Para além dos pressupostos teóricos de Duval

Anteriormente foram abordados os principais conceitos desenvolvidos por Duval e que constituem sua teoria. Esse pesquisador se detém, sobretudo, em questões de pesquisa concernentes diretamente ao ensino planejado.

Duval não se atém, e nem faz parte das preocupações desse psicólogo, ao ensino vivenciado em sala de aula. Ele destaca as unidades significantes das representações semióticas gráfica e algébrica do conceito de função afim e realça a necessidade da relação entre as modificações nas expressões algébricas e nas curvas (retas) - quadro sete. Entretanto, não destaca o modo como a correspondência entre essas representações pode ser realizada.

Outros pesquisadores, tanto da área de Educação como da Educação Matemática, estão se preocupando com os modos de ensinar. Alguns educadores matemáticos, tais como Moretti e Nehring, se preocupam com o processo de ensino, sobretudo, em termos de registros de representação semiótica.

Moretti (2003), por exemplo, aponta a “translação” como um modo de realizar a correspondência entre as representações semióticas algébrica e gráfica das funções específicas (afim, quadrática, logarítmica, exponencial e trigonométrica). Translação é a transformação do esboço de curvas (reta, parábola, etc.), podendo ser horizontal ou vertical. Além do mais, outros pesquisadores indicam recursos didáticos no intuito de fazer acontecer esse modo de

21 _{Outras informações se encontram em um texto de coautoria da própria pesquisadora - Registros de}

Representação Semiótica no Ensino de Álgebra: Uma opção metodológica na formação de professores - publicado nos anais do VI Congresso Internacional de Educação e Tecnologia que ocorreu na UNISINOS - São Leopoldo/RS (2009).

corresponder às representações semióticas mencionadas: softwares educativos de matemática são significativamente sugeridos, como se nota no levantamento bibliográfico do capítulo um, em razão de que utilizar simplesmente lápis e papel dificulta o processo de articulação simultânea dessas duas representações.

A seguir, no quadro oito, ilustra-se a translação da função de referência linear ( ) verticalmente para cima e para baixo, com auxílio do software Derive for Windows.

Quadro 8: Função linear transladada verticalmente

Fonte: Maggio (2011), com base em Moretti (2003)

Agora, no quadro nove, elucida-se a translação horizontal para a direita e a esquerda de outra função linear ( ), também com subsídio do software Derive for Windows.

Quadro 9: Função linear transladada horizontalmente

Fonte: Maggio (2011) com base em Moretti (2003)

Já Nehring (2001) visou, dentre outros objetivos, estabelecer um referencial teórico referente à compreensão de textos, ou melhor, de enunciados de problemas de “matematização”, a partir da teoria de Duval (1986, 1988, 1991, 1992, 1993, 1994, 1995, 1997 e 1999). Ou seja, ela se ateve principalmente ao registro da língua natural, não diretamente ao conceito de função, embora com relação ao campo conceitual multiplicativo22.

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Campo conceitual multiplicativo, ou campo conceitual das estruturas multiplicativas, é o conjunto das situações que abarca um tratamento que implica uma ou várias multiplicações e o conjunto de conceitos que permite analisar essas situações, por exemplo, o conceito de função linear e não linear. (VERGNAUD, 1996).

Nehring (2001), com base na análise de livros didáticos, protocolos de alunos e planejamentos de professores, destaca, dentre outros aspectos, que a maioria dos professores, na tentativa de mediar as dificuldades dos alunos diante de atividades de conversão, traduz o enunciado para os discentes. A pesquisadora, então, aponta a variação redacional de enunciados como uma possibilidade potencial na condução de conversões em sala de aula, principalmente envolvendo enunciados de combinatória, que foi seu objeto de investigação. Ela também realça que essa possibilidade pode romper “[...] com o „vício pedagógico‟ do professor „traduzir‟ ou „reler‟, simplesmente, o enunciado do problema [...]”. (NEHRING, 2001, p. 43).

Salienta-se que Nehring (2001) se fundamenta significativamente em Duval (1995)23, mais especificamente na principal obra deste. A pesquisadora, com base em Duval (1995), menciona que variação redacional concerne ao modo como um conteúdo cognitivo é apresentado no texto e conteúdo cognitivo diz respeito ao conceito, ou melhor, às propriedades do conceito que são invariantes.

Por exemplo, se levar em consideração os estudos de Tinoco (2009) sobre a construção (aquisição conceitual nos termos de Duval) do conceito de função, são invariantes do conceito de função as noções que se seguem: variável, dependência, regularidade (sequências ou padrões), generalização, domínio, imagem e contradomínio.

