D i s c i p l i n a : P e s q u i s a O p e r a c i o n a l I I T e o r i a d a s F i l a s - L i s t a d e E x e r c í c i o s : 0 4

(1)

1 Prof. Lori Viali, Dr. - http://prof-lori-viali.com - viali@pucrs.br

01. Uma estação de serviço é formada por um único servidor que pode atender um cliente em 10,5 minutos, em média. Os clientes chegam solicitando serviço a um intervalo médio de oito minutos e 24 segundos. A capacidade do sistema é de seis clientes.

(i) Qual a probabilidade de que o servidor esteja desocupado? (ii) Na média quantos clientes potenciais são perdidos por hora? (iii) Quanto tempo um cliente leva sendo atendido?

(iv) Quanto tempo um cliente deve esperar, em média, para ser atendido? (v) Qual a probabilidade de que um cliente não seja atendido?

(i) P(J = 0) = 6,63%

(ii) λ − λc = 1,81 _Clientes

(iii) Ws = _{10,50 Minutos}

(iv) Wq = 32,88 Minutos

(iv) pc = 25,31%

02. Uma média de um carro a cada 96 segundos tenta utilizar o drive-in do restaurante Baita Rango. Se um total de oito carros estiverem na fila (incluindo o carro sendo atendido) um cliente não encontrará espaço na fila e irá procurar outro restaurante. Leva, em média, 210 segundos para que um cliente seja atendido.

(i) Qual é o número médio horário de carros na fila?

(ii) Eu recém entrei na fila. Quanto tempo vai levar até receber minha comida?

(iii) Em um período de funcionamento diário de 12 horas, quantos clientes, em média, serão perdidos? (iv) Qual a probabilidade de que um cliente seja atendido?

(v) O gerente sugeriu aumentar a capacidade da fila para diminuir significativamente a perda de clientes. Essa é uma medida eficaz para evitar a perda? Justifique.

(i) Lq = 6,17 Carros

(ii) W = 25,11 Minutos

(iii) Perda = 244 Clientes

(iv) 1 - pc = 45,67%

(v) Não, ela não diminui o número de rejeitados.

03. Um lava rápido automático funciona com somente uma baia. Os carros chegam conforme uma distribuição de Poisson com um tempo médio de 8 minutos e podem esperar num estacionamento com cinco vagas disponíveis. Se o estacionamento estiver cheio os clientes que chegam desistem e procuram outro lava rápido. O tempo para lavar e limpar um carro segue uma distribuição exponencial, com uma média de sete minutos e 30 segundos. O proprietário quer determinar o impacto das vagas limitadas sobre a perda de clientes para a concorrência. Considerando essa situação, determine:

(i) A probabilidade de que um carro que chega passe imediatamente à baia de lavagem. (ii) Tempo de espera estimado até o início do serviço.

(iii) Número esperado de vagas vazias no estacionamento. (iv) A probabilidade de todas as vagas estarem ocupadas.

(2)

(v) A taxa de utilização do servidor. (i) p0 = 17,19% (ii) Wq = 17,34 Minutos (iii) V = 3,09 Vagas (iv) p6 = 11,67% (v) ρs = 82,81%

04. Considere o lava rápido do exemplo anterior. (i) Determine o número de vagas que deve existir no estacionamento para que o percentual de carros perdidos para a concorrência fique o mais próximo possível de 5%. (ii) Neste caso, qual é o número médio de clientes perdidos para a concorrência, ao longo de um mês, considerando que o lava rápido trabalha doze horas por dia.

(i) p12 = 5,07%

O estabelecimento deve disponibilizar 11 vagas

(ii) λ − λc = 0,38 p/hora

4,57 p/dia

137 p/mês

05. Uma cooperativa agrícola prevê um crescimento na chegada de caminhões a seu terminal de descarga. O pátio de estacionamento, onde os caminhões permanecem, comporta seis caminhões. Caso o número de caminhões seja maior ele será enviado para descarregar em outro local. A equipe de descarga consegue descarregar um caminhão aa cada vez em um tempo médio de 10 minutos.

(i) Determine o tempo médio entre as chegadas para que o número médio de caminhões na cooperativa seja igual a quatro.

(ii) Determine o número médio de chegadas para que o tempo de espera para descarregar seja de no máximo 15 minutos.

(iii) Se a taxa de chegadas for de 10 caminhões por hora, qual deveria ser o tempo de descarga para que a probabilidade de um caminhão ter que descarregar em outro local seja no máximo de 5%?

(iv) Se a taxa de chegadas for de 10 caminhões por hora e a de descarga de 12 caminhões por hora, qual qual é a taxa de utilização da equipe de descarga?

