar situações matemáticas e não matemáticas.
Lucas (2009) investigou, em protocolos de alunos do segundo ano do Ensino Médio, após a resolução de questões propostas pelo próprio pesquisador e, em algumas etapas com o auxilio de um software educativo de matemática (Graphmatica), o entendimento referente à “raiz de uma função”. Especificamente, as “descontinuidades conceituais” que levam a concepções errôneas na determinação de raízes de funções (afins e quadráticas). Para tanto, recorreu à teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (1988, 1999, 2003) e à pesquisa qualitativa, particularmente a análise de conteúdo.
Conforme Lucas (2009), muitos alunos associavam a equação e função às suas representações semióticas algébricas; os estudantes reconheciam o conceito de equação e função apenas nas representações algébricas; os alunos continuavam na representação algébrica, mesmo em questões que impulsionavam conversões para outras representações (numérica ou gráfica); os discentes não estabeleciam relações entre encontrar a solução de uma equação e identificar a raiz de uma função associada a essa equação, bem como não atribuíam significado para as soluções das equações e não realizavam a conversão da representação algébrica para a numérica.
Silva (2009) desenvolveu aplicativos informatizados para o ensino e aprendizagem do conceito de função para alunos de um Curso de Matemática, um de caráter instrucional (Microsoft Office Power Point 2003) e outro de caráter funcional (ApliRFunction). Para tanto, recorreu aos Registros de Representação Semiótica de Duval (1993), à Transposição Didática de Chevallard (1982, 1994) e à Transposição Informática de Balacheff (1994a, 1994b).
Segundo Silva (2009), ocorreram discretas melhorias no desempenho dos alunos, há a necessidade de aprimoramento dos aplicativos e “o valor do trabalho (dissertação desenvolvida por ele), [...], está menos pelo que conclui, mas pelo que provoca futuramente” (2009, p. 145). Além disso, analisou vários softwares educativos: WinPlot, GrafEq, Graph e Derive e, para ele, apenas um desses softwares (Graph) aborda, além da representação semiótica gráfica e algébrica, a representação tabular. O software desenvolvido pelo mesmo objetivou envolver a mobilização do maior número possível de representações, pois exigia a mobilização da representação gráfica, algébrica e tabular.
Silva (2010) analisou, em quatro livros didáticos de matemática do Ensino Médio, a abordagem do conceito de função. Especificamente, os tratamentos e as preocupações dos autores com o ensino do conceito de função na perspectiva das representações semióticas. Para tanto, buscou subsídios na teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2003, 2004) e na análise de conteúdo de Bardin (1977).
Segundo Silva (2010), dois dos quatro livros analisados apresentam influências do grupo Bourbaki15 e esses livros apresentam, como “pré-requisitos” para a abordagem do conceito de função, os conceitos de produto cartesiano e relações binárias. Na maioria dos livros, porém, a resolução dos exemplos e exercícios envolve atividades de tratamento e conversão que, por sua vez, envolvem diferentes representações semióticas do conceito de função (língua natural, algébrico, numérico, figural e gráfico); os tratamentos são enfatizados em detrimento das conversões; o registro da língua natural é enfocado, principalmente, nos enunciados; e o conceito de função é abordado de forma intuitiva.
Zucco (2010) analisou, em protocolos de alunos do terceiro ano do Ensino Médio, o desempenho na resolução de quatro questões, oriundas da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, envolvendo o conceito de função crescente e descrente. Para tanto, recorreu aos pressupostos da teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2003) e da pesquisa qualitativa.
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Grupo esse estabelecido durante o Movimento da Matemática Moderna, que se efetivou entre as décadas de 1960 e 1980. Esse grupo constituía-se de matemáticos que utilizavam a teoria dos conjuntos e enfatizavam interpretações estruturais do conceito de função em detrimento de interpretações procedimentais.
Conforme Zucco (2010), os alunos apresentavam dificuldades na interpretação dos enunciados das questões, bem como em transitar pelas diferentes representações semióticas, nas conversões e nos tratamentos. Além disso, o não conhecimento dos diversos registros de representação semiótica do conceito de função e a incapacidade de transitar entre os diferentes registros podem explicar as dificuldades apresentadas pelos alunos.