Ainda Nehring (2001), fundamentada em Duval (1995), destaca os fatores intrínsecos e extrínsecos à variação redacional. Os primeiros referem-se à escolha das noções próprias ao conteúdo cognitivo; à forma de explicitação do conteúdo cognitivo que pode ser “redacionalmente declarado” (explicitado por uma proposição gramatical) ou “redacionalmente mencionado” (citado por termos ou expressões) e à opção da situação (dados obtidos direta ou indiretamente). Os segundos correspondem à seleção da situação extramatemática, informações desnecessárias e à posição da questão no enunciado. A seguir, essas formas, declaradas e mencionadas, de apresentação de um conteúdo cognitivo são exemplificadas.

Uma pergunta redacionalmente declarada envolve proposições gramaticais que podem revelar mais imediatamente a resposta requerida, ou que podem tornar a resposta mais congruente à questão. Por exemplo, a pergunta “Está aumentando de quatro em quatro ou está diminuindo de quatro em quatro?” confessa a noção de variação por meio das proposições

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DUVAL, Raymond. Sémiosis et penseé humaine. registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Paris: Peter Lang, 1995. O primeiro capítulo dessa obra foi traduzido para o português e editado em 2009, sendo considerado nesta pesquisa.

gramaticais “aumentando de quatro” e “diminuindo de quatro em quatro”. Já uma pergunta redacionalmente mencionada abrange termos que fazem menção à resposta exigida, sem revelá-la prontamente, ou expressões que podem tornar a resposta não tão congruente à pergunta. Por exemplo, a pergunta “Entre dois deles (números) existem infinitos ou finitos números? pode se referir à noção de domínio, ou à noção de contradomínio e imagem, via os termos “infinitos” e “finitos”.

No entanto, Nehring (2001), diversamente de Duval (1995), busca esses conceitos (variação redacional e conteúdo cognitivo), com vista às suas preocupações alusivas ao ensino da matemática. A pesquisadora levanta problemáticas inéditas de pesquisa que dizem respeito à teoria dos Registros de Representação Semiótica e à sala de aula, que não fez parte das observações de Duval.

Ressaltam-se esclarecimentos de D‟Amore (2005, p 51) sobre os pressupostos teóricos de Duval: “[...] Duval não trabalha na observação de uma classe durante semanas, mas comporta-se mais como faz um biólogo ou um médico quando quer entender o funcionamento do cérebro”. Além disso, destacam-se esclarecimentos de Flores & Moretti (2008) sobre a teoria de Duval: tende a ser um campo fértil para as pesquisas em Educação Matemática a ação pedagógica, bem como a pesquisas que apontem caminhos para a utilização da teoria e que levem em consideração a utilização e o entendimento do professor da referida teoria. Vale lembrar que, com base neles, planejamentos de ensino bem estruturados não garantem o acesso ao saber matemático.

Recentemente, o próprio Duval (2010) admite a relevância de enfocar a sala de aula e aí a fala dos professores. Na perspectiva dele é relevante analisar tudo aquilo que o professor fala, pois, geralmente, o que este pronuncia não é gravado e nem compreendido pelo aluno (pelo menos imediatamente) e falar, assim como escrever, não implica em uma mudança de registro. (Informação verbal)24.

Diante dessas ideias, ratifica-se que não basta prender-se em planejamentos de ensino ideais e é imprescindível considerar o saber ensinado ou o “saber fazer” ou, ainda, o fazer pedagógico. Como fazer isso? Ou melhor, como proceder em uma pesquisa em que o ensino vivenciado em sala de aula é objeto de estudo? Tardif auxilia nesse sentido.

Maurice Tardif, pesquisador canadense, diferentemente de Duval, desenvolve estudos diretamente relativos à formação de professores, tanto inicial quanto continuada, e, nomeadamente, ao trabalho do professor e seus próprios saberes docentes.

24 _{Informações fornecidas por Raymond Duval, em Canoas, em outubro de 2010, durante uma mesa-redonda no}

Tardif & Lessard (2005), com base em suas investigações sobre e com professores anglo-saxões, afirmam, considerando a relação entre o trabalhador e seu “objeto de trabalho”, que a profissão docente tem especificidades. Segundo eles, as diferentes profissões envolvem obviamente distintos “objetos de trabalho” e, portanto, envolvem diferentes relações e, quando na profissão trabalha-se com seres humanos, a atividade do trabalhador e a natureza do trabalho são profundamente modificadas.

