MATEMÁTICA DISCRETA I
INTRODUÇÃO
Problemas de contagem são importantes sempre que
temos
recursos
finitos
ou
quando
estamos
interessados em eficiência.
Quantos usuários uma determinada configuração de computador pode suportar?
Quantos cálculos são efetuados por um determinado algoritmo?
Se resumem, muitas vezes, em determinar o número
de elementos em algum conjunto finito.
Quantas linhas tem uma tabela verdade com n letras de proposição?
O PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO
Muitos problemas podem ser resolvidos desenhando
uma árvore de possibilidades.
Exemplo 01:
Uma criança pode escolher uma entre duas balas, uma rosa e outra preta, e um entre três chicletes, um amarelo, outro verde e outro branco. Quantos conjuntos diferentes a criança pode ter?
Podemos resolver o problema separando a tarefa em duas etapas seqüenciais: escolher primeiro a bala e depois o chiclete.
O PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO
A árvore mostra que existem 2 x 3 = 6 possibilidades.
Mesmo que a seqüência de eventos fosse trocada
(escolher primeiro o chiclete e depois a bala), o número
de possibilidades é o mesmo (3 x 2 = 6).
Podemos concluir que o número total de resultados
possíveis para uma seqüência de demonstração pode
ser obtido multiplicando-se o número de possibilidades
do primeiro evento pelo número de possibilidades do
segundo.
Princípio da multiplicação:
Se existem n1 resultados possíveis para um primeiro evento e n2 para
um segundo, então existem n1 x n2 resultados possíveis para a
O PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO
A última parte do seu número de telefone contém quatro
dígitos. Quantos desses números de quatro dígitos exitem?
A sequência de tarefas é: escolher o primeiro, depois o segundo,
depois o terceiro e finalmente o quarto.
Como pode-se repetir os números, temos 10 possibilidades (0 a
9) para cada posição.
Usando o princípio da multiplicação, devemos multiplicar essas
possibilidades para cada tarefa.
10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 possibilidades!
Quando um elemento não pode ser usado duas vezes o
O PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO
Exemplo 03:
Quantos números de quatro dígitos existem se um mesmo número não puder ser repetido?
Dessa vez, não podemos ter repetições ao escolher os dígitos.
Temos 10 possibilidades para o primeiro, 9 para o segundo, 8 para
o terceiro e 7 para o quarto.
O PRINCÍPIO DA ADIÇÃO
Precisamos agora selecionar uma sobremesa entre
três tortas e quatro bolos.
Temos dois eventos, um com três resultados possíveis e outro com quatro.
Não temos uma sequência de dois eventos, já que só comeremos uma sobremesa, que será escolhida entre as possibilidades dos conjuntos disjuntos.
O número de escolhas possíveis é o número total de possibilidades que temos, 3 + 4 = 7.
O PRINCÍPIO DA ADIÇÃO
Princípio da adição
Se A e B são eventos disjuntos com n1 e n2 resultados possíveis, respectivamente, então o número total de possibilidades para o evento “A ou B” é n1 + n2.
O princípio da adição é útil sempre que quisermos
contar o número total de possibilidades para uma
tarefa que pode ser dividida em casos disjuntos.
O PRINCÍPIO DA ADIÇÃO
Exemplo 04
Um consumidor deseja comprar um veículo de uma concessionária. A concessionária tem 23 automóveis e 14 caminhões em estoque. Quantas escolhas possíveis o consumidor tem?
O consumidor pode escolher um carro ou um caminhão.
Os dois são eventos disjuntos! A escolha do carro tem 23
possibilidades, e a de um caminhão tem 14 possibilidades.
Pelo princípio da adição, a escolha de um veículo tem 23 + 14 =
USANDO OS DOIS PRINCÍPIOS JUNTOS
Os dois princípios são freqüentemente usados juntos.
Exemplo 05:
Utilizando o Exemplo 01, suponhamos que queremos encontrar de quantas maneiras diferentes a criança pode escolher o doce, ao invés do número de conjuntos de doces que ela pode ter.
Agora escolher primeiro um chiclete amarelo e depois uma bala
rosa não é a mesma coisa que escolher uma bala rosa e depois um chiclete amarelo.
Podemos considerar dois casos disjuntos – a escolha da bala ou de
chicletes primeiro.
Cada um desses casos, pelo princípio da multiplicação, tem 6
possibilidades.
USANDO OS DOIS PRINCÍPIOS JUNTOS
Exemplo 06:
Quantos números de quatro dígitos começam com 4 ou 5?
Podemos considerar dois casos disjuntos – os números que começam com 4 e o que começam com 5.
Considerando os que começam com 4, há uma escolha possível para o primeiro dígito e 10 escolhas possíveis para cada um dos outros três dígitos.
Logo, pelo princípio da multiplicação, existem 1 x 10 x 10 x 10 = 1.000 maneiras.