(v) Se a taxa de chegadas for de 10 caminhões por hora e a de descarga de 12 caminhões por hora, qual qual é a capacidade do pátio de estacionamento para que a probabilidade de um caminhão descarregar no local seja superior a 98%. (i) t = 7,68 minutos (ii) t = 14,49 minutos (iii) t = 4,47 minutos (iv) ρs = 76,88% (v) c = 12

06. Um serviço de engraxar sapatos em um aeroporto tem três cadeiras e um único atendente. Um cliente que chega e encontra uma cadeira livre e o atendente ocupado senta e espera pelo serviço. Os clientes potenciais que encontram as cadeiras ocupadas procuram outro serviço ou desistem. Supondo que a chegada dos clientes é uma exponencial

(3)

com média de 6 minutos e que o tempo necessário para engraxar um sapato é exponencialmente distribuído com média de 8 minutos, determine:

(i) O percentual de tempo que o atendente está ocupado.

(ii) O número médio de clientes atendidos em um dia de 8 horas de trabalho. (iii) Qual o percentual de clientes que conseguem ter seus sapatos engraxados? (iv) Explique por que o aumento da capacidade em um modelo desse tipo aumenta a fila?

(v) Qual deveria ser o tempo gasto para engraxar um sapato para que a taxa de rejeição de clientes fique abaixo de 20%.

(i) ρρsρρ = 84,57%

(ii) 8λλλλc = 51 Clientes

(iii) λλλλc/λλλλ = 63,43%

(iv) C = Pq o rô é maior do que um

(v) t = 5,21

07. Uma barbearia com um barbeiro tem cinco cadeiras para acomodar fregueses esperando atendimento. Os fregueses que chegam quando as seis cadeiras estão cheias, vão embora sem esperar. Os fregueses chegam a taxa média de três por hora e ficam em média 15 minutos na cadeira do barbeiro.

(i) Qual a probabilidade de um freguês chegar e ir direto para a cadeira do barbeiro? (ii) Qual o número médio de fregueses esperando atendimento?

(iii) Qual a taxa efetiva de clientes que são atendidos? (iv) Quanto tempo, em média, um freguês fica na barbearia?

(v) Que percentual dos fregueses potenciais vai embora sem esperar atendimento?

(i) p0 = 28,85%

(ii) Lq = 1,21 Clientes

(iii) λλλλc/λ λ λ λ = 94,87%

(iv) W = 40,51 Minutos

(v) (λ λ λ λ - λ λ λ λc)/λ λ λ λ = 5,13%

08. Em uma barbearia de um único barbeiro a taxa média de chegadas é de 3 fregueses por hora. A barbearia só tem lugar para acomodar 2 pessoas esperando e os eventuais fregueses que chegam quando o salão está cheio, não entram. O barbeiro é capaz de atender em média 2 fregueses por hora e cobra $7 por um corte de cabelo. Como muitos fregueses estão indo embora sem poderem ser atendidos, o barbeiro está pensando em mudar o seu método de trabalho. Após alguns estudos ele identificou 2 alternativas:

(i) Trabalhar um pouco mais rápido do que atualmente, diminuindo um pouco a qualidade do corte de cabelo, mas diminuindo o preço do corte para $6 para evitar reclamações. Com esta alternativa a sua taxa de serviço média iria para 3 fregueses por hora.

(ii) Trabalhar bem mais rápido do que atualmente, cobrando somente $5 por corte de cabelo pois haveria uma queda acentuada na qualidade. Neste caso sua taxa de serviço média passaria a 4 fregueses por hora.

(4)

O barbeiro deseja fazer uma avaliação econômica entre a situação atual e as 2 alternativas estudadas. O tempo perdido pelos fregueses na fila de espera está estimado em $2/hora e como o serviço feito pelo barbeiro é muito cansativo, ao tempo que ele pode descansar (por não ter nenhum freguês esperando) foi atribuído o valor de $4/hora, ou seja, cada hora que ele descansa é como se tivesse perdido $4. Considerando que o dia tem 8 horas de trabalho, faça a análise econômica para o barbeiro.

