CAPÍTULO 3: COMPREENDENDO O PROCESSO DE ENSINO DE FUNÇÃO
3.2 Ensino de função: uma análise do processo de ensino
3.2.3 Discussão das evidências
Antes de tecer as discussões que culminam na resposta à problemática de pesquisa, é importante lembrar que esta pesquisa visou, de forma geral, analisar como uma professora que conhece a teoria dos Registros de Representação Semiótica organiza e conduz o processo de ensino de função e, de forma específica, investigar duas questões: Como as representações semióticas do conceito de função são utilizadas na organização do planejamento de ensino? e Como as representações semióticas do conceito de função são conduzidas em sala de aula?
E no intuito de responder às questões de pesquisa e atingir os objetivos pretendidos, buscaram-se subsídios tanto em aportes teóricos vinculados à Pedagogia quanto à Didática da Matemática e, também, na trajetória que iniciou na Graduação e se estendeu à Pós-Graduação, definindo assim alguns focos de análise: tratamentos e conversões das representações semióticas de função, noções do campo conceitual de função e estratégias na condução de tratamentos e conversões.
A seguir, são estabelecidas sistematizações referentes às análises. De maneira especial, as conjecturas gravitam em torno das representações semióticas de função utilizadas pela professora no processo de ensino: representação gráfica tabular e cartesiana, algébrica, simbólica e na língua natural.
Com relação à representação gráfica tabular, inicialmente já se nota a preocupação da professora em utilizar tabelas para evidenciar a variação em relações funcionais constituídas principalmente por grandezas. Inclusive a professora revela, imediatamente (quando se remete aos seus saberes docentes), que essa representação semiótica é uma das privilegiadas no seu planejamento de ensino de função e que o documento Projeto Lições do Rio Grande (RS, 2009) é um referencial curricular utilizado nos seus planejamentos.
Fatos esses indicam que o ensino planejado de função, pelo menos em parte, é influenciado pelo momento vivenciado pela professora em sua trajetória profissional, ou seja, concomitantemente à organização dos planejamentos, a professora atua como monitora na capacitação dos professores de matemática no município de Santiago, que envolveu o estudo do referencial curricular Projeto Lições do Rio Grande (RS, 2009), parte de Matemática.
Esse documento sugere, significativamente, no que tange ao Ensino Médio, a representação tabular no ensino de funções, fato este evidenciado principalmente quando se notam as situações de aprendizagem trazidas a partir do referencial. Essas situações explicam, dentre outras, as seguintes competências/habilidades do conceito/conteúdo função: ler, construir e interpretar gráficos de tabelas; desenvolver a ideia de dependência de variáveis e
lei; utilizar regularidades apresentadas em tabelas para generalizar conceitos; identificar grandezas e reconhecer variações em diferentes grandezas. (BRASIL, 2009, p. 206-208).
Ademais, quando se considera o ensino planejado de função, além de ratificar o emprego das tabelas com essa característica de variação, outras observações com relação à representação tabular emergem particularmente no que se refere à disposição das linhas e colunas das tabelas: a maioria das tabelas é arranjada em linhas, sendo, majoritariamente, a primeira linha concernente à variável independente e a segunda linha à variável dependente (oito dentre as doze tabelas que envolvem relações funcionais).
Para Duval (2002 apud FLORES & MORETTI, 2006)36, as tabelas podem ser concebidas de dois modos. O primeiro, como um “banco de dados”, ou seja, as tabelas podem ser utilizadas para uma consulta breve por meio de uma exploração avulsa de suas linhas e colunas, implicando um custo cognitivo baixo. O segundo modo, com as tabelas podendo possibilitar a inferência de relações (relações funcionais, por exemplo) ou elementos desconhecidos, ainda que por meio de uma exploração simultânea de suas linhas e colunas.
Cabe destacar, sobre a natureza dos pares de grandezas apresentados nas linhas dessas tabelas, que a representação tabular é empregada, significativamente, com vistas à apresentação de variações entre as grandezas contínuas ante as grandezas discretas.