O mesmo raciocínio pode ser usado para o número começando com 5.
Pelo princípio da adição, existem 1.000 + 1.000 = 2.000 possibilidades ao todo.
ÁRVORES DE DECISÃO
Árvores como a mostrada no exemplo da escolha de
doces, que ilustram o número de possibilidades de um
evento baseado em uma série de escolhas possíveis
são chamadas árvores de decisão.
Árvores regulares são as que o número de resultados
possíveis em qualquer nível da árvore é o mesmo em
todo o nível, como as do exemplo 1.
Árvores menos regulares podem ser usadas para
resolver problemas de contagem onde a multiplicação
não se aplica.
ÁRVORES DE DECISÃO
Exemplo 07:
Antônio esta jogando moedas. Cada jogada resulta em cara (c) ou coroa (k). Quantos resultados possíveis ele pode obter se jogar 05 vezes sem cair 2 caras consecutivas?
Cada jogada da moeda tem dois resultados possíveis; o ramo da
esquerda esta marcado com um c,denotando cara, e o da direita, com um k, denotando coroa.
PRINCÍPIO DE INCLUSÃO E EXCLUSÃO
É mais um princípio que pode ser usado para resolver
problemas de contagem.
Observemos primeiro que, se A e B são subconjuntos
de um conjunto universo S, então A – B, B – A e A ∩ B
são disjuntos, conforme figura abaixo:
PRINCÍPIO DE INCLUSÃO E EXCLUSÃO
A equação do princípio de inclusão e exclusão para
dois conjuntos é:
|A U B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
Pois, ao contar o número de elementos na união de A
e B, precisamos incluir o número de elementos de A e
o de B, mas precisamos excluir os elementos de A ∩ B
para evitar contá-los duas vezes.
PRINCÍPIO DE INCLUSÃO E EXCLUSÃO
Exemplo 08:
Um pesquisador de opinião pública entrevistou 35 eleitores, todos apoiando o referendo 1, o referendo 2 ou ambos, e descobriu que 14 eleitores apóiam o referendo 1 e 26 apóiam o referendo 2. Quantos eleitores apóiam ambos?
|A U B| = 35; |A| = 14 e |B| = 26
Queremos |A ∩ B|
Como |A U B| = |A| + |B| - |A ∩ B| então
|A ∩ B| = |A| + |B| - |A U B| = 14 + 26 – 35 = 5
PRINCÍPIO DE INCLUSÃO E EXCLUSÃO
A equação do princípio da inclusão e exclusão para 3
conjuntos é:
|A U B U C| = |A| + |B| + |C| - |A
∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A
∩ B ∩ C|
Além do argumento formal, podemos usar o
PRINCÍPIO DE INCLUSÃO E EXCLUSÃO
Exemplo 09:
Um grupo de estudantes está planejando encomendar pizzas. Se 13 comem lingüiça calabresa, 10 comem salame italiano, 12 comem queijo extra, 4 comem tanto calabresa como salame, 5 comem tanto salame quanto queijo extra, 7 comem tanto lingüiça calabresa quanto queijo extra e 3 comem de tudo, quantos estudantes há no grupo?
Sejam:
A = {estudantes que comem lingüiça calabresa} B = {estudantes que comem salame italiano} C = {estudantes que comem queijo extra}
Então |A|=13, |B|=10, |C|=12, |A∩B|= 4, |B∩C|=5, |A∩C|=7 e |A ∩B ∩C|=3.
PRINCÍPIO DE INCLUSÃO E EXCLUSÃO
Esse problema poderia ser resolvido usando um diagrama deVenn.
Começando da parte de dentro pra fora, sabemos que existem 3
pessoas em A ∩ B ∩ C (fig. a).
Temos também o número de pessoas em A ∩ B, B ∩ C e A ∩ C (fig.
b).
Conhecemos também o tamanho de A, B e C (fig. c).
O número total de estudantes, 22, é obtido somando-se todos os
PRINCÍPIO DAS CASAS DE POMBO
Se mais de k itens são colocados em k caixas, então
pelo menos uma caixa contém mais de um item.
Embora isso pareça óbvio, podemos aprofundar esse
ponto.
Suponha que cada casa contenha no máximo um pombo. Então existem no máximo k pombos e não os “mais de k” pombos.
Escolhendo corretamente itens e caixas, pode-se
PRINCÍPIO DAS CASAS DE POMBO
Exemplo 10:
Quantas pessoas precisam estar presentes em uma sala para garantir que duas delas tenham o nome começando com a mesma letra?
O alfabeto (incluindo k, y e w) tem 26 letras (caixas). Se a sala
tiver 27 pessoas, então existem 27 iniciais (itens) para se colocar em 26 caixas, de modo que pelo menos uma caixa vai conter mais de uma inicial.
