derivadas parciais

(1)

ISCTEM

Análise Matemática II

Curso de Engenharia Informática

_____________________________________________________________________________________ Funções de várias variáveis: Derivadas parciais

1.

DERIVADAS PARCIAIS DE

1 ª

ORDEM

Quando se trabalha com funções de várias variáveis é imediato colocar a questão, “qual o efeito que ocorre quando se faz uma pequena variação numa das variáveis independentes?”, isto é, “qual a taxa de variação da função com respeito a uma das suas variáveis?”. A resposta a esta questão é obtida através da derivação parcial.

Derivadas parciais de 1ª ordem de funções de duas variáveis:

As derivadas parciais de primeira ordem da função z = f

( )

x,y em relação à variável

x

e à variável y são as funções definidas respectivamente por:

( )

(

) ( )

x y , x f y , x x f lim y , x x f 0 x ∆ ∆ ∆ − + = ∂ ∂ →

( )

(

) ( )

y y , x f y y , x f lim y , x y f 0 y ∆ ∆ ∆ − + = ∂ ∂ → desde que os limites existam.

Notações usadas:

( )

x,y f_x

( )

x,y z_x x f ₌ ₌ ∂ ∂ e

( )

x

,

y

f

_y

( )

x

,

y

z

_y

y

f

₌

∂

.

Note que, na

1 ª

definição estamos a variar o x e a manter

y

constante. Estamos a calcular a taxa de variação da função na direcção em que x varia, mantendo

y

constante. Os valores de

f

_x

(

x

₀

,

y

₀

)

e

f

_y

(

x

₀

,

y

₀

)

, isto é, as derivadas parciais de

ª

1

ordem da função f

( )

x,y no ponto de coordenadas

(

x

₀

,

y

₀

)

, obtêm-se substituindo

x

=

x

₀ e

y

=

y

₀ nas expressões gerais.

Interpretação geométrica

Seja

P

um ponto da intersecção da superfície z= f

( )

x,y e o plano

y

=

y

₀. Uma vez que

y

se mantém constante em

y

=

y

₀ e x pode variar, então o ponto

P

(2)

move-se ao longo da curva C₁, isto é, ao longo da intersecção da superfície com o plano vertical

y

=

y

₀ (conforme figura

( )

a ). Assim, a derivada parcial

(

x

0

,

y

0

)

x

f

∂

pode ser interpretada como o declive da recta tangente à curva C₁ no ponto

(

x

₀

,

y

₀

)

.

Analogamente se considerarmos x constante, isto é

x

=

x

₀ e fazendo

y

variar, então o ponto

P

move-se ao longo da curva C₂ que é a intersecção da superfície com o plano vertical

x

=

x

₀. Desta forma, a derivada parcial

(

x

₀

,

y

₀

)

y

f

∂

pode ser

interpretada como o declive da recta tangente à curva C₂ no ponto

(

x

₀

,

y

₀

)

(conforme figura

( )

b ).

( )

a

( )

b

Exemplo:

a) Determine as derivadas parciais

f

_x e

f

_y da função

f

( )

x

,

y

=

x

2

+

y

2 no ponto

( )

1,2 .

Seguidamente determine as expressões gerais para as derivadas parciais

f

_x

e

f

_y da função. Solução:

Atendendo à definição, vem

( )

(

)

(

)

=

∆

+

−

+

∆

+

=

→ ∆

_x

2

1

2 x

1 lim

2 ,

1 f

2 2 2 2 0 x x

( )

₌

∆

−

+

∆

+

∆

+

=

→ ∆

_x

5

4 x

x

2

1 lim

2 0 x

( )

2

1 x

2 lim

x

2 lim

0 x 2 0 x

=

∆

+

=

∆

+

∆

=

→ ∆ → ∆

(3)

e,

( )

(

)

(

)

=

∆

+

−

∆

+

=

→ ∆

_y

2

1 y

2

1 lim

2 ,

1 f

2 2 2 0 y y

( )

₌

∆

−

∆

+

∆

+

=

→ ∆

_y

5 y

y

4

1 lim

2 0 y

( )

4

1 y

4 lim

y

4 lim

0 y 2 0 y

=

∆

+

=

∆

+

∆

=

→ ∆ → ∆

As expressões gerais são obtidas de forma análoga considerando agora o ponto genérico