Após a apresentação da investigação de novos focos de pesquisa em torno das representações semióticas do conceito de função, pode-se dizer que, quantitativamente: cinco pesquisas têm como centralidade materiais prescritos (referenciais curriculares) e proposionais (livros didáticos), quatro pesquisas enfocam protocolos de alunos, principalmente, em sequências didáticas elaboradas pelos próprios pesquisadores e somente duas pesquisas enfocam o fazer pedagógico de professores. Em termos mais teóricos, vem fazendo parte das preocupações dos pesquisadores a articulação dos pressupostos da teoria dos Registros de Representação Semiótica com outros aportes teóricos ligados também ao campo da Educação Matemática e, também, há uma preocupação em analisar sequências didáticas fundamentadas, principalmente, na articulação entre as representações semióticas gráfica e algébrica.
Nessas pesquisas, a representação semiótica da língua natural não é tão enfocada quanto às representações gráfica cartesiana e algébrica. Esses registros de representação, ou seja, as representações semióticas gráfica e algébrica são as que mais aparecem nas pesquisas, talvez em razão de Duval enfocar justamente esses registros em suas pesquisas sobre aquisição e organização de situações de aprendizagem de conceitos matemáticos.
Aliás, essas representações semióticas, isto é, gráfica e algébrica, são também consideradas no contexto de sala de aula - duas pesquisas consideram o “saber fazer” do professor. A primeira pesquisa - Bassoi (2006) - aborda, dentre outros assuntos considerados na análise, a propriedade do eixo de simetria da reta e da parábola. A segunda pesquisa - Franco (2008) - acomete as duas formas de dialeto que constituem a linguagem matemática - língua natural e formal.
1. 2. 2 Definição da problemática de pesquisa
Nesta subseção são efetuadas problematizações, referentes às investigações postas anteriormente, que culminam na sistematização da problemática de pesquisa e em duas questões investigativas desmembradas pela mesma.
Bassoi (2006) ateve-se, principalmente, nos tipos de representações semióticas do conceito de função (afim e quadrática) utilizadas por uma professora em sala de aula e também por seus alunos, bem como nos tipos de transformações de representações semióticas empreendidas na organização e condução da prática pedagógica da professora. No entanto, a presente pesquisa detém-se, principalmente, no modo como as representações semióticas do conceito de função (de forma geral) são utilizadas por uma professora no processo de ensino (planejado/organizado e vivenciado/conduzido). Para Damm (2002), o fundamental é o modo como as representações semióticas são utilizadas e não as representações em questão.
Mariani (2006) remete-se ao contrato didático no contexto da Educação Básica como um dos fatores responsáveis pela não coordenação das representações semióticas do conceito de função no contexto do Ensino Superior. De acordo com Silva (2002), o contrato didático depende das estratégias de ensino adotadas pelo professor. Nesta investigação, as estratégias de ensino (do conceito de função) utilizadas por uma professora, no Ensino Médio, são consideradas.
Silva (2007), assim como Bica (2009) e Silva (2010), deteve-se, sobretudo, na análise de livros didáticos de matemática. Porém, nesta pesquisa, materiais proposionais, como o livro didático, não são considerados. O livro didático permite contemplar algumas facetas dos saberes docentes, por exemplo, o “saber ensinar”. Aqui, embora esse saber seja foco de atenção, o “saber fazer” ou fazer pedagógico recebe cuidados especiais, particularmente, a gestão ou condução do conteúdo ensinado (função). Na perspectiva de Tardif (2002), a gestão da matéria também é um “desafio pedagógico”, assim como a gestão da classe, sendo necessário que as pesquisas considerem o que os professores fazem de fato, em vez de levar em conta o que precisam ou não fazer.
Franco (2008) analisou na língua natural e formal as formas de negação, em aulas de matemática. Entretanto, na presente investigação, a representação semiótica da língua natural é considerada por outro viés. Nesta ocasião visa-se observar como a língua natural é utilizada por uma professora no ensino de função, atendo-se à natureza das perguntas efetuadas, na forma escrita e na forma oral, sendo que “natureza” aqui concerne à variação redacional e ao conteúdo cognitivo. Nehring (2001) analisou, em textos matemáticos, a variação redacional e o conteúdo cognitivo. Então, porque não considerar esses mesmos fatos nos discursos dos professores (de matemática) em sala de aula?
