Contribuições de Duval para o ensino da matemática

A teoria dos Registros de Representação Semiótica é de autoria do psicólogo francês Raymond Duval. É uma teoria cognitivista e da aprendizagem, ou seja, é uma teoria didática que concerne à aquisição e organização de situações de aprendizagem de conceitos matemáticos. O pesquisador, que desenvolve estudos relativos à Psicologia Cognitiva, contribui com a área da Matemática, como se nota no decorrer do texto que segue.

Duval (1988a, 1993, 2003, 2009) se preocupa, sobretudo, com a mobilização e conversão dos distintos registros de representação semiótica para o funcionamento e desenvolvimento do pensamento matemático, principalmente, por meio de atividades de conversão com casos mais ou menos complexos de congruência e não congruência.

Duval (1988a) apresenta, ineditamente, as noções de congruência e não congruência semântica no contexto da matemática. Essa noção é um fenômeno característico da atividade de conversão, assim como também o é a heterogeneidade dos dois sentidos da conversão. A substitutividade ou a substituição de uma expressão por outra é uma característica essencial do funcionamento cognitivo do pensamento matemático. Esses fenômenos são importantes para essa substitutividade, que é uma propriedade intrínseca aos registros de representação semiótica. Antes de ir adiante, destaca-se a noção de representação semiótica.

Duval (1993) aborda principalmente a noção de representação semiótica. Segundo o pesquisador (2003, p. 2), representações semióticas “[...] são produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representações que tem seus embaraços (suas dificuldades) próprios de significação e funcionamento”. De forma mais completa, na perspectiva do investigador (1995a, p. 3 apud DAMM, 2002, p. 140), representações semióticas são

[...] relativas a um sistema particular de signos, linguagem, língua formal, escrita algébrica ou gráficos cartesianos, figuras, de um objeto matemático (...) De onde a diversidade de representações para um mesmo objeto representado ou ainda a dualidade das representações semióticas: forma (o representante) e conteúdo (o representado).

A diversidade de representações semióticas é agrupada em registros, por Duval (2003). O pesquisador reúne as representações semióticas em quatro registros: língua natural, sistemas de escrita (numérica, algébrica e simbólica), figuras geométricas (planas e em perspectiva) e gráficos cartesianos.

No quadro cinco, é apresentada uma categorização dos distintos registros do conceito de função real18, seguidos de seus respectivos sistemas de representações semióticas, com base na classificação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento matemático realizado por Duval (2003).

Quadro 5: Representações semióticas do conceito de função

REPRESENTAÇÕES DISCURSIVAS REPRESENTAÇÕES NÃO DISCURSIVAS

Registro da língua natural

*Uma função consta de três partes: um conjunto A, chamado de domínio da função (ou conjunto onde a função é definida), um conjunto B, chamado o contradomínio da função, ou o conjunto onde a função toma valores, e uma regra que permite associar, de modo bem determinado, a cada elemento , um único elemento . (LIMA, 2002, p. 10).

*Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números; diz-se que y é função de x e escreve-se , se entre as duas variáveis existe uma correspondência unívoca no sentido . (CARAÇA, 2003, p. 121). Registro gráfico Gráfico cartesiano Tabela x x -0,5 -0,5 0 0 1 1 0,5 0,5

Registro dos sistemas de escrita Simbólico (línguas formais)

, , ou

Algébrico

Numérico (natural, inteiro, racional, irracional)

e

Fonte: Maggio (2011), com base em Duval (2003)

Duval (1993) aborda também a relevância da diversidade das representações semióticas para a atividade matemática. De acordo com o pesquisador (1993, p. 1), os objetos matemáticos “[...] não são diretamente acessíveis na percepção, ou numa experiência intuitiva imediata, como são os objetos dito „reais‟ ou „físicos‟!” e as representações semióticas, não são somente necessárias para comunicar as representações mentais, são necessárias para o pensamento matemático.

18

No âmbito desta pesquisa, quando se faz menção ao conceito de função se está referindo, embora implicitamente, às funções reais. Funções reais, diferentemente das funções complexas, são definidas no conjunto dos números reais (naturais, inteiros, racionais e irracionais).

As representações semióticas exercem papéis relevantes no funcionamento e desenvolvimento do pensamento em matemática. A interiorização das representações semióticas implica o desenvolvimento das representações mentais. As representações semióticas preenchem, além da função de comunicação, a função de objetivação - expressão para si - e a função de tratamento que, por sua vez, está ligada ao uso de sistemas semióticos. Além disso, as representações semióticas possibilitam a revelação de sistemas semióticos diferentes de um mesmo conceito. (DUVAL, 1993).