( )

x,y . Deste modo,

(

)

(

)

₌

∆

+

−

+

∆

+

=

→ ∆

_x

y

x

y

x

lim

f

2 2 2 2 0 x x

( )

₌

∆

−

+

∆

+

∆

+

=

→ ∆

_x

y

x

y

x

2 x

lim

2 2 2 2 2 0 x

( )

x

2

1 x

x

2 lim

x

2 lim

0 x 2 0 x

=

∆

+

=

∆

+

∆

=

→ ∆ → ∆ e

(

)

(

)

₌

∆

+

−

∆

+

=

→ ∆

_y

y

x

y

x

lim

f

2 2 2 2 0 y y

( )

₌

∆

−

∆

+

∆

+

=

→ ∆

_y

y

x

y

2 y

x

lim

2 2 2 2 2 0 y

( )

y

2

1 y

y

2 lim

y

2 lim

0 y 2 0 y

=

∆

+

=

∆

+

∆

=

→ ∆ → ∆ .

Derivadas parciais de 1ª ordem de funções de

n

variáveis:

Seja

z

=

f

(

x

₁

,

x

₂

,...,

x

_n

)

. A derivada parcial de primeira ordem de f em ordem a

x

_i

é a função definida por:

(

)

(

) (

)

i n i 1 n i i 1 0 x n i 1 i x x ,..., x ,..., x f x ,..., x x ,..., x f lim x ,..., x ,..., x x f i ∆ ∆ ∆ − + = ∂ ∂ →

Resulta da definição que as regras de cálculo das derivadas parciais de 1ª ordem são as mesmas que as empregadas para calcular a derivada das funções de uma variável; é preciso somente considerar como constantes todas as variáveis independentes excepto a variável em relação à qual se está a derivar.

(4)

Exemplos:

a) Considere a equação da superfície

( )

8

25 y

2 x

x,y

f

2 2

+

−

=

. Utilizando as

regras de derivação, calcule as derivadas parciais de

f

, de

1 ª

ordem. Baseando-se nos resultados anteriores, calcule os declives da superfície no

ponto

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

2 ,

1 ,

2

1

segundo a direcção de x e a direcção de

y

.

Solução:

No ponto genérico

( )

x,y temos

( )

0

0 x

2 x

2 y

,

x

f

₌

₋

₊

₌

₋

∂

( )

x

,

y

0

2 y

0

2 y

y

f

₌

₋

₊

₌

₋

∂

No ponto

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

2 ,

1 ,

2

1

da superfície, vem:

2

1

1 ,

2

1 x

f

₌

₋

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

e

,

1

2

1 y

f

₌

₋

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

Da interpretação geométrica das derivadas parciais temos que os declives pedidos são, respectivamente, os valores

2

1

1 ,

2

1 x

f

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

e

,

1

2

1 y

f

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

. Graficamente temos

(5)

b) Calcule

(

x

,

y

,

z

)

z

f

∂

para

f

(

x

,

y

,

z

)

=

xy

+

yz

2

+

xz

. Solução:

O cálculo da derivada parcial de primeira ordem em relação a

z

, faz-se mantendo

x e

y

constantes. Deste modo temos

(

x

,

y

,

z

)

0 y

.

( )

2 z

x

2 yz

x

z

f

₌

₊

₌

₊

∂

.

2.

DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR A UM

Uma vez que as derivadas parciais

f

_x e

f

_y são funções em x e

y

, cada uma destas funções pode ter derivadas parciais, denominadas derivadas parciais de

ª

2

ordem. Surgem assim quatro possibilidades para as derivadas parciais de

2 ª

ordem:

Seja z= f

( )

x,y . As derivadas parciais de segunda ordem são as funções definidas por:

Derivada parcial segunda ordem de f em relação a

x

( )

₂

( )

xx 2 f y , x x f y , x x f x ∂ = ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂

Derivada parcial segunda ordem de f em relação a y

( )

2

( )

yy 2 f y , x y f y , x y f y ∂ = ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂

Derivada parcial segunda ordem de f em relação primeiro a

x

e depois a y

( )

xy 2 f y , x x y f y , x x f y ∂ ∂ = ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂

Derivada parcial segunda ordem de f em relação primeiro a y e depois a

x

( )

yx 2 f y , x y x f y , x y f x ∂ ∂ = ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂

(6)

As duas últimas definições apresentadas são designadas por derivadas parciais mistas. Nestes casos, os dois tipos de notação têm convenções diferentes para indicar a ordem da derivação:

→

∂

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

x

y

f

x

f

y

2

ordem da direita para a esquerda

( )

f

_x _y

=

f

_xy

→

ordem da esquerda para a direita Estas definições estendem-se facilmente a funções de n variáveis.