Silva (2008) investigou exclusivamente um material prescrito de matemática. Contudo, nesta pesquisa, documentos prescritos não são focos de análise exclusivos. Mesmo assim, na análise dos planejamentos de ensino do conceito de função (ensino planejado), a
pesquisadora não se eximiu em vislumbrar o referencial curricular de Matemática para o Ensino Médio - Projeto Lições do Rio Grande (RS, 2009), sendo que a professora envolvida nesta pesquisa faz menção a esse referencial em uma das entrevistas.
Bueno (2009) investigou a abordagem do conceito de função num contexto histórico. Porém, nesta pesquisa, o registro gráfico (representação semiótica tabular e gráfica cartesiana) e a representação algébrica de função são analisados no âmbito do ensino - supostamente pautado na teoria dos Registros de Representação Semiótica. Para Flores & Moretti (2008), apenas sequências didáticas bem estruturadas não garantem o acesso ao saber, como já mencionado.
Lucas (2009), assim como Zucco (2010), pesquisou, nomeadamente, protocolos de discentes. Todavia, nesta pesquisa, os saberes docentes mobilizados por uma professora são focos de atenção especial, dado que ela conhece a teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2000, 2003, 2004). Não faz parte das preocupações aqui a aprendizagem dos alunos e nem a relação entre ensino e aprendizagem, mas sim o ensino de fato. Na perspectiva de Flores & Moretti (2008), há a necessidade de pesquisas que apontem caminhos para a utilização da referida teoria, bem como considerem o entendimento do professor com relação à mesma.
Silva (2009) organizou um software, visando potencializar as articulações entre representações semióticas distintas. Entretanto, na presente investigação, a gestão do conteúdo função em sala de aula é analisada, considerando esse ambiente formal de ensino com seus recursos disponíveis (quadro de escrever e giz), objetivando-se compreender uma prática pedagógica, supostamente pautada nos pressupostos teóricos de Duval. É necessário analisar, como ensinar, em termos de Registros de Representação Semiótica, em uma sala de aula e sem o auxílio de softwares educativos de matemática16? Vale lembrar que é comum encontrar pesquisas em ambientes informatizados que evidenciam a eficácia de softwares educativos de matemática na condução de situações de aprendizagem envolvendo, sobretudo, a representação semiótica gráfica cartesiana.
Desse modo, pretende-se analisar como uma professora de matemática, que conhece a teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2000, 2003, 2004) e que atua na Educação Básica do município de Santiago/RS, planeja e conduz o ensino do conceito de função.
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A professora opta por não utilizar esse espaço, no turno regular, em razão de fatores diversos: reforma do laboratório de informática da escola no momento em que iniciou o trabalho com função e, também, dos estágios de licenciandos em matemática no contraturno.
Para atingir esse objetivo, visa-se responder às seguintes perguntas:
1) Como as representações semióticas do conceito de função são utilizadas na organização do planejamento de ensino?
E, para responder a esta pergunta, objetiva-se focar nos seguintes pontos: situações de aprendizagem do conceito de função, tratamentos e conversões, bem como nos conceitos que constituem o campo conceitual de função.
2) Como as representações semióticas do conceito de função são conduzidas em sala de aula?
E, para responder a esta pergunta, visa-se focalizar no seguinte ponto: estratégias utilizadas na administração dos tratamentos e conversões das representações semióticas do conceito de função.
CAPÍTULO 2
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS DA PESQUISA
As escolhas metodológicas efetuadas na busca da compreensão da problemática sistematizada e posta no capítulo um são de caráter qualitativo, com design de estudo de caso, especificamente estudo de caso intrínseco. O movimento metodológico é de estilo qualitativo em razão de que os dados são predominantemente descritivos e interpretativos e, também, da forma estudo de caso intrínseco pelo fato de que o interesse é investigar um caso muito singular, que diz respeito aos planejamentos de ensino do conceito de função organizados e conduzidos em sala de aula por uma professora que conhece os pressupostos teóricos de Duval (2000, 2003, 2004). Logo, a natureza da pesquisa é detalhada mais claramente.