Duval (1999 apud FLORES & MORETTI, 2006) aborda também essas funções cognitivas das representações semióticas, acrescentando a função de identificação e esclarecendo mais nitidamente seus papéis. A função de comunicação concerne à transmissão de uma mensagem ou de uma informação. A objetivação diz respeito à tomada de consciência daquilo que até então não se tinha identificado. O tratamento é a transformação de uma representação em outra, considerando o mesmo sistema semiótico. E a função de identificação refere-se simplesmente à localização de uma informação dentre outros dados.

Com relação à diversidade de representações semióticas, na atividade matemática é essencial mobilizar muitas representações semióticas simultaneamente. Isso em razão de três aspectos essenciais: economia de tratamento, complementaridade dos registros e coordenação entre registros de representação semiótica. (DUVAL, 1993).

Duval (1993) explica as razões desses três aspectos (ou dessas três respostas). O custo de tratamento é relevante porque permite escolher um registro no qual seja possível realizar tratamentos mais econômicos e rápidos. O pesquisador dá um exemplo: as fórmulas literais (expressões algébricas) são mais breves que as frases (língua natural).

A complementaridade dos registros é fundamental, porque “[...] toda representação é cognitivamente parcial em relação ao que ela representa [...]” e uma representação não possui os mesmos aspectos do conteúdo (objeto, conceito ou situação), representado em outra representação, na perspectiva de Duval (1993, p. 10). Por exemplo, a representação gráfica (cartesiana e a tabular) e a representação algébrica são formas de representação parciais do conceito de função.

A coordenação de representações semióticas diferentemente das outras posições, é uma resposta desenvolvida pelo próprio Duval (1993). Para quem a coordenação de registros é condição necessária à conceitualização em matemática. O pesquisador ratificou sua hipótese: “A compreensão (integral) de um conteúdo conceitual repousa sobre a coordenação de ao menos dois registros de representação, e esta coordenação se manifesta pela rapidez e a espontaneidade da atividade cognitiva de conversão”. (ibidem, p. 12).

O recurso a muitos registros é condição necessária para que os objetos matemáticos não sejam confundidos com suas representações semióticas e os mesmos possam ser reconhecidos em cada uma de suas representações. A apreensão ou produção de uma representação semiótica, ou seja, a semiose, é inseparável da apreensão conceitual de um objeto, ou seja, da noesis. Não há noesis sem semiosis. (DUVAL, 1993).

Um sistema semiótico é um registro de representação, porque permite três atividades cognitivas fundamentais ligadas à semiose: formação de uma representação identificável, tratamento e conversão, segundo Duval (1993).

A formação de uma representação identificável sugere a seleção de informações concernentes ao conteúdo a representar. A seleção é realizada de acordo com as regras de formação próprias do registro em que a representação é produto. O pesquisador dá um exemplo: regras gramaticais para as línguas naturais e regras de formação para os sistemas formais (linguagem matemática). (DUVAL, 1993).

O tratamento de uma representação é uma transformação interna a um registro; por exemplo, a paráfrase e a inferência são formas de tratamento na língua natural, de acordo com Duval (1993). A paráfrase, por exemplo, “[...] „reformula‟ um enunciado dado em outro seja para substituí-lo seja para explicá-lo”, conforme Duval (2009, p. 57).

A conversão de uma representação é uma transformação externa ao registro de início, por exemplo, a descrição é a conversão de uma representação não verbal ou não discursiva (gráfico, por exemplo) em uma representação linguística que é verbal ou discursiva. Essa descrição não é a mesma descrição que se faz de um objeto ou situação não representada semioticamente. Não existem regras de conversão, existem somente regras de tratamento, por exemplo, no registro da língua natural há poucas regras de tratamento para a expansão discursiva de um enunciado completo. (DUVAL, 1993).

Somente duas das três atividades cognitivas ligadas à semiose são levadas em consideração no ensino da matemática: a formação de uma representação identificável e o tratamento, de acordo com Duval (1993), que se baseia em outro estudo seu19. O autor (2003) enfatiza que é a atividade de conversão, principalmente em seus dois sentidos, relevante para a aprendizagem em matemática e, por isso, necessita ser levada em consideração nas atividades de ensino.