Por exemplo, um marceneiro trabalha com madeiras; mas, um médico, assim como um professor, trabalha com seres humanos. A relação entre esses não é idêntica: a relação do marceneiro com a madeira é uma relação de controle (aí se tem um objeto inerte), assim como o médico controla seus pacientes (mas aí se tem um paciente que é dinâmico e tem a liberdade de escolher o profissional/médico). (TARDIF & LESSARD, 2005).

Porém, o ato de controlar não acontece na relação do professor com seus alunos. Neste caso a relação é coletiva, isto é, entre o professor e um grupo de alunos que são denominados de “clientes forçados”, por Tardif & Lessard (2005). Para eles, os professores precisam convencer, constantemente, os alunos de que “a escola é boa para eles”. Esses pesquisadores, assim, definem a docência como um trabalho “[...] cujo objeto não é constituído de matéria inerte ou de símbolos, mas de relações humanas com pessoas capazes de iniciativa e dotados de uma certa capacidade de resistir ou de participar da ação dos professores”.

A docência é, então, entendida, por Tardif & Lessard (2005, p. 35), como prática profissional permeada por interações humanas assimétricas. Segundo eles, em razão dessa relação assimétrica entre professores e alunos, a natureza do trabalho docente é implicada pelos grupos de alunos e isso acarreta consequências à prática profissional dos professores, que precisam lidar com a singularidade de cada indivíduo/aluno e admitir aspectos éticos e emocionais, nos atos de motivação, os quais exigem mediações de interações humanas.

As mediações intrínsecas ao trabalho docente são implicadas, direta ou indiretamente, pela organização escolar. A escola é, historicamente, ligada a organizações superiores a ela: Igreja, Estado, etc. O ambiente escolar, no qual os profissionais da educação estão inseridos, é constituído por tensões e dilemas que, com efeito, acabam por implicar no trabalho docente. (TARDIF & LESSARD, 2005).

Ensinar, assim sendo, é, na perspectiva de Tardif & Lessard (2005), atuar concomitantemente com grupos e indivíduos, é perseguir fins imprecisos, é educar e instruir. Nas palavras de Tardif & Lessard (2005, p. 196), “ensinar é agir em função de objetivos no contexto de um trabalho relativamente planejado no seio de uma organização escolar burocrática”.

O ensino é, ao mesmo tempo, flexível e controlado. Os programas escolares estão em uma posição de maior proximidade dos professores com relação às finalidades de caráter mais geral: os objetivos da escola, por exemplo, e se situam em um nível intermediário entre os objetivos da escola e a ação docente cotidiana. Esses programas definem objetivos mais específicos para os professores, tendo por base os objetivos gerais da escola. Apesar disso, os programas escolares são constituídos por uma “multidão” de objetivos que, em princípio, os professores precisam respeitar. (TARDIF & LESSARD, 2005).

Os docentes se empenham em atender aos programas escolares, permanecendo com sua liberdade unicamente na realização concreta do trabalho docente em sala de aula. Assim, “ensinar na escola, naturalmente, é seguir um programa e tentar realizar seus objetivos”. (TARDIF & LESSARD, 2005, p. 207).

O planejamento dos professores, desse modo, é permeado por objetivos “maiores” que os seus. O trabalho dos professores é flexível e controlado: controlado pela organização escolar e flexível na medida em que o professor tem a autonomia para transformar os objetivos dos programas escolares em função das necessidades situacionais que encontra, das experiências profissionais vivenciadas anteriormente, do seu entendimento da matéria, da sua interpretação das necessidades dos alunos, dos recursos disponíveis, do andamento da turma, das suas preferências e dos seus valores. (TARDIF & LESSARD, 2005).

Quais seriam, então, os saberes próprios desse trabalho docente?

Tardif (2002) aborda esses diferentes saberes. Para o pesquisador, há distintos saberes intrínsecos à prática pedagógica do professor. Ele identifica, por meio de suas pesquisas sobre e com professores anglo-saxões, que as práticas pedagógicas compõem-se dos saberes da formação profissional, dos saberes disciplinares, dos saberes curriculares e dos saberes experienciais.

Esses saberes são definidos por Tardif (2002). Os saberes da formação profissional são os saberes transmitidos pelas instituições de formação de professores, por exemplo, universidades, faculdades e institutos. Os saberes disciplinares são os saberes selecionados pelas instituições universitárias, por exemplo, Didática das Ciências, Didática da Matemática, Matemática (e constituem tanto a formação inicial quanto continuada dos professores). Os saberes curriculares são os saberes que constituem os discursos, objetivos, conteúdos e métodos dos programas escolares, por exemplo, o projeto político-pedagógico e os planejamentos de ensino. E os saberes experienciais “brotam” da experiência, experiência essa com base na prática diária da profissão docente.