Quando se passa para o ensino vivenciado em sala de aula, novas observações são efetivadas: as tabelas, majoritariamente, são utilizadas primando por atividades de tratamento, como, por exemplo, a de preenchimento da tabela (doze das treze tabelas). Nos tratamentos, porém, as tabelas sugerem uma leitura global (conceitual) e não só pontual: noções do campo conceitual de função, tais como sequência, regularidade e padrão, são requeridas nas transformações internas (tratamentos) à representação gráfica tabular.
Conforme Flores & Moretti (2006), os quais se baseiam em Duval (2002), as tabelas são distintas semiótica e cognitivamente. Semioticamente, as tabelas são distintas, não dependem meramente da disposição de linhas e colunas, mas do modo como as linhas e colunas são postas em correspondência. Cognitivamente, há uma diversidade de funções cognitivas preenchidas pelas tabelas: além, simplesmente, da função cognitiva de comunicação e identificação, é função cognitiva de algumas tabelas a atividade de tratamento por meio de tarefas de preenchimento, por exemplo.
36
Flores & Moretti (2006), com base em Duval (2002), fazem uma análise cognitiva e semiótica da representação gráfica do tipo tabela. Duval (2002) fornece uma classificação a respeito das tabelas e ele próprio (1988) se detém na análise semiótica e cognitiva da representação gráfica do tipo gráfico cartesiano.
Enfim, a representação tabular é utilizada com papéis cognitivos diferentes: comunicação e identificação (variação entre grandezas principalmente contínuas), que são comuns, bem como de tratamento (preenchimento). Os primeiros papéis cognitivos são observados nos saberes docentes considerados fundamentais pela professora em sua profissão docente, principalmente, e planejamentos de ensino; já os segundos papéis cognitivos são notados, sobretudo, na prática de ensino.
No que diz respeito à representação algébrica, inicialmente se constata que essa representação semiótica também é expressivamente utilizada no planejamento de ensino. A professora, prontamente (quando se remete aos seus saberes docentes), revela que essa representação semiótica é enfatizada como representação de chegada em conversões envolvendo a representação na língua natural.
Quando se considera o ensino vivenciado, novas averiguações interessantes emergem: a representação algébrica é utilizada primando pela identificação do campo de definição da variável (em cinco situações de aprendizagem), das variáveis dependente e independente (duas situações), das grandezas (duas situações), das relações funcionais (relações de dependência) (duas situações) e, timidamente, pela noção de correspondência biunívoca (uma situação). Cabe destacar que em uma mesma situação, às vezes, essa representação é empregada visando à identificação não só de uma noção, mas de duas ou três.
A representação algébrica é enfaticamente utilizada visando à identificação do campo de definição da variável (domínio). Recorda-se que a professora revela, especialmente quando se volta para a sua trajetória discente no Ensino Médio, que a noção de domínio se apresentava decorada, pois era de difícil compreensão, fato este que leva à seguinte conjectura: às vezes se adaptam à profissão docente as experiências da trajetória pré- profissional.
A definição de função é tida, pela professora, porém, como ponto de chegada e não de partida. Por isso, primeiramente, a professora não faz menção, explicitamente, à noção/expressão “domínio”, que é uma das características desse conceito. Nesse momento inicial, que segundo ela envolve ideias intuitivas, essa representação é empregada primando pelo significado da variável (campo de definição), principalmente.
É oportuno, nesta ocasião, destacar os quatro níveis de compreensão do conceito de função, de acordo com Bergeron e Herscovics (1982 apud Tinoco, 2009, p. 7): compreensão intuitiva, matematização inicial, abstração e formalização, os quais são exemplificados no quadro dez.
Quadro 10: Níveis de compreensão do conceito de função
Compreensão intuitiva Matematização inicial Abstração Formalização
-Reconhecimento de dependência; -Estabelecimento de leis de formação; -Construção e interpretação de tabelas e gráficos.