A conversão em seus dois sentidos, ou a coordenação de registros, não é espontânea do sujeito (discente). Segundo Duval (1993, p. 12) [Grifo do autor]: “Podemos observar em

19 _{DUVAL, Raymond. Graphiques e équations: l'articulation de deux régistres. In: Annales de didactique et de} sciences cognitives, 1988, p.235-253.Nesta pesquisa, alude-se a essa referência por Duval (1988b).

todos os níveis um enclausuramento de registros de representação na grande maioria dos alunos”, o qual pode ser explicado pelo fenômeno da não congruência. Antes de seguir adiante, destaca-se a noção de congruência e não congruência.

As noções de congruência e não congruência são peculiares às atividades de conversão. Duval (1993, p.13), impulsionado pela análise, de Clark & Chase (1972, p. 2), da congruência entre imagem e frase, aponta três critérios de congruência: “a possibilidade de uma correspondência „semântica‟ dos elementos significantes”; “a univocidade „semântica terminal‟ e a “ordem dentro da organização das unidades compondo cada uma das representações”.

As dificuldades atreladas à não congruência semântica podem estar ligadas àquelas situações que impõem um operador (conceito), bem como as situações que não impõem um operador ou, ainda, podem ser dependentes do desconhecimento das representações semióticas, conforme Duval (1988a e 2009).

A atividade de conversão, em um dado sentido, pode ser congruente, podendo não ocorrer o mesmo no sentido contrário. No ensino, na maioria das vezes, um sentido da conversão é privilegiado, “pela ideia de que o treinamento efetuado num sentido estaria automaticamente treinando a conversão no outro sentido”. (DUVAL, 2003, p. 20). Quando possui congruência entre a representação de saída e de chegada, a conversão é trivial e quando há não congruência, os tratamentos próprios à conversão em questão se tornam custosos, o que implica na conversão. (DUVAL, 1993).

Para Duval (2003, p. 27) [Grifos do autor], uma sequência de ensino “[...] deve ser constituída de uma série de tarefas que tratem dos dois sentidos da conversão [...] para cada sentido da conversão deve haver tarefas que comportem casos de congruência e casos mais ou

menos complexos de não-congruência.” Em termos de registros, então, no ensino da

matemática é necessário favorecer tarefas que exijam a mobilização e coordenação de representações semióticas, ou melhor, de registros de representação semiótica.

Duval (1988a), no intuito de elucidar a relevância do fenômeno da não congruência na aprendizagem dos conceitos matemáticos, apresenta a análise de algumas situações. Nesta pesquisa, são elucidados dois problemas relacionados às análises do pesquisador sobre outras experiências psicológicas e que, implicitamente, se referem ao conceito de função.

O problema seguinte envolve a compreensão do enunciado de um problema que evoca a noção de proporcionalidade20: “Eu paguei 51 francos por 6 kg de laranjas [...] 1-Que

20

A noção de proporcionalidade constitui o campo conceitual do conceito de função (conceito estruturador do campo multiplicativo).

quantidade de laranjas terei com 85 francos? 2-Quanto deverei pagar por 4 kg de laranjas?”. (KOLEZA, 1987, p.69-70 apud DUVAL, 1988a, p.9).

Com relação à análise desse problema, Duval (1988a) menciona que a primeira questão remete diretamente à utilização do “operador função”: “a (kg) custam b (francos)”, a questão então é congruente ao enunciado; já a segunda questão demanda uma inversão do “operador função”, por isso a questão não é congruente ao enunciado e os alunos, assim, apenas, obtiveram sucesso na primeira questão.

Outro problema analisado referente à proporcionalidade é: “Um carro consumiu 28 litros de gasolina por 350 quilômetros [...] 1-Quanto o carro consumiu aos 100 km? 2-Qual a distância que o carro pode percorrer se seu reservatório contém inicialmente 42 litros?”. (HEATH, 1956, p. 134-136 apud DUVAL, 1988a, p. 9).

Com relação aos esclarecimentos de Duval (1988a) sobre esse problema, os alunos que obtiveram sucesso optaram por procedimentos que tornaram a questão congruente ao enunciado; a primeira questão é congruente ao enunciando e a segunda não é congruente; a segunda questão impõe a inversão do operador e as dificuldades da não congruência podem ser fonte de dificuldades independentes do conteúdo matemático (nesse caso função).

No quadro seis, é apresentada uma tarefa de conversão solicitada a alunos franceses do Seconde (que equivale ao primeiro ano do Ensino Médio no Brasil) e analisada por Duval (1993, 2009), com base em Duval (1988b). A tarefa envolve, também, a conversão entre as representações algébrica e gráfica.