Exemplo:

Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função

( )

2 2 2

y

x

5 y

2 xy

3 y

,

x

f

=

−

+

. Solução:

Utilizando as regras de derivação podemos calcular as derivadas parciais de

1 ª

ordem de

f

:

( )

2 2 x

x

,

y

3 y

10 xy

f

=

+

( )

x,y 6xy 2 10x y f_y = − + 2 .

E, seguidamente as derivadas de 2ª ordem

( )

2 xx

x

,

y

10 y

f

=

( )

2 yy x,y 6x 10x f = +

( )

x

,

y

6 y

20 x

y

f

_xy

=

+

( )

x

,

y

6 y

20 x

y

f

_yx

=

+

Observando os resultados deste exemplo nota-se que as derivadas parciais mistas são iguais, o que nem sempre acontece. O teorema seguinte estabelece condições suficientes para a igualdade de derivadas parciais mistas.

Teorema.

Se f é uma função de

x

e de y tal que as derivadas parciais de segunda ordem,

xy

f e f_yx, são contínuas numa vizinhança

V

de

( )

x,y então f_xy= f_yx, em

V

. Este teorema estende-se a funções de n variáveis.

(7)

3.

ACRÉSCIMOS E DIFERENCIAIS

Os conceitos de incremento e diferencial facilmente se generalizam para o caso de funções de duas ou mais variáveis.

Seja z = f

( )

x,y uma função de duas variáveis definida num ponto

( )

x,y do domínio de f , se incrementarmos o ponto

x

de uma quantidade

∆

x

e incrementarmos o ponto y de uma quantidade ∆y, o valor da função vem incrementado de uma quantidade ∆z, dada por

(

x x,y y

)

f

( )

x,y f

z= +∆ +∆ −

∆

Recordemos que sendo y= f

( )

x , o diferencial de

y

define-se como

( )

x dx

f

dy = ′ . Uma terminologia semelhante é utilizada para funções de duas variáveis.

Se z= f

( )

x,y e

∆

x

e ∆y são acréscimos em

x

e em y, então os diferenciais das variáveis independentes

x

e y são

x dx=∆

y dy=∆

e o diferencial total da variável dependente z é

( )

x,y dx f

( )

x,y dy f dy y z dx x z dz = x + y ∂ ∂ + ∂ ∂ = .

As definições anteriores podem ser estendidas a funções de três ou mais variáveis.

Exemplo:

a) Calcule o diferencial total para

w

=

f

(

x

,

y

,

z

,

u

)

.

Solução: Tomando

w

=

f

(

x

,

y

,

z

,

u

)

vem x dx=∆ ,

dy

=

∆

y

, dz=∆z, du =∆u e o diferencial total de w é

du

u

w

dz

z

w

dy

y

w

dx

x

w

dw

∂

+

∂

+

∂

+

∂

=

.

(8)

b) Calcule o diferencial total para

z

=

2 x

sin

y

−

3 x

2

y

2

Solução:

O diferencial total dz é

(

2 sin

y

6 xy

)

dx

(

2 x

cos

y

-

6 x

y

)

dy

dz

=

−

2

+

2

c) Calcule o diferencial total para

w

=

x

2

+

y

2

+

z

2

Solução: O diferencial total dw é

dz

z

2 dy

y

2 dx

x

2 dw

=

+

.

Diferenciabilidade de uma função de duas variáveis:

Uma função f dada por z = f

( )

x,y é diferenciável em

(

x

₀

,

y

₀

)

, se ∆z puder ser expresso na forma

(

x ,y

)

x f

(

x ,y

)

y x y f z x 0 0 ∆ y 0 0 ∆ ε1∆ ε2∆ ∆ = + + + onde

ε

₁

→

0

e

ε

₂

→

0

quando

(

∆

x

,

∆

y

) ( )

→

0 ,

0

.