2.1 Natureza da pesquisa
Por natureza de uma pesquisa entende-se que é estabelecida pelas características intrínsecas à problemática de uma investigação e às questões desmembradas pela mesma. Como se sabe, as questões problemáticas desta pesquisa dizem respeito, respectivamente, ao modo como as representações semióticas do conceito de função são encaminhadas e à maneira como as conversões entre as representações desse conceito são conduzidas. Essas questões sugerem uma abordagem qualitativa no processo de suas compreensões, como se observa a seguir.
As questões problemáticas mencionadas têm peculiaridades, com restrições, que concernem aos fundamentos teóricos da pesquisa qualitativa de Lüdke & André (1986), que, por sua vez, baseiam-se, dentre outros, em Bogdan & Biklen (1982) e Stake (1983). Quanto às restrições, buscaram-se subsídios na proposta metodológica de Carvalho (2006).
Logo são citadas as peculiaridades do processo desta pesquisa e as razões pelas quais são consideradas particularidades:
- O contexto da sala de aula é o ambiente investigado e a câmera de vídeo é o principal instrumento de coleta de dados;
No âmbito desta pesquisa, o contexto da sala de aula foi o estudado. Além desse espaço formal de ensino, a residência da professora serviu de ambiente para os encontros realizados entre ela e a pesquisadora. Nesses espaços, observava-se a professora conduzindo o ensino e dialogava-se sobre os planejamentos de ensino, ou seja, sobre aulas organizadas primando o ensino, especialmente, do conceito de função.
O instrumento principal para a coleta de tais observações e diálogos foi a câmera de vídeo. Esta possibilita observações mais acuradas da professora em situação de aula, uma vez que as imagens podem ser observadas inúmeras vezes.
Segundo Lüdke & André (1986, p. 11), “a pesquisa qualitativa tem o ambiente natural como sua fonte direta de dados e o pesquisador como seu principal instrumento”. A presença prolongada do pesquisador onde os fenômenos ocorrem é essencial para entender o objeto de estudo, em razão das situações particulares em que o mesmo se insere. Com relação à câmera de vídeo, Lüdke & André (1986, p. 37) mencionam que “a gravação (em áudio) [...] só registra as expressões orais, deixando de lado as expressões faciais, os gestos (e), as mudanças de postura [...]”.
Para Carvalho (2006), no entanto, a câmera de vídeo é o principal instrumento de coleta de dados, apesar de o pesquisador ser fundamental no comando dela. É por meio da câmera de vídeo que são coletadas as imagens a serem analisadas, mais especificamente os “episódios de ensino”, ou seja, os recortes significativos de uma aula. Ainda, as gravações em vídeo de uma mesma aula permitem inúmeras observações. Ela sugere esta proposta metodológica para as pesquisas que enfatizam o processo de ensino e aprendizagem em tempo real.
- Os dados coletados são principalmente descritivos;
No contexto desta pesquisa, os dados fundamentais são planejamentos de ensino impressos e episódios de ensino, que são recortes significativos das aulas vídeo-gravadas do conceito de função. Esses dados são coletados e transcritos posteriormente. Logo, as informações são passíveis de descrição.
Para Lüdke & André (1986, p. 12), “os dados coletados são predominantemente descritivos” e as pesquisas qualitativas se constituem de materiais ricos em descrições de pessoas, situações e de transcrições de entrevistas, dentre outros. Por sua vez, Carvalho (2006), mesmo admitindo alguns desses pontos, chama a atenção para o contexto da sala de aula, comentando que a sala de aula, sendo um ambiente para fonte de dados, pode ter seus fenômenos descritos.
No domínio desta pesquisa, o processo de coleta dos dados centrais foi tão relevante quanto as suas análises. Na coleta de informações que circundaram aos planejamentos organizados, a atenção foi centralizada na percepção da professora sobre suas escolhas didáticas. No processo de gravação das aulas, ateve-se à figura da professora. Logo, as análises (o produto) foram direcionadas, de certa forma, pela opção de se observar as concepções e ações da professora (processo).