Quadro 6: Resultados de alunos franceses

Fonte: Duval (1988b apud DUVAL, 1993, p.6; 2009, p.76) 1...o conjunto de pontos que tem uma

abscissa positiva

2...que tem uma ordenada negativa

3...cuja abscissa e ordenada tem o mesmo sinal

4

5...cuja ordenada é superior a abscissa (a reta y = x sendo já traçada no gráfico) .

6...cuja ordenada é superior a abscissa (a reta y = x não sendo traçada no gráfico)

7...cuja ordenada é igual a abscissa 8...cuja ordenada é oposta a abscissa

I II III I III III II

Hachurar escolher a_expressão 67% 67% 56% 38% 19% 60% 34% 51% 61% 25% 23% 38% 25% 75% 58% x >0 y < 0 xy > 0 xy < 0 y > x y > x y = x y = - x y x y x y x y x y x y x y x

As taxas de insucesso assinalam para a não congruência. Nomeadamente, com relação às conversões na linha três do quadro acima, a conversão III II, que exige o reconhecimento da expressão algébrica que representa a parte gráfica, foi menos bem-sucedida que a outra conversão I III, que exige a representação gráfica da expressão linguística. Na primeira conversão (III II), não há correspondência semântica entre as unidades significantes da representação algébrica e gráfica: “[...] nenhuma unidade semiótica no registro algébrico permite traduzir a observação „mesmo sinal para x e y‟ [...] É preciso recorrer à [...] „(-).(-)>0‟ e „(+).(+)>0‟” e, na segunda conversão (I III), há correspondência semântica entre as unidades significantes da representação na língua natural e gráfica, há univocidade semântica terminal e a ordem das unidades é neutra. (DUVAL, 2009, p. 77).

Duval (1988b apud DUVAL, 2009) explica que os elementos evidenciados acima apontam para o fato de que as dificuldades atreladas ao fenômeno da não congruência podem ser agravadas pelo desconhecimento de um dos dois registros de representação, como no caso dos gráficos cartesianos, e constata que os insucessos são maiores nas conversões efetuadas do sentido gráfico para o algébrico. Duval (2003) chama a atenção de que, no ensino, a organização de tarefas necessita constituir-se de duas condições: tarefas que abordem os dois sentidos da conversão, assim como casos de congruência e casos mais ou menos complexos de não congruência devem compor cada sentido da conversão.

A não congruência é relevante na aprendizagem das matemáticas. No ensino há, particularmente entre a reta e o conjunto dos números reais, não congruência. A passagem da representação numérica para a representação figural da reta passa pela noção de ponto. O problema dessa não congruência está ligado aos seguintes fatos: a) a figura de uma reta é alheia à representação de um ponto, o traçado de uma reta é determinado por um movimento e a propriedade de continuidade depende da representação dinâmica da reta; b) o processo de representação de um ponto é diferente de uma reta, pois o ponto decorre de uma localização e do cruzamento de duas retas; c) enxerga-se figurativamente o ponto acrescentado ao traçado da reta; d) na diferença entre a figura de um ponto e a noção geométrica de um ponto, considera-se que a primeira representação é atomista e a segunda é dinâmica, busca-se reunir a diferença semântica entre essas duas representações para dar sentido à noção de ponto. (DUVAL, 1993).

Diante desses fenômenos de não congruência o pesquisador ressalta que

[...] a propriedade da continuidade, diferente da densidade, não tem exatamente o mesmo sentido se a apresentamos a partir do traçado de uma trajetória ou a partir da inacessibilidade de um limite na repetição de um processo de aproximação [...] Portanto o que se postula efetivamente quando se coloca os números reais em bijeção com a reta recorrendo para tanto a noção de ponto. (ibidem, p.7).

Além disso, há a necessidade de, nas tarefas de conversão, discriminar as unidades significantes próprias a cada registro. A discriminação das unidades significantes nos registros de saída e de chegada faz falta no ensino. Essa discriminação deve ser objeto de aprendizagem e é condição necessária para a conversão, bem como para a coordenação dos registros de representação, que, por sua vez, é necessária à conceitualização (noesis). (DUVAL, 1993, 2009).