A função f é diferenciável numa região R, se é diferenciável em cada ponto de R.

Exemplo:

Mostre que a função

f

( )

x

,

y

=

x

2

+

3 y

é diferenciável em cada ponto do plano. Solução:

Seja z = f

( )

x,y e (∆x,

∆

y

) um acréscimo dado a um ponto

( )

x,y do plano. O acréscimo sofrido pela função é

( )=

(

+∆ +∆

) ( )

− = ∆z f x x,y y f x,y 1 . 3

(

+

∆

+

∆

)

+

(

+

∆

)

−

(

+

)

=

x

2

2 x

x

2

3 y

y

x

2

3 y

=

∆

+

∆

+

∆

=

2 x

x

2

3 y

( ) ( ) ( ) ( )

∆ + ∆ + ∆ + ∆ = =2x x 3 y 0 x 0 y

( )

x,y x f

( )

x,y y x y fx ∆ + y ∆ +ε1∆ +ε2∆ =

onde

ε

1 =∆x e

ε

2 =0. Como

ε

1 →0 e

ε

2 →0 quando

(

∆x,∆y

) ( )

→ 0,0 , a

(9)

Do que foi visto, o termo “diferenciabilidade” é utilizado de forma diferente para funções de duas variáveis e funções de uma variável. Uma função de uma variável é diferenciável num ponto quando a derivada da função existe nesse ponto. Contudo, para uma função de duas variáveis, a existência das derivadas parciais,

f

_x e

f

_y, não garante a diferenciabilidade da função. O teorema seguinte estabelece condições suficientes para a diferenciabilidade de uma função de duas variáveis.

Teorema. Condição suficiente de diferenciabilidade

Se f é uma função de

x

e y, onde as derivadas parciais de 1ª ordem,

f

_x

e

f

_y, são contínuas numa região aberta R, então f é diferenciável em R.

Este teorema afirma que se escolhermos ∆x e

∆

y

suficientemente pequenos, isto é,

(

x+∆x,y+∆y

)

suficientemente próximo de

( )

x,y , se podem desprezar

x 1∆

ε

e

ε

2 ∆y obtendo-se ∆z≈dz.

Exemplo:

Use o diferencial dz para aproximar a variação em

z

=

4 −

x

2

−

y

2 quando

( )

x,y se move do ponto

( )

1,1 para o ponto

(

1.01,0.97

)

. Compare esta aproximação com a variação exacta em

z

.

Solução: Sendo

( ) ( )

x,y = 1,1 e

(

x+∆x,y+∆y

) (

= 1.01,0.97

)

então 01 . 0 x dx=∆ = e

dy

=

∆

y

=

−

0 .

03

.

Assim, a variação em

z

pode ser aproximada por

dy

y

x

4 y

dx

y

x

4 x

dy

y

z

dx

x

z

dz

z

2 2 2 2

₋

−

+

−

=

∂

+

∂

=

≈

∆

Quando x=1 e

y

=

1

, tem-se

(

)

(

0 .

03 )

0 .

0141

2

1

01 .

0

2

1 z

≈

−

≈

∆

.

O incremento exacto em

z

é dado por:

(

1.01,0.97

) ( )

f 1,1 0.0137 f

z= − ≈

(10)

Diferenciabilidade de uma função de três variáveis:

Uma função f dada por w= f

(

x,y,z

)

é diferenciável em

(

x

₀

,

y

₀

,

z

₀

)

, se

∆

w

puder ser expresso na forma

(

x ,y ,z

)

x f

(

x ,y ,z

)

y f

(

x ,y ,z

)

z x y z f

w x 0 0 0 ∆ y 0 0 0 ∆ z 0 0 0 ∆ ε1∆ ε2∆ ε3∆

∆ = + + + + +

onde

ε

₁

→

0

,

ε

₂

→

0

e

ε

₃

→

0

quando

(

∆

x

,

∆

y

,

∆

z

) (

→

0 ,

0 )

.

e, analogamente ao que foi dito para funções de duas variáveis, sendo

z

y

x

∆

,

e

suficientemente pequenos, podemos usar a aproximação:

(

x

,

y

,

z

)

dx

f

(

x

,

y

,

z

)

dy

f

(

x

,

y

,

z

)

dz

f

dw

w

≈

=

x

+

y

+

z

∆

Exemplo: Análise de erro

O erro possível envolvido na medição de cada dimensão de uma caixa rectangular é de

mm 1 . 0

± . As dimensões da caixa são

cm 50

x= ,

y

=

20 cm

e z =15cm, como se mostra na figura 3

Use dV para estimar o erro propagado e o erro relativo no cálculo do volume da caixa.