-Quantificação das leis; -Reconhecimento de variáveis dependentes e independentes;
-Reconhecimento do domínio (no contexto analisado).
-Escrita de expressões analíticas;
-Distinção entre equações e funções; -Construção e interpretação de gráficos convencionais e não- convencionais; -Caracterização de relações funcionais. -Notação: - Domínio, imagem; - Classificação;
- Operações com funções.
Fonte: Bergeron e Herscovics (1982 apud Tinoco, 2009, p. 7).
Considerando esse quadro com os níveis de compreensão do conceito de função, se pode dizer que a representação algébrica é empregada pela professora de forma mais ampla do que a priori se imaginava: com o papel cognitivo de identificação em um processo de compreensão intuitiva. A representação algébrica é, também, utilizada em um processo de matematização inicial e abstração, especialmente quando o campo de definição da variável (domínio) é analisado no contexto de cada situação de aprendizagem e as relações funcionais são diferenciadas.
No que diz respeito à representação gráfica cartesiana, se observa, inicialmente (quando a professora se remete aos seus saberes docentes), que essa representação não é enfatizada no espaço da sala de aula, mas sim no laboratório de informática da escola com o auxílio de um software no contraturno e em parceria com o Curso de Matemática.
Apesar disso, essa representação não deixa de ser utilizada no ensino em sala de aula. Essa representação é empregada enfocando a identificação de noções já almejadas no emprego da representação algébrica: grandezas (em três situações), variáveis (uma situação), campo de definição da variável (duas situações) e correspondência biunívoca (uma). Assim como de noções inéditas até então: campo de variação da variável (uma situação), função monotônica (uma situação), traçado da reta (extensão e continuidade) (duas situações), variação (duas situações) e intervalo (uma situação). Cabe salientar que, em uma mesma situação, às vezes, essa representação é utilizada objetivando a identificação, não só de uma noção, mas de duas, três ou quatro.
Contudo, vale ressaltar que, a professora utiliza em sala de aula a representação gráfica cartesiana primando por noções que potencializam a dinamicidade do traçado da reta, ainda que os recursos disponibilizados a ela nesse espaço convencional de ensino (quadro de escrever, por exemplo) não contribuam eficazmente para com essas suas intencionalidades. De acordo com Duval (1993), como mencionado em linhas anteriores, a passagem
(conversão) da representação numérica (representação tabular) para a representação figural da reta (representação gráfica cartesiana) passa pela noção de ponto e isso não é congruente. Não congruência essa atrelada a acontecimentos determinantes no traçado da reta e sua continuidade: movimento da reta e noção geométrica de ponto que, é dinâmica, em vez da representação atomista da figura de um ponto, dentre outros.
Esses fatos podem ser potencializados eficientemente com o auxílio de um mediador material, como o software utilizado pela professora no contraturno, juntamente com os pressupostos dos Registros de Representação Semiótica. No entanto, na atual conjuntura educacional nem todas as escolas dispõem de um laboratório de informática, restando apenas o espaço convencional da sala de aula, assim como nem todos os professores têm conhecimento dessa ferramenta tecnológica e aporte teórico. Vale lembrar que não é o caso da professora cooperadora desta pesquisa, apesar disso a sala de aula é o espaço possibilitado com mais frequência a ela.
No que se refere à representação simbólica, diante dos planejamentos de ensino impressos se nota que essa representação é usada, principalmente, primando pelo papel cognitivo de comunicação da expressão simbólica, que representa formalmente função, ou
seja, e . Frente ao ensino vivenciado, porém, emergem outras
observações: papel cognitivo de identificação das três características do conceito de função, isto é, domínio, contradomínio e imagem, sendo os primeiros identificados, sobretudo, por
meio da notação e o último via a outra notação . De outro modo, o que
a priori (num processo, considerado pela professora, intuitivo) considerava-se campo de definição da variável a posteriori (em um processo formal) denominou-se domínio e o campo de variação da variável passou a considerar-se contradomínio/imagem.