A relação desses saberes com a prática pedagógica dos professores também é identificada por Tardif (2002). A relação do professor com os saberes profissionais depende da universidade e de seu corpo docente (professores formadores de professores), bem como do Estado e de seu corpo de agentes de decisão e execução. A relação do professor com os saberes disciplinares e curriculares, bem como com os saberes profissionais, se caracteriza por uma condição de exterioridade, ou seja, o professor não controla a definição e nem a seleção dos saberes que serão ensinados. A relação do professor com os saberes experienciais, diferentemente da relação do professor com os demais saberes, é uma relação de interioridade, pois se constitui de saberes experienciais retraduzidos, “polidos” e submetidos às certezas construídas na prática e na experiência.

Ainda, Tardif (2002) assegura que a relação dos docentes com os diferentes saberes que constituem a prática docente é problemática, em razão, talvez, da distância social, epistemológica e institucional que separa e desapropria os docentes dos saberes produzidos, controlados e legitimados por outros.

Com relação especificamente aos saberes experienciais, a relação de interioridade dos professores com esses saberes surge na tentativa dos professores de transformar essa relação de exterioridade. E essa iniciativa parece ser condição básica para a criação de uma nova profissionalização entre os professores. (TARDIF, 2002).

Essa nova profissionalização exige

[...] a instituição de uma verdadeira parceria entre professores, corpos universitários de formadores (detentores dos saberes profissionais e disciplinares) e responsáveis pelo sistema educacional (detentores dos saberes curriculares). Os saberes experienciais passarão a ser reconhecidos a partir do momento em que os professores manifestarem suas próprias ideias a respeito dos saberes curriculares e disciplinares e, sobretudo, a respeito de sua própria formação profissional. (TARDIF, 2002, p. 55).

Essa relação de interioridade, que é fundamental para uma nova profissionalização, passa pela relação entre o tempo e o aprendizado do trabalho docente. Os saberes docentes são, além de plurais e heterogêneos, temporais porque são construídos e dominados progressivamente durante um período de aprendizagem instável: são exemplos disso a trajetória profissional e pré-profissional dos docentes.

A trajetória pré-profissional compreende as experiências familiares e escolares dos professores. A trajetória profissional envolve a carreira profissional do professor. Os saberes docentes não são inatos, não são dons, não são dados, são constituídos ao longo do tempo de trabalho do professor, ou seja, da trajetória profissional, que, por sua vez, é influenciada pela trajetória pré-profissional do professor. (TARDIF, 2002).

Portanto, o processo de ensino é influenciado pelas concepções dos professores. Para Tardif (2002), o ensino, envolto por experiências pré-profissionais e profissionais, modela as suas identidades pessoais (individualidades) e profissionais (opções e estilos de ensino). Então, compreender o processo de ensino (de função), nessa perspectiva de Tardif, passa pela compreensão dos diferentes saberes mobilizados pelos professores em seus trabalhos docentes, sejam curriculares (planejamentos de ensino), disciplinares (Didática da Matemática) ou experienciais (que brotam da experiência, ensino vivenciado).

Apesar de os pressupostos teóricos de Tardif dizerem respeito principalmente à prática pedagógica do professor, o pesquisador não se detém a um conceito fundamental e específico à prática de ensino, que é a mediação.

Vigotski aborda esse conceito, ou seja, a mediação, em sua teoria histórico-cultural. As ideias desenvolvidas por Vigotski no século passado vêm sendo empreendidas no contexto educacional atual por diversos pesquisadores atrelados tanto à Educação como à Educação Matemática. Esse psicólogo desenvolveu uma tese atrelada à psicologia do desenvolvimento intelectual e linguístico infantil e aí se preocupou, dentre outros assuntos, com a mediação do processo de desenvolvimento do pensamento. Aliás, diferentemente de Duval, que se inquieta com a aprendizagem por meio de signos (representações semióticas), Vigotski se preocupou com a mediação da aprendizagem por meio de signos (linguagem oral e escrita).

Segundo Vigotski (1989), o processo de desenvolvimento da formação de conceitos é conduzido pelo uso de palavras: palavras são generalizações, ou seja, são conceitos e conceitos são abstrações; as palavras são meios que centram ativamente as abstrações, bem como sintetizam as abstrações e são simbolizadas por meio de signos; do ponto de vista psicológico, palavras são meios e não signos; signos são palavras com significado; e o significado é o sentido partilhado de uma palavra, produzido na interação.