Solução: O volume da caixa é dado por

V

=

x

.

y

.

z

. Então

dz

y

x

dy

z

x

dx

z

y

dz

z

V

dy

y

V

dx

x

V

dV

=

+

∂

+

∂

+

∂

=

Sendo 0.1mm=0.01cm, tem-se que

01 .

0 dz

dy

dx

=

±

e o erro propagado é aproximadamente:

( )( )(

) ( )( )(

)

3

cm

5 .

20

01 .

0

20

50

01 .

0

15

50

01 .

0

15

20 dV

=

±

+

±

+

±

=

±

Como a medida do volume é

( )( )( )

3

cm

15000

15

20

50 V

=

o erro relativo

V

∆

é aproximadamente de

%

14 .

0 15000

5 .

20 V

dV

V

≈

=

≈

∆

.

(11)

4.

CONTINUIDADE E DIFERENCIABILIDADE

Tal como para uma função de uma variável, se uma função de duas ou mais variáveis é diferenciável num ponto, também é contínua nesse ponto. O teorema seguinte expressa este resultado:

Teorema. Diferenciabilidade implica continuidade.

Se uma função de

x

e de y é diferenciável em

(

x

₀

,

y

₀

)

, então é contínua em

(

x

0

,

y

0

)

.

Exemplo: uma função que não é diferenciável

Seja

( )

( ) ( )

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

≠

+

−

=

0 ,

0 y

,

x

0

0 ,

0 y

,

x

y

x

xy

3 y

,

x

f

2 2

,

cuja

representação geométrica é dada na figura.

Mostre que as derivadas parciais de

1 ª

ordem de

f

existem no ponto

( )

0,0 e que a função não é diferenciável em

( )

0,0 .

Solução:

Podemos mostrar que

f

não é diferenciável no ponto

( )

0,0 mostrando que não é contínua nesse ponto (teorema 4.1). Vamos calcular o limite de f

( )

x,y quando

( ) ( )

x,y → 0,0 ao longo das rectas

y

=

mx

e verificar que o limite depende do declive das rectas e, sendo assim, não existe tal limite.

Ora ( ) ( )

( )

2

(

2

)

2 2 0 x 2 2 2 0 x 2 2 mx y 0 , 0 y , x

₁

_m

m

3 m

1 x

mx

3 lim

mx

x

mx

3 lim

y

x

xy

3 lim

+

−

=

+

−

=

+

−

=

+

−

→ → = →

então, como

f

não é contínua no ponto

( )

0,0 também não é diferenciável nesse ponto.

Calculemos agora, através da definição, as derivadas parciais no ponto

( )

0,0 :

( )

(

) ( )

0 x

0

0 lim

x

0 ,

0 f

0 ,

x

0 f

lim

0 ,

0 x

f

0 x 0 x

∆

=

−

=

∆

−

∆

+

=

∂

→ ∆ → ∆

( )

(

) ( )

0 y

0

0 lim

y

0 ,

0 f

y

0 ,

0 f

lim

0 ,

0 y

f

0 y 0 y

∆

=

−

=

∆

−

∆

+

=

∂

→ ∆ → ∆

(12)

Deste modo, as derivadas parciais existem no ponto

( )

0,0 mas a função não é diferenciável nesse ponto.

Sugestão de trabalho

Uma função é diferenciável num ponto se as derivadas parciais de

1 ª

ordem são contínuas nesse ponto. Dado que em

( )

0,0 a função apresentada não é diferenciável prove que pelo menos uma das suas derivadas parciais não é contínua no ponto

( )

0,0 .

5.

REGRA DA CADEIA

Sendo y= f

( )

x uma função diferenciável de x e x uma função diferenciável de

t

, a regra da cadeia para funções de uma variável estabelece que

dt

dx

dy

dt

dy =

.