A professora perante, sua prática pedagógica vídeo-gravada, aponta que identificar essas características do conceito de função partindo da representação simbólica é estrategicamente inferior quando se opta partir da representação algébrica. Ou seja, sugere ser mais compreensível apresentar o conceito de função formalmente por meio da passagem da representação algébrica para a simbólica, considerando o contexto da situação e a lei de formação.
Apesar de a professora estar presenciando um período de sua trajetória profissional em que surge um novo referencial curricular, especialmente para os professores gaúchos, mediante o Projeto Lições do Rio Grande (RS, 2009) e que a atinge singularmente, contudo, sua prática pedagógica não é completamente influenciada por esse documento. O documento referido sugere abordar (identificar) as características do conceito de função (domínio e
imagem) por meio da representação analógica do diagrama de flechas e é sabido que esse diagrama foi muito utilizado pelo grupo Bourbaki (principalmente no formalismo Bourbakiano ou na relação entre conjuntos numéricos). Já a professora optou por utilizar as representações algébricas, gráfica cartesiana e simbólica, evidenciando ser uma professora que de fato vivencia seus saberes experienciais.
Enfim, com relação à representação na língua natural (forma escrita e oral), inicialmente a professora (quando se remete aos seus próprios saberes docentes) revela que a língua natural é enfatizada nos planejamentos de ensino, sobretudo, em tarefas de conversão dessa representação para a representação algébrica. Diante do ensino planejado, se nota que essa representação é empregada apenas com o papel cognitivo de comunicação das tarefas de identificação, tratamento e conversão. Já perante o ensino vivenciado, se observa que as perguntas se configuram na principal estratégia de ensino na condução das demais representações do conceito de função e é nessa perspectiva que o texto segue.
O quadro onze aborda as perguntas efetuadas pela professora com vistas à condução da representação gráfica tabular. Essas perguntas são expressivamente mencionadas ou de caráter redacionalmente mencionado e dizem respeito, sobretudo, à noção de dependência, sendo que a parte inicial desses questionamentos concerne à variável (grandeza) independente e a parte final inerente à variável (grandeza) dependente. Cabe ressaltar que, concomitantemente, novas perguntas são realizadas primando pela noção de padrão, porém as indagações são referentes só à variável independente.
Quadro 11: Natureza das perguntas na condução da representação tabular Representação tabular
VARIAÇÃO REDACIONAL CONTEÚDO
COGNITIVO Natureza das perguntas Expressões ou proposições gramaticais
A
Redacionalmente mencionadas “Como eu escrevo de forma geral os números que estão na primeira coluna?”
Sequência Redacionalmente mencionadas “O próximo? (número da sequência)” Padrão Redacionalmente mencionadas “Quanto é que vai ser o meu , quando é zero?”
“Quando é dois, quanto vai ser o valor de A?”
Dependência Redacionalmente mencionadas “Entre dois números sempre há outros números?” Intervalo
B
Redacionalmente mencionadas “Quando o lado é um, o perímetro vale quanto?” Dependência Redacionalmente declarada “Quando eu altero o valor do lado, o perímetro
não muda?”
Variável Redacionalmente mencionadas “Quando vale dois vírgula quatro?”
“E se o lado vale ?”
Padrão
D Redacionalmente mencionadas “Quando são dois litros, quanto é que vai custar?” Dependência Redacionalmente mencionadas “Dois litros e meio?” “Três litros?” Padrão
E
Redacionalmente mencionadas “Quanto tem uma garrafa de suco concentrado, quanto de suco pronto?”
Dependência Redacionalmente mencionadas “Se forem duas?” “Se forem três?” Padrão
F Redacionalmente mencionadas “Para cada valor da variável independente, eu tenho um valor para a variável dependente?”