Com relação à palavra, ainda conforme Vigotski (1989, p. 129), “o pensamento tem que passar primeiro pelos significados e depois pelas palavras (e) a transição do pensamento para a palavra passa pelo significado”. Além disso, “para compreender a fala de outrem não basta entender as suas palavras - temos que compreender o seu pensamento”. (ibidem, p. 131). No que se refere às abstrações, embora o processo inicie na infância, dá-se no final da adolescência; a tomada de consciência exige um grau de generalidade maior e a formação da consciência é mediada por signos. (ibidem).

Nessa perspectiva, impulsionada por Vigotski (1989), pode-se conjecturar que a relação do adulto com a palavra envolve graus de generalidade diferentes daquela da criança e compete ao adulto ou pessoa mais capaz a tarefa de mediar os processos psicológicos e o

processo de desenvolvimento e aprendizado. Assim sendo, as representações semióticas, além de serem essenciais à aprendizagem de conceitos matemáticos, podem ser consideradas como meios fundamentais na mediação do processo de desenvolvimento do raciocínio matemático.

Quanto ao conceito de mediação, Pino (2000), em sua análise do conceito de mediação em Vigotski, aborda o papel desempenhado pela mediação no psiquismo humano, por exemplo, no processo de formação de conceitos: a mediação “[...] é toda intervenção de um terceiro „elemento‟ (material ou simbólico) que possibilite a interação entre os „termos‟ de uma relação”. (ibidem, p. 38).

Pino (2000, p. 42), com base em Vigotski (1984 e 1985), menciona dois tipos de mediadores externos: os instrumentos e os signos, este último como sendo de caráter simbólico e de interesse nesta pesquisa. Os signos, do ponto de vista psicológico, “[...] são orientados para regular as ações sobre o psiquismo das pessoas”. Conforme Pino (2000), com base em Vigotski (1984), a linguagem (fala) desempenha papel relevante no processo de mediação. Vale lembrar que o adulto possui graus de generalidade diferentes dos da criança.

Influenciada por essas ideias e pensando no contexto do ensino, o professor, então, com graus de generalidade diferentes dos do aluno, buscar atuar em zonas de desenvolvimento proximal. O conceito de zona de desenvolvimento profissional é, conforme Vigotski (1989), o caminho entre o que se consegue fazer sozinho e o que está próximo de se fazer sozinho. Nas palavras de Vigotski (1989, p. 7).

[...] é a distância entre o nível de desenvolvimento real, que se costuma determinar através da solução independente de problemas, e o nível de desenvolvimento potencial, determinado através da solução de problemas sob a orientação de um adulto ou em colaboração com companheiros mais eficazes.

A relação pedagógica dá-se na zona de desenvolvimento proximal. (Informação verbal)25. Daniels (2003, p. 29), em sua leitura e abordagem sobre as implicações pedagógicas da teoria histórico-cultural de Vigotski, aborda principalmente o conceito de mediação e, nessa perspectiva, traz uma importante citação de Vigotski (1932): “[...] é pela mediação dos outros, pela mediação do adulto que a criança se incumbe de atividades”. Portanto, a mediação em ambientes escolares é uma opção de ensino fundamental. A mediação é papel indispensável do professor em espaços formais de ensino, principalmente no que diz respeito ao ensino vivenciado ou ensino na sala de aula.

25

Informação fornecida por Otavio Aloisio Maldaner, em Ijuí, em outubro de 2009, durante uma das aulas alusivas ao componente curricular “Pesquisa educacional com ênfase na abordagem histórico-cultural” (parte I). É uma informação baseada em uma leitura das obras de Vigotski.

Como proceder, então, em uma pesquisa em que, nomeadamente, a mediação, na prática pedagógica, é elemento de investigação? Nesse sentido, Luiz Carlos Pais e Guy Brousseau oferecem subsídios.

Ressalta-se, com base no educador matemático Pais (2006), a diferença entre dois termos que gravitam o processo de mediação: metodologia de ensino e estratégia de ensino. Conforme esse educador, “[...] é preciso ser vigilante quanto à coerência entre o método e as estratégias adotadas. A escolha de estratégias compatíveis com o método amplia as possibilidades de uma realização mais proveitosa dos objetivos [...]”. (ibidem, p. 26).

Para Pais (2006, p. 26), metodologia, ou melhor, escolher um método de ensino