Seguidamente iremos ver como se aplica a regra da cadeia a funções de duas variáveis.

Teorema. Regra da cadeia – uma variável independente

Seja z= f

( )

x,y , onde f é uma função diferenciável de

x

e de y. Se

x

=

g

( )

t

e

( )

t

h

y

=

, onde g e

h

são funções diferenciáveis de

t

, então z é uma função diferenciável de

t

, e dt dy y z dt dx x z dt dz ∂ ∂ + ∂ ∂ = Exemplo:

Seja

z

=

x

2

y

−

y

2, onde

x

=

sin

t

e

y

=

e

t. Calcule

dt

dz

quando t=0.

Solução: Aplicando o teorema,

( )

_∂

=

(

)

+

(

−

)

=

∂

+

∂

=

2 t 1 . 5

_dt

2 x

y

cos

t

x

2 y

e

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

(

2 t

)

t t

e

2 t

sin

t

cos

e

t

sin

2 +

−

=

Quando t =0 temos

2 dt

dz

−

=

.

(13)

Teorema. Regra da cadeia – duas variáveis independentes

Seja z= f

( )

x,y , onde f é uma função diferenciável de

x

e de y. Se

x

=

g

( )

s

,

t

e

( )

s

,

t

h

y

=

tal que as derivadas parciais de 1ª ordem,

s x ∂ ∂ , t x ∂ ∂ , s y ∂ ∂ e t y ∂ ∂ , existem, então s z ∂ ∂ e t z ∂ ∂

existem e são dadas por:

t y y z t x x z t z s y y z s x x z s z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ Exemplo:

Use a regra da cadeia para calcular

s

z

∂

e

t

z

∂

, para

z

=

2 x

y

onde

x

=

s

2

+

t

2 e

t

s

y

=

. Solução:

( )

t t 2 s 6 t 1 x 2 s 2 y 2 s y y z s x x z s z 2 2 t s y t s x 2 2 + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = + = e

( )

2 ₂ 3 t s y t s x 2 t s 2 t s 2 t s x 2 t 2 y 2 t y y z t x x z t z 2 2 − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = + = .

A regra da cadeia pode ser estendida a qualquer número de variáveis. Exemplo: Encontre

s

w

∂

e

t

w

∂

quando s=1 e t = 2π para a função w= xy+yz+xz onde

t

cos

.

s

x

=

,

y

=

s

.

sin

t

e

z

=

t

. Solução: = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ s z z w s y y w s x x w s w

(

₊

)(

) (

₊ ₊

)(

) (

₊ ₊

)( )

₌ 0 x y t z x t z y cos sin

(

y+z

)(

cost

) (

+ x+z

)

sint e = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ t z z w t y y w t x x w t w

₍

₎₍

_{) (}

₎₍

_{) (}

_{)( )}

1 x y t s z x t s z y+ − sin + + cos + +

(14)

Quando s=1 e t = 2π, temos

x

=

1 ,

y

=

0

e z= 2π. Assim

=

π

+

(

+

π

)

+

=

π

∂

2

0

0 .

2

1

1 .

2 s

w

(

+

π

)

+

(

+

π

) (

+

)

=

+

π

=

∂

2

1 .

1

0

1 .

2

1

0 .

2

0 t

w

.

6.

DIFERENCIAÇÃO PARCIAL IMPLÍCITA

A regra da cadeia também se aplica a funções definidas implicitamente conforme mostra o teorema seguinte.

Teorema: Determinação da derivada de uma função definida implicitamente com a aplicação da regra da cadeia

a) Se a equação

F

( )

x

,

y

=

0

define y implicitamente como uma função diferenciável de

x

, com

F

_y

( )

x

,

y

≠

0

, então:

( )

x,y F y , x F dx dy y x − =

b) Se a equação F

(

x,y,z

)

=0 define z implicitamente como uma função diferenciável de

x

e de y, com

F

_z

(

x

,

y

,

z

)

≠

0

, então

(

)

(

x,y,z

)

F z , y , x F x z z x − = ∂ ∂

(

)

(

x

,

y

,

z

)

F

z

,

y

,

x

F

y

z

z y

−

=

∂

Este teorema pode ser estendido a funções diferenciáveis com qualquer número de variáveis. Exemplo: Calcule