Correspondência biunívoca
Já o quadro doze envolve questionamentos vinculados à condução da representação algébrica, os quais são majoritariamente redacionalmente mencionados.
Quadro 12: Natureza das perguntas na condução da representação algébrica Representação algébrica
VARIAÇÃO REDACIONAL CONTEÚDO
COGNITIVO Natureza das perguntas Expressões ou proposições gramaticais
A
Redacionalmente mencionadas “Esse pertence a que conjunto?” “Qual é a condição para esse ?”
“Entre dois deles existem infinitos ou finitos números?”
Conjunto dos naturais e sua propriedade
discreta
Redacionalmente mencionadas “Esse depende do quê?”
“Para cada número que eu substituir aqui, eu sempre tenho para o ?”
Dependência
B
Redacionalmente mencionada “O lado depende do perímetro ou o perímetro depende do lado?”
Dependência -Formato aberto
*Formato direcionado
-“Esse representa o que mesmo?” *“E esse representa o?”
Variável (dependente e independente) -Redacionalmente mencionadas
* Redacionalmente declaradas
-“É uma grandeza contínua ou discreta?” -“ pertence a que conjunto?”
-“Qual é a variável dependente?” -“Qual é a variável independente?”
*“Qual é o conjunto que pode ser colocado em correspondência com a reta?”
*”Qual é o conjunto que dá conta de medir?”
Conjunto dos números reais (positivos) e sua propriedade contínua
C
Formato direcionado “E esse é o quê?” Grandeza
(dependente e independente) Redacionalmente mencionadas “Qual é a condição para esse ?”
“Entre a figura um e a figura dois tem um e meio?”
Conjunto dos naturais e sua propriedade
discreta
D
-Formato direcionado *Formato fechado
-“E o é o que, quantidade de?” *“O que é o mesmo?”
Variável (dependente e independente). -Redacionalmente mencionadas
*Redacionalmente declarada
-“Esse pertence a que conjunto?”
-“Posso comprar um litro, ou dois litro ou três litros?”
* “Todos os reais?”
Conjunto dos reais (positivos) e sua propriedade contínua
E
Redacionalmente mencionadas *Redacionalmente declarada
-“ pertence a que conjunto?” -“Pode ter uma garrafa e meia?” *“Reais ou naturais?”
Conjunto dos naturais e sua propriedade
discreta
G Redacionalmente mencionada “Quando uma grandeza é função da outra, o
que tem que acontecer?”
Correspondência biunívoca
H
Formato direcionado “O que é esse ?” Grandeza
(dependente e independente) Redacionalmente mencionadas “o que depende do quê?”
“A distância depende do?” “Qual é a variável dependente?”
Variável (dependente e independente).
G
Redacionalmente mencionadas “Quanto for meia hora, quantos quilômetros vai percorrer?”
Dependência Redacionalmente mencionadas “Em uma hora e meia?” “Em horas?” Padrão
Redacionalmente mencionada “Isso é uma função?” Correspondência biunívoca
Essas perguntas redacionalmente mencionadas envolvem, principalmente, propriedade contínua dos números reais e a propriedade discreta dos números naturais, no que se refere, nomeadamente, à variável independente (variável ). Aliás, possuem expressões recorrentes em comum, tais como “conjunto” e “condição para ”. Cabe salientar, anteriormente, que o campo de definição da variável é acentuado.
Com relação ainda às perguntas mencionadas e, particularmente, no que diz respeito às indagações vinculadas ao conceito de dependência, se nota a expressão comum “depende”, o que não ocorre na representação anterior (representação tabular). Naquelas indagações atreladas ao conceito de correspondência biunívoca se verifica a expressão recorrente “função”, o que não acontece na representação antecedente, em que as indagações alusivas ao mesmo conceito compreendem outras expressões: “para cada” e “tenho um”.