Conforme Lüdke & André (1986, p. 12), “a preocupação com o processo é muito maior do que com o produto”. Para Carvalho (2006, p. 25), entretanto, “o processo é tão importante como o produto”. Esta pesquisadora, ao contrário desta pesquisa, que enfoca o ensino e considera que “nem todo ensino gera aprendizagem”, parece se referir, sobretudo, às pesquisas que focam a relação ensino e aprendizagem e que só existe ensino se existir aprendizagem, como se nota a seguir
De um lado queremos entender o processo de ensino e essa descrição deve ser perfeita, entretanto o produto, isto é, a aprendizagem pelos alunos do conteúdo ensinado também é importante, pois temos claro que somente existe ensino se existir aprendizagem. (ibidem).
- O “significado” que a professora dá aos acontecimentos é foco de atenção;
As concepções da professora são focos de atenção, isto é, concepções didáticas e pedagógicas inerentes ao conceito de função. O significado atribuído às suas escolhas didáticas e pedagógicas é centro de interesse. As razões pelas quais as opções compõem os planejamentos e os modos pelos quais as explicações são efetuadas são pontos de atenção especial. Fatos esses não emergem quando o pesquisador se atém somente na análise documental de planejamentos de ensino.
Lüdke & André (1986, p. 12) enfatizam que “„o significado‟ que as pessoas dão às coisas e à sua vida é foco de atenção especial do pesquisador”. Os pontos de vista dos participantes de uma pesquisa devem ser checados e discutidos abertamente com os próprios participantes, em razão de que suas percepções precisam ser reveladas com acuidade. Carvalho (2006) não discute esta característica.
- A análise dos dados não é basicamente de caráter indutivo, assim como não é necessariamente responsabilidade do pesquisador preocupar-se em “comprovar” hipóteses definidas a priori e as abstrações não se formam essencialmente de baixo para cima.
No âmbito desta pesquisa, a pesquisadora não se eximiu de buscar hipóteses a priori ou a posteriori. A priori supôs-se que ambos os sentidos das conversões das representações semióticas do conceito de função são promovidos na mesma proporção. A posteriori outra
conjectura interessante emergiu: o modo como a professora conduz as conversões entre as representações semióticas do conceito de função. Além disso, as abstrações constituíram-se da interação entre empiria e teoria e vice-versa.
A análise dos dados, para Lüdke & André (1986, p.13), “tende a seguir um processo indutivo”, pois “os pesquisadores não se preocupam em buscar evidências que comprovem hipóteses definidas antes do inicio da pesquisa” e “as abstrações se formam ou se consolidam basicamente a partir da inspeção dos dados num processo de baixo para cima”.
Carvalho (2006), com base em Gonçalves (1997), no entanto, acredita que hipóteses definidas a priori orientam o olhar do pesquisador sobre o objeto de estudo. E os referenciais teóricos e a visão de mundo definem o objeto observado requerido ou possível. Além disso, a autora crê que as abstrações se formam em uma interação entre os referenciais teóricos e os dados obtidos.
Assim se pode dizer que as características apresentadas fundamentaram as escolhas realizadas para compreender a problemática desta pesquisa. Além disto, apontaram para a investigação de um caso particular.
A seguir outras características são citadas e teorizadas, indo ao encontro dos pressupostos teórico-metodológicos do estudo de caso qualitativo de Lüdke e André (1986) e do estudo de caso intrínseco de André (2005), que se baseiam em Stake (1995):
- O estudo deste caso tem em vista à compreensão;
A investigação de planejamentos organizados e conduzidos em sala de aula visa à compreensão de como uma professora, que conhece a teoria dos Registros de Representação Semiótica, ensina o conceito de função, tendo em vista que a professora supostamente considera a referida teoria.
Segundo Lüdke & André (1986, p. 18), “os estudos de caso visam à descoberta”. Logo o pesquisador buscará manter-se atento continuamente às novas informações que possam emergir como relevantes na busca por descobertas no decorrer da pesquisa.
- O estudo deste caso focaliza a interpretação em contexto;
A professora em foco nesta pesquisa constitui parte do corpo docente de uma escola da rede estadual do município de Santiago/RS.
Na perspectiva de Lüdke & André (1986, p. 18), “os estudos de caso enfatizam a „interpretação em contexto‟”. O contexto em que o objeto de estudo incide necessita ser levado em conta para que ocorra uma apreensão mais completa do objeto investigado.
- O estudo deste caso busca retratar os fatos da forma mais próxima possível da sua completude e profundidade;