Os registros gráfico e algébrico são focos de atenção do pesquisador, tanto que, para esses registros, são discriminadas unidades significantes: no registro gráfico, as variáveis visuais com seus diferentes valores. no registro algébrico, as diferentes posições dos símbolos. Para Duval (2009), as unidades significantes próprias do registro gráfico (função afim) são determinadas por oito valores visuais: traço reto ascendente e descendente; partição simétrica, ângulo menor e maior (eixo dos x) e corta acima, corta abaixo e na origem (eixo dos y) e os valores visuais correspondem a três variáveis visuais pertinentes ao registro gráfico: sentido da inclinação da reta; ângulo com os eixos e posição sobre os eixos.

O quadro sete evidencia as unidades significantes dos registros gráfico e algébrico do conceito de função afim, cujas especificidades são discriminadas por Duval. O quadro apresenta as três variáveis visuais (em negrito), seguidas de seus valores visuais e das modificações que esses valores ocasionam na expressão algébrica.

Quadro 7: Variações para o traço reto ascendente e descendente

Sentido da inclinação Ângulo com os eixos Posição sobre o eixo Exemplo de escrita

Traço ascendente Partição simétrica Corta na origem Corta acima Corta abaixo y = x (+1x) y = x + 1 y = x - 1 Ângulo maior Corta na origem Corta acima Corta abaixo y = 2x y = 2x + 1 y = 2x - 1 Ângulo menor Corta na origem Corta acima Corta abaixo y = x 2 1 y = 1 2 1 x y = 1 2 1 x

Partição simétrica Corta na origem Corta acima Corta abaixo y = - x (+1x) y = - x + 1 y = - x - 1 Ângulo maior Corta na origem Corta acima Corta abaixo y = - 2x y = - 2x + 1 y = - 2x - 1

Traço descendente Ângulo menor Corta na origem Corta acima Corta abaixo y = - x 2 1 y = - 1 2 1 x y = - 1 2 1 x

Fonte: Duval (1988b apud DUVAL, 1993, p.7)

Observa-se que Duval se preocupa, principalmente, com as representações semióticas gráfica e algébrica, sobretudo, do conceito de função afim. Com relação ao método utilizado para discriminar as unidades significantes dessas representações, Duval (2009) sugere recorrer à variação de um só fator, a cada vez, e à invariabilidade dos outros fatores.

Além disso, Duval não se ateve, do mesmo modo, ao registro da língua natural, nem à função representada nesse registro. Na perspectiva de Duval (2009, p. 106), a língua natural constitui um registro aparte em razão de sua complexidade e do elevado número de variações “[...] de sua prioridade genética sobre os outros registros e de seu papel único em relação à função meta-discursiva de comunicação”. Ele se questiona sobre a potencialidade da discriminação das unidades significantes por comparação experimental de variações de enunciados na língua natural.

Com relação às variações de um enunciado representado na língua natural, particularmente no que tange às variações sintáticas possíveis no interior do registro da língua natural, Duval (2009) explicita que nem todas essas variações são cognitivamente importantes, em razão das variações cognitivamente pertinentes àquelas que originam uma variação em outro registro, implicando uma atividade de conversão. Por outro lado, ressalta que “as variações são sempre feitas sob uma limitação do ponto de vista da espontaneidade

discursiva dos locutores”. (DUVAL, 2009, p. 107). [Grifo do autor]. Ou seja, um enunciado

dado pode ser descrito (compreendido) em outros enunciados equivalentes.

Em suma, Duval (2009) quer dizer que, assim como há variações de enunciados potenciais, também existem variações neutras. Para ele há dois tipos variações: sintáticas e cognitivas. As variações de organização sintática (entendidas pelo mesmo como a disposição das palavras na frase) concernem ao interior de um funcionamento linguístico; a troca dos termos referenciais nesse tipo de variação visa unicamente a apresentação dos invariantes de uma mesma organização sintática. As variações cognitivas vão além do interior do funcionamento linguístico, compreendendo as transformações da situação representada inicialmente.

De acordo com Duval (1991a apud DUVAL, 2009), em razão da complexidade do registro da língua natural, as conversões no sentido da representação na língua natural, que é discursiva, para uma representação não discursiva não são possíveis de serem realizadas diretamente, sendo necessárias representações intermediárias.

Essas ideias permitem verificar as contribuições de Duval à organização de situações de aprendizagem de conceitos matemáticos, principalmente daquelas que dizem respeito ao conceito específico de função afim; em outros termos, é foco de atenção especial dele a organização do ensino da matemática21. Bem como, cabe destacar, sua concepção com relação ao papel do professor no ensino da matemática, sendo este o único responsável pela aprendizagem.