Além das perguntas dessa natureza, há aquelas indagações com caráter distinto das referidas nos parágrafos anteriores e, também, daquelas referentes à representação tabular, isto é, indagações abertas e direcionadas (ou fechadas), notadamente com relação ao conceito de variável e grandeza. Quando a professora pergunta, pela primeira vez, “o que o representa?”, espera como resposta alguma das seguintes réplicas: variável independente, ou medida do lado da região quadrado (no caso da situação “B”). Já nos questionamentos a
posteriori, perguntas nesse sentido são elencadas pelo caráter da primeira, tornando-se
fechadas.
É oportuno, neste momento, refletir sobre as estratégias de ensino fundadas em perguntas: a professora, na busca constante por perguntas que conduzam os alunos do Ensino Médio a adquirir o conceito de função, opta por indagações diversas e de naturezas distintas e essa opção é, também, submetida ao contrato didático que vigora no Ensino Fundamental. Por isso, professora, perante sua prática de ensino, quando busca esclarecer as perguntas constantes e explicações recorrentes, se reporta à atual conjuntura da Educação Básica, pronunciando que há estilos de ensino antagônicos.
O quadro treze envolve indagações atreladas à condução da representação gráfica cartesiana. Essas interrogações, diante das demais, curiosamente se configuram em um número expressivo de perguntas redacionalmente declaradas, treze são redacionalmente mencionadas, sete declaradas (mais da metade das primeiras) e duas fechadas.
Quadro 13: Natureza das perguntas na condução da representação cartesiana Gráfico cartesiano
VARIAÇÃO REDACIONAL CONTEÚDO
COGNITIVO Natureza das perguntas Expressões ou proposições gramaticais
A
-Redacionalmente mencionada *Redacionalmente declarada *Forma fechada
-“Aqui a gente tem os valores de? *“De ou de ?”
*“Aqui no eixo vertical a gente vai localizar os valores de?”
Grandeza (dependente e independente) Redacionalmente mencionadas “Tem valores negativos?”
“Entre zero e um tem outros números?”
Conjunto dos naturais -Redacionalmente mencionadas
*Redacionalmente declarada
-“Se eu ligar esses pontos, o que vai aparecer aí?”
*“Uma curva qualquer?”
Traçado reto
-Redacionalmente mencionadas *Redacionalmente declaradas
-“Entre o zero e o um qual é a variação que tem aqui?”
-“De quanto variou?”
-Quando eu estou variando o em uma unidade, quanto é que está variando lá no ?” *“Quanto aumentou aqui?”
*“Está aumentando de quatro em quatro ou está diminuindo de quatro em quatro?”
Variação
B
-Redacionalmente declaradas *Forma fechada
-“Aqui no eixo horizontal a gente vai marcar os valores de?”
-“E no eixo vertical a gente vai marcar os valores de?”
* “E o representa nessa situação o?”
Grandeza (dependente e independente)
Redacionalmente mencionadas “Quando o lado é um, quanto é o perímetro?” Dependência Redacionalmente mencionadas “Do quatro para o cinco tem uma variação de
quantas unidades?”
Intervalo
D
-Redacionalmente mencionada *Redacionalmente declarada
-“O que eu represento no eixo horizontal?” *“O que vou representar no eixo horizontal, os valores da variável independente ou da dependente?”
Grandeza (dependente e independente) Redacionalmente mencionadas “Quando forem dois litros, quanto é que eu vou
pagar?”
Dependência Redacionalmente declaradas “Aonde eu vou colocar esse dois e cinquenta?” Traçado reto Redacionalmente mencionadas “Entre zero e um tem infinitos valores para
não tem?!”
Conjunto dos reais Redacionalmente mencionadas “Entre zero e dois vírgula cinco não vai ter
infinitos valores para y também?!”
Conjunto dos reais -Redacionalmente mencionada
*Redacionalmente declarada
- “Quando varia de um em um aqui, está variando de quanto em quanto?”
* “Quando aumenta um aqui, aqui aumenta?”
Variação e intervalo Redacionalmente mencionada “Quando for quatro, vai ser quanto?”