Receita

Número médio de fregueses atendidosxdiax$7 corte

Receita = λc x 8 h/dia x $7 = R$ 98,22 Dia Tempo ocioso = p0x8hx$4 = R$ 3,94

Tempo

perdido = Wq xλcx8hx$2 = R$ 17,72

Rendimento Líquido = Receita + TO -TP R$ 76,55 (i) _{Número médio de fregueses atendidos/diax$6 corte}

Receita = λc x 8 h/dia x $6 = $ 108,00 Tempo ocioso = p0x8hx$4 = R$ 8,00 Tempo

Rendimento Líquido = R$ 88,00 Dia

(ii) _{Número médio de fregueses atendidos/diax$5 corte} Receita = λc x 8 h/dia x $5 = $ 101,49 Tempo ocioso = p0x8hx$4 = R$ 11,70 Tempo

Rendimento Líquido = R$ 81,55 Dia

09. O setor de reclamações das lojas Tabajara possui capacidade para acomodar, no máximo, quatro clientes esperando ou sendo atendidos. Sabe-se que chega um cliente a cada 20 minutos para fazer uma reclamação e que há um único funcionário trabalhando no mesmo. Sabe-se também que esse funcionário leva em média 18 minutos para atender um cliente.

(i) Qual a probabilidade do setor de reclamações ter apenas um cliente efetuando uma reclamação? (ii) Qual a probabilidade de que alguém que queira fazer uma reclamação tenha que esperar na fila?

(iii) Determine o número esperado de clientes que não serão atendidos em um dia normal de 8 horas de trabalho do atendente.

(iv) O gerente acha que o funcionário está fazendo corpo mole e que ele poderia atender mais clientes em uma hora, de modo, a diminuir o número de clientes rejeitados e o tempo médio de espera na fila. Determine em quanto tempo um cliente deveria ser atendido para que tempo médio de espera na fila seja de no máximo 10 minutos. (v) Calcule o percentual de perda horário de clientes antes da sugestão do gerente e após a sugestão do mesmo,

considerando que o funcionário consiga reduzir o seu tempo de atendimento.

(i) p1 = 21,98%

(ii) 1 - p0 = 75,58%

(5)

(iv) t = 11,55 Minutos

(v) (λ λ λ λ - λ λ λ λc)/λ λ λ λ = 16,02% (λ λ λ λ - λ λ λ λc)/λ λ λ λ = 5,02%

10. O escritório de uma empresa aérea tem um funcionário atendendo telefonemas para reserva de voos. Uma chamada pode ficar em espera até que o funcionário esteja disponível para atender. Se as 3 linhas disponíveis estiverem com clientes a chamada recebe o sinal de ocupado e a reserva é perdida. As chamadas ocorrem aleatoriamente (Poisson) a uma taxa média de uma a cada dois minutos e 24 segundos. A duração de cada ligação tem uma distribuição exponencial com uma média de 2 minutos. Determine:

(i) Quantas chamadas serão perdidas ao longo de um período de 8 horas? (ii) A probabilidade de que uma chamada seja imediatamente atendida. (iii) O número de clientes efetivamente atendidos ao longo de uma hora. (iv) A probabilidade de que a chamada fique em espera.

(v) A probabilidade de que chamada receba o sinal de ocupado. (i) 8(λ λ λ λ - λ λ λ λc) = 37 Chamadas

(ii) p0 = 32,19%

(iii) λλλλc = 20,34 Chamadas

(iv) p1 + p2 49,18%

(6)

D i s c i p l i n a : P e s q u i s a O p e r a c i o n a l I I T e o r i a d a s F i l a s - L i s t a d e E x e r c í c i o s : 0 4

A notação utilizada na teoria das filas é variada, mas em geral, as seguintes são comuns:

λ = número médio de clientes que entram no sistema por unidade de tempo;

µ = número médio de clientes atendidos (que saem do sistema) por unidade de tempo;

L = número médio de clientes no sistema; Lq = número médio de clientes na fila;

Ls = número médio de clientes sendo atendidos;

W = tempo médio que o cliente fica no sistema; Wq = tempo médio que o cliente fica na fila;

Ws = tempo médio que um cliente leva para ser atendido;

P(T > t) = a probabilidade de que um cliente fique mais do que um tempo t no sistema;

P(Tq > t) = a probabilidade de que um cliente fique mais do que um tempo t na fila.

Assim se um sistema de filas está em estado estacionário, tem-se: (Leis de Little)

L = λW

Lq =λWq

Ls = λWs

1

p

=



, onde p

= probabilidade de que existam k clientes no sistema.

Sistema M/M/1/GD/

c

/

∞

λ

= λ(1 – p

) = µ(1 – p

)

Aceitos no sistema

−

ρ

ρ

−

=

1

1

p

ρ

−

ρ

ρ

−

=

1

1

)

(

p

se ρ ≠ 1

)

1

)(

1

(

]

c

)

1

c

(

1

[

L

ρ

−

ρ

−

ρ

+

ρ

+

−

ρ

=

L

L

L

=

−

= L – 1 + p

_{se ρ ≠ 1}

_c

₁